w ìp (Mị) vào M/ rl ’P (R n).
1.2.6. Không gian đối ngẫu, không gian bậc phân số và không gian vết
Trong mục này ta sẽ định nghĩa không gian Sobolev đối với các tham số thực
s thay cho số tự nhiên n.
Định nghĩa 1.2.3. Cho 1 ^ p < x\ pr là số mũ liên hợp của p. Đối ngẫu của không gian w™'p (fỉ) mà m ^ 1 là số nguycn, được ký hiệu bởi
w m,p (íì). Nếu p — 2, H m (íì) là đối ngẫu của không gian HỊỊ1 (fì).
Nhận xét 1.2.4. H™ {Q) lầ không gian Hilbert nên theo Định lý biểu cỉỉễn Ricsz, 11Ổ có thể được đồng nhất vói đốỉ ngẫu của nó. Tuy nhicn ngoại trừ khi ra — 0, tức là trong trường hợp của L2 (Q), tã không thể đồng nhất H™ {{ì) với đối ngẫu của nó. Tã có phép nhúng liên tục và trù mật sau:
Hị ífì) -> L2 (íí) -» H~l .
Không gian Sobolcv ws'p (Í2) với s không nguyên cũng có thể được định nghĩa theo một số cách. Sau đây là một cách: cho 1 ^ p < x> và 0 < s < 1. Khi đó, định nghĩa
| m(x) - H (ỉ/)|
Lp { ĩ l x ũ ) } (1.2.32)
\x- y\‘±[n/,,)
với chuẩn rõ ràng. Đặt s — 771 -|- <T, ra ^ 0, m - nguycn, 0 < ơ < 1,
w8'p - [u wm-p [ỹí ) I Dau t wơ'p (Q ), V \a \ - mị . (1.2.33)
Ký hiệu WqP (íí) là bao đóng của T> (Í2) trong W8’p ÍẠÌ) và w~s'p’ (_fỉ) là đối ngẫu của W^p (Í2).
Nếu p — 2 ta có không gian Hs (íĩ). Nếu Í2 — Rn, ta đã gặp định
nghĩa của không gian Hs (Rn) (xem (1.2.11)). Có thể chỉ ra rằng các định nghĩa này xác định cùng một không gian đối với mỗi s > 0. Cũng như vậy ta có Hs
(Mn) như là đối ngẫu của H~H (R7Ỉ) khi s < 0. Lúc này ta chứng tỏ định nghĩa dựa theo biến đổi Fourier cũng đúng cho các chỉ số âm.
Định lý 1.2.19. Cho s > 0 lầ số thực. Khi đó
írs(M") - |ííb<S'(R’‘) (l +- |£|2) 3/2 íì (ỉ) e L2(M”)Ị. (1.2.34)
Ta kết thúc mục này bằng định nghĩa không gian vết Hs (r), trong đó r — dQ
- biên của tập con mở bị chặn của Mn, n ^ 2. Giả thiết Í2 thuộc lớp và theo nghĩa địa phương nó nằm về một phía của biên của nó, tức là, ta bỏ qua các miền mà nằm vồ cả hai phía của biên như được mô tả trong Hình 1.1.
Hình 1.1:
Với 5 ^ R, ta có thể định nghĩa
H’ (D - (u I V j b H’ (R”_1) , ì ỉí j Íí kị. (1.2.35)