Chương 2 ĐỊNH LÝ BABUSKA BREZZI VÀ ỨNG DỤNG
2.1.1.Bài toán biến phân
Hầu hết nghiệm của phương trình đạo hàm riêng trong Vật lý và kỹ thuật đều sinh ra nhờ một nguyên lý biến phân. Thông thường, ta có một lớp hàm chấp nhận được và một phiếm hàm năng lượng liên kết với các hàm chấp nhận được đó. Ta tìm cách cực tiểu hóa năng lượng đổ xác định nghiệm của bài toán. Phương trình Eulcr tương ứng sc cho phương trình đạo hàm riêng. Trước hết ta sẽ thảo luận một số bài toán biến phân trừu tượng, tạo cơ sở cho việc nghiên cứu các bài toán biên clliptic.
Cho H là không gian Hilbert trên trường số thực. Ta biết rằng rất nhiều bài toán trong thực tế cũng như lý thuyết, sẽ dẫn đến bài toán quen thuộc: Cho A là toán tử tuyến tính từ H vào chính nó, với mỗi điềm y H tìm X H sao cho
Việc giải phương trình (2.1.1) không hề đơn giản và không phải lúc nào phương trình cũng có nghiệm, nên ta thường chuyển phương trình (2.1.1) về dạng yếu hơn để nghiên cứụ Cụ thể, ta nhân vô hướng cả hai vế của phương trình (2.1.1) với b H . Khi đó ta nhận được bài toán yếu hơn: tìm Xt H sao cho
[ A x , v ) — [ y , v ) ì V v H .
Định nghĩa 2.1.1. Bài toán tìm X t H thỏa mãn (2.1.2) được gọi là bài toán biến phân.
Định lý 2.1.1. Cho H là không giãn Hiỉbert (thực) và K c_ H ỉà tập lồi, đóng. Lấy X e H. Khi đó, tồn tại duy nhất y K S ã o cho
|x — y I — min\x —z Ị (2.1.3)
ztl< Hơn nữã, y có thể được đặc tning bởi
y e K , [ x - y , z - y ) ^ 0,M z ^ K . (2.1.4)
Nhận xét 2.1.1. Nếu H — M2 và K là tập con lồi,đóng của R2thì về mặt hình học, đặc trưng (2.1.4) cố nghĩa lầ đường nối X vớỉ hình chiếu y của nó và đường nối hình chiếu y và một điếm bất kỳ thuộc K, luôn lầm tlìầnh một góc tù. Xem Hình 2.1.
Hệ quả 2.1.1. Cho H lầ không giãn Hilbcrt, K là tập lồi, đóng trong H. PK : H —> K lầ ấnh xạ X —► y được xấc định theo Định Ỉ Ỵ\2.1.1 K hi đ ó, v ới X I , X2 w H , t ã c ó \ P K X i - P K X 21 ^ \ x i - x 2 1 . (2.1.2) (2.1.5 )
Hìnli 2.1:
Định nghĩa 2.1.2. Cho a : H X H —>■ R là dạng song tuyến tính. a .) được gọi là liên tục nếu tồn tại hằng số M > 0 sao cho
\a (?i, v) I ^ M Iu I |f I, Vw, V ^ H. (2.1.6)
a .) được gọi là H - elliptic (hay bức) nếu tồn tại a > 0 không đổi sao cho
a { v , v ) ^ a \ v \ 2 , V v t H . (2.1.7) Ví dụ 2.1.1. Cho H — Rn. Khi đó mỗi ma trận thực cấp n X n xác định một dạng song tuyến tính licn tục trcn Rn. Cụ thể, nếu A — { d i j), 1 ^
i , j ^ n là ma trận thực, thì dạng song tuyến tính tương ứng được cho bởi
n
a { n , v ) — V T A u — ^ a ị j U j V ị . (2.1.8)
M —1
Rõ ràng theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz,
— |vt./4ĩz| — \ [ v j A u)I ^ \ v \ \ Ả u \ ^ \ A I \u\ |v|.
Nếu A là ma trận đối xứng và xác định dương thì tồn tại a > 0 sao cho
n
^ CLịjVịVj ^ a\v\ 2 i j- l
hay a .) là H - elliptic.
Định lý 2.1.2. (Stampachia)
Cho H là không giãn Hilbert, a .) là dạng song tuyến tínli liên tục vầ
H - cỉỉỉptỉc trôn H. K Ỷ 0 j K w H ỉầ tập COIÌ lồi,đóng.Khỉ đó ị với
f H, tồn tại duy nhếit u K sao cho
(2.1.9) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Cho K — V là một không gian con đóng của H, thì K tựđộng lồị Giả sử u V như trong (2.1.9) với f H đ ã , chọ Nếu V b V thì đặt w — V -b u . Khi đó
a ( u , v ) ^ ự , v ) , i v n V .
Ap dụng điều này cl'10 —V V ta nhận được «• (m, V) - (/, v ), V i = v .
Đặc biệt, điều này đúng với V — H .
Định lý 2.1.3. (Lax - Mỉlgram)
Clio V là không giãn Hilbert và a .) là dạng song tuyến tính liên tục và, V - elliptic. Khi đó với mỗi f t V đã cho, tồn tại duy nhất u z V sao cho
a (?/,,?;) — (/,?;), V?; b V. (2.1.10)
Hơn nữa, nếu a ( . , . ) ỉầ đối xứng thì phiếm ham J : V —> R dược xắc định bởi
J {v) - ịaiv>v) - { ỉ >v) (2.1.11)
Nhận xét 2.1.2. KỈ1Ỉ ặ,.) ỉầ đối xứng vầ J : V R được cho bởi thì cực tiểu toàn cục củ a J đạt được tại u t V vầ thỏa, mẵn . Phương trình đó có thể được coi lầ phương trình Euler của hầi toán tối ưu không rằng buộc. Khi xét bài toắn tối liu rằng huộc, tức lầ tã cực tiểu J trên một tập con lồi, đóng K, thì tã không thể kỳ vọng có cắc phương trình trong kết quả, mầ chỉ có bất đẳng thức (??).
Chúng được gọi ỉầ bất đẳng thức biến phân.