Chương 2 ĐỊNH LÝ BABUSKA BREZZI VÀ ỨNG DỤNG
2.1.2. Định lý Babuska — Brezz
Cho E, V là các không gian Hilbert vồ a : E X E —» R, ò : E X Ị/ —» R là các dạng song tuyến tính liên tục. Đặt
z — {<7 cr £ I b (<7, v ) — 0, Vư =r V } . (2.1.12)
Giả sử a .) là z - elliptic, tức ỉ,à tồn tại hằng số Q > 0 sao cho
0, (<7, ơ) ^ a \ơ ll, v<7 C- z.
(2.1.13)
Hơn nữaJ giả sử tồn tại hằng số Ị3 > 0 sao cho
BupfcÍỴ> > pMỵ Vt> V. (2.1.14) rĩ£ Ms
Khi đó, nếu K E và I t V thì tồn tại duy nhất cặp (<T, 71) ÍT £ X V sao cho
ă<7, r) -ị- b { r , u ) — (/€, 7") , w E (2.1.15)
b (cr, v ) — (_/, v), V v V . (2.1.16)
(2.1.10
+ Sự tồn tại:
Định nghĩa Ẩ:E-^E, bởi
{Aơ, T) — a (íj, r), T' c S (Bít, u) — b (<7, v), b ì/.
Rõ ràng A vầ B xác định và là các toán tử tuyến tính liên tục. Khi đó, (2.1.15) - (2.1.16) tương đương với hộ
trong đó B* : V —> E là toán tử liên hợp của B. Lúc này, theo (2.1.14) suy ra
\ B ' v \ ^ ạ \ v \ , V * v . (2.1.19) Như vậy, B * có miền giá trị đóng và là song ánh, vì B toán tử tuyến tính licn tục ncn suy ra B là ánh xạ lcn. Chọn ơ ị ^ E sao cho B ơ ị — 1 .
Theo Định lý Lax - Milgram (Định lý 2.1.3), ta có ú\ơ() z sao cho
a { ơ o , T ) - {K,T) - a { ơ U T ) , Vr fc z
tức là Aơ{) — K — A ơ ị khi hạn chế trên z. Mà z — Ker B nên
Bơ0 — 0. Do đố nếu ơ — -\-ơ\ thì ta có Bơ — ỉ. Ngoài ra, theo (2.1.20), K — Aơ t ZL
- phần bù trực giao của z trong Ẹ Nhưng ta biết rằng Range Br' — (Ker B)L — Z'L.
Vì vậy du V sao cho B*u — K — Aơ. Như vậy [uĩ ơ) thỏa mãn (2.1.17) (2.1.18) hay tương đương với (2.1.15) - (2.1.16). Điều này chứng tỏ sự
Aơ -h B*u — K Bơ - l (2.1.17) (2.1.18) (2.1.20 )
+ Tính duy nhất: Giả sử ( ơ i , U i ) và ( ơ2,U2) là hai nghiệm. Đặt (7 — ơị — Ơ2, ũ — ĩiị — u2. Khi đó
a (<7, r ) -\-b (r, u) — 0, Vr b E
b ịơ, v) — 0, cr V.
Đặt T — ởtrong (2.1.21) và sử dụng (2.1.22) ta nhận được
(<7, ơ) — 0, ở z.
Từ đó, theo (2.1.13) suy ra (7 — 0. Khi đó, từ (2.1.21) ta nhận được
B*ũ — 0 và theo (2.1.19) suy ra ũ — 0 Do đó ơị — Ữ2, U\ — u-2.
Nhận xét 2.1.3. i, Diều kiện (2.1.14) được gọi lầ điều kiện Bãbưskã Brczzi, hãy còn gọi là điều kiện inf - sup.
ii, Nếu dạng song tuyến tính a .) là đối xứng thì ta xót bài toấn tối ưu hóa có ràng huộc: Tìm ơ b z São cho Bt — l vầ
J [ơ) — min J Ít) ,
DT- I
trong đó
Khi đó xét hầm Lãgrãiìgc
Ị 2°' (.T,r) -+ {bịT>v) - ụ>v)\
và tìm một điếm yên ngựạ Hệ cấc điều kiện tương ứng chính lằ hệ
(2.1.15) - (2.1.16). Có một cấch nhìn khấc về hộ này xuềìt phất từ lý
thuyết đần hồị Phương trình (2.1.15) có thể được xem như là một quỵ
a
(2.1.21
) (2.1.22
luật cấu thành (chẳng hạn, mối liên hệ giữâ ứng suất ơ và độ dịch chuyến u do biến dạng; ví dụ: Định luật Hooke). Phương trình (2.1.16)
tương ứng với phương trình cẫn bằng.