bài tập tích phân kép tích phân bội ba đại học bách khoa hà nội

tổng hợp rất nhiều bài tập phần tích phân kép và tích phân bội ba của sv Ks CLC PFIEV đại học bách khoa hà nội. các bài tập thuộc trình độ cơ bản kèm theo một số bài tập khá và giỏi. các bạn có thể tham khảo các tài liệu tương tự về tích phân đường mặt và các nội dung khác ở csac bài đăng của mình. xin cảm ơn

BT Toán II CLC BÀI TẬP CHƯƠNG IV 1. Vẽ miền lấy tích phân a)           4 0 15x x dxdy)y,x(f 2 b)           4 0 x16 0 dxdy)y,x(f 2 c)                  2 4 y2 1 4 y dydx)y,x(f 2 2. Đổi thứ tự lấy tích phân trong các tích phân kép a)      1 1 x1 x1 2 2 dy)y,x(fdx b)     1 0 y11 y2 2 dx)y,x(fdy c)    2 0 x2 xx2 2 dy)y,x(fdx d)    2 1 x4 x dy)y,x(fdx e)   2 0 y 0 dx)y,x(fdy +    2 2 y4 0 2 dx)y,x(fdy f)    3 0 x 1)1x( 2 dy)y,x(fdx g)   2 1 xx4 0 2 dy)y,x(fdx h)   1 0 xx4 0 2 dy)y,x(fdx i)    1 0 x xx2 2 dy)y,x(fdx j)    1 2 x2 x 2 dy)y,x(fdx k)   e 1 xln 0 dy)y,x(fdx l)   2 1 x x 1 dy)y,x(fdx m)    1 0 y3 y 2 2 dx)y,x(fdy n)     1 0 y1 y1 2 dx)y,x(fdy o)     2 1 xx2 x2 2 dy)y,x(fdx p)      0 6 x2 1 4 x 2 dy)y,x(fdx q)      4 2 xcos 0 dy)y,x(fdx r)   e 1 xln 0 dy)y,x(fdx 3. Tính các tích phân kép a)             3 1 x2 x 1 2 2 dxdy y x b)   D 2 dxdy)xy(x , với D giới hạn bởi các đường 1) y = x 2 , x = y 2 2) y = x 2 , 2x + y = 4 c)  D xydxdy , trong đó D giới hạn bởi 1) x - y + 4 = 0 và x 2 = 2y 2) xy = 1, x + y = 5/2 3) x = 0, y = 0, x + y = 1 d)   D dxdy)yx( , trong đó D là miền giới hạn bởi 1) x + y = 4, y = (x - 2) 2 2) y = 0, y = (x+1) 2 , x = sinπy 3) tam giác O(0,0), A (1,1), B(2,0) 4) y 2 = 2x, x + y = 4, x + y = 12 e)   D dxdy)yx1( , trong đó D là miền giới hạn bởi 1) x + y = 0, x = y , y = 2 2) 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 2x BT Toán II CLC f)   D dxdy)yx( , trong đó D là miền giới hạn bởi 1) y = x, y = 2x, y = x 2 , y = 3x 2 2) Tam giác A(1,1), B(4,1), C(4,4) 3) y = x + 1, y = x - 1, y = 2, y = 3 4) y = x + 1, x = y 2 , y = ± 1 g)  D xdxdy , trong đó D giới hạn bởi 1) x + y = 2, x 2 + (y-1) 2 = 1, (y ≥ 1) 2) y = 3x 2 , y = 6 - x h)   D dxdy)yxsin( , D giới hạn bởi y = 0, y = x, x + y = π/2 4. Trong tích phân hai lớp I =  D dxdy)y,x(f , chuyển sang toạ độ cực và xác định các cận, trong đó D là miền a) 8x ≥ x 2 + y 2 ≥ 4x, y ≥ x, y ≤ 3 x b) 2 2 a x + 2 2 b y ≤ 1, y ≥ 0 c) x 2 + y 2 ≤ ax d) 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 – x e) a 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ b 2 f) -a ≤ x ≤ a, a x 2 ≤ y ≤ a 5. Đổi các tích phân sau sang hệ toạ độ cực với các thứ tự lấy tích phân khác nhau a)   1 0 1 0 dy)y,x(fdx b)     1 0 x1 x1 2 dy)y,x(fdx c)   1 0 x 0 2 dy)y,x(fdx d)    2 0 2x x 22 dy)yx(fdx e)  D dxdy)y,x(f , D giới hạn bởi (x 2 + y 2 ) 2 = a 2 (x 2 - y 2 ) 6. Đổi thứ tự trong các tích phân sau a)        2 2 cosa 0 dr),r(fd (a > 0) b)      2 0 2sina 0 dr),r(fd (a > 0) c)    a 0 a r dr),r(fd 7. Tính các tích phân sau a)     R 0 xR 0 22 22 dy)yx1ln(dx (R > 0) b)      R 0 xRx xRx 22 2 2 dyyxRxdx (R > 0) c)  D xydxdy , với D giới hạn bởi 1) (x - 2) 2 + y 2 ≤ 1 2) (x - 2) 2 + y 2 ≤ 1, y ≥ 0 3) 2y ≤ x 2 + y 2 ≤ 4, x ≥ 0 4) x 2 + y 2 + 3 ≤ 4x d)  D 2 dxdyxy , với D là miền giới hạn bởi x 2 + (y - 1) 2 = 1 và x 2 + y 2 - 4y = 0 BT Toán II CLC e)   D 222 )yx( dxdy , D = {(x,y) : 4y ≤ x 2 + y 2 ≤ 8y, x ≤ y ≤ 3 x} f)    D 22 22 dxdy yx1 yx1 , D : x 2 + y 2 ≤ 1 g)   D 22 dxdy yx xy , D:            0y,0x y32yx x2yx 12yx 22 22 22 g)         D dxdy1 x y , D: 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 2x h)   D 22 yx xydxdy , D là tam giác O(0,0), A(3,3), B(3,0). i)   D 22 yx4 dxdy , D:      yx y2yx 22 j)    D 22 2 1yx dxdy)yx( , D : x 2 + y 2 ≤ 1 k)   D 2222 dxdyyxsin)yx( , D: π 2 ≤ x 2 +y 2 ≤ 4π 2 l)   D 22 dxdy)yx( , D là miền giới hạn bởi 1) x + y = 0, y = 1, y = 2, y = x 2) 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 3) 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x 2 4) x 2 + y 2 ≤ 2x 5) x 4 + y 4 ≤ 1 5) phần của nửa hình tròn {(x,y) : x 2 + y 2 ≤ y, x ≥ 0}, nằm ngoài hình tròn {(x,y) : x 2 + y 2 ≤ x} m)   D 222 yxa dxdy ; D là miền giới hạn bởi đường x 2 + y 2 = a 2 (x ≥ 0, y ≥ 0) 8. Chuyển tích phân sau theo hai biến u và v    1 0 x x dy)y,x(fdx , nếu đặt      yxv yxu , áp dụng tính với f(x,y) = (2 - x - y) 2 9. Tính các tích phân sau a)  D xydxdy , trong đó D là miền giới hạn bởi xy = 1, xy = 3, y 2 = 2x, y 2 = 4x b)   D dxdy)yx( , trong đó D là miền giới hạn bởi 1) x 2 + y 2 = 2(x + y) 2) x 2 + y 2 = x + y 3) 2x + y - 3 = 0, 2x + y + 2 = 0, 3x - y + 1 = 0, 3x - y - 2 = 0 c)   D 22 dxdy)yx3x4( , D là hình tròn x 2 + y 2 - 4x + 3 ≤ 0 d)    D yx yx dxdye , D là miền giới hạn bởi các đường x = 0, y = 0, x + y = 1 BT Toán II CLC e)  D ydxdy , D giới hạn bởi y = 0 và đường      )tcos1(ay )tsint(ax , 0 ≤ t ≤ 2π, a > 0 f)   D 3/23/2 dxdy)yx( , với D là miền giới hạn bởi đường x 2/3 + y 2/3 = a 2/3 (a > 0) 10. Tính các tích phân sau a) dxdyyx D   , D: {(x,y) : |x| ≤ 1, |y| ≤ 1} b)   D 2 dxdy|xy| , D = {(x,y) : |x| ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} c)   D 22 dxdy|y4x9| , D: 9 y 4 x 22  ≤ 1 d)   D 2 dxdy)yx3yx2( , D:      x4yx x4xy1 e)   D dxdyxy , D: x 2 + y 2 ≤ 2y f)    1|y||x| dxdy|)y||x(| g)   D dxdy|)yxcos(| , D = {(x,y)|0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ π - x} h)   D 22 dxdy|yxx2| , D = {(x,y)|x 2 +y 2 ≤ 2y} i)    1|y||x| dxdy)yx|y||x(| j)   1|y||x| dxdy|xy| 11. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi a) y = 2 x , y = 2 -x , y = 4 b) y 2 = x, y 2 = 2x, x 2 = y, x 2 = 2y c) y = 0, y 2 = 4ax, x + y = 3a, y ≤ 0 (a > 0) d) y 2 = 4ax, x + y = 3a và y = 0 e) x = 4y - y 2 , x + y = 6 g) x + y = 2, y 2 = 4x + 4, y ≥ 0 h) y 2 + 2y - 3x + 1 = 0, 3x - 3y - 7 = 0 i) y = 2x, y = 2 - x, y = 4 j) (x 2 + y 2 ) 2 = 2ax 3 (a > 0) k) (y - x) 2 + x 2 = 1 l) xy = 1, xy = 8, y 2 = x, y 2 = 8x m) y 2 = x, y 2 = 16x, y 2 = x 3 , 16y 2 = x 3 12. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi a) x 2 + y 2 = 2x, x 2 + y 2 = 4x, x = y, y = 0 b) phần chung hai hình tròn xác định bởi r = 1, r = 3 2 cosφ c) (x 2 + y 2 ) 2 = 2a 2 xy d) x 3 + y 3 = axy (a > 0) e) r = a(1 + cosφ) (a > 0) 13. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi a) (x - 2y + 3) 2 + (3x - 4y - 1) 2 = 100 b) 2 2 a x + 2 2 b y = h x + k y c) 4 a x + 4 b y = 1, x = 0, y = d) x 2 = ay, x 2 = by, x 3 = cy 2 , x 3 - dy 2 (0 < a < b, 0 < c < d) 14. Tính thể tích của vật giới hạn bởi a) 3x + y ≥ 1, 3x + 2y ≤ 2, y ≥ 0, 0 ≤ z ≤ 1 - x – y b) y = x , y = 2 x , x + z = 6, z = 0 c) z = y 2 , x 2 + y 2 = 1, z = 0 BT Toán II CLC d) 3x + y = 1, 3x + 2y = 2, y = 0, z = 1 - x - y, z = 0. e) z = y 2 , x 2 + y 2 = 1, z = 0 f) x = 4 - y 2 , x = 2 + y 2 , z = -1, z = 2 g) z = x + y, y = x, y = 2x, z = 0, xy = 1, xy = 2 h) x 2 + 4y 2 + z = 1, z = 0 i) y = x 2 + 1, z = 3x, y = 5, z = 0 (x,y,z ≥ 0) j) x = 2y 2 , x + 2y + z = 4, y = 0, z = 0 k) z = xy, x + y + z = 1, z = 0 l) z = x + y, z = xy, x + y = 1, x = 0, y = 0 15. Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi a) z = 4 - x 2 - y 2 , 2z = 2 + x 2 + y 2 b) 0 ≤ z ≤ 1 - x 2 - y 2 , y ≥ x, y ≤ 3 x c) x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4a 2 , x 2 + y 2 - 2ay ≤ 0 (a > 0) d) x 2 + y 2 = z, 2 - z = 22 yx  e) z = 4 - x 2 - y 2 , 2z = 2 + x 2 + y 2 f) x 2 + y 2 = 4, 2z = x 2 + y 2 , z = 0 g) 2z = x 2 + y 2 , z = 6 - x 2 - y 2 h) z = 1 - x 2 - y 2 , y = x, y = x 3 , z = 0 i) 0 ≤ z ≤ x 2 + y 2 , x 2 ≤ y ≤ 1 j) x 2 + y 2 = 2, z = 4 - x 2 - y 2 , z = 0 k) z = 6 - (x 2 + y 2 ), z 2 = x 2 + y 2 (z ≥ 0) l) phần hình cầu x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 nằm trong mặt trụ x 2 + y 2 = y m) x = 0, y = 0, x = 4, y = 4, z = x 2 + y 2 + 1 16. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi a) z = 6 - x 2 - y 2 , z = 22 yx  b) z = 22 yx  , z = x 2 + y 2 c) x 2 + y 2 = az, z = 2a - 22 yx  (a > 0) d) x = 2 yx 22  , x 2 + y 2 + z 2 = 4 e) x 2 + y 2 + z 2 = 2az, x 2 + y 2 ≤ z 2 (a > 0) f) z 2 = xy, x 2 + y 2 = a 2 g) z = x + y, (x 2 + y 2 ) 2 = 2xy, z = 0 h) x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , x 2 + y 2 ≥ a|x| i) z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 = x, x 2 + y 2 = 2x, z = 0 17. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi a) z = 0, z = 2 2 2 2 b y a x  , 2 2 a x + 2 2 b y = a x2 (a,b > 0) b) 2 2 a x + 2 2 b y + 2 2 c z = 1, 2 2 a x + 2 2 b y = 2 2 c z (z ≥ 0) c) x 2 + z 2 = a 2 , |x + y| = a, |x - y| = a (a > 0) d) z = x 2 + y 2 , xy = a 2 , xy = 2a 2 , y = x/2, y = 2x, z = 0 e) 2 2 2 c z b y a x         = 1, x = 0, y = 0, z = 0 f) n n a x + n n b y + n n c z (n > 0, x,y,z ≥ 0) 18. Tính diện tích a) Phần mặt nón z 2 = x 2 + y 2 , z ≥ 0 nằm trong mặt trụ x 2 + y 2 = 2x b) Phần mặt paraboloid z = x 2 + y 2 nằm trong hình trụ x 2 + y 2 = 1 BT Toán II CLC c) Phần mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = 4 nằm trong mặt trụ x 2 + y 2 = ay d) Phần mặt nón z 2 = x 2 + y 2 bị chắn bởi mặt y 2 = z e) Phần mặt nón z = 22 yx  , nằm trong mặt trụ (x 2 + y 2 ) 2 = a 2 (x 2 - y 2 ) f) Phần mặt z = xy bị chắn bởi x 2 + y 2 = 4 g) Phần mặt z = 1 - x 2 - y 2 nằm trong x 2 + y 2 = 1 h) Phần mặt trụ z = x 2 giới hạn bởi x + y = 2 , x = 0, y = 0 i) Phần mặt trụ x 2 = 2z giới hạn bởi x - 2y = 0, y = 2x, x = 2 2 j) Phần mặt trụ x 2 + z 2 = 4 nằm trong x 2 + y 2 = 4 k) Phần mặt y = x 2 + z 2 nằm trong mặt trụ x 2 + z 2 = 1 l) Phần mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = a 2 nằm trong mặt trụ x 2 + y 2 = ay (a > 0) l) Phần mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = 4 nằm trong mặt trụ x 2 /4 + y 2 = 1 m) Phần mặt az = xy nằm trong mặt trụ x 2 + y 2 = a 2 n) Phần mặt z 2 = 2xy giới hạn bởi x = 1, y = 4 o) Phần mặt x 2 + y 2 + z 2 = a 2 nằm trong 2 2 a x + 2 2 b y = 1 (b ≤ a) p) Phần mặt x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , nằm phía ngoài các hình trụ x 2 + y 2 = ±ax 19. Tính tích phân a)  V zdxdydz , trong đó V là miền giới hạn bởi 1) 0 ≤ x ≤ ¼, x ≤ y ≤ 2x, 0 ≤ z ≤ 22 yx1  2) x + y = 1, x 2 + y 2 + z 2 = 1 (x,y,z ≥ 0) 3) x + y + z ≤ 1 (x,y,z ≥ 0) b)   V dxdydz)zyx1( , V: x + y + z ≤ 1 (x,y,z ≥ 0) c)  V dxdydzzxy , V giới hạn bởi z = 0, z = y, y = x 2 , y = 2 d)   V dxdydz)zxcos(y , V giới hạn bởi y = x , y = 0, z = 0, x + z = π/2 e)   V 22 dxdydz)yx( , V là khối tứ diện A(a,b,0), B(a,-b,0), C(0,0,c), D(0,0,-c) (a,b,c > 0) f) dxdydz)zy3x2( V   , V giới hạn bởi z = 0, z = a, x = 0, y = 0, x + y = b (a,b > 0) g)  V 2 dxdydzx , V giới hạn bởi z = ay 2 , z = by 2 , y > 0, z = αx, z = βx, z = h (0 < a < b, 0 < α < β, h > 0) BT Toán II CLC 20. Tính các tích phân a)   V 22 zdxdydz)yx( , V giới hạn bởi 1) x 2 + y 2 ≤ 1, 1 ≤ z ≤ 2 2) x 2 + y 2 = 2z, z = 2 b)            V 22 dxdydzz 2 yx , V giới hạn bởi x 2 + y 2 = 2 - z, x 2 + y 2 = z 2 c)   V 2 dxdydz]z)yx[( , V giới hạn bởi z = 0, (z - 1) 2 = x 2 + y 2 d)   V 22 zdxdydzyx , V giới hạn bởi x 2 + y 2 = z, z = 1 e)   V 22 yx1 zdxdydz , V: x 2 + y 2 ≤ a 2 , 0 ≤ z ≤ h g)   V 3 dxdydz)zyx( , V giới hạn bởi x 2 + z 2 = 1, y = 0, y = 1 f)  V 2 dxdydzz , V: x 2 + y 2 ≤ R 2 , 0 ≤ z ≤ h g)   V 22 dxdydzyxz , V: x 2 - 2ax + y 2 ≤ 0, 0 ≤ z ≤ b 21. Tính các tích phân a)   V 22 dxdydz)yx( , V: x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1, x 2 + y 2 - z 2 ≤ 0 b)   V 222 dxdydz)zyx( , V: 1) 1 ≤ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4, x 2 + y 2 ≤ z 2 2) x 2 + y 2 + z 2 ≤ x + y + z c)   V 22 dxdydzyx , V giới hạn bởi x 2 + y 2 = z 2 , z = 1 d)   V 222 dxdydzzyx , V: 1) x 2 + y 2 + z 2 ≤ z 2) x 2 + y 2 + z 2 ≤ a 2 e)  V 2 dxdydzz , V giới hạn bởi z = 22 yx2  , z = 22 yx  f)  V xzdxdydz , V: x 2 + y 2 + z 2 ≤ a 2 , z ≥ 0 g)   V 2 dxdydz)zyx( , V: 2z ≥ x 2 + y 2 , x 2 + y 2 + z 2 ≤ 3 h)  V 2 dxdydzx , V: x 2 + y 2 + z 2 ≤ a 2 i)   V 222 zyx dxdydz , V: 0 < b 2 ≤ x 2 + y 2 + z 2 ≤ a 2 j)  V zdxdydz , x 2 + y 2 ≤ z 2 , x 2 + y 2 + z 2 ≤ a 2 , z ≥ 0 BT Toán II CLC 22. Tính các tích phân a)   V 22 dxdydzyxz , trong đó V là 1) Miền giới hạn bởi các mặt x 2 + y 2 = 2x, z = 0, z = a. 2) Nửa hình cầu x 2 + y 2 + z 2 ≤ a 2 , z ≥ 0 (a > 0) 3) Nửa khối elipsoid 2 22 a yx  + 2 2 b z ≤ 1, z ≥ 0 (a, b > 0) b)  V ydxdydz , V giới hạn bởi y = 22 zx  , và y = h (h > 0) c)           V 2 2 2 2 2 2 dxdydz c z b y a x , V: 2 2 a x + 2 2 b y + 2 2 c z ≤ 1 (a, b, c > 0) d)   V 222 )2z(yx dxdydz , V: x 2 + y 2 ≤ 1, |z| ≤ 1 e)  V zdxdydz , V: 2 2 a x + 2 2 b y + 2 2 c z ≤ 1, z ≥ 0 f)   V 322 dxdydz)zxy( , V giới hạn bởi x 2 + y 2 = 1, y = 0, y = 1 23. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi a) 0 ≤ 2 2 2 2 2 2 c z b y a x  ≤ 1, -h ≤ z ≤ h b) (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 = a 2 (x 2 + y 2 - z 2 ) c) x + y + z = ±3, x + 2y - z = ±1, x + 4y + z = ±2 d) (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 = xyz e) 2 2 2 2 2 2 2 c z b y a x          = h x f) 2 2 a x + 2 2 b y + 4 4 c z = 1 g) 2 2 2 2 2 2 2 c z b y a x          = 2 2 a x + 2 2 b y h) 2 2 2 2 2 2 2 c z b y a x          = 2 2 a x + 2 2 b y - 2 2 c z i) x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , x 2 + y 2 + z 2 = b 2 , x 2 + y 2 = z 2 (z ≥ 0, 0 < a < b) j) 2 2 a x + 2 2 b y + 2 2 c z = 1, 2 2 a x + 2 2 b y = c z k) 2 2 2 2 2 b y a x          + 4 4 c z = 1 .                  2 4 y2 1 4 y dydx)y,x(f 2 2. Đổi thứ tự lấy tích phân trong các tích phân kép a)      1 1 x1 x1 2 2 dy)y,x(fdx b)     1 0 y11 y2 2 dx)y,x(fdy . BT Toán II CLC BÀI TẬP CHƯƠNG IV 1. Vẽ miền lấy tích phân a)           4 0 15x x dxdy)y,x(f 2 b)           4 0 x16 0 dxdy)y,x(f 2 . a 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ b 2 f) -a ≤ x ≤ a, a x 2 ≤ y ≤ a 5. Đổi các tích phân sau sang hệ toạ độ cực với các thứ tự lấy tích phân khác nhau a)   1 0 1 0 dy)y,x(fdx b)     1 0 x1 x1 2 dy)y,x(fdx