Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan - Nguyễn Thanh Tùng

Header of 258 NguyễnPage Thanh Tùng 0947141139 – 0925509968 htpp://www.facebook.com/giaidaptoancap3 CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Mục Lục Đề mục Trang A KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ……………………………………… B CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN………………………………………………… Bài toán 1: Các toán liên quan tới phương trình tiếp tuyến…………………………………… Bài toán 1.1………………………………………………………………………………………… Bài toán 1.2………………………………………………………………………………………… 10 Bài toán 2: Các toán liên quan tới cực trị………………………………………………………… 15 Bài toán 2.1………………………………………………………………………………………… 15 Bài toán 2.2………………………………………………………………………………………… 19 Bài toán 2.3………………………………………………………………………………………… 26 Bài toán 3: Bài toán giao điểm………………………………………………………………………… 28 Bài toán 3.1………………………………………………………………………………………… 28 Bài toán 3.2………………………………………………………………………………………… 41 Bài toán 3.3………………………………………………………………………………………… 44 Bài toán 4: Bài toán tìm điểm………………………………………………………………………… 49 Bài toán 5: Các toán tính đơn điệu hàm số……………………………………………… 52 Bài toán 5.1………………………………………………………………………………………… 52 Bài toán 5.2………………………………………………………………………………………… 53 Footer Page of 258 Header of 258 NguyễnPage Thanh Tùng 0947141139 – 0925509968 htpp://www.facebook.com/giaidaptoancap3 CHUYÊN ĐỀ 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN A KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ B CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Bài toán 1: Các toán liên quan tới phương trình tiếp tuyến Cơ sở lí thuyết: * Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị (C), phương trình tiếp tuyến (C) điểm M ( x0 , y0 )  (C ) : y  f '( x0 )( x  x0 )  y0 (*) ( M gọi tiếp điểm) * Hai đồ thị hàm số y  f ( x) y  g ( x) tiếp xúc với hệ phương trình sau có nghiệm :  f ( x)  g ( x )   f '( x )  g '( x ) (2*) Nghiệm (2*) hoành độ tiếp điểm hai đồ thị Nhận xét : Với kiến thức trên, giúp ta giải hai lớp câu hỏi liên quan tới việc viết phương trình tiếp tuyến (tại điểm qua điểm) Cụ thể : +) Với câu hỏi điểm, để viết phương trình (*) ta cần yếu tố x0 , y0 f '( x0 ) Ứng với điều có cách đề : cho biết x0 , cho biết y0 cho biết f '( x0 ) cách phát biểu khác nhau, điều diễn đạt thông qua Bài toán 1.1 +) Với câu hỏi qua điểm phát biểu qua Bài toán 1.2 Bài toán 1.1 Nội dung toán : Cho hàm số y  f ( x ) có đồ thị (C ) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) : Tại điểm có hoành độ a Tại điểm có tung độ b Có hệ số góc k Song song với đường thẳng y  ax  b Vuông góc với đường thẳng y  ax  b Tạo với trục hoành ( Ox ) góc  Cắt trục Ox, Oy hai điểm A, B cho OB  kOA Footer Page of 258 Header of 258 NguyễnPage Thanh Tùng 0947141139 – 0925509968 htpp://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Cách giải chung: Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm tiếp tuyến cần lập Khi phương trình tiếp tuyến M ( x0 ; y0 ) có dạng: y  f '( x0 )( x  x0 )  y0 (*)  f '( x0 )  f '(a) Với x0  a   , thay vào (*) ta phương trình cần lập  y0  f (a) Với y0  b  f ( x0 )  b (2) Giải phương trình (2) tìm x0 suy f '( x0 ) Sau thay thông số tìm vào (*) ta phương trình cần lập Tiếp tuyến có hệ số góc k , suy f '( x0 )  k (3) Giải phương trình (3) tìm x0 suy y0 Sau thay vào (*) ta phương trình cần lập Tiếp tuyến song song với đường thẳng y  ax  b , suy f '( x0 )  a (4) Giải phương trình (4) tìm x0 suy y0 Sau thay vào (*) ta phương trình (kiểm tra lại tính song song) kết luận Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y  ax  b , suy f '( x0 )   (5) a Giải phương trình (5) tìm x0 suy y0 Sau thay vào (*) ta phương trình cần lập Tiếp tuyến tạo với trục hoành góc  , suy f '( x0 )   tan  (6) Giải phương trình (6) tìm x0 suy y0 Sau thay vào (*) ta phương trình cần lập Tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy A, B cho OB  kOA , gọi  góc tạo tiếp tuyến trục hoành ta có: tan   OB k OA Suy f '( x0 )   tan    k (7) Giải phương trình (7) tìm x0 suy y0 Sau thay vào (*) ta phương trình cần lập Footer Page of 258 Header of 258 NguyễnPage Thanh Tùng 0947141139 – 0925509968 htpp://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Nhận xét: *) Ngoài cách phát biểu tường minh ý 1, ta gặp câu hỏi tương tự sau: – Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) giao điểm (C ) với trục hoành (với đường thẳng y  ax  b , với đường cong y  g ( x ) …) – Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) điểm thoả mãn điều kiện cho trước *) Các ý 3, 4, 5, 6, thực chất kiện cho biết f '( x0 ) phát biểu nhiều cách diễn đạt khác Ví dụ Cho hàm số y  f ( x)  x  x  x  có đồ thị (C ) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) : Tại điểm có tung độ 15 Tại điểm có hoành độ Tại giao điểm đồ thị (C ) với đường thẳng y  x  Tại điểm có hoành độ x0 , biết f ''( x0 )  chứng minh tiếp tuyến tiếp tuyến (C ) có hệ số góc nhỏ Giải: Ta có y '  f '( x )  x  12 x  Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm tiếp tuyến cần lập  f '(2)  3 Với x0    , suy phương trình tiếp tuyến cần lập: y  3( x  2)  hay y  3x   y0  f (2)  Với y0  15  x03  x02  x0   15  x03  x02  x0  16   ( x0  1)( x02  x0  16)   x0  1  f '(1)  24 Vậy phương trình tiếp tuyến cần lập là: y  24 x  Phương trình hoành độ giao điểm (C ) với đường thẳng y  x  là: x   y 1 x  x  x   x   x( x  x  5)    x   y   x   y  21 +) Với M (0;1)  f '(0)  , suy phương trình tiếp tuyến: y  x  2 +) Với M (1;5)  f '(1)  , suy phương trình tiếp tuyến: y  +) Với M (5; 21)  f '(5)  24 , suy phương trình tiếp tuyến: y  24 x  99 Footer Page of 258 Header of 258 NguyễnPage Thanh Tùng 0947141139 – 0925509968 htpp://www.facebook.com/giaidaptoancap3  f '(2)  3 Ta có y ''  f ''( x )  x  12 , f ''( x0 )   x0  12   x0     y0  f (2)  Suy phương trình tiếp tuyến cần lập: y  3x  Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị (C ) điểm có hoành độ x : y '( x )  f '( x)  3x  12 x   3( x  2)   3 , x   , suy y '( x)  3 x   x0 Vậy tiếp tuyến (C ) điểm có hoành độ x0 thỏa mãn f ''( x0 )  có hệ số góc nhỏ (đpcm) Ví dụ Cho hàm số y   x  x  có đồ thị (C ) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) : Song song với đường thẳng 3x  y   Có hệ số góc Vuông góc với đường thẳng y  x3 Tạo với trục hoành ( Ox ) góc  , biết tan   Cắt trục Ox, Oy hai điểm A, B cho OB  36OA Giải: Ta có y '  4 x  x Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm tiếp tuyến cần lập Tiếp tuyến có hệ số góc , suy ra: y '( x0 )   4 x03  x0   ( x0  1)(2 x02  x0  3)   x0  1  y0  y ( 1)  Vậy phương trình tiếp tuyến cần lập là: y  x  10 Đường thẳng 3x  y   viết lại thành: y   x  3 Khi tiếp tuyến song song với đường thẳng y   x  , suy ra: y '( x0 )   2  4 x03  x0     91  x03  x0    (2 x0  1)(4 x02  x0  3)   x0   y0  y    2   16 3  91 103 Tiếp tuyến cần lập là: y    x    hay y   x  (thỏa mãn điều kiện song song) 2  16 16 Footer Page of 258 16 Header of 258 NguyễnPage Thanh Tùng 0947141139 – 0925509968 Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y  htpp://www.facebook.com/giaidaptoancap3 x  , suy ra: y '( x0 )  6  4 x03  x0  6  x03  x0    ( x0  1)(2 x02  x0  3)   x0   y0  y (1)  Khi phương trình tiếp tuyến: y  6( x  1)  hay y  6 x  10 Do tiếp tuyến tạo với trục hoành ( Ox ) góc  , nên suy ra: y '( x0 )   tan    +) Với y '( x0 )   9   1503  4 x03  x0    x03  x0    x0   y0  y    16 16 16   256 Tiếp tuyến cần lập : y   +) Với y '( x0 )  16 9  1503 1539 hay y   x  x  16   256 16 256 9   1503  4 x03  x0   x03  x0    x0    y0  y     16 16 16   256 Tiếp tuyến cần lập : y    1503 1539 hay y  x  x  16   256 16 256 Gọi  góc tạo tiếp tuyến cần lập trục hoành, tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy hai OB 36OA điểm A, B , ta được: tan     36  y '( x0 )   tan   36 OA OA +) Với y '( x0 )  36  4 x03  x0  36  x03  x0  36   x0   y0  y (2)  14 Tiếp tuyến cần lập : y  36( x  2)  14 hay y  36 x  58 +) Với y '( x0 )  36  4 x03  x0  36  x03  x0  36   x0  2  y0  y (2)  14 Tiếp tuyến cần lập : y  36( x  2)  14 hay y  36 x  58 Ví dụ Cho hàm số y  (3m  1) x  m  m có đồ thị (Cm ) m tham số xm Với m  , viết phương trình tiếp tuyến (C1 ) song song với đường thẳng y  x  16 Tìm m để tiếp tuyến (Cm ) giao điểm đồ thị (Cm ) với trục hoành song song với đường thẳng d : y  x 1 Footer Page of 258 Header of 258 NguyễnPage Thanh Tùng 0947141139 – 0925509968 htpp://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Giải: Với m  ta có (C1 ) : y  4x , suy y '  x 1 ( x  1) Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm tiếp tuyến cần lập Khi tiếp tuyến M ( x0 ; y0 ) song song với đường thẳng y  x  16 nên suy ra: y '( x0 )    x   y0    ( x0  1)    ( x0  1)  x0  2  y0  +) Với M (0; 0) , phương trình tiếp tuyến: y  x (thỏa mãn) +) Với M (2;8) , phương trình tiếp tuyến: y  x  16 (loại) Vậy phương trình tiếp tuyến cần lập y  x Ta có: y '   m2  m  4m (Cm ) cắt trục hoành điểm M  ;0  Do tiếp tuyến (Cm ) M song ( x  m)  3m    m2  m   3m   song với đường thẳng d : y  x  nên: y '    m  1 m    1    2m   3m   +) Với m  1  M (1;0) , phương trình tiếp tuyến là: y  x  (loại) 3  +) Với m    M  ;  , phương trình tiếp tuyến là: y  x  (thỏa mãn) 5 5  Vậy m   giá trị cần tìm Nhận xét: Như qua Ví dụ ta nhận thấy, gặp dạng câu hỏi viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f ( x ) song song với đường thẳng y  ax  b , việc sử dụng kiện f '( x0 )  a điều kiện cần chưa đủ Do sau giải kết ta cần có bước kiểm tra lại điều kiện song song Ví dụ Cho hàm số y  x có đồ thị (C ) gốc tọa độ O x 1 Viết phương trình tiếp tuyến (C ) , biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến (C) M cắt hai trục Ox , Oy A, B cho tam giác OAB có diện tích Footer Page of 258 Header of 258 NguyễnPage Thanh Tùng Giải: Ta có y '  0947141139 – 0925509968 htpp://www.facebook.com/giaidaptoancap3 ( x  1) Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm tiếp tuyến cần lập Do tam giác OAB cân vuông O nên OA  OB , suy ra: y '( x0 )  1 Mà y '( x0 )  x  1 1   0, x0  1  y '( x0 )   2 ( x0  1) ( x0  1)  x0  2 +) Với x0   y0  y (0)  (loại M (0; 0)  O ) +) Với x0  2  y0  y (2)  , suy phương trình tiếp tuyến: y  1.( x  2)  hay y  x  (thỏa mãn) Vậy tiếp tuyến cần lập là: y  x  m   Vì M  (C ) nên M  m;  Phương trình tiếp tuyến (C ) M là:  m 1 y m m2 ( x  m )   y  x  (d ) (m  1) m 1 (m  1)2 (m  1)  m2 y  x   x  m2  Do d  Ox   A  tọa độ điểm A nghiệm hệ:   A( m ; 0) (m  1) (m  1)   y  y    x  m2 x   m2  y   2 Do d  Oy   B  tọa độ B nghiệm hệ:  (m  1) (m  1)   m  B  0;   (m  1)  x   y  (m  1)   Theo giả thiết: S OAB  m2    1 m2   OA.OB    m       (m  1)2  m 1     2m  m    1     m  m    M  1;  M   ; 1   2    2m  m    1   Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu toán M  1;  M   ; 1   2   Footer Page of 258 Header of 258 NguyễnPage Thanh Tùng 0947141139 – 0925509968 htpp://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Ví dụ Cho hàm số y  x  3mx  3(m  1) x  có đồ thị (Cm ) m tham số thực Tìm m biết tiếp tuyến đồ thị (Cm ) điểm K song song với đường thẳng x  y  K điểm thuộc đồ thị (Cm ) có hoành độ 1 Với m  Tìm hai điểm phân biệt M , N thuộc đồ thị (C2 ) cho tiếp tuyến đồ thị (C2 ) M N song song với thỏa mãn: a Độ dài MN  , đồng thời M , N có tọa độ nguyên b Đường thẳng MN vuông góc với đường thẳng x  y  2015  Giải: Ta có y '  3x  6mx  3(m  1) Do K  (Cm ) có hoành độ 1 , suy K ( 1; 6m  3) Khi tiếp tuyến K có phương trình: y  y '(1)( x  1)  6m   y  (9m  6) x  3m  (  ) 9m   Do  song song với đường thẳng x  y  (hay y  3x ) khi:  m 3m   Vậy giá trị cần tìm m   Với m  ta có đồ thị (C2 ) : y  x  x  x  , suy y '  x  12 x  M  (C2 )  M  a; a  6a  9a  1 Do  với a  b   N  (C2 )  N  b; b  6b  9b  1 Tiếp tuyến đồ thị (C2 ) M N song song với nên suy ra: y '(a )  y '(b)  3a  12a   3b  12b   (a  b)( a  b  4)   a  b  (do a  b  ) Do a  b  ta có: y N  yM  b3  a  6(b  a )  9(b  a )  (b  a ) (a  b)  ab  6(a  b)  9  (b  a)(1  ab)  Suy MN   b  a;(b  a )(1  ab)  a Với MN   MN  20  (b  a )2  (b  a )2 (1  ab)2  20 ( kết hợp với a  b  ) Footer Page of 258 Header 10Tùng of 258 NguyễnPage Thanh 0947141139 – 0925509968 htpp://www.facebook.com/giaidaptoancap3  (a  b) 1  1  ab    20  (16  4ab) (ab)  2ab    20    (ab)3  6(ab)  10ab    ab  (do a, b   ) ab  a  a  Khi ta có hệ:    a  b  b  b  Vậy M (1;5), N (3;1) M (3;1), N (1;5)   b Do b  a  nên MN   b  a;(b  a )(1  ab)  phương với vecto uMN  (1;1  ab)  Đường thẳng d : x  y  2015  có vecto phương ud  (1; 1)   a   b  Do MN  d  uMN ud     ab   ab    b   a  Vậy M (0;1), N (4;5) M (4;5), N (0;1) Bài toán 1.2 Nội dung toán : Cho hàm số y  f ( x ) có đồ thị (C ) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) qua điểm M ( x0 ; y0 ) Cách giải chung: +) Đường thẳng  có hệ số góc k qua M ( x0 ; y0 ) có phương trình : y  k ( x  x0 )  y0  f ( x )  k ( x  x0 )  y0 (1) +)  tiếp tuyến (C) hệ sau có nghiệm :  (2)  f '( x)  k +) Thay (2) vào (1) ta phương trình : f ( x)  f '( x )( x  x0 )  y0 (*) Giải phương trình (*) ta tìm x , sau thay vào (2) suy k Khi ta viết phương trình tiếp tuyến cần lập Chú ý : Do tiếp tuyến đồ thị hàm số chương trình phổ thông có hệ số góc (trường hợp phương trình tiếp tuyến hệ số góc x  a ), nên ta phép gọi phương trình có hệ số góc k cách trình bày 10 Footer Page 10 of 258 Header 42Tùng of 258 NguyễnPage Thanh 0947141139 – 0925509968 htpp://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Ta có phương trình:  x  x  m   x  x   4m  (1) Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm đồ thị (C ) đường thẳng y  4m  (có phương vuông góc với Oy ) Do dựa vào đồ thị ta có: +) Nếu 4m   3  m  1 phương trình vô nghiệm +) Nếu 4m   3  m  1 phương trình có nghiệm phân biệt +) Nếu 3  4m    1  m  phương trình có nghiệm phân biệt +) 4m    m  phương trình có nghiệm phân biệt +) 4m    m  phương trình có nghiệm phân biệt  m  1 Vậy, ta có m  1 : Phương trình vô nghiệm;  : Phương trình có nghiệm phân biệt m   m  : Phương trình có nghiệm phân biệt; 1  m  : Phương trình có nghiệm phân biệt Nhận xét: Ngoài cách giải ta giải theo Bài toán 3.1 Trường hợp Ví dụ (A – 2002) Cho hàm số y   x3  x (C ) Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số Tìm m để phương trình:  x3  3x2  m3  3m2  có nghiệm phân biệt Giải: Bạn đọc tự khảo sát vẽ đồ thị sau: 42 Footer Page 42 of 258 Header 43Tùng of 258 NguyễnPage Thanh 0947141139 – 0925509968 Xét phương trình  x3  3x2  m3  3m2  Cách 1: Ta có (1)   x3  x   m3  3m htpp://www.facebook.com/giaidaptoancap3 (1) (2) Số nghiệm (2) số giao điểm đồ thị (C ) đường thẳng y   m3  3m (có phương vuông góc với trục Oy ) Nên dựa vào đồ thị ta thấy phương trình (1) có nghiệm khi:   m3  3m  (*) Cách 1.1: Xét hàm f (m)   m3  3m có đồ thị giống (C ) (biến m ) 1  m  Do dựa vào đồ thị ta có : (*)  f (m)  (0; 4)   m  0; m  m3  3m  m (m  3)  Cách 1.2: Ta có (*)     2 m  3m   ( m  1)(m  2)  0  m   1  m    2  m  1 m  0; m  Cách 2: Ta có : (1)  ( x  m)  x  (m  3) x  m  3m   x  m  2  f ( x )  x  (m  3) x  m  3m  (2) (1) có nghiệm phân biệt (2) có hai nghiệm phân biệt khác m  1  m    3m  3m       f (m)  3m  6m  m  0; m  43 Footer Page 43 of 258 Header 44Tùng of 258 NguyễnPage Thanh 0947141139 – 0925509968 htpp://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Bài toán 3.3 Nội dung toán : Dựa vào đồ thị hàm số y  f ( x) (C ) suy đồ thị hàm số chứa trị tuyệt đối Cách giải chung: Trường hợp 1: Dựa vào đồ thị hàm số y  f ( x) (C ) , suy đồ thị hàm số y  f ( x ) (C1 ) Cách vẽ:  f ( x ) f ( x)  (1) Do đồ thị (C1 ) gồm hai phần: (C1 ) : y  f ( x )    f ( x ) f ( x)  (2) +) Phần (1) : phần không nằm phía trục hoành đồ thị (C ) +) Phần (2) : phần đối xứng phần trục hoành (C ) qua trục Ox Trường hợp 2: Dựa vào đồ thị hàm số y  f ( x) (C ) , suy đồ thị hàm số y  f ( x ) (C2 ) Nhận xét : (C2 ) : y  f ( x ) hàm số chẵn nên (C2 ) nhận Oy làm trục đối xứng Cách vẽ: 44 Footer Page 44 of 258 Header 45Tùng of 258 NguyễnPage Thanh 0947141139 – 0925509968 htpp://www.facebook.com/giaidaptoancap3  f ( x) x  (1) (C2 ) : y  f ( x ) =  Do đồ thị (C2 ) gồm hai phần  f ( x) x  (2) +) Phần (1) : Phần đồ thị (C ) nằm bên phải trục Oy +) Phần (2) : Phần đồ thị lấy đối xứng qua Oy phần (1) Nhận xét: Ngoài trường hợp gặp dạng: *) Dựa vào đồ thị hàm số y  f ( x )  u ( x ).v( x ) (C ) , suy đồ thị hàm số y  u ( x) v( x ) (C3 ) *) Dựa vào đồ thị hàm số (C ) : y  f ( x ) suy đồ thị hàm số sau: +) (C4 ) : y  f ( x ) (Trường hợp 4) +) (C5 ) : y  f ( x ) (Dựa vào Trường hợp sau đến Trường hợp 1) +) (C6 ) : y  f ( x ) ( Dựa vào Trường hợp sau đến Trường hợp 4) +) (C7 ) : y  f ( x ) ( Dựa vào TH2 sau đến TH1 cuối TH4)” Song xác suất xuất dạng toán đề thi thấp, nên tác giả không đề cập sách x  x 2 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Ví dụ Cho hàm số y  Tìm m để phương trình x4  x  m  2m   có nghiệm thực phân biệt Giải: Bạn đọc tự làm câu này, ta đồ thị hàm số y  45 Footer Page 45 of 258 x  x 2: Header 46Tùng of 258 NguyễnPage Thanh x4  2x2  0947141139 – 0925509968 htpp://www.facebook.com/giaidaptoancap3 m  2m  Ta có:   x  x   m  2m   x  x   (*) m  2m  4 4 1  x  x   f ( x)  f ( x)  Ta có: y  x  x  =    x  x     f ( x ) f ( x)     Do đồ thị hàm số vẽ sau: Số nghiệm (*) số giao điểm đồ thị hàm số y  m  2m  x  x  y  4 m  2m  có phương vuông góc với trục Oy Nên để phương trình có nghiệm thực thì:  (2*) (2*)  m4  2m    (m  1)   m   m  1 Vậy m  1 giá trị cần tìm Ví dụ (B – 2009) Cho hàm số y  x  x (C ) Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số Với giá trị m, phương trình x x   m có nghiệm thực phân biệt Giải: Bạn đọc tự làm câu này, ta đồ thị hàm số y  x  x : 46 Footer Page 46 of 258 Header 47Tùng of 258 NguyễnPage Thanh 0947141139 – 0925509968 htpp://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Ta có x x   m  x  x  2m Phương trình có nghiệm thực phân biệt đường thẳng y  2m (có phương vuông góc với trục Oy ) cắt đồ thị hàm số y  x  x điểm phân biệt 2 x  x  f ( x )  f ( x)  Biến đổi y  x  x     x  x    f ( x ) f ( x)  Do ta có đồ thị hàm hàm số y  x  x đường thẳng y  2m : Dựa vào đồ thị, yêu cầu toán thỏa mãn khi:  2m    m  Vậy giá trị m cần tìm  m  Ví dụ (A – 2006) Cho hàm số y  x  x  12 x  (C ) Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt : x  x  12 x  m Giải: Bạn đọc tự làm câu này, ta đồ thị hàm số y  x  x  12 x  : 47 Footer Page 47 of 258 Header 48Tùng of 258 NguyễnPage Thanh 0947141139 – 0925509968 htpp://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Ta có x  x  12 x  m  x  x  12 x   m  Phương trình có nghiệm thực phân biệt đường thẳng y  m  (có phương vuông góc với trục Oy ) cắt đồ thị hàm số y  x  x  12 x  điểm phân biệt Hàm số y  x  x  12 x  hàm chẵn , nên đồ thị nhận Oy trục đối xứng Do từ đồ thị hàm số (C ) vẽ cầu 1, ta suy đồ thị hàm số : y  x  x  12 x  Dựa vào đồ thị, yêu cầu toán thỏa mãn khi:  m     m  Vậy giá trị m cần tìm  m  48 Footer Page 48 of 258 Header 49Tùng of 258 NguyễnPage Thanh 0947141139 – 0925509968 htpp://www.facebook.com/giaidaptoancap3 BÀI TOÁN 4: Bài toán tìm điểm thuộc đồ thị Nội dung toán : Tìm điểm M thuộc đồ thị y  f ( x ) thỏa mãn điều kiện (*) cho trước Cách giải chung: Bước 1: Do M thuộc đồ thị y  f ( x ) nên gọi M ( m; f ( m)) Bước 2: Cắt nghĩa điều kiện (*) để thiết lập phương trình : g ( m)   m  tọa độ điểm M Ví dụ 1(A, A1 – 2014) Cho hàm số y  cách từ M đến đường thẳng y   x x2 (C ) Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C ) cho khoảng x 1 Giải:  m2 +) Do M  (C ) nên gọi M  m;  với m   m 1  +) Đường thẳng y   x viết lại thành : x  y  (  ) m Khi d ( M , )   m2  m  2m   m   M (0; 2) m 1   m2   m       m  2  M (2;0)  m  2m  Vậy M (0; 2) M ( 2; 0) Ví dụ Tìm đồ thị (C ) : y  x2 điểm M cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng x3 khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang  m2 Giải: +) Do M  (C )  M  m;  với m   m 3  Tiệm cận đứng có phương trình: x  hay x   (1 ) Tiệm cận ngang có phương trình: y  hay y   ( )  m   M (4;6) 1 m2 +) d ( M , 1 )  d (M ,  )  m     (m  3)2     5 m 3  m   M (2; 4) Vậy M (4; 6) M (2; 4) 49 Footer Page 49 of 258 Header 50Tùng of 258 NguyễnPage Thanh 0947141139 – 0925509968 htpp://www.facebook.com/giaidaptoancap3 2x 1 có đồ thị (C ) Tìm tọa độ hai điểm A, B đồ thị (C ) cho tiếp tuyến x 1 đồ thị (C ) A B song song với AB  Ví dụ Cho hàm số y  a  b  2a    2b   Giải: Do A  (C ), B  (C ) nên gọi A  a;  B  b;  với   a 1   b 1  a  1; b  Tiếp tuyến đồ thị (C ) A B song song nên suy ra: y '(a)  y '(b)  1 1  (a  1) (b  1)2 (với y '  1 )  (a  1)2  (b  1)2  a  b (loại) b   a (1) ( x  1)2  2a  2b   Mặt khác: AB   AB   ( a  b)      (2)  a 1 b 1  Thay (2) vào (1) ta được: 4(a  1)  a   b    ( a  1)   a   b  (a  1)  +) Với a  2, b   A(2;3), B (0;1) (thử lại thỏa mãn điều kiện song song) +) Với a  0, b   A(0;1), B (2;3) (thử lại thỏa mãn điều kiện song song) Vậy A(2;3), B (0;1) A(0;1), B (2;3) Ví dụ (HSG – Hà Nội – 2013) Cho hàm số y  x  3x  có đồ thị (C) Tìm điểm M , N   nằm (C) cho điểm I   ;  trung điểm đoạn thẳng MN   Giải: Do M  (C )  M (m; m3  3m  4)  xN  xI  xM  1  m Ta có I trung điểm MN nên:   N (1  m;  m3  3m) 3  y N  yI  yM   (m  3m  4)   m  3m m   M (1; 2), N (2; 2) Mặt khác : N  (C )   m3  3m  (1  m)3  3(1  m)   m  m       m  2  M (2; 2), N (1; 2) Vậy M (1;2) N (2; 2) M (2;2) N (1; 2) Chú ý: Ngoài cách phát biểu trên, toán hỏi theo cách diễn đạt sau:   “Tìm (C ) hai điểm M , N đối xứng với qua điểm I   ;  ”   50 Footer Page 50 of 258 Header 51Tùng of 258 NguyễnPage Thanh 0947141139 – 0925509968 htpp://www.facebook.com/giaidaptoancap3 2x 1 có đồ thị (C) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) cho khoảng cách từ x 1 giao điểm I hai đường tiệm cận (C ) tới tiếp tuyến (C ) M lớn Ví dụ Cho hàm số y  Giải: +) Tiệm cận đứng, ngang (C ) x  1 y   I ( 1; 2)  2m   +) Do M  (C )  M  m;  với m  1 Khi phương trình tiếp tuyến (C ) M là: m 1   y 2m  ( x  m)   3x  (m  1) y  2m2  2m   (  ) (m  1) m 1 +) Ta có: d ( I , )   3  2(m  1)  2m  2m   (m  1)  (m  1)2 (m  1)  d ( M , )max     m 1  (m  1)   .( m  1) 2 (m  1)  m  1  2  ( m  1)  ( m  1)    (m  1)  m  1    Vậy M 1  3;  M 1  3;  thỏa mãn toán 51 Footer Page 51 of 258 Header 52Tùng of 258 NguyễnPage Thanh 0947141139 – 0925509968 htpp://www.facebook.com/giaidaptoancap3 BÀI TOÁN 5: Tính đơn điệu hàm số Bài toán 5.1 Nội dung toán : Tìm m để hàm số y  f ( x, m) đồng biến (hoặc nghịch biến)  Cách giải chung: Yêu cầu toán  f '( x, m)  (hoặc f '( x, m)  ) (*) x   Khi có cách giải quyết: a  a  Cách 1: Nếu f '( x, m)  ax  bx  c (*)   (   )     xét thêm điều kiện a  a chứa m Cách 2: Nếu (*)  h( m)  g ( x ) (hoặc h( m)  g ( x) ) toán tương đương: h(m)  max g ( x) ( h(m)  g ( x ) ) x x Ví dụ Cho hàm số y  ( m  1) x  (m  3) x  (m  5) x  Tìm m để hàm số đồng biến tập xác định Giải: Tập xác định: D   Yêu cầu toán tương đương với: y '  (m  1) x  2(m  3) x  m   với x   (*) Cách 1: +) Với m  1 : (*)  x   với x   (vô lí)  m  1 a  m    +) Với m  1 : (*)    m  '  12m   m  Cách 2: Ta có (*)  m( x  1)   x  x  với x   +) Với x  ta được:  12 với x   (luôn đúng) +) Với x  (*)  m   x2  6x   g ( x) với x   m  max g ( x ) ( x  1)2 x(  ;1) (1;  ) 52 Footer Page 52 of 258 Header 53Tùng of 258 NguyễnPage Thanh Xét g ( x )   0947141139 – 0925509968 htpp://www.facebook.com/giaidaptoancap3 x2  6x  8( x  2) với x   g '( x )  ; g '( x)   x  2 ( x  1) ( x  1)3 lim g ( x )  1 lim g ( x )   Do ta có bảng biến thiên sau: x  x 1 Khi ta có max g ( x)  x(  ;1) (1;  ) Vậy m  1 m 3 giá trị cần tìm Nhận xét: Ở ví dụ trên, cách giải cho ta lời giải ngắn gọn song có hạn chế sử dụng với dạng tam thức bậc hai Còn cách giải dài (cụ thể toán này) giải dạng f '( x, m) tam thức bậc 2, gặp “khó khăn” tham số m bậc Như cách có ưu nhược điểm khác Tùy vào số liệu cụ thể toán giúp ta chọn cách giải tối ưu Bài toán 5.2 Nội dung toán : Tìm m để hàm số y  f ( x, m) đồng biến (hoặc nghịch biến) ( a; b) ( với a  b  ) Cách giải chung: Yêu cầu toán  f '( x, m)  (hoặc f '( x, m)  ) (*) x  ( a; b) Ta có cách giải quyết: Cách 1: Nếu (*)  h( m)  g ( x ) (hoặc h( m)  g ( x) ) toán tương đương: h(m)  max g ( x) ( h(m)  g ( x) ) x( a;b ) x( a;b ) Cách 2: Nếu f '( x, m)  ax  bx  c ta sử dụng định lý thuận đảo dấu tam thức bậc (xem thêm phần Chú ý) 53 Footer Page 53 of 258 Header 54Tùng of 258 NguyễnPage Thanh 0947141139 – 0925509968 htpp://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Chú ý: *) Vì chương trình khóa học, định lý đảo dấu tam thức bậc bị lược bỏ Vì ta hạn chế sử dụng Cách Nếu muốn sử dụng phải “lách” cách chuyển so sánh với số sử dụng công thức nghiệm trực tiếp (sẽ thấy rõ qua ví dụ minh họa ) u ( x) *) Với trường hợp hàm số dạng phân thức y  hàm số đồng biến (hay nghịch biến) ( a; b) v( x)  y' u '( x).v( x)  v '( x).u ( x)  ( 0) với x  ( a; b) v ( x) h( x)  u '( x).v( x)  v '( x ).u ( x )  ( 0) , x  (a; b) v ( x )    *) Nếu biểu thức định dấu y ' không chứa x điều kiện (*) dấu "  " *) Ưu nhược điểm Cách Cách 2: +) Cách 1: Với f ( x, m) có dạng giải “tốt” m bậc +) Cách 2: Với m có bậc f ( x, m) phải đa thức bậc giải “nhẹ nhàng” (*) với x  R +) Cách thường sử dụng toán phức tạp mà khó giải với Cách Ví dụ (A,A1 – 2013) Cho hàm số y   x3  x  3mx  (1), với m tham số thực Tìm m để hàm số (1) nghịch biến khoảng (0; ) Giải: Yêu cầu toán  y '  3 x  x  3m  với x  (0;  )  f ( x )  x  x  m  với x  (0;  ) (*) Cách 1: (*)  m  x  x  g ( x ) với x  (0;  )  m  x(0; ) g ( x) Ta có g '( x )  x  ; g ( x )   x  Ta có bảng biến thiên: Khi m  x(0; ) g ( x)  1 Vậy m  1 đáp số toán 54 Footer Page 54 of 258 Header 55Tùng of 258 NguyễnPage Thanh 0947141139 – 0925509968 htpp://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Cách 2: Đồ thị hàm số f ( x )  x  x  m parabol có a   nên có bề lõm quay lên Vì (*) xảy : Trường hợp 1: f ( x ) nằm phía tiếp xúc với trục Ox ( f ( x )  với x   ) Khi phương trình f ( x )  thỏa mãn:    m   m  1 Trường hợp Trường hợp Trường hợp 2: f ( x ) cắt trục Ox điểm có hoành độ x1 , x2 cho: x1  x2  ( với x  (0;  ) f ( x )  )    m   Khi phương trình f ( x )  thỏa mãn:  S   (vô nghiệm)  P  m   Vậy giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán m  1 Nhận xét: Ta nhận thấy Trường hợp xảy đỉnh parabol là: I (1; 1  m) thuộc bên phải trục Oy mx  với m tham số thực Tìm m để hàm số : xm đồng biến khoảng (2;  ) nghịch biến khoảng ( ;1) Ví dụ Cho hàm số y  Giải: Ta có y '  m2  với x   m Dấu y ' dấu m2  (không chứa x ) nên để hàm số: ( x  m) m2   0, x  (2; ) đồng biến khoảng (2;  ) thì: y   0, x  (2;  )  ( x  m)  m2    m  2  m   m  2  m     m2  m  m    m  (2;  )    Vậy hàm số đồng biến (2;  ) m  55 Footer Page 55 of 258 Header 56Tùng of 258 NguyễnPage Thanh 0947141139 – 0925509968 nghịch biến khoảng ( ;1) thì: y   0, x  (;1)  htpp://www.facebook.com/giaidaptoancap3 m2   0, x  (;1) ( x  m) m   2  m  2  m      2  m  1 m  m  1 m  (;1) Vậy hàm số nghịch biến ( ;1) 2  m  1 Ví dụ Cho hàm số y   x  (m  1) x  (2m  3m  2) x  với m tham số thực Tìm m để hàm số nghịch biến (2;  ) Giải: Yêu cầu toán  y '  3 x  2(m  1)  2m  3m   0, x  (2; )  f ( x)  3x  2(m  1)  (2m  3m )  0, x  (2; ) (*) Ta có  '  (m  1)2  3(2m  3m  2)  7( m2  m  1)  0, m   Suy f ( x )  có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với m   Do đó: (*)  x1  x2   1 m   '   '  m 5 7(m  m  1)  (m  5) 6m  3m  18    m   m  5  3   m    m2  m  5 Vậy   m  đáp số toán Chuyên đề nhỏ trích sơ lược từ thảo sách tác giả: 10 CHUYÊN ĐỀ BÁM SÁT ĐỀ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG MÔN TOÁN Mọi ý kiến, xây dựng góp ý bạn gửi theo địa chỉ: Nguyễn Thanh Tùng Địa chỉ: Nhà số – Ngõ 880 – Bạch Đằng – Hai Bà Trưng – Hà Nội E-mail: giaidaptoancap3@yahoo.com CẢM ƠN CÁC BẠN ĐÃ QUAN TÂM VÀ ĐỌC TÀI LIỆU ! 56 Footer Page 56 of 258 ... 258 NguyễnPage Thanh Tùng 0947141139 – 0925509968 htpp://www.facebook.com/giaidaptoancap3 CHUYÊN ĐỀ 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN A KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ B CÁC BÀI TOÁN LIÊN... yêu cầu) Header 1 5Tùng of 258 NguyễnPage Thanh 0947141139 – 0925509968 htpp://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Bài toán 2: Các toán liên quan tới cực trị Bài toán 2.1 Nội dung toán : Viết phương... Header 2 8Tùng of 258 NguyễnPage Thanh 0947141139 – 0925509968 htpp://www.facebook.com/giaidaptoancap3 BÀI TOÁN 3: Bài toán giao điểm Bài toán 3.1 Nội dung toán : Tìm m để đồ thị hàm số y  g