Tài liệu môn học giải tích 2 Lý thuyết và bài tập ĐHBKHN

g nói chiều hiều đường cong cho chiều dương) Áp dụng công thức Stoke: 𝐶 = ∬ −3𝑥 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆 Hình chiếu mặt 𝑆 lên 𝑂𝑥𝑦 𝐷: 𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑥 = 𝑟 cos 𝜑 0≤𝑟≤1 Đặt { 𝑦 = sin 𝜑 , 𝐽 = 𝑟 ⇒ 𝐷: { ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 2𝜋 ⇒ 𝐶 = ∬ −3𝑥 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = −3 ∫ 𝑑𝜑 ∫ 𝑟 sin2 𝜑 𝑟 cos 𝜑 𝑟𝑑𝑟 = ⋯ = 𝑆 2 0 −𝜋 ⃗ dọc theo đường VD2: Tính lưu số 𝐹 = (𝑦𝑒 𝑥𝑦 + 3𝑦 + 𝑧)𝑖 − (𝑥𝑒 𝑥𝑦 + 𝑦 − 5𝑧)𝑗 + (1 + 2𝑥)𝑘 2 cong 𝐿 giao mặt 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = mặt 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = hướng ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ chiều dương trục 𝑂𝑧 Giải: Lưu số cần tính là: 257 𝐶 = ∮ (𝑦𝑒 𝑥𝑦 + 3𝑦 + 𝑧)𝑑𝑥 − (𝑥𝑒 𝑥𝑦 + 𝑦 − 5𝑧)𝑑𝑦 + (1 + 2𝑥)𝑑𝑧 𝐿 Đường cong kín 𝐿 chiều dương giới hạn phần mặt phẳng 𝑆: 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = nằm cầu, mặt hướng lên, có vecto pháp tuyến hợp trục 𝑂𝑧 < 𝜋/2 𝑧 𝑦 𝑥 Áp dụng công thức Stoke: 𝐶 = ∬ 5𝑑𝑦𝑑𝑧 − 𝑑𝑧𝑑𝑥 − 3𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆 Vecto pháp tuyến 𝑆 𝑛⃗ = (1, −1,1) ⇒ cos 𝛼 = ⇒ 𝐶 = ∬ (5 𝑆 (𝑆 hình tròn qua tâm cầu) √3 + 1 √3 − 1 √3 , cos 𝛽 = −1 √3 , cos 𝛾 = √3 ) 𝑑𝑆 = √3 ∬ 𝑑𝑆 = √3𝑆𝑆 = 4√3𝜋 √3 258 𝑆 ⃗ dọc theo đường cong 𝐶 VD2: Tính lưu số 𝐹 = (𝑦 + 𝑧 )𝑖 + (𝑥 + 𝑧 )𝑗 + (𝑥 + 𝑦 )𝑘 2 𝐶 giao mặt cầu 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = mặt nón 𝑧 = −√𝑥 + (𝑦 − 1)2 với hướng chiều kim đồng hồ nhìn từ gốc O Giải: Lưu số cần tính: 𝐶 = ∮ (𝑦 + 𝑧 )𝑑𝑥 + (𝑥 + 𝑧 )𝑑𝑦 + (𝑥 + 𝑦 )𝑑𝑧 𝐶 Đường cong kín 𝐶 chiều âm biên phần mặt cong cầu nằm nón 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ hướng xuống theo chiều âm 𝑂𝑧 𝑆: { 𝑧≤0 Áp dụng công thức Stoke: 𝐶 = − ∬(2𝑦 − 2𝑧)𝑑𝑦𝑑𝑧 + (2𝑧 − 2𝑥)𝑑𝑧𝑑𝑥 + (2𝑥 − 2𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆 Vecto pháp tuyến mặt 𝑆 𝑛⃗ = −(2𝑥, 2𝑦, 2𝑧) ⇒ |𝑛⃗| = √(2𝑥)2 + (2𝑦)2 + (2𝑧)2 = (Dấu " − " (𝑛⃗̂ , 𝑂𝑧) > 𝜋/2) ⇒ cos 𝛼 = −2𝑥 −𝑥 −2𝑦 −𝑦 −2𝑧 −𝑧 = = = , cos 𝛽 = , cos 𝛾 = 4 2 Áp dụng công thức liên hệ tích phân mặt loại II tích phân mặt loại I: 𝑥 𝑦 𝑧 ⇒ 𝐶 = ∬ [ (2𝑦 − 2𝑧) + (2𝑧 − 2𝑥) + (2𝑥 − 2𝑦)] 𝑑𝑆 = 2 𝑆 259 TÀI LIỆU THAM KHẢO: − Bài giảng mơn Giải tích II, thầy Bùi Xuân Diệu − Bài tập giải sẵn Giải tích (Tóm tắt lý thuyết chọn lọc), thầy Trần Bình − Bài tập Tốn học cao cấp, tập hai: Giải tích, GS.TS Nguyễn Đình Trí (chủ biên), PGS.TS Trần Việt Dũng, PGS.TS Trần Xuân Hiền, PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo − Bộ đề cương Giải tích II, Viện Toán ứng dụng Tin học − Bộ đề thi Giữa kì Cuối kì mơn Giải tích II Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội Tài liệu biên soạn dựa kinh nghiệm cá nhân, dù cố gắng hạn chế định kiến thức kĩ chắn tồn lỗi sai tính tốn, lỗi đánh máy, …mọi ý kiến góp ý bạn đọc vui lịng gửi qua link fb “fb.com/tungg810” email: tungcrossroad@gmail.com để kiểm tra, hoàn thiện tài liệu Xin chân thành cảm ơn! 260 ... (2? ??? − 2? ???) + (2? ??? − 2? ???) + (2? ??? − 2? ???)]