Ví dụ và bài tập tích phân kép (2)

MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP Mặt trụ song song với trục nào thì phương trình mặt sẽ thiếu biến đó, còn phương trình bậc 2 chứa 2 biến còn lại là phương trình đường chuẩn của mặt trụ tro

CHƯƠNG II: TÍCH PHÂN BỘI

§0: MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP

§1: TÍCH PHÂN KÉP

I Định nghĩa và Cách tính

II Đổi biến trong tích phân kép

III Ứng dụng của tích phân kép

§2: TÍCH PHÂN BỘI BA

I Định nghĩa và Cách tính

II Đổi biến trong tích phân bội ba

III Ứng dụng của tích phân bội ba `

Vẽ 3 giao tuyến của S với 3 mặt tọa độ

Nếu cả 3 giao tuyến của 1 mặt cong S với 3 mặt tọa

độ hoặc các mặt song song với các mặt tọa độ đều

là ellipse thì ta sẽ gọi mặt S là mặt Ellipsoid

§0 MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP

Vẽ đường parabol y 2 = z trên mặt phẳng x = 0

3 Vẽ hình

§0 MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP

Vẽ đường ellipse x 2 +y 2 = 1 trên mặt phẳng z = 1

§0 MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP

Vẽ mặt parabolid x 2 +y 2 = z

Thông thường, ta sẽ chỉ gặp các mặt trụ có đường

sinh song song với 1 trong 3 trục tọa độ

§0 MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP

Mặt trụ song song với trục nào thì phương trình mặt

sẽ thiếu biến đó, còn phương trình bậc 2 chứa 2 biến còn lại là phương trình đường chuẩn của mặt trụ

trong mặt tọa độ tương ứng và ta gọi tên mặt trụ theo tên của đường chuẩn

song song với Oz

và tựa lên đường

tròn trên

Ví dụ: Mặt x 2 +y 2 = 1

Phương trình không chứa z nên nó biểu diễn mặt trụ

đường sinh song song với trục Oz, đường chuẩn là đường tròn x2+y2=1 trong mặt phẳng z = 0 và ta gọi

đây là mặt trụ tròn xoay theo tên của đường chuẩn

§0 MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP

Trong MatLab, để vẽ trụ tròn xoay có thể dùng lệnh

cylinder

sinh song song với trục

Oy, tựa lên đường

chuẩn là parabol z=x 2

ở trên

§0 MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP

IV Mặt nón bậc 2 :

Mặt nón bậc 2 là mặt tạo bởi các đường thẳng đi qua

1 điểm cố định và tựa lên 1 đường cong cố định Các đường thẳng đó gọi là các đường sinh của mặt nón, đường cong cố định gọi là đường chuẩn của mặt nón

và điểm cố định gọi là đỉnh của nón

Ví dụ: Mặt nón x 2 +y 2 =z 2

đường thẳng cùng đi qua gốc tọa độ O, cắt ngang bởi mặt z = c và z = -c , c tùy ý, ta được giao tuyến là 2 đường tròn tâm tại (0,0,c) và (0,0,-c) bán kính bằng c

§0 MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP

0 1 2

-2 -1.5 -1

-0.5 0

0.5 1

1.5 2

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

§0 MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP

Vẽ mặt

0 1 2 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Truc Ox Truc Oy

1 2 trong 3 giao tuyến là 2 cặp đt, giao tuyến thứ 3

là ellipse nên ta có mặt nón ellipse

2 2 trong 3 giao tuyến là 2 parabol, giao tuyến thứ

3 là ellipse nên ta có mặt Paraboloid elliptic

3 Đặt x=u+v, y=u-v thì ta được pt

u2-v2=z2 <==> u2=v2+z2 là pt của mặt nón

§1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính

Bài toán đặt ra: Cho trong không gian 3 chiều một hình trụ cong giới hạn trên bởi mặt cong S có

phương trình z = f(x,y)≥0, giới hạn xung quanh bởi

mặt trụ với đường sinh song song với trục Oz và

§1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính

Chia miền D thành n phần tùy ý Dij bởi các đường thẳng song song với 2 trục Ox, Oy Tại mỗi miền Dijlấy 1 điểm M(xi,yj) tùy ý

Dij

yj

xiM(xi,yj)

§1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính

Thể tích các hình hộp nhỏ với đáy dưới là Dij, trên là

phần mặt z=f(x,y) sẽ được tính xấp xỉ với hình hộp

chữ nhật đáy là Dij, chiều cao là f(xi,yj)

Dij

§1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính

Khi đó, vật thể ban đầu có thể tích xấp xỉ với tổng thể tích các hình hộp chữ nhật nhỏ xếp liên tiếp nhau

Chia miền D thành n phần không dẫm lên nhau là D1,

D2, D3, …(các phần không có phần chung) tương ứng

có diện tích là ΔS1, ΔS2, ΔS3, …

Trên mỗi miền Dk ta lấy 1 điểm Mk(xk,yk) tùy ý

Lập tổng (gọi là tổng tích phân kép của hàm f(x,y))

Hiển nhiên tổng trên phụ thuộc vào cách chia

miền D và cách lấy điểm Mk

Định nghĩa tích phân kép : Cho hàm f(x,y) xác định

trong miền đóng, bị chặn D

§1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính

Cho n→∞ sao cho max{d(D)} →0 (d(D) là kí hiệu

đường kính của miền D tức là khoảng cách lớn nhất giữa 2 điểm bất kỳ thuộc D)

Nếu khi ấy tổng Sn tiến đến giới hạn hữu hạn S

không phụ thuộc vào cách chia miền D cũng như

cách lấy điểm Mk thì giới hạn S được gọi là tích

phân kép của hàm f(x,y) trên miền D và kí hiệu là

Df x y ds

Hàm f(x,y) được gọi là hàm dưới dấu tích phân, D là

miền lấy tích phân, ds là yếu tố diện tích Khi ấy, ta nói hàm f(x,y) khả tích trên miền D

 

Tức là

Chú ý : Nếu f(x,y) khả tích trên D thì ta có thể chia D bởi các đường thẳng song song với các trục tọa độ Lúc đó Dij sẽ là hình chữ nhật với các cạnh là Δxi, Δyjnên ΔSij = Δxi Δyj và ds được thay bởi dxdy Vì

vậy, ta thường dùng kí hiệu

Điều kiện khả tích :

Định nghĩa đường cong trơn : Đường cong C có phương trình tham số y = y(t), x = x(t) được gọi là trơn nếu các đạo hàm x’(t), y’(t) liên tục và không đồng thời bằng 0 Đường cong C được gọi là trơn từng khúc nếu có thể chia nó

thành hữu hạn các cung trơn.

Định lý: Hàm liên tục trên 1 miền đóng, bị chặn và có

biên trơn từng khúc thì khả tích trên miền đó

Định lý: (Về giá trị trung bình )

Ý nghĩa hình học của tích phân kép :

Với cách tính thể tích hình trụ cong ở trên ta có

( , )

D

V f x y dxdy

Đại lượng được gọi là

giá trị trung bình của hàm f(x,y) trên miền D

1

( , )( ) D f x y dxdy

S D

Cho hàm f(x,y) liên tục trong miền đóng, bị chặn, liên

thông D Khi ấy trong D có ít nhất 1 điểm (x0,y0) sao cho

Ví dụ : Cho vật thể được giới hạn trên bởi mặt bậc hai f(x,y) = 16 – x 2 – 2y 2, giới hạn

dưới bởi hình vuông D = [0,2]x[0,2] và giới

hạn xung quanh bởi 4 mặt phẳng x=0, x=2, y=0, y=2 Ước lượng thể tích của vật thể trong các trường hợp sau :

§1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính

b Chia thành 16 phần, V≈ 41,5

§1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính

c Chia thành 64 phần, V≈44,875

§1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính

d Chia thành 256 phần, V≈46,46875

Định lý Fubini: (Cách tính tích phân kép) Cho hàm

f(x,y) liên tục trên miền đóng và bị chặn D

y (x)

y (x)

b a

D

I= f(x,y)dxdy= dx    f(x,y)dy

y=y 1 (x) y=y 2 (x)

Ta đi tích phân này bằng 2 cách

Cách 1 : Chiếu miền D xuống trục

Ox ta được đoạn [1,4]

Đi theo trục Oy từ dưới lên

4 2

1 ( 4)3

4 1

y= 1 / 3 (x-4)

y=4-x

4

2 1

4

Đi theo trục Ox từ trái

sang thì không giống

2 2 2 1

2 2

(2 ) ((2 ) )

y y

§1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính

Ta còn có thể xác định cận của tích phân trên mà

Tìm giao điểm của 2 đường biên của miền D:

Vậy ta có -2 ≤ x ≤ 1, tức là ta lấy trong khoảng 2 nghiệm của tam thức f(x) = x 2 +x-2 nên ta có bất đẳng thức:

x2+x-2 ≤ 0 x ≤ 2-x 2

Tức là, với x nằm trong khoảng (-2,1) thì đường

thẳng y=x nằm dưới đường parabol y = 2-x 2 Vậy ta





x x

I dx x y dy

Ta còn có thể tính tích phân này bằng cách tính tích phân trên hình vuông lớn trừ tích phân trên hình vuông nhỏ

4 1

11 15

Nếu chỉ nhìn vào miền lấy tích

phân này thì ta chiếu D xuống

trục nào cũng như nhau

Tuy nhiên, hàm dưới dấu tích

phân sẽ buộc ta phải chiếu D

Chiếu miền D vừa vẽ xuống

cos sin

Khi đó, mối liên hệ giữa x, y và r, φ là

§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực

ïï

Û í

ï =ïïî

Ví dụ: Đổi các phương trình sau sang tọa độ cực

Đổi sang tọa độ cực mở rộng bằng cách đặt :

Thì ta được pt r = 1

§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực

1 (x-a) 2 + y 2 = a 2 ↔ x 2 + y 2 = 2ax ↔ r = 2acosφ

r

j

=

↔

Công thức đổi biến sang tọa độ cực

r r

§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực

Để xác định cận của tích

phân theo φ, ta quét từ dưới

lên theo ngược chiều kim

đồng hồ bởi các tia màu đỏ

phân theo r, ta sẽ đi theo 1 tia

màu vàng từ trong gốc tọa độ ra, gặp đường nào trước thì pt đường đó (trong tọa độ cực) là cận dưới, đường nào trước thì pt đường đó là cận trên

§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực

2cos 2

Nếu chỉ gặp 1 đường như trong ví dụ này thì cận

dưới ta sẽ lấy là 0, cận trên là pt đường tròn sau khi

đổ sang tọa độ cực: r = 2cosφ

Vậy :

0 3

§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực

Đi từ trong gốc tọa độ ra chỉ

§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực

Trong đó D giới hạn bởi

Trong đó D giới hạn bởi :

§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực

2cos 3

-1

Ta đi tích phân này bằng

cách dời trục tọa độ để tâm

hình tròn là (0,0), sau đó mới

đổi sang tọa độ cực

Thực hiện 2 việc trên bằng 1

phép đổi biến sang tọa độ

Khi đó, miền D giới hạn bởi 0

2 Thể tích vật thể Ω giới hạn trên bởi mặt

giới hạn dưới bởi mặt S z f x y2 :  2( , )

và giới hạn xung quanh bởi mặt trụ song song với trục

Oz có đường chuẩn là biên miền D được tính bởi:

Ví dụ 1: Tính diện tích miền phẳng D giới hạn bởi

Tức là chiếu miền D xuống trục Oy được đoạn [-2,3]

Khi -2 ≤ y ≤ 3, suy ngược lại phương trình (1)

ta sẽ được y 2 + 2y + 1 ≤ 3y + 7

2

1 (3 7)

§1: Tích phân kép – Ứng dụng

Ví dụ 2: Tính diện tích phần mặt phẳng nằm ngoài đường tròn r = 1 và trong đường tròn 2 cos

Vậy :

2 cos3 6

1 6

( )

j p

18

=

Hình chiếu của giao tuyến là

đường tròn thì hình chiếu của

vật thể là hình tròn x2  y2  1

x2+y2=1, z=1

Với bất đẳng thức hình tròn, ta thay ngược lên phương trình (1) để được x2  y2  2  x2  y2

§1: Tích phân kép – Ứng dụng

Ví dụ 4: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi x 2 + y 2 = 4,

y 2 = 2z, z=0

§1: Tích phân kép – Ứng dụng

Trong 3 mặt tạo nên vật thể, có 1 hình trụ kín (đường

chuẩn là đường cong kín) x 2 +y 2 =4 song song với trục

tức là ta có miền lấy tích phân D: x2 + y2 ≤ 4

Ta sẽ tìm hình chiếu của V xuống mặt phẳng Oxy dựa trên các hình trụ có đường sinh song song với trục Oz

có trong phương trình V

Trong 4 mặt đã cho có 2

mặt trụ (phương trình

không chứa z) cùng song

song với Oz là y=1, y = x 2

§1: Tích phân kép – Ứng dụng

y=0

3/2x+y=4

3x+y=4z=1/2x2+1/4y2

Rõ ràng, trên hình vẽ ta có

ΔABC nằm phía dưới đường

thẳng a-x-y=0 tức là trong

miền D ta có bất đẳng thức

0 ≤ a-x-y Suy ra hàm dưới

dấu tích phân là f(x,y) = a-x-y

0

3

a y a

-§1: Tích phân kép – Ứng dụng

Ta xoay trục

Oy thẳng đứng,

ta sẽ thấy vật thể chính là hình chóp tứ giác, thể tích bằng 1/3 chiều cao nhân diện tích đáy

đường chuẩn là 2 đường

thẳng không đủ cho ta miền

§1: Tích phân kép – Ứng dụng

Cho z = 0 và thay vào phương trình Paraboloit ta

được x2+y2 =1, tức là giao tuyến của mặt Paraboloit với mặt tọa độ z = 0 là đường tròn 1 phần đường tròn đó sẽ “ĐẬY KÍN” phần còn mở giữa 2 đường thẳng trên

-Hai mặt trụ cùng song song với trục Ox là

§1: Tích phân kép – Ứng dụng

C Diện tích mặt cong : Diện tích phần mặt cong S có phương trình z = f(x,y) và có hình chiếu xuống mặt

phẳng Oxy là miền D được tính bởi

Như vậy, để tính thể tích vật thể hoặc tính diện tích 1 phần mặt cong thì trước tiên ta phải xác định được

hình chiếu D của vật thể hoặc phần mặt cong cần

Với vật thể cần tính thể tích, sau đó ta phải xác

định trong vật thể đó thì mặt nào giới hạn trên,

mặt nào giới hạn dưới vật thể

Ví dụ 10 : Tính diện tích phần mặt S : x2+y2+z2 = 4nằm phía trên mặt nón z  x2  y2

Để tính diện tích mặt cong S nhờ tích phân kép, ta phải xác định được hình chiếu D của mặt cong

xuống 1 trong 3 mặt tọa độ

Với ví dụ này, ta sẽ tìm hình chiếu của S xuống

Vì mặt S nằm phía trên mặt nón tức là z ≥ 0 nên ta lấy

x

y

x z

x y y

2 mặt phẳng đã cho đều song song với trục Ox (Pt

không chứa x) nên ta sẽ tìm hình chiếu của S xuống

mặt phẳng x = 0

Chiếu 2 mặt phẳng xuống mặt x = 0

ta được 2 đường thẳng cùng đi qua

gốc tọa độ tức là chưa có miền

Do đó, ta sẽ phải lấy thêm hình

chiếu của mặt cầu xuống mặt

phẳng x = 0 là hình tròn

z

yO

rồi nhân đôi

Ta viết lại phương trình mặt S theo y, z: x=f(y,z) và x ≥ 0

Miền D trên mp x=0 x2+y2+z2=2

z

y x

y z z

2 0

4

1 2

Ví dụ 12: Tính diện tích phần mặt trụ S: x2+y2=4 nằm phía trong mặt trụ R: x2+z2 = 4

x y

x y

4 0

16 dx 32

Khi đó, ta đi tính y = f(x,z) từ phương trình mặt S

§1: Tích phân kép – Ứng dụng

4 mặt phẳng x-y = 1, x+y = 1, x-y = -1, x+y = -1 cùng

song song với trục Oz, tạo trong không gian 1 hình trụ kín có hình chiếu xuống mặt Oxy là hình vuông ABCD

x y y z

1 z x z y 2

Vậy S = 2.2 √2

§1: Tích phân kép – Ứng dụng

-y+x=1 y+x=1

y-x=1y+x=-1

z2=x2+y2, z≥0

§1: Tích phân kép – Ứng dụng

z2=x2+y2

y=x2

x=y2

Ví dụ 2 : Tính diện tích miền nằm ngoài đường

r = 2cosφ và phía trong đường r = 2(1+cosφ)

D1D2

3 2(1 cos ) 2(1 cos )

b Moment quán tính của mảnh phẳng

Mảnh phẳng D trong mặt phẳng Oxy có khối lượng riêng tại điểm (x,y) là f(x,y)

y D

D

xf x y dxdy M

x D

D

yf x y dxdy M

§1: Tích phân kép – Ứng dụng

Ví dụ: Cho mảnh phẳng D giới hạn bởi y=x2, y=2-x

và khối luợng riêng f(x,y)=2x-y Tính khối lượng, các moment quán tính, moment tĩnh và trọng tâm

x x

x x

x y

x

 63 10

x x

x y

x