Ví dụ và bài tập tích phân kép (2)

CHƯƠNG II: TÍCH PHÂN BỘI §0: MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP §1: TÍCH PHÂN KÉP I Định nghĩa Cách tính II Đổi biến tích phân kép III Ứng dụng tích phân kép §2: TÍCH PHÂN BỘI BA I Định nghĩa Cách tính II Đổi biến tích phân bội ba III Ứng dụng tích phân bội ba ` §0 Một số mặt bậc hai thường gặp I Mặt Ellipsoid: x y z2 + + =1 a b c Phương trình: Cách gọi tên mặt: Với phương trình trên, ta cho x = 0, y = 0, z = ta nhận giao tuyến mặt với mặt tọa độ đường Ellipse Nếu giao tuyến mặt cong S với mặt tọa độ mặt song song với mặt tọa độ ellipse ta gọi mặt S mặt Ellipsoid Cách vẽ hình Vẽ giao tuyến S với mặt tọa độ §0 Một số mặt bậc hai thường gặp Vẽ đường ellipse x2 a + y2 = mặt phẳng nằm b ngang z = §0 Một số mặt bậc hai thường gặp Vẽ thêm đường ellipse y2 b2 + z2 mặt phẳng = x=0 c2 §0 Một số mặt bậc hai thường gặp Vẽ mặt ellipsoid x2 a + y2 b + z2 c =1 Trong MatLab, để vẽ ellipsoid trên, ta dùng lệnh ellipsoid(a,b,c) §0 Một số mặt bậc hai thường gặp x2+z2=1, y=0 y2+z2=1,x=0 Có thể vẽ thêm đường ellipse mặt phẳng y = x2 a + z2 c x2+y2=1,z=0 =1 §0 Một số mặt bậc hai thường gặp II Mặt Paraboloid Elliptic: x y2 + =z Phương trình : a b Cách gọi tên mặt: Với phương trình trên, ta cho x = 0, y = giao tuyến với mặt tọa độ đường Parabol cho z=c, c>0 ta đường lại đường Ellipse Nếu giao tuyến với mặt tọa độ mặt song song với mặt tọa độ Parabol, giao tuyến lại Ellipse ta gọi mặt S Paraboloid Elliptic §0 MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP Vẽ hình Vẽ đường parabol y2 = z mặt phẳng x = §0 MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP Vẽ đường ellipse x2+y2 = mặt phẳng z = §0 MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP Vẽ mặt parabolid x2+y2 = z §1: Tích phân kép – Ứng dụng x= −y  ′  xy = 2 − y − z 2 ⇒ 1− y − z  −z  x′ = 2  z − y − z  2 ⇒ + x y′ + xz′ = Vậy S = 2∫∫ D 1− y − z 1− y − z π 1 1− r dydz = ∫ dϕ ∫ r π dr §1: Tích phân kép – Ứng dụng Ví dụ 12: Tính diện tích phần mặt trụ S: x2+y2=4 nằm phía mặt trụ R: x2+z2 = Ta chiếu phần mặt S xuống mặt phẳng y = hình trụ R song song với trục Oy, hình tròn x2+z2=4 (R) x + z2 ≤ Do tính đối xứng qua mặt tọa độ mặt trụ nên ta tính diện tích phần tám mặt S, nằm góc x≥0, y ≥0, z ≥0 x2+y2=4 (S) §1: Tích phân kép – Ứng dụng Khi đó, ta tính y = f(x,z) từ phương trình mặt S y = − x2 −x  ′ 2 y = ′ ′ ⇒ 1+ y x + yz =  x ⇒ 4−x − x2 y ′ =  z Vậy, diện tích cần tính V = ∫∫ D 4−x = 16 ∫ 4−x 4− x 0 dxdy = ∫ dx ∫ 2 ( z )0 4− x 2 − x2 dz dx = 16 ∫ dx = 32 §1: Tích phân kép – Ứng dụng Ví dụ 12: Tính diện tích phần mặt nón z2 = x2+y2 bị cắt mặt x - y = 1, x + y = 1, x – y = -1, x + y = -1 mặt phẳng x-y = 1, x+y = 1, x-y = -1, x+y = -1 song song với trục Oz, tạo khơng gian hình trụ kín có hình chiếu xuống mặt Oxy hình vng ABCD Mặt nón nhận mặt phẳng Oxy mặt đối xứng nên phần nón nằm trụ kín nhận Oxy mặt đối xứng, ta tính diện tích phía mp Oxy nhân đơi B C A D §1: Tích phân kép – Ứng dụng z = x2 + y x  ′  zx = 2 x + y  ⇒ y  z′ = 2  y x + y  ⇒ + z′x + zy′ = Khi đó, hàm dấu tích phân số nên tích phân cần tính diện tích miền lấy tích phân nhân với số Vậy S = 2.2 √2 §1: Tích phân kép – Ứng dụng y+x=-1 z2=x2+y2, z≥0 -y+x=1 y+x=1 y-x=1 §1: Tích phân kép – Ứng dụng Ví dụ 13 : Cho vật thể Ω giới hạn y=x2, x=y2, z=0, z=y2 Tính Diện tích phần mặt phẳng z=0 nằm Ω Thể tích Ω Diện tích phần mặt trụ z = y2 nằm Ω Trong mặt tạo thành Ω, có mặt song song với trục Oz y=x2 x=y2 Từ ta hình chiếu Ω xuống mặt z = miền D D §1: Tích phân kép – Ứng dụng Diện tích miền D x S(D ) = òò dxdy = ò dx ò dy D x2 Thể tích Ω : Hiển nhiên y2 ≥ nên f(x,y)=y2 x V (W) = òò f ( x, y )dxdy = ò dx ò y 2dy D x2 Diện tích mặt cong có phương trình z=y2 ìï zx¢= ïí ị ùùợ zyÂ= 2y 1+ zxÂ2 + zyÂ2 = 1+ y §1: Tích phân kép – Ứng dụng Vậy diện tích mặt cong cần tính x S = ò dx ò 1+ y dy x2 z=y2 y=x2 x=y2 §1: Tích phân kép – Ứng dụng z2=x2+y2 y=x2 x=y2 §1: Tích phân kép – Ứng dụng Ví dụ : Tính diện tích miền nằm ngồi đường r = 2cosφ phía đường r = 2(1+cosφ) D2 π S (D ) = ∫ d ϕ −π 2(1+ cos ϕ ) ∫ 2cos ϕ D1 3π rdr + ∫ dϕ π 2(1+ cos ϕ ) ∫ rdr §1: Tích phân kép – Ứng dụng Ứng dụng học Mảnh phẳng D mặt phẳng Oxy có khối lượng riêng điểm (x,y) f(x,y) a Khối lượng mảnh phẳng M = ∫∫ f ( x, y )dxdy D b Moment quán tính mảnh phẳng Với trục Ox I x = ∫∫ y 2f ( x, y )dxdy Với trục Oy I y = ∫∫ x 2f ( x, y )dxdy Với gốc tọa độ O IO = ∫∫ ( x + y )f ( x, y )dxdy Với đt L, r(x,y) khỏang cách từ điểm (x,y) đến L IL = ∫∫ r ( x, y )f ( x, y )dxdy D D D D §1: Tích phân kép – Ứng dụng c Moment tĩnh mảnh phẳng Với trục Ox M x = ∫∫ yf ( x, y )dxdy Với trục Oy M y = ∫∫ xf ( x, y )dxdy D D d Trọng tâm (x0,y0) mảnh phẳng x0 = My M = ∫∫ xf ( x, y )dxdy D ∫∫ f ( x, y )dxdy D ∫∫ yf ( x, y )dxdy Mx D y0 = = M ∫∫ f ( x, y )dxdy D §1: Tích phân kép – Ứng dụng Ví dụ: Cho mảnh phẳng D giới hạn y=x2, y=2-x khối luợng riêng f(x,y)=2x-y Tính khối lượng, moment quán tính, moment tĩnh trọng tâm Ta có : x2 = 2-x ¬ → x2+x-2=0 ¬ → x=1, x=-2 Suy D giới hạn bởi: ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ − x Vậy: 2− x 63 M = ∫ dx ∫ (2 x − y )dy = Khối lượng D −2 10 x2 Moment tĩnh 2− x −2 x2 M x = ∫ dx ∫ y (2 x − y )dy 2− x −2 x2 M y = ∫ dx ∫ x (2 x − y )dy §1: Tích phân kép – Ứng dụng Trọng tâm (x0,y0) : Moment quán tính : My Mx x0 = , y0 = M M 2− x −2 x2 2− x −2 x2 I x = ∫ dx ∫ y (2 x − y )dy I y = ∫ dx ∫ x (2 x − y )dy ... đó, vật thể ban đầu tích xấp xỉ với tổng thể tích hình hộp chữ nhật nhỏ xếp liên tiếp §1: Tích phân kép – Định nghĩa cách tính Định nghĩa tích phân kép : Cho hàm f(x,y) xác định miền đóng, bị... S gọi tích phân kép hàm f(x,y) miền D kí hiệu ∫∫ f ( x, y )ds D n ∑ f ( xk , y k )∆Sk Tức ∫∫ f ( x, y )ds = max( dlim ( D ))→0 D k k =1 Hàm f(x,y) gọi hàm dấu tích phân, D miền lấy tích phân, ... D §1: Tích phân kép – Định nghĩa cách tính M(xi,yj) Dij yj xi Chia miền D thành n phần tùy ý Dij đường thẳng song song với trục Ox, Oy Tại miền Dij lấy điểm M(xi,yj) tùy ý §1: Tích phân kép –