Những bài toán tích phân, và áp dụng tính diện tích, thể tích và các bài toán liên quan

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ THÚY NHỮNG BÀI TOÁN TÍCH PHÂN VÀ ÁP DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ THÚY NHỮNG BÀI TOÁN TÍCH PHÂN VÀ ÁP DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS NGUYỄN MINH TUẤN HÀ NỘI - 2016 i Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn - người tận tình hướng dẫn để em hoàn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực luận văn Hà Nội, ngày 18 tháng 11 năm 2016 Học viên Vũ Thị Thúy ii Mục lục Lời cảm ơn i Lời mở đầu Chương Những toán thường gặp 1.1 Định nghĩa tính chất 1.1.1 Nguyên hàm 1.1.2 Tích phân 1.2 Các phương pháp tính nguyên hàm tích phân 1.2.1 Sử dụng nguyên hàm 1.2.2 Phương pháp đổi biến số 1.2.3 Tích phân phần 3 3 4 18 Chương Diện tích hình phẳng thể tích vật thể 2.1 Diện tích hình phẳng 2.1.1 Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số trục hoành 2.1.2 Hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số 2.2 Thể tích vật thể tròn xoay 2.2.1 Vật thể tạo cách quay hình phẳng quanh trục hoành 2.2.2 Vật thể tạo cách quay hình phẳng quanh trục tung 2.2.3 Khối cầu, khối trụ, khối nón, khối nón cụt 29 29 29 41 45 Chương Các toán liên quan 3.1 Một số ứng dụng tích phân sinh học kinh tế 3.1.1 Bài toán chế hoạt động trái tim người 3.1.2 Bài toán sinh lý tim mạch 3.1.3 Thặng dư tiêu dùng 53 53 53 54 55 45 48 50 iii 3.2 Một số ứng dụng tích phân vật lý 3.2.1 Công 3.2.2 Lực thủy tĩnh 57 57 59 Kết luận 62 Tài liệu tham khảo 63 Lời mở đầu Bài toán tích phân, áp dụng tích phân tính diện tích hình phẳng thể tích vật thể tròn xoay chương trình Giải Tích 12 dạng toán bản, thực tế quen thuộc Tuy nhiên em học sinh thường chưa có phân tích tư thực tế dẫn tới mắc sai lầm đưa lời giải sai, chưa xác Việc hệ thống hoá phương pháp giải, số sai lầm giải toán cho phép nhìn nhận toán theo hệ thống quán từ giúp em học sinh thấy thuật toán chung tránh sai lầm giải toán có liên quan Khắc phục khó khăn sửa chữa sai lầm cần thiết, giúp cho trình giải toán dễ dàng, thuận lợi đạt hiệu cao Đồng thời phát triển tư duy, lực sáng tạo học sinh học tập môn toán môn học khác Xuất phát từ thực tế trên, tổng hợp phương pháp tính tích phân bản, áp dụng tính diện tích hình phẳng thể tích vật tròn xoay, số toán liên quan Với sáng kiến“Phân loại tập tích phân, ứng dụng tích phân - Chương III - Giải tích 12 nâng cao” chủ yếu vào khai thác số toán ứng dụng tính phân để diện tích thể tích chương trình Giải tích THPT lớp 12 - nâng cao toán đề thi đại học năm gần nhằm tìm hướng giải cho toán cách xác, lôgíc khoa học Mục đích nghiên cứu đề tài nhằm xây dựng, hệ thống lại dạng tích phân thường gặp, áp dụng tính diện tích, thể tích cho học sinh đồng nghiệp giáo viên có nhìn toàn diện ứng dụng tích phân hình học tránh nhầm lẫn nhanh chóng giải toán Trên sở học sinh tự tìm tòi phát vướng mắc, cách giải hay nhiều toán khác Bố cục luận văn bao gồm chương: Chương 1: Những toán thường gặp Chương 2: Diện tích hình phẳng thể tích vật thể Chương 3: Các toán liên quan Do thời gian thực khóa luận không nhiều, kiến thức hạn chế nên làm luận văn không tránh khỏi hạn chế sai sót Tác giả mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 18 tháng 11 năm 2016 Học viên Vũ Thị Thúy Chương Những toán thường gặp 1.1 Định nghĩa tính chất 1.1.1 Nguyên hàm Định nghĩa 1.1.1 Cho hàm số f (x) xác định K Hàm số F (x) gọi nguyên hàm hàm số f (x) K F (x) = f (x) với x thuộc K Ký hiệu: f (x)dx = F (x) + C Nhận xét 1.1.2 Khi bắt đầu học nguyên hàm em học sinh thường hay lúng túng hay bị nhầm với đạo hàm Để tránh bị nhầm em nên nhớ rằng: “để tính f (x)dx ta cần tìm hàm số cho đạo hàm f (x)” Tính chất 1.1.3 (i) f (x)dx = f (x) (ii) kf (x)dx = k (iii) [f (x) ± g(x)]dx = 1.1.2 f (x)dx f (x)dx ± g(x)dx Tích phân Định nghĩa 1.1.4 Ta có công thức Newton - Leibniz b b = F (b) − F (a) f (x)dx = F (x) a Tính chất 1.1.5 a b a f (x)dx = − (i) a f (x)dx b b b f (x)dx ∀k ∈ R kf (x)dx = k (ii) a a f (x)dx ± [f (x) ± g(x)] dx = (iii) f (x)dx + f (x)dx = a a 1.2 c b c g(x)dx a a a (iv) b b b f (x)dx b Các phương pháp tính nguyên hàm tích phân Việc tính nguyên hàm hàm số không đơn giản chút Do mà đưa phương pháp có tính đường lối, dẫn dắt từ đạo hàm hàm hợp đạo hàm hai hàm Đó phương pháp sử dụng nguyên hàm bản, phương pháp đổi biến số, phương pháp tính Tích phân phần 1.2.1 Sử dụng nguyên hàm Phương pháp Chúng ta sử dụng nguyên hàm hàm số sơ cấp để xác định nguyên hàm từ tính giá trị tích phân kdx = kx + C; xα dx = xα+1 +C α+1 (α ∈ R, α = −1); dx = ln |x| + C; x ax x a dx = + C; ln a ex dx = ex + C; dx = arctan x + C đặt x = tan t/2; + x2 dx √ sin xdx = − cos x + C; cos xdx = sin x + C − x2 = arcsin x + C; Các ví dụ Ví dụ √ 1.2.1 Tính tích phân sau: (x3 + 2x + 1)dx; a) I = 1 e3x+1 dx b) I = −1 Lời giải a) Áp dụng nguyên hàm hàm sơ cấp ta có I= √ x4 + x2 + x = (1 + + √ 2) − 1 √ + + = + 4 b) Áp dụng nguyên hàm hàm sơ cấp ta có I= e3x+1 −1 = (e4 − e0 ) Một số tập tương tự: Tính tích phân sau: π 3 dx ; (x−4)4 cos4 x dx; x(x2 − 1) dx; −2 −1 −x3 ex +x2 dx x3 Ví dụ 1.2.2 Tính tích phân sau a) b) x2 dx; (x+1)3 √ √ √ 2x x−2 x) √ x+ln(1+ √ dx; x(1+ x) c) x3 +x2 −x+1 dx √ x −2x +1 Lời giải a) Áp dụng nguyên hàm hàm sơ cấp ta có x2 (x + 1) dx = (x + − 1)2 (x + 1)3 dx 49 Hình 2.20 trục hoành ta vật thể tròn xoay Thể tích vật thể tính theo công thức b [g(y)]2 dy V =π a Ví dụ 2.2.5 Cho hình phẳng (H) giới hạn đường cong (C ): x2 + 4y = 4, trục tung, hai đường thẳng x = 2, y = Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo quay hình phẳng quanh trục tung Hình 2.21 Lời giải Ta có (C): x2 + 4y = ⇔ x2 = − 4y ⇔ x = 21 − 4y Gọi V1 thể tích vật thể tròn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn nửa elip (E ), trục tung hai đường y = 0, y = quanh trục tung V1 = π ( − 4y )2 dy 2(1 − y )2 dy =π 50 y3 =π − y dy = π(y − ) 2π = π(1 − ) = 3 Gọi V2 thể tích vật thể tròn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn đường thẳng x = 2, trục tung hai đường thẳng y = 0, y = quanh trục tung 2 V2 = π dx = π 4dx = 8π (đvtt) Thể tích vật thể cần tính V = V2 − V1 = 8π − 2.2.3 2ππ 22π = (đvtt) 3 Khối cầu, khối trụ, khối nón, khối nón cụt a Thể tích khối cầu Trong hệ tọa độ Oxy cho nửa đường tròn có phương trình (P): x2 + y = r2 với r > y ≥ (Hình 2.22) Hình 2.22 Quay nửa hình tròn quanh trục hoành ta khối cầu có bán kính r Thể tích khối cầu V = πr3 (đvtt) 51 √ √ Lời giải Ta có x2 + y = r2 ⇔ y = ± r2 − x2 Với y ≥ ta có y = r2 − x2 có đồ thị nửa đường tròn phía trục hoành Khối cầu sinh √ quay hình phẳng giới hạn y = r2 − x2 , Ox > nên áp dụng công thức có r V =π r2 ( − x2 ) r (r2 − x2 )dx = 2π(r2 x − dx = 2π −r = 2π(r3 − x3 ) r 4π.r3 r3 )= (đvtt) 3 b Thể tích khối trụ Cho hình phẳng (hình chữ nhật) giới hạn đường thẳng y = r (r > 0); trục hoành đường thẳng x = 0; x = h(h > 0) Quay hình phẳng quanh trục hoành ta khối trụ có bán kính đáy r chiều cao h Thể tích vật thể tròn xoay (khối trụ) h r2 dx = (π.r2 x) V =π h = π.r2 h − π.r2 = π.r2 h (đvtt) 0 c Thể tích khối tròn xoay xr h (r > 0, h > 0); trục hoành hai đường thẳng x = 0; x = h (Hình 2.23) Quay hình phẳng (H) quanh trục hoành ta khối nón có bán kính đáy r chiều cao h Khi thể tích khối nón Cho hình phẳng (H) (tam giác vuông) giới hạn đồ thị hàm số y = h V =π r r2 ( x)2 dx = π h h h x2 = ( r2 x3 π ) h2 h = π.r2 h3 π.r2 h = (đvtt) 3.h2 d Thể tích khối nón cụt r x, trục hoành a hai đường thẳng x = a; x = b(b > a > 0; R > r > 0) (Hình 2.24) Quay hình thang vuông quanh trục hoành ta khối nón cụt có bán kính đáy lớn R, bán kính đáy nhỏ r chiều cao h = b−a Thể tích khối nón cụt tạo thành Cho hình thang vuông giới hạn đồ thị hàm số y = b V =π a r π.r2 x dx = a a b π.r2 x3 x dx = a2 a b a 52 Hình 2.23 Hình 2.24 π.r2 π.r2 = (b − a ) = (b − a).(b2 + ab + a2 ) 3a2 3a2 Vì x = a ta có y = r x = b ta có y = r b R b = R ⇒ = Do a r a π.r2 π.r2 h b2 b 2 h.(b + ab + a ) = ( + + 1) 3a2 a2 a π.r2 h R2 R π.h ( + + 1) = (R + R.r + r2 ) (đvtt) = r r V = Chú ý: V = π.R2 b − π.r2 a = π3 (R2 b − r2 a) 53 Chương Các toán liên quan Chúng ta biết ứng dụng phép tính tích phân hình học, đại số Chương tham khảo chủ yêu [Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Trung Học Phổ Thông: Một số vấn đề chọn lọc tích phân] Trong đó, chương giới thiệu số ứng dụng phép tính tích phân đời sống 3.1 Một số ứng dụng tích phân sinh học kinh tế 3.1.1 Bài toán chế hoạt động trái tim người Trên quan điểm vật lí, trái tim người hoạt động bơm, máu vào tâm thất trái qua van hai bơm vào thể qua van động mạch chủ nhờ co bóp, áp lực van tim thực tăng cách tuyến tính đặn từ áp lực tương tin khoảng 80 mmHg đến áp lực tâm nhĩ khoảng 120 mmHg Tính công tâm thất nhịp đập tim Lời giải Ta tính công tâm thất trái nhịp đập tim, với giả thiết thể tích tâm thất giảm khoảng 75 cm3 lần co bóp Ta biết 100mmHg = 1, 33 × 105 dyn/cm2 để thuận tiện, ta hình dung hoạt động tim lần co bóp thực piston di chuyển từ x = đến x = a Nếu A diện tích đầu piston, ta có aA = 75 Áp lực P (x) tác động lên piston hoạt động 40 P (x) = X + 80 a 54 Bây giờ, ta xét lực biến đổi thực để piston hoạt động cú đập P (x)A sinh cú đập n W = n p(x)Adx = A 0 20 40x + 80 dx = A x + 80x a a a = 100Aa(1, 33 × 105 dyn/cm2)75 cm3 Trong trường hợp người cân nặng 120 kg có nhip tim 60, ta tính tim làm việc 24 tạo công đủ để nâng người lên khoảng cách thẳng đứng cao 500m 3.1.2 Bài toán sinh lý tim mạch Động mạch lớn thể người - động mạch chủ - ống to ngón tay người có vóc dáng trung bình Tim bơm máu qua ống mạnh để hạt máu gần trung tâm chuyển động với vận tốc gần 50cm/s Mặt khác, máu chất lỏng dính nên gần thành động mạch, máu có khuynh hướng bám vào thành mạch, tốc độ gần Bài toán tính toán lượng máu đầy đủ tình đòi hỏi phải lấy phép tính phân phương pháp bao trụ Chúng ta thường nghĩ cách đơn giản chất lỏng chạy qua tuýp hình trụ với vận tốc không đổi s0 lúc thể tích chảy qua điểm cố định đơn vị thời gian x0 A, A diện tích thiết diện cắt ngang ống Tuy nhiên, biết dòng máu động mạch người chạy phức tạp nhiều Giả sử động mạch ống hình trụ bán kính R độ dài L Bởi tính dính máu, dòng máu đóng vai trò lớp mỏng hình trụ, máu lớp chuyển động với vận tốc xấp xỉ máu khác lớp chạy với vận tốc khác Máu chạy chậm gần thành mạch nhanh gần trung tâm, gọi dòng chảy theo lớp, lớp bên trượt nhanh lớp bên Quan hệ xác vận tốc s khoảng cách r từ trung tâm cho công thức P s= (R2 − r2 ) (3.1) 4hL P áp suất khác hai đầu động mạch, h - độ dính máu 55 Chú ý công thức cho giá trị tốc độ r = R tốc độ P R2 lớn r = Thông thường đo R, r L centimet, P 4hL dyn/cm2, s cm/s Giá trị điển hình R người R = 0, cm giá trị lý tưởng đối P với số = 500 Với giá trị này, công thức (3.1) trở thành 4hL s = 500(0, 22 − r2 ) = 20 − 500r2 cm/s (3.2) Đồ thị hàm số phần parabol đồ thị rõ tốc độ máu trượt nhanh đạt đến gần vị trí gần thành mạch Do đó, trung tâm, tốc độ s 20 cm/s, r = 0, 15 ta có s 200 − 500(0, 15)2 = 8, 75cm/s Để tính dòng chay F (thể tích toàn máu chảy qua điểm cố định đơn vị thời gian) ta có phần tử dòng chảy dF bao trụ mỏng với bán kính dF độ dày dr dF = s2πrdr = πP P (R2 − r2 )2πrdr = (R2 r − r3 )dr 4hL 2hL Sau cộng tất phần tử dòng chảy tất bao, tức lấy tích phân từ đến R R F = = πP R r − r3 dr 2hL πP 2 R R r − r = R 8hL dF = πP 2hL πP R gọi công thức Poiseuille lĩnh vực sinh lý 8hL tim mạch Nó dòng chảy tỉ lệ với lũy thừa bậc bốn bán kính động mạch, gấp đôi bán kính dòng chảy tăng lên 16 lần Công thức F = 3.1.3 Thặng dư tiêu dùng Giả sử hàm p(x) biểu thị công ty đưa để bán x đơn vị hàng hóa Thông thường, để bán số lượng hàng hóa lớn phải đặt giá thấp, hàm cầu hàm giảm Đồ thị hàm cầu điển hình gọi đường cầu, thường có dạng cong dốc xuống thể mối quan hệ nghịch biến giá bán lượng cầu 56 Nếu X lượng hàng hóa có công ty, P = p(X) giá bán tương ứng mà công ty đặt để bán hết X đơn vị hàng hóa Căn vào mức thỏa mãn người tiêu dùng sản phẩm, ta chia đoạn [0; X] thành n đoạn nhau, với độ dài đoạn ∆x = X/n, chọn x∗i = xi điểm mút bên phải đoạn thứ i Nếu sau bán xi−1 đơn vị hàng hóa đầu tiên, số lượng tổng cộng xi đơn vị hàng hóa chuẩn bị bán ra, giá cho đơn vị hàng hóa p(xi ) đôla, ta bán thêm tối đa ∆x đơn vị hàng hóa Người tiêu dùng thay trả p(xi ) đôla, giá cao so với giá trị sản phẩm; họ nghĩ cần phải tính toán để mua chúng với giá thấp, với giá trị hàng hóa Vì vậy, việc phải trả P đôla lượng tiền mà người tiêu dùng tiết kiệm (tiết kiệm đơn vị)·(số đơn vị hàng hóa) = [p(xi ) − P ]∆x Xét nhóm người tiêu dùng có mức giá sẵn lòng trả tương tự cho đoạn cộng tất lượng tiền người tiêu dùng tiết kiệm sau n đoạn hàng hóa tiêu dùng hết, ta có tổng tiết kiệm n [p(xi ) − P ]∆x i=1 X Nếu ta cho n → ∞, tổng Riemann dẫn đến tích phân [p(x)−P ]dx Trong kinh tế học, ta gọi tích phân thặng dư tiêu dùng hàng hóa Thặng dư tiêu dùng biểu diễn lượng tiền người tiêu dùng tiết kiệm mua hàng hóa với giá P , tương ứng với lượng cầu hàng hóa X Ví dụ 3.1.1 Tổng cầu sản phẩm với đơn vị tính đôla cho sau p = 1200 − 0, 2x − 0, 0001x2 Tìm thặng dư tiêu dùng mức giá bán 5000 Lời giải Với số lượng sản phẩm bán X = 500, thay vào hàm cầu ta có mức giá tương ứng P = 1200 − (0.2)(500) − (0.0001)(500)2 = 1075 Từ định nghĩa trên, ta có thặng dư tiêu dùng 500 500 (1200 − 0.2x − 0.0001x2 − 1075)dx [p(x) − P ]dx = 0 57 500 (125 − 0.2x − 0.0001x2 )dx = x3 500 0.0001 · 5003 = 125 · 500 − 0.1 · 500 − = 33.33 (đô la) = 125x − 0.1x2 − 0.0001 3.2 Một số ứng dụng tích phân vật lý Trong số ứng dụng phép tính tích phân vật lí, quan tâm đến vấn đề: công lực thủy tĩnh 3.2.1 Công Nếu lực không đổi F tác dụng vào vật dọc theo khoảng cách d, công W sinh trình dịch chuyển tích lực F độ dài khoảng cách d mà tác động: W = F · d Ở đây, lực F hiểu tác dụng dọc theo hướng chuyển động Định nghĩa lực F không đổi Tuy nhiên, có nhiều lực không giữ nguyên giá trị suốt trình thực công Trong tình vậy, người ta thường chia trình thành nhiều phần nhỏ tính công toàn phần nhờ lấy tổng công tương ứng với phần phân chia (được tính nhờ phép tính tích phân) Đối với vật chuyển động gần mặt đất, lực chủ yếu không thay đổi độ lớn hướng tâm trái đất Do đó, vật nặng 40kg, nâng lên 3m từ mặt đất đặt lên bàn, từ định nghĩa cho ta biết phải thực công 10 m - kg Nhưng, vật đưa sang phòng khác đặt lên giá, tức không thực việc nâng cao hay hạ thấp nó, hoạt động không thực công nào, vật chuyển động với khoảng cách dọc theo hướng lực Như vậy, máy kéo kéo đá 20cm nhờ lực không đổi 2kg, lúc máy kéo thực công 40 cm - kg 58 Ví dụ 3.2.1 Một lò xo độ dài tự nhiên 16cm Khi bị kéo căng thêm x cm, theo định luật Hooke, lò xo chống lại với lực F = kx kg, k số Hằng số gọi số lò xo (coi số đo độ cứng lò xo) Để kéo căng lò xo thêm 2cm cần lực cần thiết 8kg Hãy tìm công sinh kéo lò xo từ độ dài tự nhiên đến độ dài 24cm? Lời giải Ta có với F = 8, x = ta suy k = F = 4x Khi lò xo kéo căng thêm đoạn nhỏ dx, lực thay đổi nhỏ độ tăng khoảng cách xem số Công tạo chống lại sức co lò xo dộ tăng khoảng cách dW = F dx = 4xdx công toàn sinh trình kéo căng lò xo W = dW = 4xdx = 2x2 F dx = = 128(cm − kg) Ta xem công sinh lực biến đổi tác động theo hướng cho trước điểm tác động chuyển động theo hướng Nếu ta đặt đường lực tác động tương ứng với trục tọa độ x điểm tác động lực thay đổi từ x = a đến x = b, dW = F (x)dx phần tử công b W = dW = a F (x)dx cho ta công toàn phần sinh trình Ví dụ 3.2.2 Theo định luật hấp dẫn Newton hai phần tử vật chất có khối lượng M m tác động lẫn với lực F có độ lớn tỉ lệ thuận với tích hai khối lượng tỉ lệ nghịch với bình phương chúng F =G Mm , r2 đó, G gọi số hấp dẫn Nếu cố định M , công phải để chuyển m từ r = a đến r = b (giả sử a < b) Lời giải Phần tử công Dw = F dr = GM m dr r2 Do đó, công toàn phần b W = dW = GM m a dr 1 = GM m ab = GM m − r r b a 59 Nếu ta coi vị trí f = b đươc chọn ngày xa dần cho b → ∞, công GM m W đạt đến giá trị giới hạn Đại lượng công cần phải có để a chống lại lực hút chuyển động vật có khối lượng m từ r = a đến khoảng cách vô tận, tức tách hoàn toàn hai khối lượng gọi hai phần tử Các ví dụ liên quan đến lực thay đổi tác động dọc theo khoảng cách cho trước Trong ví dụ cho thấy khác biêt, có quan hệ chặt chẽ đến trình, mà phận cá thể trường hợp giọt nước - chuyển động khoảng cách khác tác động lực không đổi công toàn thể tính tổng công tương ứng với phận khác Ví dụ 3.2.3 Xét bình hình trụ bán kính r độ cao h chứa nước độ sâu D Tìm công sinh bơm nước qua méo bình? Lời giải Ta kí hiệu trọng lượng - mật độ cảu nước, tức trọng lượng đơn vị thể tích w Ta thấy giọt nước nâng lên từ vị trí ban đầu chúng qua mép bình đổ Công sinh trình tất giọt nước có khoảng cách so với mép bình Điều gợi cho ta cần xem xét nước lớp ngang mỏng có độ dày dx cách đáy bình x Ta có phần tử công dW cần thiết để nâng lớp nước qua mép bình ta tính công toàn thể cách lấy tổng phần tử công x tăng từ đến D, tức lớp nước đại diện quét qua toàn nước bình Ta tích lớp nước đại diện πr2 dx, trọng lượng wπr2 dx(h − x) Công toàn thể sinh bơm tất nước khỏi bình D W = dW = wπr 3.2.2 (h − x)dx = wπr2 hx − x2 D = wπr2 (hD − D2 ) Lực thủy tĩnh Trong mục này, đề cập sơ lược môn khoa học thủy tĩnh, có liên quan đến trạng thái tĩnh chất lỏng đặc biệt, ta tính lực hướng tác động lên thùng chứa nước trạng thái tĩnh Thùng dấy xem xét mục không mục đích cung cấp thêm 60 minh họa thuyết phục nhằm giải đề chương số lượng toàn thể tính nhờ chia phần nhỏ lấy tổn nhờ phương pháp lấy tích phân Nếu bồn với đáy hình chữ nhật đổ nước vào với độ sâu h lực tác động xuống phía lên bề mặt trọng lượng nước chứa bồn Nếu A diện tích đáy lực công thức F = whA (3.3) Trong đó, w trọng lượng riêng nước xấp xỉ 62,5kg/m3 Nếu ta chia (3.3) cho A ta có p = wh (3.4) Đó áp suất lực đơn vị diện tích nước tác động lên mặt đáy bồn Áp suất độ sâu h so với mặt nước coi trọng lượng cột nước có chiều cao h đơn vị nằm mặt phẳng ngang đơn vị diện tích, công thức (3.4) rõ, áp suất tỉ lệ với độ sâu, kích thước hình dạng bồn hoàn toàn liên quan Chẳng hạn, độ sâu m bể bơi áp suấy độ sâu 2m hồ nước có kích thước khác nhau, tìm thấy áp suất ống nghiệm thẳng đứng có đường kính 1cm đổ đầy 2m nước Do kiểm tra thực nghiệm điểm chất lỏng áp suất giống theo tất hướng Điều có nghĩa đĩa phẳng đặt phía bề mặt nước có áp suất tác động lên mặt đĩa độ sâu cho trước, đặt nằm ngang nằm đứng đặt theo góc, áp suất chuẩn bề mặt đĩa Giống người thợ lặn, kinh nghiệm thân mình, họ biết áp suất nước lên màng nhĩ phụ thuộc vào độ sâu lặn, không phụ thuộc vào góc độ nghiêng đầu lặn Bây giờ, ta tính lực tổng thể nước tác động lên mặt đáy bồn chứa, tích áp suất lên mặt đáy với diện tích đáy F = pA Giả sử ta có đĩa phẳng đặt chìm ngập nước theo chiều thẳng đứng Để tìm lực nước tác động lên mặt đĩa, chia mặt đĩa nhiều phần nhỏ mỏng theo chiều dải ngang Một dải tượng trưng hình vẽ độ sâu h so với mặt nư Bề dày dải dh nhỏ so với h áp suất coi không đổi có giá trị p = wh Diện tích dải dS = xdh, phần tử lực dF tác động lên dải cho công 61 thức dF = pdS = whxdh Lực tổng thể F tác động lên toàn bề mặt đĩa tính nhờ phép tích phân phần tử lực dF Khi quét dải đại diện mặt đĩa từ đỉnh xuống đáy b F = dF = whxdh a Sau đó, để khảo sát phép tích phân toán cụ thể, điều cần biết x coi hàm h xác định hình học theo dạng mặt đĩa Điều chủ yếu phương pháp việc sử dụng dải mỏng ngang áp suất coi không đổi dải lực tác động lên áp suất với diện tích dải Ví dụ 3.2.4 Một bể chứa nước tam giác có mặt ngang rộng 10m sâu 6m Tìm lực nước tác dụng lên thành bể nước đầy tràn Lời giải Dựa vào tính chất đồng dạng ta có x h = − ⇒ x = (36 − h) 10 Bởi h tăng từ đến nên F = 5 wh (36 − h)dh = w 36h2 − h3 3 = 60w = tons = 3750kg 62 Kết luận Luận văn trình bày vấn đề sau: • Những toán tích phân thường gặp • Bài toán áp dụng tích phân tính diện tích hình phẳng thể tích vật thể • Các toán ứng dụng tích phân thực tế Do hạn chế thời gian sức khỏe nên kết thu hạn chế, việc tính toán dựa phần mềm Maple chủ yếu dựa nội suy đa thức hồi quy Đề tài phát triển thêm nghiên cứu nhiều kỹ thuật ngoại suy khác có nhiều toán thực tế ứng dụng 63 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu, Đặng Huy Ruận, Nguyễn Thủy Thanh (2000), Phép tính vi phân tích phân hàm biến, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Văn Mậu (2004), Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Trung Học Phổ Thông: Một số vấn đề chọn lọc tích phân, Nhà xuất Giáo dục [3] Nguyễn Thủy Thanh (2001), Bài tập giải tích, Tập 1, 2, Nhà xuất Giáo dục [4] Lê Hồng Đức, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí (2003), Học ôn tập Toán Đại số, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội ... KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ THÚY NHỮNG BÀI TOÁN TÍCH PHÂN VÀ ÁP DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01... dụng tính diện tích hình phẳng thể tích vật tròn xoay, số toán liên quan Với sáng kiến“Phân loại tập tích phân, ứng dụng tích phân - Chương III - Giải tích 12 nâng cao” chủ yếu vào khai thác số toán. .. thống lại dạng tích phân thường gặp, áp dụng tính diện tích, thể tích cho học sinh đồng nghiệp giáo viên có nhìn toàn diện ứng dụng tích phân hình học tránh nhầm lẫn nhanh chóng giải toán Trên sở