Chương 2 ĐỊNH LÝ BABUSKA BREZZI VÀ ỨNG DỤNG
2.2.1. Phương trình song điều hòa
Cho Q Rn là tập mở bị chặn và A là toán tử Laplacẹ Khi đó toán tử song điều hòa là được cho bỏi A2 và, là toán tử vi phân cấp 4. Bài toán Dirichlet đối với toán tử song điều hòa là:
A2U — f trong Q du
u — — — 0 trên r. du
Cho f 'ĩ= L2 [0). Nếu ộ cr D (Q) thì nhân phương trình đàu với ậ và sử dụng công thức Grccn ta nhận được, khi u b ơ4 (íỉ) (tức là u là nghiộm cổ điẻn),
J A v A ệ - 1 fệ . (2.2.2)
Dể phương trình (2.2.2) có nghĩa, ta chỉ cần u b H2 ífì). Hơn nữa trong trường hợp này, các vết U\Y — 7ou và Ỵ- |r — 7i (w) hoàn toàn xác định. Vì vậy, đòi hỏi chúng phải triệt tiêu trên r, và do đó, theo định lý vết, u
b Hị (_íĩ). Hơn nữa, Đ (Q) là trù mật trong H'l và cả hai vế của (12.2.21) đền liên tục theo ộ trong tôpô nàỵ Do đó
nghiệm yếu của (2.2.1) được định nghĩa bởi
u* H l {í ĩ),
Xét dạng song tuyến tính
I (?i, v) — J AuAv íì
trên Hị { £ } ) . Rõ ràng a là liên tục, vì theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz:
(2.2.4)
Hơn nữa, ta thấy rằng |Ảz|oí2 xác định một chuẩn trên HQ (Í2) tương đương với chuẩn thông thường. Vì vậy,
{u,u) - |Aw|Ổ>n ^ OL \U\2
2Í
và vì vậy a .) là H ị (n) - clliptic. Như vậy, theo Định lý Lax - Milgram, tồn tại duy nhất nghiệm yếu u t H ị (_íì), nó cực tiểu hóa phiếm hàm
Jiv) - 2 J lAí,|2 -
n 9.
trên toàn không gian HQ [ Q ) . Ta cũng có sự phụ thuộc liên tục vào các
dữ kiện, vì cho V — utrong (2.2.3), sử dụng (2.2.4) và (2.2.5), ta nhận
(2.2.3 ) AuAv — \ a (2.2.5 ) a f v
Thông thường, nếu ulà nghiệm trơn và u b thì A2U — ftheo nghĩa hàm suy rộng và theo nghĩa L2 (Í2) - hàm. Ngoài ra, nếu ta biết rằng u ír ơ4 ío), thì u sẽ là nghiệm cổ điển.
Nhận xét 2.2.1. i, Công thức (2.2.3) cũng có nghĩa khi f e H 2 (n).
Khi đó, ta thay Ịị f v bởi (/, v) là cặp đối ngẫu giữa H~2 (fì) và HỊ (fì). n
ỉỉ, Toấn tử song điều hòa âược sử dụng mô tả sự uốn cim một bản phẳng có ngoàm. Bẫn phẩng được giẫ thiết rất mỏng vầ, coi như một
tập C011 IĨ1Ở củã M2. Nếu bản phẳng có ngoầm (kẹp) theo biên của nó thì điều
kiện biên là u — 0.
Sail đâ,y ta sẽ sử dụng Định lý Babuska - Brezzi để mô tả một công thức nghiệm yếu khác đối với bài toán song điều hòạ
Cho / w L2 (Q). Đặt ơ — —Au b' L2 (Q). Khi đó ta có thể viết
Nếu ta đặt E — L2 (fì), V — HQ (£7) và định nghĩa
0, (<7, T) — j ơr, (7,r c s n
b (r, v) — j Av ' r, T b E, V b V íì
thì hệ (2.2.7) - (2.2.8) có dạng trong Định lý Babuska - Brezzị Dạng song tuyến tính a .) là L2 {íì) - clliptic nôn hiổn nhiên là z - clliptic
(2.2.7) và (2.2.3) trở thành (2.2.8) Ơ T - Ị - J Au ' T — 0 , Vr L2 íì — J ơ A v — J /?;, V?; H q (Í2). íì íì (2.2.9)
đối với mọi không gian con z của E — L2 (fi). Bây giờ ta kiểm tra điều kiện Babuska - Brezzi
^ AvAv
b l T i V ) Q . . ,. .
suP-ịè| — > | A -,| - lA)V M2.fi-
TbE |r|(ự2 I ^ lo,íĩ
Như vậy các điều kiện của Định lý Babuska - Brezzi được thỏa mãn nên ta có thể khẳng định tồn tại duy nhất (cr, u) thỏa mãn (2.2.7) và (2.2.8). Rõ ràng khi đó u b Hị (íì) là nghiệm của (2.2.3) và ơ — —Aụ
Công thức này không có giá trị nội tại vì ta đã tăng thêm ẩn hàm. Tuy nhicn, lúc này ta định nghĩa ồ — Hl và V — Hị (Í2).
Dặt
a (
KƠ, r) — ị ƠT ĩ ỉ
b (t, v ) — — J AtAv
n
Xét bài toán: Tìm ỉ,u)tE X V sao cho
a (ơ, T) -h 6 (r, ủ) — 0, Vr b £, — b (<7, v) — J /?;, Vu w V.
n
Ta cũng có b { . , . ) thỏa mãn điều kiộn Babuska - Brczzi, vì
\ AvAv , ,2
, H r, v) ^ n \v\i,iì ^ oì ị
sup II ^ li--- II ^ P \ v 1,IỈ TbE Ml,n1^ ll,Q Ml,íì
theo bất đẳng thức Poincaré. Không may là a .) không là z - clliptic. Vì vậy ta không thể áp dụng Định lý Babuska - Brezzi để chứng minh sự tồn tại của nghiệm. Rõ ràng nếu nghiệm tồn tại thì nó phải là duy nhất. Lúc này ta có kết quả sau:
(2.2.12)
(2.2.11 )
Định lý 2.2.1. Giả sử nghiệm Ĩ I của (2.2.3) thỏ ã mẵn thêm điều kiện u ^ H3 (fỉ). Khi đó (—Au , u ) — { ơ , ĩi) t E X V là nghiệm duy nhất ci?m
(2.2.11) - (2.2.12).
Chứng minh. Rõ ràng (<7, lí) — (—Au , u ) thỏa mãn (2.2.7) - (2.2.8) Nhưng nếu T cr Hl (íí) thì
b (r, u ) - ĩ Au ' T---J Vu ' Vr — b (r, u).
n í ì
Như vậy ở — ơ và ủ — u thỏa mãn (2.2.11). Bây giờ từ (2.2.8) ta có
— J <7 ' A v — J f v , V?; t Hq
(0). í ì í ì
Hơn nữa, theo công thức Grccn ta nhận được (vì ơ t Hl (Í2)) J V(T • V v - J f v , V v =r Hl (fi).
n í)
Đặc biệt đối với Vu — ộ r- ĩ ) (Q). Nhưng cả hai vế của phương trình trên liên tục theo V đối với Hq (íì) - tôpô và vì vậy hệ thức trên đúng đối với V v ^ Hq { Q ) do tính trù mật của D (íì) trong Hị (Q). Do đó ta có kết quả chứng minh.
Nhận xét 2.2.2. Cắc nhà toấn học đẵ chỉ ra rằng, công thức nghiệm yếu sau này lầ rất hữu dụng trong giải số. Nó chỉ phụ thuộc vầo tính chính quy u b H3 [p.) đối với (2.2.3). Thực tế nếu íì thuộc lớp cx’ thì ta có u t H4 (Q) khi f L2 [ í ì ) . Nếu íì là đa giấc hoặc miền Lipschitz thì ta có u z HẦ (fì) theo kết quả của Kondratev.