w ìp (Mị) vào M/ rl ’P (R n).
1.2.5. Các định lý nhúng compact
Trong mục 1.2.1 ta đã thấy phép nhúng của WLp ự) trong c (/) là compact khi / là một khoảng bị chặn. Vậy trong các phép nhúng liền
tục đã chứng minh trong mục trước, phcp nhúng nào là compact? Ví dụ sau cho thấy, khi miền không bị chặn thì phép nhúng không compact.
Ví dụ 1.2.2. Cho I — {0,1) w R và I j — { j , j -h 1). Lấy / b' cl với giá trong /. Ta định nghĩa fj là hàm / nhưng xác định trên Ij nhờ phép tịnh tiến. Ta có thể chuẩn hóa / một cách thích hợp sao cho
Điều đó cũng đúng đối với mỗi fj và như vậy ị fjị cũng là dãy bị chặn trong
wl': p (R). Vì / b cl và có giá compact nên / b Lq (R) với 1 ^ q ^ x>. Ngoài ra, nếu
l/l(),,,R - l/lo,„,/ - a > °>
thì với bất kỳ j ^ k,
\h - - 21/? a
25
của wl,p (M) vào không gian Lq (R) là compact. Ví dụ này có thế dỗ dàng được khái quát đến Rn và đối với các tập mở giống như nửa không gian.
Định lý 1.2.17. (Rellỉch - Kondrasov)
Cho íì Mn là tập 1Ĩ1Ở bị chặn của lớp c1. Khi đó cấc phép nhúng sau ỉà compact
[i) Nếu p < n thì wl , p (0) —► Lq (Q), 1 ^ q ^ p*,
[iỉ) Nếu p — n thì wl'n (íì) —> Lq (Q), 1 ^ q <30,
[Ui) Nếu p > n thì wl,p —> c (Q) .
Định lý 1.2.18. (Bất đẳng thức Poincaré - Wirtinger)
Tồn tại một hằng số c > 0 sao cho với mỗi u t wl'p (n), 1 ^ p ^ x>?
\u ~ ™l o, p, n ^ ^ Mi , p, í 2 ( 1.2.30)
trong đó ũ — —\ u là trung bình củã u trên Q. Hơn nữa, nếu p < n
ui c ạ sK ^
thì
\u ~ ũ \ o , p *tí ì ^ c \ u \x, p , n - ( 1.2.31)