Giải tích 2 Lý thuyết và Bài tập Tích Phân Kép

TÍCH PHÂN KÉP- TÍCH PHÂN BỘI HAI (DOUBLE INTEGRAL) Định nghĩa 1.1 Nhắc lại định nghĩa tích phân xác định  Bài tốn diện tích hình thang cong y  f  x Cho hàm số liên tục, đơn điệu không âm đoạn đường thẳng x = a, x = b, trục Ox đường cong y = f(x)  a, b Xét hình thang ABCD giới hạn Ta chia đoạn [a; b] cách tùy ý thành n đoạn nhỏ điểm chia Trên đoạn nhỏ chia a  x0  x1   xk  xk 1  xn  b  xi 1; xi  ta dựng hình chữ nhật với chiều rộng xi  xi  xi 1 chiều cao n f    � x ; x  i với i i 1 i Tổng diện tích n hình chữ nhật là: hình bậc thang hình 1) Sn  �f  i  xi i 1 (chính diện tích Nhận xét: Diện tích hình bậc thang gần diện tích hình thang cong ABCD n lớn đoạn chia nhỏ Do diện tích S hình thang ABCD cho là: S  limSn  n�� n lim �f    x max  �0 i 1 i i  Định nghĩa tích phân xác định Cho f(x) hàm số xác định đoạn [a; b], chia đoạn [a; b] cách tuỳ ý thành n đoạn nhỏ điểm chia a  x0  x1   xk  xk 1  xn  b Đặt d  max  xi  với xi  xi  xi 1 ; i  1, n n x Trên đoạn i 1 hàm f(x) [a; b] ; xi  lấy điểm Tăng điểm chia lên vô hạn i  i  1, n  i 1 b  i I gọi tích phân xác định hàm f(x) [a; b] n I � f  x  dx  lim�f  i  xi a gọi tổng tích phân  n � � cho d � , trình I n � I (hữu hạn) mà khơng phụ thuộc vào cách chia đoạn [a; b] cách lấy điểm Kí hiệu: tuỳ ý, lập tổng: I n  �f  i  xi d �0 i 1 Khi ta nói hàm f(x) khả tích [a; b] 1.2 Định nghĩa tích phân kép Tương tự trên, ta xây dựng định nghĩa tích phân kép sau: Cho hàm z   x, y  xác định miền đóng, giới nội (bị chặn) D Chia miền D thành n phần không dẫm (các phần Dk khơng có phần chung) Gọi điểm M k  xk ; yk  D1 , D2 , , D n S k diện tích Dk Trong miền Dk lấy Thiết lập tổng: n Sk  �f ( x k , y )  Sk k k 1 Tổng gọi tổng tích phân kép hàm f(x,y) Có thể thấy, tổng Sn phụ thuộc vào cách chia miền D cách lấy điểm trung gian M k max  d  Dk   � Cho n→∞, cho hai điểm thuộc D Khi đó, tổng điểm trung gian với d  Dk  ký hiệu đường kính mảnh Dk , khoảng lớn Sn tiến đến giới hạn hữu hạn S không phụ thuộc vào cách chia miền D cách lấy M k giới hạn S gọi tích phân kép hàm f(x,y) mền D Ký hiệu: f ( x, y ) ds � � Vậy: f ( x, y )ds  � � n lim �f ( x k , y )  Sk k max( d ( D k )) �0 k 1 Hàm số f(x,y) gọi hàm dấu tích phân Miền D gọi miền lấy tích phân ds gọi yếu tố diện tích Khi đó, ta nói f(x,y) khả tích D  Chú ý: Nếu f(x,y) khả tích D để có tích phân, ta chia D đường thẳng song song với trục tọa độ Khi đó, Dk hình chữ nhật với cạnh xk , yk Một cách tổng quát, ta viết: s  xy (1) Do đó, ta ký hiệu: f ( x, y ) ds  � f ( x, y ) dxdy � � � D D Vd1: Cho miền D miền phẳng (Hình 2) �2 Chia miền D đường thăng song song với hai trục tọa độ Giả sử có miền hình Dk đại lượng x, y Dk : S Dk  xk yk Khi đó, diện tích hình Một cách tổng qt ta được: S  xy Các định lý tính chất  Định lý 1: Định lý tồn tích phân kép Hàm f liên tục miền D đóng, giới nội, có biên trơn tùng khúc khả tích miền D Định lý thừa nhận, không chứng minh  Đường cong trơn: Đường cong C có phương trình tham số : gọi trơn đạo hàm x’(t), y’(t) liên tục không đồng thời r r ur  x '( t ) i  y '( t ) j hàm vecto liên tục khác r ' Điều có nghĩa vecto đạo hàm Hình3.1  Đường cong trơn khúc: Đường cong gọi trơn khúc chia thành hữu hạn cung trơn Như vậy, đường cong trơn hiểu đường cong trơn khúc có cung trơn Hình3.2  Tính chất: hàm f(x,y) khả tích miền D ta có tính chất sau đây: i ii iii iv ds  S ( D) � � D với S(D) diện tích miền D Cf ( x, y )ds  C � f ( x, y ) ds � � � D D [ f ( x, y )  g ( x, y )]ds  � f ( x, y )ds  � g ( x, y )ds � � � � D D D f ( x, y )ds  � f ( x, y )ds  � f ( x, y )ds � � � � D D1 D2 D  D U D2 , D1 D2 không giẫm tức chúng có đường biên chung mà khơng có phần với chung v Nếu f ( x, y ) �g ( x, y ) D thì: f ( x, y )ds �� g ( x, y )ds � � � D D vi Nếu M, m giá trị lớn bé hàm f ( x, y ) D mS (D) �� f ( x, y ) ds �MS ( D) � D  Định lý 2: Định lý giá trị trung bình Cho hàm f ( x, y ) liên tục miền đóng, giới nội, miền liên thơng D Khi đó, D có điểm M (x , y0 ) cho: f ( x, y )ds  f ( x , y )S(D) � � 0 D  Khi đại lượng f ( x, y )ds � S ( D) � D gọi giá trị trung bình hàm f ( x, y ) D  Miền liên thông: Vd2 (x , y ) Hàm f ( x, y ) liên tục miền đóng, giới nội D nên đạt giá trị nhỏ 1 giá trị lớn  x2 , y2  thuộc D Khi đó, m  f  x1 , y1  �f  x, y  �f  x2 , y2   M ,   x, y  �D Vậy theo tính chất vi: m � �M Mặt khác, D liên thông nên tồn đường cong liên tục x  x  t  , y  y  t  , t1 �t �t2  x1 , y1   x2 , y2  , tức x1  x  t1  , y1  y  t1  , x2  x  t2  , y2  y  t2  Hàm số F  t  f  x t , y t  hợp hàm liên tục nên liên tục  t1 , t2  t0 � t1 , t2  cho: F  t1   f  x1 , y1   m F  t2   f  x2 , y2   M nối hai điểm ; Vậy theo định lý giá trị trung gian hàm biến F(t) tồn   F  t0   f  x  t0  , y  t0   Điểm  x0 , y0  với x0  x  t0  , y0  y  t0  điểm phải tìm  Vd3: Bản đồ đồng mức Hình 12 cho thấy tuyết rơi (theo inches) xuống bang Colorado vào ngày 20 21 tháng 12 năm 2006 (Tiểu bang hình chữ nhật kích thước 388 dặm từ tây sang đơng 276 dặm từ nam đến bắc.) Sử dụng đồ đồng mức để ước tính lượng tuyết rơi trung bình cho tồn tiểu bang Colorado vào ngày (Hình 4)  Giải Đặt gốc tọa độ góc tây nam tiểu bang Khi �x �288,0 �y �276 f(x, y) tuyết rơi (theo inches) vị vùng x dặm đơng y dặm bắc tính từ gốc tọa độ Nếu R hình chữ nhật biểu thị Colorado fTB  trung bình tuyết roei ngày 20–12 tháng 12 là: A R f  x, y  dA � � R Trong A(R) = (388)(276) Để ước lượng giá trị tích phân kép này, sử dụng Quy tắc Trung điểm với m = n = Nói khác đi, chia R thành 16 hình chữ nhật nhỏ kích thước nhau, Hình Diện tích hình chữ nhật nhỏ là: A   388  276   6693 16 (dặm) Sử dụng đồ đồng mức để ước lượng giá trị f tâm hình chữ nhật nhỏ: 4   f  x, y  dA  ��f x i , y j A � � i 1 j 1 R = A (0 + 15 + + + + 25 + 18.5 + 11 + 4.5 + 28 + 17 + 13.5 + 12 + 15 + 17.5 + 13) = (6693)(207) fTB  Vậy  6693  207   1388  276   12,9 Vào 20–21 tháng 12 năm 2006, lượng tuyết rơi trung bình Colorado xấp xỉ 13 inches Cách tính tích phân kép – Đưa tích phân lặp 3.1 Khái niệm miền 3.1.1 Miền theo phương Oy Oy : x  x0 (a �x0 �b) qua điểm miền D chi cắt biên D Mọi đường thẳng song song với trục hai điểm: điểm vào miền M điểm miền N Khi đó, miền D gọi miền theo phương Oy (Hình 6) 3.1.2 Miền theo phương Ox Ox : y  y ,(c �y �d ) qua điểm miền D cắt biên D Mọi đường thăng song song với trục hai điểm: điểm vào miền P điểm miền Q Khi miền D gọi miền theo phương Ox (Hình 7) 3.2 Tích phân lặp Giả sử f hàm hai biến khả tích hình chữ nhật R   a, b  � c, d  Chúng ta sử dụng ký hiệu d f  x, y  dy � c để x khơng thay đổi f(x,y) lấy tích phân tương ứng với y từ y  c y  d d Cách làm gọi tích phân riêng tương ứng với y Như ta có vào x ta có định nghĩa hàm theo biến x sau: f  x, y  dy � c hàm số phụ thuộc d A x  � f  x, y  dy c b d � � A x dx  f  x, y  dy � dx   � � � � a� c � Lấy tích phân hàm A với x từ a đến b ta được: a b Tích phân vế bên phải gọi tích phân lặp Khi mở dấu ngoặc, ta được: d � � f x , y dxdy  f x , y dy dx     � � � � � � a c a� c � b d b Tương tự ta có: b � � f x , y dxdy  f x , y dx dy     � � � � � � a c c � a � b d d 3.3 Định lý Fubini cho hàm f(x,y) liên tục miền D 3.3.1 Sơ lược Guido Fubini định lý Fubini Hình Guido Fubini sinh ngày 19/1/1879 Venice, Italia ngày 6/6/1943 New York, Hoa Kỳ Tháng 10/1901, Fubini bắt đầu giảng dạy đại học Catania Sicily Năm 1908, ông chuyển đến Turin, nơi ông dạy Politecnico đại học Torino Ban đầu, Guido Fibini nghiên cứu hình học vi phân theo hướng phân tích Tác phẩm tiếng ơng “Hình học vi phân Projective” (Dịch lại tên sách thử =)) Trong giải tích tốn, định lý Fubini giới thiệu Guido Fubini vào năm 1907, kết xác định điều kiện mà theo người ta tính tốn tích phân bội cách sử dụng tích phân lặp Người ta đổi lại thứ tự phép lấy tích phân tích phân kép cho kết hữu hạn hàm lấy tích phân thay giá trị tuyệt đối Kết thứ tự tích phân phép thay đổi tích phân lặp Định lý Fubini ngụ ý hai tích phân lặp hàm hai biến hàm khả tích 3.3.2 Cơng thức Cho miền D miền theo phương Oy có đường vào y  y1  x  đường y  y2  x  x  x1  y  đường x  x2  y  Khi đó, miền D xác định bởi: D   a �x �b, y1  x  �y �y2  x   Thì ta có cơng thức sau: y2  x  � � f (x, y) dxdy  f ( x , y ) dy dx � � � � �� � � D a� y1  x  � b 3.3.3 Công thức Cho miền D miền theo phương Ox có đường vào Khi đó, miền D xác định bởi: D   c �y �d , x1  y  �x �x2  y   Thì ta có cơng thức sau: x2  y  � � f ( x , y ) dxdy  f ( x , y)dx � �dy � � �� � � D c � x1  y  � d x2  Vd1: Tính tích phân  3x  y  dy � x x2 x2 � y2 � x4 � x2 � (3 x  y ) dy  � xy  �  3x   � 3x  � � �x � � � x  Vd2: Tính tích phân x x 0 dx xydy �� 1 x3 x4 dx xydy  �dx   �� 2 0  Vd3: Tính tích phân y ln xdxdy � � D với D giới hạn đường xy  1, y  Hình (vẽ giùm nha) Bài giải đưa sau x ydxdy � �  Vd4: Tính tích phân sau: Bài giải đưa sau (27/2) x, x  3.4 Quy tắc trung điểm (Midpoint Rule) f  x, y  dA ; � � r u r f x , y i �� j A m  n i 1 j 1  u r r � y ;y � y x ; x   Với x i trung điêm i 1 i j trung điểm � j 1 j � R  x  y  dA � �  Vd: Sử dụng Quy tắc Trung điểm với m = n = để ước lượng giá trị tích phân R R   x, y �x �2,1 �y �2 Giải Khi sử dụng quy tắc trung điểm với m=n=2 lượng giá hàm chữ nhật nhỏ (hình 10 vẽ sau nha) Vì x1  bốn tâm hình , x2  , y1  , y2  2 4 A  Diện tích hình chữ nhật nhỏ  x  y2 dA ; � � R f  x, y   x  y 2 f x , y   f  x , y   f  x , y   f  x , y  � �    �   11,875 ��f  x , y  A  � � � � 16 16 16 16 � 2 i 1 j 1 i j � 67 139 51 123 � 95 1 2 2  Chú ý: Trong phần phát triển phương pháp hiệu để tính tích phân kép thấy giá trị xác tích phân kép Ví dụ –12 Nếu tiếp tục chia hình chữ nhật nhỏ Hình 10 thành bốn nhỏ với hình dạng tương tự, nhận xấp xỉ theo Quy tắc Trung điểm hiển thị biểu đồ bên Chú ý xấp xỉ tiến dần đến giá trị tích phân kép – 12 Hình http://khoacoban.tnut.edu.vn/download/toan3/Giai %20tich%202%202014%20Chuong%203.pdf Hình Hình 3.1, 3.2 Hình http://khoacoban.tnut.edu.vn/download/toan3/Giai%20tich%202%202014%20Chuong%203.pdf ( hình link này) Hình http://khoacoban.tnut.edu.vn/download/toan3/Giai%20tich%202%202014%20Chuong%203.pdf (là hình 13 link này) Hình Hình Hình ... tích phân bội cách sử dụng tích phân lặp Người ta đổi lại thứ tự phép lấy tích phân tích phân kép cho kết hữu hạn hàm lấy tích phân thay giá trị tuyệt đối Kết thứ tự tích phân phép thay đổi tích. .. hàm dấu tích phân Miền D gọi miền lấy tích phân ds gọi yếu tố diện tích Khi đó, ta nói f(x,y) khả tích D  Chú ý: Nếu f(x,y) khả tích D để có tích phân, ta chia D đường thẳng song song với trục... d � � A x dx  f  x, y  dy � dx   � � � � a� c � Lấy tích phân hàm A với x từ a đến b ta được: a b Tích phân vế bên phải gọi tích phân lặp Khi mở dấu ngoặc, ta được: d � � f x , y dxdy 