tổng hợp rất nhiều bài tập phần tích phân kép và tích phân bội ba của sv Ks CLC PFIEV đại học bách khoa hà nội. các bài tập thuộc trình độ cơ bản kèm theo một số bài tập khá và giỏi. các bạn có thể tham khảo các tài liệu tương tự về tích phân đường mặt và các nội dung khác ở csac bài đăng của mình. xin cảm ơn
Trang 1BT Toán II CLC
BÀI TẬP CHƯƠNG IV
1 Vẽ miền lấy tích phân
4
0
15
x
x
dx dy ) y
,
x
(
2
4
0
x 16
0
dx dy ) y , x (
2
c)
2
4
y 2
1 4 y
dy dx ) y , x (
2
2 Đổi thứ tự lấy tích phân trong các tích phân kép
1
1
x
1
x
1
2
2
dy ) y , x
(
1
0
y 1 1
y 2
2
dx ) y , x (
2
0
x
x
x 2
dy ) y , x (
2
1 x
x
dy ) y , x (
e) 2
0
y
0
dx ) y ,
x
(
2
y 4
0
2
dx ) y , x (
3
0 x
1 ) 1 x
dy ) y , x (
1
x x
0
2
dy ) y , x (
0
x x
0
2
dy ) y , x ( dx
1
0
x
x
x 2
dy ) y , x
(
1
2
x 2
x
2
dy ) y , x (
1
x ln
0
dy ) y , x (
1 x
x 1
dy ) y , x (
0
y 3
y
2
2
dx ) y , x ( dy
n)
1
0
y
1
y
dx ) y , x
(
2
1
x x
x 2
2
dy ) y , x (
0
6
x 2
1 4
x 2
dy ) y , x (
4
2
x cos
0
dy ) y , x (
1
x ln
0
dy ) y , x (
3 Tính các tích phân kép
a)
3
1
x
x
1
2
2
dx dy
y
x
b)
D
2
dxdy ) x y (
c)
D
xydxdy, trong đó D giới hạn bởi
1) x - y + 4 = 0 và x2 = 2y 2) xy = 1, x + y = 5/2 3) x = 0, y = 0, x + y = 1
d)
D
dxdy
)
y
x
1) x + y = 4, y = (x - 2)2 2) y = 0, y = (x+1)2, x = sinπy
3) tam giác O(0,0), A (1,1), B(2,0) 4) y2 = 2x, x + y = 4, x + y = 12
e)
D
dxdy ) y
x
1
1) x + y = 0, x = y, y = 2 2) 1 ≤ x2
+ y2 ≤ 2x
Trang 2BT Toán II CLC
f)
D
dxdy
)
y
x
1) y = x, y = 2x, y = x2, y = 3x2 2) Tam giác A(1,1), B(4,1), C(4,4)
3) y = x + 1, y = x - 1, y = 2, y = 3 4) y = x + 1, x = y2, y = ± 1
g)
D
xdxdy, trong đó D giới hạn bởi
1) x + y = 2, x2 + (y-1)2 = 1, (y ≥ 1) 2) y = 3x2, y = 6 - x
D
dxdy ) y
x
sin( , D giới hạn bởi y = 0, y = x, x + y = π/2
4 Trong tích phân hai lớp I =
D
dxdy ) y , x ( , chuyển sang toạ độ cực và xác định các cận, trong đó D
là miền
a) 8x ≥ x2
+ y2 ≥ 4x, y ≥ x, y ≤ 3 x b)
2 2
a
x
+
2 2
b
y
≤ 1, y ≥ 0 c) x2 + y2 ≤ ax
d) 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 – x e) a2
≤ x2 + y2 ≤ b2 f) -a ≤ x ≤ a,
a
x2
≤ y ≤ a
5 Đổi các tích phân sau sang hệ toạ độ cực với các thứ tự lấy tích phân khác nhau
a) 1
0
1
0
dy ) y
,
x
(
1
0
x 1
x 1
2
dy ) y , x (
0
x
0
2
dy ) y , x ( dx
0
2
x
x
2
x
(
D
dxdy ) y , x ( , D giới hạn bởi (x2 + y2)2 = a2(x2 - y2)
6 Đổi thứ tự trong các tích phân sau
2
2
cos
a
0
dr ) , r
f
2
0
2 sin a
0
dr ) , r f
0
a
r
dr ) , r f d
7 Tính các tích phân sau
0
x
R
0
2 2
2
2
dy ) y x 1 ln(
R
0
x Rx
x Rx
2 2
2
2
dy y x Rx
c)
D
xydxdy, với D giới hạn bởi
1) (x - 2)2 + y2 ≤ 1 2) (x - 2)2 + y2 ≤ 1, y ≥ 0
3) 2y ≤ x2 + y2 ≤ 4, x ≥ 0 4) x2 + y2 + 3 ≤ 4x
d)
D
2
dxdy
xy , với D là miền giới hạn bởi x2
+ (y - 1)2 = 1 và x2 + y2 - 4y = 0
Trang 3BT Toán II CLC
D
2 2
2
) y
x
(
dxdy
, D = {(x,y) : 4y ≤ x2 + y2 ≤ 8y, x ≤ y ≤ 3x}
f)
D
2 2
2 2
dxdy y x
1
y x
1
, D : x2 + y2 ≤ 1 g)
D
2
y x
xy
, D:
0 y , 0 x
y 3 2 y x
x 2 y x
12 y x
2 2
2 2
2 2
D
dxdy
1
x
y
, D: 1 ≤ x2
+ y2 ≤ 2x h)
D
2 2
y x
xydxdy
, D là tam giác O(0,0), A(3,3), B(3,0)
dxdy
, D:
y x
y 2 y
x2 2
D
2 2 2
1 y x
dxdy ) y x (
, D : x2 + y2 ≤ 1
D
2 2 2
2
dxdy y x sin ) y
x
≤ x2 +y2 ≤ 4π2
l)
D
2
2
dxdy )
y
x
1) x + y = 0, y = 1, y = 2, y = x 2) 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1
3) 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x2 4) x2 + y2 ≤ 2x 5) x4 + y4 ≤ 1
5) phần của nửa hình tròn {(x,y) : x2 + y2 ≤ y, x ≥ 0}, nằm ngoài hình tròn {(x,y) : x2 + y2 ≤ x}
dxdy
; D là miền giới hạn bởi đường x2 + y2 = a2 (x ≥ 0, y ≥ 0)
8 Chuyển tích phân sau theo hai biến u và v
1
0
x
x
dy
)
y
,
x
(
y x v
y x u
, áp dụng tính với f(x,y) = (2 - x - y)2
9 Tính các tích phân sau
a)
D
xydxdy, trong đó D là miền giới hạn bởi xy = 1, xy = 3, y2
= 2x, y2 = 4x
b)
D
dxdy
)
y
x
1) x2 + y2 = 2(x + y) 2) x2 + y2 = x + y
3) 2x + y - 3 = 0, 2x + y + 2 = 0, 3x - y + 1 = 0, 3x - y - 2 = 0
D
2 2
dxdy ) y x 3
x
d)
D
y
x
y
x
dxdy
e , D là miền giới hạn bởi các đường x = 0, y = 0, x + y = 1
Trang 4BT Toán II CLC
e)
D
ydxdy, D giới hạn bởi y = 0 và đường
) t cos 1 ( a y
) t sin t ( a x
, 0 ≤ t ≤ 2π, a > 0
D
3 / 2 3
/
2
dxdy ) y
x
+ y2/3 = a2/3 (a > 0)
10 Tính các tích phân sau
D
, D: {(x,y) : |x| ≤ 1, |y| ≤ 1} b)
D
2
dxdy
| x y
D
2 2
dxdy
| y 4
x
9
9
y 4
D
2
dxdy ) yx 3 y x
x 4 y x
x 4 xy 1
e)
D
dxdy
x
1
| y
| x
|
dxdy
|) y
|
| x (|
D
dxdy
| ) y x
cos(
D
2 2
dxdy
| y x
x
2
1
| y
| x
|
dxdy ) y x
| y
|
| x
| y | 1 x
|
dxdy
| xy
|
11 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a) y = 2x, y = 2-x, y = 4 b) y2 = x, y2 = 2x, x2 = y, x2 = 2y
c) y = 0, y2 = 4ax, x + y = 3a, y ≤ 0 (a > 0) d) y2 = 4ax, x + y = 3a và y = 0
e) x = 4y - y2, x + y = 6 g) x + y = 2, y2 = 4x + 4, y ≥ 0 h) y2 + 2y - 3x + 1 = 0, 3x - 3y - 7 = 0 i) y = 2x, y = 2 - x, y = 4 j) (x2 + y2)2 = 2ax3 (a > 0) k) (y - x)2 + x2 = 1
l) xy = 1, xy = 8, y2 = x, y2 = 8x m) y2 = x, y2 = 16x, y2 = x3, 16y2 = x3
12 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a) x2 + y2 = 2x, x2 + y2 = 4x, x = y, y = 0
b) phần chung hai hình tròn xác định bởi r = 1, r =
3
2
cosφ c) (x2 + y2)2 = 2a2xy d) x3 + y3 = axy (a > 0) e) r = a(1 + cosφ) (a > 0)
13 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a) (x - 2y + 3)2 + (3x - 4y - 1)2 = 100 b) 2
2
a
x
+ 2
2
b
y
=
h
x
+
k y
c) 4
a
x
+ 4
b
y
= 1, x = 0, y = d) x2 = ay, x2 = by, x3 = cy2, x3 - dy2 (0 < a < b, 0 < c < d)
14 Tính thể tích của vật giới hạn bởi
a) 3x + y ≥ 1, 3x + 2y ≤ 2, y ≥ 0, 0 ≤ z ≤ 1 - x – y
b) y = x, y = 2 x , x + z = 6, z = 0 c) z = y2, x2 + y2 = 1, z = 0
Trang 5BT Toán II CLC
d) 3x + y = 1, 3x + 2y = 2, y = 0, z = 1 - x - y, z = 0
e) z = y2, x2 + y2 = 1, z = 0 f) x = 4 - y2, x = 2 + y2, z = -1, z = 2
g) z = x + y, y = x, y = 2x, z = 0, xy = 1, xy = 2
h) x2 + 4y2 + z = 1, z = 0
i) y = x2 + 1, z = 3x, y = 5, z = 0 (x,y,z ≥ 0)
j) x = 2y2, x + 2y + z = 4, y = 0, z = 0 k) z = xy, x + y + z = 1, z = 0
l) z = x + y, z = xy, x + y = 1, x = 0, y = 0
15 Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi
a) z = 4 - x2 - y2, 2z = 2 + x2 + y2 b) 0 ≤ z ≤ 1 - x2
- y2, y ≥ x, y ≤ 3x c) x2 + y2 + z2 ≤ 4a2, x2 + y2 - 2ay ≤ 0 (a > 0)
d) x2 + y2 = z, 2 - z = x2 y2 e) z = 4 - x2 - y2, 2z = 2 + x2 + y2
f) x2 + y2 = 4, 2z = x2 + y2, z = 0 g) 2z = x2 + y2, z = 6 - x2 - y2
h) z = 1 - x2 - y2, y = x, y = x 3, z = 0 i) 0 ≤ z ≤ x2
+ y2, x2 ≤ y ≤ 1 j) x2 + y2 = 2, z = 4 - x2 - y2, z = 0 k) z = 6 - (x2 + y2), z2 = x2 + y2 (z ≥ 0)
l) phần hình cầu x2 + y2 + z2 ≤ 1 nằm trong mặt trụ x2 + y2 = y
m) x = 0, y = 0, x = 4, y = 4, z = x2 + y2 + 1
16 Tính thể tích vật thể giới hạn bởi
a) z = 6 - x2 - y2, z = x2 y2 b) z = x2 y2 , z = x2 + y2
c) x2 + y2 = az, z = 2a - x2 y2 (a > 0) d) x =
2
y
x2 2
, x2 + y2 + z2 = 4 e) x2 + y2 + z2 = 2az, x2 + y2 ≤ z2 (a > 0) f) z2 = xy, x2 + y2 = a2
g) z = x + y, (x2 + y2)2 = 2xy, z = 0 h) x2 + y2 + z2 = a2, x2 + y2 ≥ a|x|
i) z = x2 + y2, x2 + y2 = x, x2 + y2 = 2x, z = 0
17 Tính thể tích vật thể giới hạn bởi
2 2 2
b
y a
2
a
x
+ 2
2
b
y
=
a
x
(a,b > 0) b) 2
2
a
x
+ 2
2
b
y
+ 2
2
c
z
= 1, 2
2
a
x
+ 2
2
b
y
= 2
2
c
z
(z ≥ 0) c) x2 + z2 = a2, |x + y| = a, |x - y| = a (a > 0) d) z = x2 + y2, xy = a2, xy = 2a2, y = x/2, y = 2x, z = 0
2 2
c
z b
y
a
x
n
a
x
+ n
n
b
y
+ n
n
c
z
(n > 0, x,y,z ≥ 0)
18 Tính diện tích
a) Phần mặt nón z2 = x2 + y2, z ≥ 0 nằm trong mặt trụ x2
+ y2 = 2x b) Phần mặt paraboloid z = x2 + y2 nằm trong hình trụ x2 + y2 = 1
Trang 6BT Toán II CLC
c) Phần mặt cầu x2 + y2 + z2 = 4 nằm trong mặt trụ x2 + y2 = ay
d) Phần mặt nón z2 = x2 + y2 bị chắn bởi mặt y2 = z
e) Phần mặt nón z = x2 y2 , nằm trong mặt trụ (x2 + y2)2 = a2(x2 - y2)
f) Phần mặt z = xy bị chắn bởi x2 + y2 = 4
g) Phần mặt z = 1 - x2 - y2 nằm trong x2 + y2 = 1
h) Phần mặt trụ z = x2 giới hạn bởi x + y = 2, x = 0, y = 0
i) Phần mặt trụ x2 = 2z giới hạn bởi x - 2y = 0, y = 2x, x = 2 2
j) Phần mặt trụ x2 + z2 = 4 nằm trong x2 + y2 = 4
k) Phần mặt y = x2 + z2 nằm trong mặt trụ x2 + z2 = 1
l) Phần mặt cầu x2 + y2 + z2 = a2 nằm trong mặt trụ x2 + y2 = ay (a > 0)
l) Phần mặt cầu x2 + y2 + z2 = 4 nằm trong mặt trụ x2/4 + y2 = 1
m) Phần mặt az = xy nằm trong mặt trụ x2 + y2 = a2
n) Phần mặt z2 = 2xy giới hạn bởi x = 1, y = 4
o) Phần mặt x2 + y2 + z2 = a2 nằm trong
2 2
a
x
+
2 2
b
y
= 1 (b ≤ a) p) Phần mặt x2 + y2 + z2 = a2, nằm phía ngoài các hình trụ x2
+ y2 = ±ax
19 Tính tích phân
a)
V
zdxdydz, trong đó V là miền giới hạn bởi 1) 0 ≤ x ≤ ¼, x ≤ y ≤ 2x, 0 ≤ z ≤ 1x2 y2 2) x + y = 1, x2 + y2 + z2 = 1 (x,y,z ≥ 0) 3) x + y + z ≤ 1 (x,y,z ≥ 0)
V
dxdydz )
z y x
1
c)
V
dxdydz
z
xy , V giới hạn bởi z = 0, z = y, y = x2, y = 2
V
dxdydz )
z x
cos(
V
2
2 y ) dxdydz
x
( , V là khối tứ diện A(a,b,0), B(a,-b,0), C(0,0,c), D(0,0,-c) (a,b,c > 0)
f) ( x y z ) dxdydz
V
, V giới hạn bởi z = 0, z = a, x = 0, y = 0, x + y = b (a,b > 0)
g)
V
2
dxdydz
x , V giới hạn bởi z = ay2, z = by2, y > 0, z = αx, z = βx, z = h (0 < a < b, 0 < α < β, h > 0)
Trang 7BT Toán II CLC
20 Tính các tích phân
V
2 2
zdxdydz )
y
x
1) x2 + y2 ≤ 1, 1 ≤ z ≤ 2 2) x2 + y2 = 2z, z = 2
b)
V
2 2
dxdydz z
2
y
x
, V giới hạn bởi x2 + y2 = 2 - z, x2 + y2 = z2
V
2
dxdydz ]
z )
y
x
[( , V giới hạn bởi z = 0, (z - 1)2 = x2 + y2
V
2 2
zdxdydz y
x , V giới hạn bởi x2 + y2 = z, z = 1
V
2 2
y x
1
zdxdydz
, V: x2 + y2 ≤ a2, 0 ≤ z ≤ h
V
3
dxdydz )
z y
x
( , V giới hạn bởi x2 + z2 = 1, y = 0, y = 1
f)
V
2
dxdydz
z , V: x2 + y2 ≤ R2, 0 ≤ z ≤ h g)
V
2 2
dxdydz y
x
21 Tính các tích phân
V
2 2
dxdydz )
y
x
( , V: x2 + y2 + z2 ≤ 1, x2 + y2 - z2 ≤ 0
V
2 2 2
dxdydz )
z y
x
1) 1 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 4, x2 + y2 ≤ z2 2) x2 + y2 + z2 ≤ x + y + z
V
2 2
dxdydz y
x , V giới hạn bởi x2 + y2 = z2, z = 1
V
2 2 2
dxdydz z
y
1) x2 + y2 + z2 ≤ z 2) x2 + y2 + z2 ≤ a2
e)
V
2dxdydz
z , V giới hạn bởi z = 2x2 y2 , z = x2 y2
f)
V
xzdxdydz, V: x2 + y2 + z2 ≤ a2, z ≥ 0 g)
V
2
dxdydz )
z y x
+ y2, x2 + y2 + z2 ≤ 3
h)
V
2
dxdydz
x , V: x2 + y2 + z2 ≤ a2 i)
dxdydz
, V: 0 < b2 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ a2
j)
V
zdxdydz, x2 + y2 ≤ z2, x2 + y2 + z2 ≤ a2, z ≥ 0
Trang 8BT Toán II CLC
22 Tính các tích phân
V
2 2
dxdydz y
x
1) Miền giới hạn bởi các mặt x2 + y2 = 2x, z = 0, z = a
2) Nửa hình cầu x2 + y2 + z2 ≤ a2, z ≥ 0 (a > 0)
3) Nửa khối elipsoid
2
2 2
a
y
x
+
2 2
b
z
≤ 1, z ≥ 0 (a, b > 0)
b)
V
ydxdydz, V giới hạn bởi y = x2 z2 , và y = h (h > 0)
V
2
2 2
2 2
2
dxdydz c
z b
y
a
x
, V: 2
2
a
x
+ 2
2
b
y
+ 2
2
c
z
≤ 1 (a, b, c > 0)
dxdydz
, V: x2 + y2 ≤ 1, |z| ≤ 1 e)
V
zdxdydz, V: 2
2
a
x
+ 2
2
b
y
+ 2
2
c
z
≤ 1, z ≥ 0
V
3 2 2
dxdydz )
z x
y
23 Tính thể tích vật thể giới hạn bởi
a) 0 ≤ 22 22 22
c
z b
y
a
x ≤ 1, -h ≤ z ≤ h b) (x2 + y2 + z2)2 = a2(x2 + y2 - z2)
c) x + y + z = ±3, x + 2y - z = ±1, x + 4y + z = ±2
d) (x2 + y2 + z2)2 = xyz e)
2 2
2 2
2 2 2
c
z b
y a
x
h
x
f) 2
2
a
x
+ 2
2
b
y
+ 4
4
c
z
= 1
g)
2 2
2 2
2
2
2
c
z b
y
a
x
2
a
x
+ 2
2
b
y
h)
2 2
2 2
2 2 2
c
z b
y a
x
2
a
x
+ 2
2
b
y
- 2
2
c z
i) x2 + y2 + z2 = a2, x2 + y2 + z2 = b2, x2 + y2 = z2 (z ≥ 0, 0 < a < b)
j) 2
2
a
x
+ 2
2
b
y
+ 2
2
c
z
= 1, 2
2
a
x
+ 2
2
b
y
=
c
z
k)
2 2
2 2 2
b
y a
x
4
c z
= 1