Những bài toán tích phân, và áp dụng tính diện tích, thể tích và các bài toán liên quan

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ THÚY NHỮNG BÀI TOÁN TÍCH PHÂN VÀ ÁP DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH,VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN TÓM TẮT KHÓA LUẬN TỐT NGHI

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

VŨ THỊ THÚY

NHỮNG BÀI TOÁN TÍCH PHÂN VÀ ÁP DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH,

THỂ TÍCH,VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

TÓM TẮT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP HỆ CAO HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS.NGUYỄN MINH TUẤN

Hà Nội – 2017

LỜI MỞ ĐẦU

Bài toán tích phân, áp dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay trong chương trình Giải Tích 12 là một trong những dạng toán cơ bản, thực tế và quen thuộc Tuy nhiên các em học sinh thường chưa có sự phân tích và tư duy thực tế dẫn tới mắc sai lầm và đưa ra những lời giải sai, chưa chính xác Việc hệ thống hoá các phương pháp giải, chỉ ra một số sai lầm khi giải toán sẽ cho phép nhìn nhận các bài toán theo một hệ thống nhất quán từ đó giúp các em học sinh có thể thấy được thuật toán chung cũng như tránh được những sai lầm khi giải các bài toán có liên quan Khắc phục được khó khăn và sửa chữa được các sai lầm đó là rất cần thiết, giúp cho quá trình giải toán được dễ dàng, thuận lợi

và đạt hiệu quả cao Đồng thời phát triển tư duy, năng lực sáng tạo của học sinh khi học tập môn toán cũng như các môn học khác Xuất phát từ thực tế trên, tôi tổng hợp một một số phương pháp tính tích phân cơ bản, áp dụng tính diện tích hình phẳng và thể tích vật tròn xoay, và một số bài toán liên quan

Với sáng kiến “Phân loại các bài tập tích phân, ứng dụng tích phân – Chương III- Giải tích 12 nâng cao” tôi chủ yếu đi vào khai thác một số bài toán về ứng dụng của tính phân để diện tích và thể tích trong chương trình Giải tích THPT lớp 12- nâng cao và các bài toán trong các đề thi đại học trong những năm gần đây nhằm tìm ra hướng giải quyết cho bài toán một cách chính xác, lôgíc và khoa học Mục đích nghiên cứu của đề tài là nhằm xây dựng, hệ thống lại các dạng tích phân thường gặp, áp dụng tính diện tích, thể tích cho học sinh cũng như đồng nghiệp giáo viên có cái nhìn toàn diện hơn về ứng dụng của tích phân trong hình học tránh nhầm lẫn và nhanh chóng giải quyết bài toán Trên cơ sở đó học sinh có thể tự tìm tòi phát hiện các vướng mắc, các cách giải hay trong nhiều bài toán khác

Bố cục của luận văn bao gồm 3 chương:

 Chương 1: Một số dạng toán tích phân thường gặp

 Chương 2: Áp dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng, tính thể tích vật thể

 Chương 3: Một số bài toán liên quan

Do thời gian thực hiện khóa luận không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khi làm luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cố và bạn đọc Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 17tháng 1năm 2017

Học viên

Vũ Thị Thúy

NỘI DUNG Chương 1: Một số dạng toán tích phân thường gặp

I Cơ sở khoa học

1 Nguyên hàm

- Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số

f(x) trên K nếu F’(x) =f(x) với mọi x thuộc K

Kí hiệu:  f x dx F x ( )  ( )  C

- Tính chất:

Tính chất 1: ( f x dx( ) ) ' f x( )

Tính chất 2: kf x dx( ) k f x dx ( )

Tính chất 3: f x( )g x dx( )  f x dx( ) g x dx( )

- Định nghĩa :Ta có công thức Niu tơn – Laipnitz

b b



- Tính chất:

f x dx   f x dx

Tính chất 2: ( ) ( )

kf x dx  k f x dx

Tính chất 3:  ( ) ( )  ( ) ( )

f x  g x dx  f x dx  g x dx

Tính chất 4: ( ) ( ) ( )

f x dx  f x dx  f x dx

II Các phương pháp tính nguyên hàm, tích phân

1 Tính tích phân bằng việc sử dụng các nguyên hàm cơ bản

1.1 Phương pháp: Chúng ta có thể sử dụng các nguyên hàm của các hàm số sơ cấp để xác định được

các nguyên hàm từ đó tính được các giá trị các tích phân

1 kdxkx C

2

1

1

x











 ((   R ,    1)

3 dx ln x C



4

ln

x

x a

a



5 e dx x e xC

6 2 arctanx+C 1

dx

x 



 ( hoặc có thế đặt x= tant/2)

7

2 arcsinx+C 1

dx x







8 s inx dx= - cosx + C

9 cosx dx= sinx + C

1.2 Các ví dụ

2 Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

2.1 Phương pháp đổi biến số dạng 1

2 1.1 Quy tắc :

 Bước 1: Đặt x=v(t)

 Bước 2: Tính vi phân hai vế và đổi cận

 Bước 3: Phân tích f(x)dx=f(v(t))v'(t)dt

 Bước 4: Tính

( )

( )

( )

( )

v b b

a v a

v b

f x dx g t dt G t

v a

 Bước 5: Kết luận : I= ( ) ( )

( )

v b

G t

v a

2 1.2 Nhận dạng :

- Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là :

2 2

x a c









2 2

x  a

 

;

0; \

a

t a

c

 







 



2 2

a  x

2 2

 









x=a.cos2t

sin

- Chú ý : Trong dạng phân thức hữu tỷ :

0

a x+

a

     

a

- áp dụng để giải bài toán tổng quát :

 2 22k 1  

dx

k Z







2.1.3 Một số ví dụ áp dụng

Ví dụ 1: Tính các tích phân sau

a )

1

2 0

1 x dx

1 2

2 0

1

1 2

dx x





Giải

a/ Đặt x=sint với : ;

2 2

t   

  

 Ta được dx = costdt ,

2







2

0

c dt

b/ Đặt x = 1 sin ;

2 2

2 t t

 

  

 Ta được dx =

x=0 sint=0 t=0 1

2

2

c







 Do đó :

1

2 2

x



 

 

2.2 Đổi biến số dạng 2

Quy tắc :

 Bước 1: Khéo léo chọn một hàm số u(x) và đặt nó bằng t : t=u(x)

 Bước 2: Tính vi phân hai vế và đổi cận : dt=u'(x)dx

 Bước 3: Ta phân tích f(x)dx = g[u(x)]u'(x)dx = g(t)dt

 Bước 4: Tính

( )

( )

( )

( )

u b b

a u a

u b

f x dx g t dt G t

u a

 Kết luận : I= ( )

( ) ( )

u b

G t

u a

2.3 Nhận dạng :

0 ax+b

P x









ax+b

dx a











 Và nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng 2 thì ta chia tử cho mẫu dẫn

DẠNG 2 : 2 ( )

ax

P x

dx

bx c



1 Tam thức : f x( )ax2bx c có hai nghiệm phân biệt

( )

u x

u x













2 Tam thức : f x( )ax2bx c có nghiệm kép

ln ( ) ( )

u x dx

u x

u x













3 Tam thức : f x( )ax2bx c vô nghiệm

Ta viết : f(x)=

2

;

2

b

u x

a u k

  



Khi đó : Đặt u= ktant

Ví dụ: Tính tích phân sau : I=

2 3 2

2 0

4

dx x





Giải

 Ta có :

3 2

2

x

 Do đó :

2

2

0

Tính tích phân J=

2 2 0

1

4dx

x 



 Đặt : x=2tant suy ra : dx = 2

2

4





  





 Khi đó :

4

0

 Thay vào (1) : 6

8

 

DẠNG 3: 3 ( )2

ax

P x

dx



ax  bx   cx d a  0 có một nghiệm bội ba

Công thức cần chú ý : 1 1 11

1

mdx m

















ax  bx   cx d a  0 có hai nghiệm :

Có hai cách giải : Hệ số bất định và phương pháp nhẩy tầng lầu

Ví dụ: Tính tích phân sau : I=

3

3 2

1

dx

x  x 



Giải

 Ta có :

2

1

mẫu số vào hai tử số :

1

2

A A

C C

 







 Khi đó (1)

  

2

2

A B x A C x A B C

 Do đó :

     3

2

x



3 Phương pháp tích phân từng phần

- Một số lưu ý:

+ Công thức tính tích phân từng phần :I= u dv uv v du





+ Khi tính tích phân :I f x dx( )





 , ta không thể sử dụng các phương pháp : Phân tích để sử dụng trực tiếp bảng nguyên hàm cơ bản , phương pháp phân tích để tính trực tiếp , thì khi đó ta phải sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân I

+ Đối với phương pháp tính tích phân từng phần có dạng: I f x dx( ) u x dv x   

tắt :I u dv





 Trong đó : u=u(x),v=v(x) ( là các hàm số theo x ) thì cái khó nhất là chọn hàm số u(x) và

vi phân dv(x) sao cho nguyên hàm v(x) dễ tìm nhất và phải kết hợp với vi phân du sao cho tích phân

v du





 có thể tính trực tiếp bằng các phương pháp đã trình bày trên

Tích phân dạng :

 

 

 

ax

sin

osaxdx























 





 











Trong đó : P(x) là một đa thức, a là hằng số

- Sử dụng phương pháp tích phân từng phần bằng cách chọn :

u=P(x) suy ra du = P'(x)dx

ax ax

1

1

osax

1 sin a

e a

e dx

a c

ax







Sau đó thay vào công thức (*)

3.1.2 Các ví dụ

3.2 Tích phân dạng : P x( ).lnk xdx







3.2.1 cách giải :

- Đặt :u lnk x du k.lnk 1x.dx ,dv P x dx( )

x



3.2.2 Cách giải

* Chú ý :

Lũy thừa kcủa lnx bằng số lần lấy tích phân từng phần , như vậy số lần lấy tích phân từng phần không phụ thuộc vào bậc của đa thức P(x)

Ví dụ: Tính các tích phân sau :

a

3

2 1

3 ln

1

x dx x





Giải

a

1

- Với :

3

2 1

3

1







- Với :

2

27 ln

ln

1

x



Thay vào (1) :

I



* Chú ý : Qua ví dụ 2 ta thấy tích phân dạng : ln

( )

x dx

P x





 , vẫn có thể áp dụng cách giải cho tích phân dạng : I P x( ) lnxdx







3.3 Tích phân dạng : I eaxsinbxdx J e cax osbxdx

Cách giải

 Gọi hai tích phân như trên Sau đó ta đi tính tích phân I bằng cách : Đặt

I= A+mJ I-mJ=A (1)

 Sau đó để tính tích phân J ta làm tương tự bằng cách : Đặt

J=B+nI J-nI = B (2)

 Giải hệ hai phương trình (1) và (2) ta tìm được I và J

2 Ví dụ minh họa

Chương 2: Diện tích hình phẳng, thể tích vật thể

2.1 Hình phẳng giới hạn bởi một đồ thi hàm số và trục hoành

2.1.1 Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành và hai đường thẳng

x = a , x = b

2.1.1.1.Một số chú ý về tích phân chứa giá trị tuyệt đối

- Để tính diện tích S ta phải tính tích phân (1) , muốn vậy ta phải “phá” dấu giá trị tuyệt đối

 Nếu f ( x )   x    a b thì  

b

a b

a

dx x f dx x f

 Nếu f ( x )   x    a b thì    

b

a b

a

dx x f dx

x f

- Muốn “phá” dấu giá trị tuyệt đối ta phải xét dấu của biểu thức f(x) Thường có hai cách làm như

sau :

Cách 1: Dùng định lí “dấu của nhị thức bật nhất” , định lí “dấu của tam thức bậc hai” để xét dấu các biểu

thức f(x) ; đôi khi phải giải các bất phương trình f(x) ≥ 0 , f(x) ≤ 0 trên đoạn   a b

Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số y =f(x) trên đoạn   a b để suy ra dấu của f(x)

trên đoạn đó

 Nếu trên đoạn [a ; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “trên” trục hoành thì

  a b x

)

f

 Nếu trên đoạn [a ; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “dưới” trục hoành thì

  a b x

)

f

Cách 3: Nếu f(x) không đổi dấu trên [a ; b] thì ta có :   

b

a b

a

dx x f dx x f

2.1.1.2 Một vài ví dụ minh hoạ cách tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Ví dụ 1 : Tính I  x dx







0

2

4 2 Xét dấu nhị thức bậc nhất f(x) = 2x + 4

x -∞ -2 0

+∞

f(x)=2x + 4 - 0 + +

Suy ra 2 x  4  0  x   - 2;0 

2

0 ) 4 ( ) 4 2 ( 4

0

2 0

2





























x x dx x dx

x I

2.1.2 Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số với trục hoành

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn   a b

Khi đó hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x =

b có diện tích là S và được tính theo công thức :

 b

a

dx x f

S ( ) (1)

Ví dụ 1:Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2x + 4 , trục hoành , các đường

thẳng x = - 2 , x = 0

Giải

Diện tích S của hình phẳng trên là S  x dx





 0

2

4 2

Từ hình vẽ , suy ra 2 x  4  0  x   - 2;0 

2

0 ) 4 ( ) 4 2 ( 4

0

2 0

2





























x x dx x dx

x

Ví dụ 2: Tính diện tích của hình phẳng (được tô màu ) sau đây :

Giải : Hình phẳng trên được giới

hạn bởi bốn đường y = x ,trục hoành và hai đường thẳng x = 0 , x

= 3

Diện tích S của hình phẳng trên là S 3 x dx

0

Vì x  0  x    0;3 2

9 2

0 2

3 0

3 ) 2 (

2 2 2

3

0 3

0











 x dx x dx x

Chú ý:

Nếu phương trình f(x) = 0 có k nghiệm phân biệt x1 , x2 , …,

xk thuộc (a ; b) thì trên mỗi khoảng (a ; x1 ) , (x1 ; x2) , …, (xk ;

b) biểu thức f(x) có dấu không đổi

Khi đó để tính tích phân 

b

a

dx x f

S ( ) ta có thể tính như sau :









b x x

x x

a b

dx x f dx

x f dx x f dx x f

2 1 1

2.1.3 Diện tích hình tròn , hình elip

- Diện tích hình tròn : Trong hệ toạ độ Oxy cho đường tròn có phương

x2 + y2 = r2 ( r > 0)

Khi đó hình tròn đó có diện tích là : 2

r

S 

Giải :Ta có x2  y2  r2  y   r2  x2

Với y ≥ 0 ta có : y  r2  x2 có đồ thị là nửa đường tròn phía trên trục hoành

2

2

0

2 2 2

2 1

r dx

x r

dx x r

S

r r

r













Do đó S 2S1 .r2

- Diện tích của elip

Trong hệ toạ độ Oxy cho elíp có phương trình : 2 1

2 2

2





b

y a

x

, 0  b  a

Diện tích của elip là :S  a b  (đvdt)

2.2 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số

2.2 1 Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số

Cho hai đồ thị của hai hàm số y = f(x) , y = g(x) và hai đường thẳng x = a , x =b (a<b)

Hình phẳng giới hạn bởi bốn đường y = f(x) , y = g(x) và hai đường thẳng

x = a, x = b có diện tích S được tính theo công thức :

dx x g x f S

b

a

 ( ) ( )

Ví dụ 12:Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = xlnx , y = x và hai đường thẳng x

= 1 , x = e

Giải :

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là :

0 ) 1 (ln 0

ln

lnxxx xx x x 

x

Vì x > 0 nên x(lnx1)0lnx10lnx1xe

Vậy hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là x = e

Trên đoạn   1 ; e phương trình xlnx – x = 0 chỉ có một nghiệm x = e

Hình phẳng giới hạn bởi bốn đường y =xlnx , y = x và hai đường thẳng

x = 1, x = e có diện tích S được tính theo công thức:

dx x x x S

e



1

ln

Vì x ln x  x   x    1 ; e nên       

e e

e e

xdx x

x dx x x x dx

x x x S

1 1

1 1

ln )

ln ( ln

4

3 2

1 2 4

1 1

2 4



















2.2.2 Bài tập tự luyện

2.3.Thể tích của vật thể được tạo ra bằng cách quay một hình phẳng quanh trục hoành

Ví dụ 16

Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn đường sau

quanh trục hoành Ox

a y = x 3 – 3x , y = 0 , x =

0 , x = 1

b y x2 2x , y = 0 , x

= 0 , x = 1

c y  x2  3 x, y = 0 , x

= 0 , x = 1

Giải:

a

0

1 ) 3

9 5

6 7 ( ) 9 6 ( )

3 (

3 5 7 1

0

2 4 6 1

0

2

dx x x x dx

x x

35

68 0

1 ) 3 5

6 7

5

(đvtt)

15

38 0

1 ) 3

4 5

( ) 4 4 ( 2

3 4 5 1

0

2 3 4 1

0

2

11

16 0

1 ) 2

3 3 ( )

3 ( )

3 (

2 3 1

0 2 1

0

2

Giả sử (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) ,

trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b , trong đó ( a <

b)

Quay hình phẳng (H) quanh trục hoành ta được một vật thể

tròn xoay

Thể tích của vật thể này được tính theo công thức :

f x  dx V

b

a

2

) (





Bài tập tự luyện

2.4 Thể tích của vật thể được tạo ra bằng cách quay một hình phẳng quanh trục tung

Ví dụ 18 Cho hình phẳng (H) giới

hạn bởi đường cong (C ) :

4

4 2

2 y 

x , trục tung , hai đường thẳng x = 2 , y = 2 Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng trên quanh trục tung

Giải

2

1 4

4 4 4 : ) (C x2  y2   y2  x2  y x2 

Gọi V1 là thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi nửa elip (E ) , trục tung

và hai đường y = 0 , y = 1 quanh trục tung

12

11 3

11 4 )

4 ( 4 )

4 2

1 (

1

0

2 2

1

0

2 1







Gọi V2 là thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = 2 , trục tung và hai đường y = 0 , y = 1 quanh trục tung





2

0

2

0

2

2   dx   dx 

Thể tích của vật thể cần tính là :

12

85 12

11 8

1

2    

V V

2.5 Thể tích của khối cầu, khối trụ,khối nón, khối nón cụt

2.5.1 Thể tích của khối cầu

Trong hệ tọa độ Oxy cho nửa đường tròn có phương trình (P ) : x2

+ y2 = r2 với r> 0 và y ≥ 0 (hình 22)

Quay nửa hình tròn đó quanh trục hoành ta được một mặt cầu có bán hính bằng r

Thể tích của mặt cầu này là : . 3

3

4

r

V   (đvtt)

Giả sử (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x =

g(y) , trục tung và hai đường thẳng y = m , y = n , trong

đó ( m < n)

Quay hình phẳng (H) quanh trục hoành ta được một vật thể

tròn xoay

Thể tích của vật thể này được tính theo công thức :

 g y  dy V

n

m

2

) (



 