SKKN: Tích phân đổi biến số hoctoancapba.com hoctoancapba.com MỤC LỤC Trang 1.Đặt vấn đề ( Bối cảnh lý chọn đề tài ) 2.Giải vấn đề ( Nội dung sáng kiến kinh nghiệm ) 2.1 Cơ sở lý luận vấn đề 2.2 Thực trạng vấn đề 2.3 Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề 2.3.1 Kiến thức học sinh cần nắm 2.3.2 Tiếp cận nhứng tốn x2 a) TÍCH PHÂN DẠNG ∫ ( ax + b) n dx x1 b ( ) n b) TÍCH PHÂN DẠNG ∫ xk−1 axk + b dx a b ( ) n 2k −1 axk + b dx ∫ mx a b c) TÍCH PHÂN DẠNG 11 ( ) dx 15 ) dx 17 ku' x ∫ u ( x) a b d) TÍCH PHÂN DẠNG ∫ a ( f ln x x b u( x ) e) TÍCH PHÂN DẠNG ∫ e u' ( x ) dx 19 a b n m f) TÍCH PHÂN DẠNG ∫ sin xcos xdx 21 a 2.4 Hiệu SKKN 23 Kết luận 24 Tài liệu tham khảo 25 Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang SKKN: Tích phân đổi biến số hoctoancapba.com CÁCH TIẾP CẬN BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ hoctoancapba.com ĐẶT VẤN ĐỀ Tốn học mơn khoa học phục vụ cho nhiều nghành nghề học tốt mơn tốn ln mục tiêu đặt học sinh Nhất kỳ thi kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thơng năm ln mục tiêu nhiều học sinh phụ huynh Vì việc vượt qua kỳ thi trở thành vấn đề quan trọng Trong đề thi tốt nghiệp năm ln có tốn tính tích phân Đây tốn coi khó học sinh học sinh trung bình – yếu Để làm tốn này, học sinh cần nắm định nghĩa tính chất ngun hàm, thuộc cơng thức ngun hàm hàm số sơ cấp phương pháp tính ngun hàm Để tính tốn tích phân học sinh khơng phải học thuộc kiến thức mà phải rèn luyện kỷ giải tốn thường xun Nhằm giảm bớt khó khăn q trình tính tốn, khó khăn gặp tốn tích phân đề thi tốt nghiệp năm, tơi đưa cách tiếp cận tốn tích phân cách phù hợp với trình độ học sinh trung bình yếu “CÁCH TIẾP CẬN BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ” Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang SKKN: Tích phân đổi biến số hoctoancapba.com Mục đích rõ ràng đề tài nhằm giúp học sinh giải tốt tốn tích phân nói riêng làm tốt thi tốt nghiệp THPT nói chung, xa làm tăng tỷ lệ mơn tốn trường kỳ thi tốt nghiệp năm NỘI DUNG ĐỀ TÀI 2.1 Cơ sở lý luận đề tài HiƯn thùc xung quanh cã nhiỊu c¸i mµ ngêi cha biÕt NhiƯm vơ cđa cc sèng vµ ho¹t ®éng thùc tiƠn lu«n ®ßi hái ngêi ph¶i hiĨu biÕt c¸i cha biÕt ®ã ngµy mét s©u s¾c, ®óng ®¾n vµ chÝnh x¸c h¬n, ph¶i v¹ch nh÷ng c¸i b¶n chÊt vµ nh÷ng quy lt t¸c ®éng cđa chóng Qu¸ tr×nh nhËn thøc ®ã gäi lµ t Nhưng để tư cần phải nắm kiến thức bản, kiến thưc tảng vấn đề nói đến hay sáng tạo Cơ sở lý luận đề tài “CÁCH TIẾP CẬN BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ” từ kiến thức vấn đề nhằm giúp học sinh tiếp cận với vấn đề cao mạch kiến thức Cụ thể hóa vấn đề mặt lý luận giúp hoc sinh độc lập giải vấn đề mà cụ thể vấn đề tốn tích phân kỳ thi mà đặc biệt dạng mà đề tài nghiên cứu đưa sáng kiến kinh nghiệm dạy học trường phổ thơng 2.2 Thực trạng đề tài 2.2.1 Tình hình thực tế học sinh trường: - Phần lớn học sinh trường đại bàn xã lân cận, lại khó khăn Điểm tuyển sinh vào lớp 10 khơng cao, lực học tập chủ yếu loại trung bình, chí số học sinh khả tính tốn hạn chế - Học sinh thường chịu tìm tòi, khám phá khơng thuộc (lười học) 2.2.2 Thực trạng đề tài “CÁCH TIẾP CẬN BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ” Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang SKKN: Tích phân đổi biến số hoctoancapba.com - Đây đề tài nghiên cứu phương pháp đổi biến số tóan tích phân trường THPT Nguyễn Khuyến - Đề tài hồn thành có ứng dụng khả thi cho học sinh, giáo viên tổ tốn trường kỳ thi - Do chương đòi hỏi học sinh phải có kiến thức nhiều, thc vận dụng lý thuyết nên học sinh thường khơng làm được, cụ thể kết kiểm tra chương tích phân năm học 2010 – 2011 lớp 12A4 sau: Điểm Số lượng đến 3.5 đến 4.5 đến 6.5 đến Trên 15 - Phân tích kết trên: số học sinh trung bình chiếm 60.5% , số học sinh trung bình chiếm tỉ lệ 39.5% số học sinh đạt điểm đề kiểm tra đảm bảo theo chuẩn kiến thức 2.2.3 Khó khăn đề tài: - Về tâm lý: gặp tốn tích phân học sinh thường ngại suy nghĩ cho tốn khó nên thường bỏ ln khơng làm - Về kiến thức: + Học sinh khơng thuộc bảng ngun hàm hàm số sơ cấp, cơng thức tính tích phân, tính chất ngun hàm tích phân + Khả nhận dạng dạng ngun hàm hay tích phân thấp + Khả tính tốn yếu hoctoancapba.com - Nghiên cứu ứng dụng cho học sinh với tầm kiến thức trung bình yếu nên mặt lý luận gặp khó khăn - Khả tiếp thu kiến thức học sinh nên việc triển khai đề tài có phần chậm 2.2.4 Thuận lợi: Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang SKKN: Tích phân đổi biến số hoctoancapba.com - Trong thực đề tài hỗ trợ bạn đồng nghiệp trường, tổ chun mơn - Đa số học sinh có phần hứng thú với cách tiếp cận mạch kiến thức - Học sinh chăm tích cực luyện tập kỹ giải tốn tích phân 2.3 Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề 2.3.1 Kiến thức học sinh cần nắm * Ngun hàm Kí hiệu K khoảng, đoạn khoảng ¡ Định nghĩa : Cho hµm sè f(x) x¸c ®Þnh trªn K Hµm sè F(x) ®ỵc gäi lµ nguyªn hµm cđa hµm sè f(x) trªn K nÕu F '(x) = f(x) víi mäi x ∈ K Định lý 1: NÕu F(x) lµ mét nguyªn hµm cđa hµm sè f(x) trªn K th× víi mçi h»ng sè C, hµm sè G(x) = F(x) + C còng lµ mét nguyªn hµm cđa f(x) trªn K Định lý : NÕu F(x) lµ mét nguyªn hµm cđa hµm sè f(x) trªn K th× mäi nguyªn hµm cđa f(x) trªn K ®Ịu cã d¹ng F(x) + C, víi C lµ mét h»ng sè ∫ f ( x) dx = F ( x) + C , C ∈ ¡ Là họ tất ngun hàm f(x) K * Tính chất ngun hàm Tính chất 1: Ví dụ : ∫ f ( x)dx ÷ ' = f ( x) ∫ f '( x)dx = f ( x) + C ( ∫ cos xdx ) ' = (sin x + C)' = cos x hay ∫ (cos x ) ' dx = ∫ ( − sin x )dx = cos x + C Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang SKKN: Tích phân đổi biến số hoctoancapba.com Tính chất2: ∫ kf ( x )dx = k∫ f ( x )dx k: số khác Tính chất 3: ∫ [ f ( x) ± g( x)] dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g( x)dx Bảng ngun hàm hàm số sơ cấp ∫ ∫ 0dx = C α ∫ dx = xα +1 + C (α ≠ 1) α +1 x x ∫ sin xdx = − cos x + C 1 dx = ln x + C x ∫ e dx = e ax + C (a > 0, a ≠ 1) ln a ∫ cos xdx = sin x + C ∫ dx = x + C ∫x a x dx = ∫ cos2 x dx = tanx + C ∫ sin2 x dx = − cot x + C +C TÍCH PHÂN Định nghĩa tích phân Cho f(x) hàm số liên tục [a; b] Giả sử F(x) ngun hàm f(x) [a; b] Hiệu số F(b) – F(a) đươc gọi tích phân từ a đến b f(x) b ∫ f ( x)dx = F ( x) b a = F (b) − F ( a) a TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN I) Tính chất : Giả sử f(x), g(x) liên tục K; a,b ∈ K Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang SKKN: Tích phân đổi biến số hoctoancapba.com a 1) ∫ f ( x ) dx = a 2) 3) 4) b a a b ∫ f ( x ) dx = −∫ f ( x ) dx b b a a ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x )dx b b b a a a ∫ f ( x ) ± g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx b c b a a c 5) ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx c ∈ ( a; b ) b 6) f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [ a; b ] ⇒ ∫ f ( x ) dx ≥ a b b a a 7) f ( x ) ≥ g ( x ) , ∀x ∈ [ a; b] ⇒ ∫ f ( x ) dx ≥ ∫ g ( x ) dx b 8) m ≤ f ( x ) ≤ M, ∀x ∈ [ a; b ] ⇒ m ( b − a ) ≤ ∫ f ( x ) dx ≤ M ( b − a ) a 9) t t biến thiên đoạn [ a; b ] ⇒ G ( t ) = ∫ f ( x )dx nguyên hàm f ( t ) G ( a ) = a Phương pháp đổi biến số Định lí 1: Cho hàm số f(x) liên tục [a; b] Giả sử hàm số x = ϕ(t) có đạo hàm liên tục đoạn [α; β] cho ϕ(α) = a, ϕ(β) = b a ≤ ϕ(t)≤ b với ∀t ∈ [α; β] b Khi đó: ∫ a β f ( x )dx = ∫ f [ ϕ (t )]ϕ ′ (t )dt α Định lí 2: Cho hàm số f(x) liên tục [a; b] Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục [a; b] α ≤ u(x) ≤ β với x ∈ [a; b] cho f(x) = g[u(x)]u′(x), g(u) liên tục [α; β] thì: Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang SKKN: Tích phân đổi biến số hoctoancapba.com b ∫ f ( x )dx = u( b ) ∫ g(u)du u( a ) a 2.3.2 Tiếp cận nhứng tốn x2 a) TÍCH PHÂN DẠNG ∫ ( ax + b) n dx x1 * Nhận xét Ta thấy hàm số dấu tích phân y = ( ax + b) , hàm số n khơng có ngun hàm trực tiếp, muốn giải ta phải đưa đa thức lấy ngun hàm Nhưng đưa đa thức vấn đề, n ta áp dụng đẳng thức hoctoancapba.com ( a ± b) = a2 ± 2ab + b2 Hay ( a ± b) = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 Ví dụ: Tính tích phân ∫ ( 2x + 1) dx Giải: ∫ ( 2x + 1) dx = ∫( Hoặc tính tích phân 4x3 13 4x2 + 4x + dx = + 2x2 + x ÷ = ÷ 0 ∫ ( 2x − 1) ) dx Giải: ∫( ) 2x − dx = ∫( ) ( 8x3 − 12x2 + 6x − dx = 2x4 − 4x3 + 3x2 − x ) = 10 Nhưng xem cách khơng khả quan đa số học sinh khơng nhớ đẳng thức ( a ± b) = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 Hơn n số ngun âm hay hữu tỷ cách khơng giải Để giải dạng tập tơi đưa cách giải khả thi sau: Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang SKKN: Tích phân đổi biến số hoctoancapba.com x2 ∫ ( ax + b) * Phương pháp giải n dx x1 + Bước 1: Đặt t = ax + b⇒ dt = adx ⇔ dt = dx a + Bước 2: Đổi cận: x = x1 ⇒ t = ax1 + b; x = x2 ⇒ t = ax2 + b + Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t + Bước 4: Tính tích phân theo t *Nhận xét: Như cách giải tránh việc phải nhớ đẳng thức Chỉ cần thực thao tác như: tính vi phân hàm bậc (việc dễ dàng) Cơng việc đổi cận khơng có khó khăn, việc tính giá trị hàm số bậc mà thơi * Các ví dụ minh họa: Tính tích phân sau: 1) ∫( ) 2x + dx 2) ∫( ) 3x − dx Giải: 1) ∫ ( 2x + 1) dx Đặt t = 2x + 1⇒ dt = 2dx ⇔ dt2 = dx Đổi cận: x = ⇒ t = 1; x = ⇒ t = Do ta có: ∫ ( 3 dt t5 242 121 2x + dx = ∫ t = = = 10 10 Người viết: Châu Thị Phương Thùy ) 4 Trang SKKN: Tích phân đổi biến số 2) ∫( ) hoctoancapba.com 3x − dx Đặt t = 3x − ⇒ dt = dx ⇔ dt3 = dx Đổi cận: x = ⇒ t = 1; x = 12 ⇒ t = Do ta có: ∫ ( 4 4 dt t 3x − dx = ∫ t = ) 23 − = * Phân tích ví dụ Thật cách giải có nhiều ưu điểm cách giải khác( trình a bày trên) Nhận xét d ( ax + b) = dx nên ta đưa cơng thức dạng tổng qt để học sinh áp dụng trực tiếp Ta có bảng sau ∫ ( ax + b ) α dx = 1 ( ax + b) α +1 + C (α ≠ 1) α +1 ∫ ( ax + b) dx = a ln ( ax + b) +C ax + b e +C a ∫ eax + bdx = ∫ amx + ndx = amx + n + C (a > 0, a ≠ 1) m ln a ∫ cos ( ax + b) dx = a sin ( ax + b) + C ∫ sin ( ax + b) dx = − a cos ( ax + b) + C 1 ∫ cos2 ( ax + b) dx = a tanx ( ax + b) + C 1 ∫ sin2 ( ax + b) dx = − a cot ( ax + b) + C * Bài tốn áp dụng 1) ∫ ( 2x + 1) −2 dx Người viết: Châu Thị Phương Thùy 2) dx ∫ 3x + Trang 10 SKKN: Tích phân đổi biến số hoctoancapba.com t5 t3 + Bước 4: ∫ ( t − t ) dt = − ÷ = 1 ***** Như day học sinh ta cần ý cho học sinh dấu hiệu nhận biết dạng số mũ x dấu hay lũy thừa số mũ x bên ngồi đơn vị hay k – đơn vị * Bài tập áp dụng: 1 2) ∫ x x + 3dx 1) ∫ x − x dx 0 1 3) ∫ x − x dx 4) ∫ x 5) x2 ∫ x +1 7) ∫ 9) 6) ∫ x − x dx dx x x3 + 1 ∫ x3 + dx 10) ∫ x x + 1dx 3 11) x2 8) ∫ dx x dx 2x +1 ∫ x + 1dx x x + 1dx 12) ∫x + x dx 0 Hướng dẫn giải: Đặt t = ( ) dx ∫ u ( x) b c) TÍCH PHÂN DẠNG ku' x a * Nhận xét Đây dạng đổi biến mà hàm số tử đạo hàm hàm số mẫu hàm số tử hệ số nhân với đạo hàm hàm số mẫu * Phương pháp giải Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 15 SKKN: Tích phân đổi biến số hoctoancapba.com + Bước 1: Đặt t = u ( x ) ⇒ dt = u' ( x ) dx + Bước 2: Đổi cận: x = a ⇒ t = u ( a ) ; x = b ⇒ t = u ( b) + Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t + Bước 4: Tính tích phân theo t * Ví dụ minh họa 1 2x − dx 1) ∫ x − 2x + 2) ∫x 4x − dx − 4x + Giải: 1) ∫x 2x + dx + 2x + + Bước 1: Đặt t = x + 2x + ⇒ dt = ( 2x + ) dx + Bước 2: Đổi cận: x = ⇒ t = 3; x = ⇒ t = 6 2x + dt dx = ∫ + Bước 3: ∫ t x + 2x + 3 + Bước 4: dt ∫t 2) ∫x = lnt = ln 4x + dx + 4x + + Bước 1: Đặt t = x + 4x + ⇒ dt = ( 2x + ) dx + Bước 2: Đổi cận: x = ⇒ t = 5; x = ⇒ t = 4x + dx = + Bước 3: ∫ x + x + 10 + Bước 4: ∫ 10 ∫ 2dt t 10 2dt = lnt = ln t **** Đối với dạng tập dạy cần ý cho học sinh ta thử tính đạo hàm hàm số mẫu so sánh với hàm số tử Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 16 SKKN: Tích phân đổi biến số hoctoancapba.com * Bài tập áp dụng: 1) ∫x x +1 dx + 2x + HD: Đặt t = x + 2x + ⇒ dt = ( 2x + ) dx 2x + dx + 3x + HD: Đặt t = x + 3x + ⇒ dt = ( 2x + 3) dx 2 2) ∫x 3) 2x − ∫ ( x + 2) −1 +1 dx HD: 2x + ∫ ( x + 2) −1 +1 dx = ∫x −1 2x + dx + 4x + Đặt t = x + 4x + ⇒ dt = ( 2x + ) dx 4) 4x − ∫ ( x − 1) ( x − ) 4x − ∫ ( x − 1) ( x − ) dx HD: dx = ∫x 4x − dx − 3x + 2 Đặt t = x − 3x + ⇒ dt = ( 2x − 3) dx ( ) 3x2 + 4x dx HD: Đặt t = x3 + 2x2 − ⇒ dt = 3x2 + 4x dx 5) ∫ x + 2x − 6) ∫ ( 4x x2 − (x −2 ) ) +1 dx HD: ∫ ( 4x x2 − (x −2 ) ) +1 dx = 4x3 − 8x ∫0 x4 − 4x2 + dx ( ) Đặt t = x − 4x + ⇒ dt = 4x − 8x dx 7) ∫x 2x − dx −x+3 π 10) ∫ cot gxdx π HD: Đặt t = x − x + ⇒ dt = ( 2x − 1) dx π π π π HD: ∫ cot xdx = ∫ cos x dx sin x Đặt t = sin x ⇒ dt = cosxdx π 11) ∫ sin x dx + 3cosx Người viết: Châu Thị Phương Thùy HD: Đặt t = + 3cosx ⇒ dt = −3 sin xdx Trang 17 SKKN: Tích phân đổi biến số hoctoancapba.com π π 12) + sin2 2xdx ∫ HD: + sin 2xdx = ∫ cos x cos x π ∫ cos π x sin 2x dx = I1 + I 2 cos x dx + ∫ I1 : tính trực tiếp I2 : Đặt t = cos2 x ⇒ dt = − sin 2xdx b d) TÍCH PHÂN DẠNG ∫ ( f ln x x a ) dx * Nhận xét Dấu hiệu nhận biết dạng hàm số dấu tích phân có chứa ln x Ta có phương pháp giải sau: x * Phương pháp giải + Bước 1: Đặt t = ln x ⇒ dt = dx x + Bước 2: Đổi cận: x = a ⇒ t = lna; x = b ⇒ t = lnb + Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t + Bước 4: Tính tích phân theo t * Ví dụ minh họa e Tính tích phân: + ln x dx x ∫ Giải + Bước 1: Đặt t = ln x ⇒ dt = dx x + Bước 2: Đổi cận: x = ⇒ t = 0; x = e ⇒ t = e 1 + ln x dx = ∫ ( + 2t ) dt + Bước 3: ∫ x 1 + Bước 4: ∫ ( + 2t ) dt = ( t + t ) = Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 18 SKKN: Tích phân đổi biến số hoctoancapba.com * Bài tập áp dụng: e 1) ∫ e 2) ∫ 1 + ln x ln x dx HD: Đặt t = ln x x + ln x dx x HD: Đặt t = + ln x e sin(ln x) dx x 3) ∫ HD: Đặt t = ln x e 2ln x +1 dx 4) ∫ x HD: Đặt t = ln x + e e2 + ln x dx 5) ∫ x ln x e HD: Đặt t = + ln x e + ln x dx 6) ∫ x HD: Đặt t = + ln x b u( x ) e) TÍCH PHÂN DẠNG ∫ e u' ( x ) dx a * Phương pháp giải u( x ) u( x ) + Bước 1: Đặt t = u ( x ) ⇒ dt = u' ( x ) dx hay t = e ⇒ dt = u' ( x ) e dx + Bước 2: Đổi cận: x = a ⇒ t = u ( a ) ; x = b ⇒ t = u ( b) hay ( ) ua x =a⇒t =e ( ) ub ; x = b⇒ t =e + Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t + Bước 4: Tính tích phân theo t Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 19 SKKN: Tích phân đổi biến số hoctoancapba.com * Ví dụ minh họa Tính tích phân: 1 x 1) ∫ e xdx x +1 2) ∫ e xdx 2 Giải 1) ∫ ex xdx + Bước 1: Đặt t = x2 ⇒ dt = 2xdx ⇔ dt = xdx + Bước 2: Đổi cận: x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = hay 1 x t ∫ e xdx = ∫ e + Bước 3: 0 dt t = e + Bước 4: ∫ e 2 dt = t e−1 * Bài tập áp dụng: 2x +1 1) ∫ e xdx HD: Đặt t = x + 1 2) ∫ ex − 2x+1 ( x − 1) dx HD: Đặt t = x − x + 1 3) ∫ ex x dx HD: Đặt t = x π HD: Đặt t = sin x 4) esinx cosxdx ∫ π ( ) 5) etanx + tan2 x dx ∫ π 6) esin x sin 2xdx ∫ HD: Đặt t = tan x HD: Đặt t = sin x Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 20 SKKN: Tích phân đổi biến số π hoctoancapba.com 7) ecos xsin2xdx ∫ HD: Đặt t = cos x π sin x 8) ∫ e cosxdx HD: Đặt t = sin x π π cosx 9) ∫ e sin xdx HD: Đặt t = cos x π x +2 10) ∫ e xdx HD: Đặt t = x + b f) TÍCH PHÂN DẠNG ∫ sinn xcosm xdx a * Nhận xét * Nếu n, m ∈ N lẻ đặt t = sinx t = cosx * Nếu n, m ∈ N có số chẵn, lẻ đặt t = HSLG có số mũ chẵn (khơng có xem mũ chẵn) * Nếu n, m ∈ N chẵn áp dụng cơng thức hạ bậc * Phương pháp giải + Bước 1: Đặt t = sinx ⇒ dt = cosxdx hay t = cosx ⇒ dt = − sinxdx + Bước 2: Đổi cận: x = a ⇒ t = sina; x = b ⇒ t = sinb hay x = a ⇒ t = cosa; x = b ⇒ t = cosb + Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t + Bước 4: Tính tích phân theo t hoctoancapba.com * Ví dụ minh họa Tính tích phân sau: Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 21 SKKN: Tích phân đổi biến số hoctoancapba.com π π 2) ∫ sin xcos xdx 1) ∫ sin xcos3 xdx 0 Giải: π 1) ∫ sin xcos3 xdx + Bước 1: Đặt t = sinx ⇒ dt = cosxdx π ⇒t =1 + Bước 2: Đổi cận: x = ⇒ t = 0; x = + Bước 3: π ∫ sin xcos xdx = ∫ t ( − t ) dt 3 0 t t6 + Bước 4: ∫ t ( − t ) dt = ∫ ( t − t ) dt = − ÷ = 12 0 1 3 π 2) ∫ sin xcos xdx + Bước 1: Đặt t = cosx ⇒ dt = − sinxdx + Bước 2: Đổi cận: x = ⇒ t = 1; x = + Bước 3: π ⇒t =0 π 1 2 2 ∫ sin xcos xdx = ∫ ( − t ) t ( −dt ) = ∫ ( − t ) t dt t3 t5 − t t dt = t − t dt = + Bước 4: ∫ ( ) ( ) − ÷ = 152 ∫ 0 0 1 2 * Bài tập áp dụng: π 2 1) ∫ sin xcos xdx π Người viết: Châu Thị Phương Thùy HD: Đặt t = sinx Trang 22 SKKN: Tích phân đổi biến số hoctoancapba.com π 2) ∫ tan xdx HD: Đặt t = cosx π 3) ∫ cos3 x sin2 xdx HD: Đặt t = sinx π 4) ∫ cos5 xdx HD: Đặt t = sinx π 5) ∫ sin 2x(1 + sin2 x)3dx HD: Đặt t = + sin x π 6) ∫ ( sin ) HD: Đặt t = sinx x + cos xdx β g) TÍCH PHÂN DẠNG ∫ α a − x2 dx Đây loại tích phân có phương pháp đổi biến giải ngược so với cách đổi biến trình bày Cụ thể ta xét ví dụ: Tính tích phân : ∫ − x2 dx Giải: + Đặt : x = sint ⇒ dx = costdt + Đổi cận : x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = + ∫ − x2 dx = π + ∫ π ∫ π − sin2 t costdt − sin t costdt = Người viết: Châu Thị Phương Thùy π ∫ cost costdt Trang 23 SKKN: Tích phân đổi biến số hoctoancapba.com π π 2 π 1 = ∫ cos2 tdt = x + sin 2x ÷ = 2 0 Như ngồi cách đổi biến số thơng thường ta có cách khác để giải tóan tích phân phương pháp đổi biến số * Phương pháp giải + Bước 1: Đặt x = f ( t ) ⇒ dx = f ' ( t ) dt + Bước 2: Đổi cận: x = α ⇒ α = f ( t ) ; x = β ⇒ β = f ( t ) hay + Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t + Bước 4: Tính tích phân theo t Những dạng thường gặp: + Gặp biểu thức a2 − x2 Đặt : x = a sint hay x = a cost + Gặp biểu thức a2 + x2 Đặt : x = a tant hay x = a cot t + Gặp biểu thức x2 − a2 Đặt : x = a hay x = cost a sint Ví dụ: Tính tích phân dx ∫1+ x Giải: + Bước 1: Đặt : x = tant ⇒ dx = ( ) dt = + tan2 t dt cos t + Bước 2: Đổi cận : x = ⇒ = tant ⇔ t = π x = ⇒ = tant ⇔ t = Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 24 SKKN: Tích phân đổi biến số hoctoancapba.com dx + Bước 3: ∫0 + x2 = + Bước 4: π ∫ π ∫ ( + tan t ) dx + tan t ( + tan t ) dx = + tan t π π ∫ dx = Bài tập tương tự: 1) dx ∫ 1+ x HD: đặt x = tant 3 2) dx ∫1 + 9x2 HD: đặt x = tant 3 3) ∫3 dx + 4x2 HD: đặt x = tant 2 4) −3 ∫ −1 dx 4x + 12x + 10 HD: đặt 2x + = tant 2.4 Hiệu SKKN Với tinh thần thực theo sáng kiến kinh nghiệm năm qua đạt kết sau: hoctoancapba.com Với học sinh, cụ thể lớp phụ trách 12A4 năm học 2010 - 2011 Tỷ lệ chung cuối năm Tổng số Giỏi Tỷ lệ Khá Tỷ lệ Trung Bình Tỷ lệ 38 24,5% 21 50,1% 10 24,5% Năm học 2011 – 2012: kết kiểm tra chương tích phân ( kiểm tra 2) sau: Điểm 12A4 12A8 đến 2 3.5 đến 4.5 Người viết: Châu Thị Phương Thùy đến 6.5 23 đến 20 Trên Trang 25 SKKN: Tích phân đổi biến số hoctoancapba.com Với tổ chun mơn: Với cách phân dạng nêu phương pháp, rút kinh nghiệm rõ nội dung trọng tâm trên, giáo viên tổ thực đạt kết khả quan kỳ thi, góp phần nâng cao chất lượng tổ mơn trường 2.5 Ngun nhân thành cơng: - Được hỗ trợ nhiệt tình tổ trưởng chun mơn góp ý chân thành giáo viên tổ - Được đạo sâu sát ban giám hiệu, đặc biệt phó hiệu trưởng chun mơn - Được hưởng ứng học sinh tiếp cận phương pháp giảng dạy mới, em cảm thấy hứng thú hình thành ý thức học tốt 2.6 Tồn tại: - Do thời gian nghiên cứu ngắn nên chưa mở rộng phạm vi nghiên cứu tất đối tượng học sinh (kể cà học sinh giỏi) - Chưa đưa tốn đòi hỏi thơng hiểu cao từ học sinh - Một phận học sinh có tư tưởng học để đối phó với giáo viên nên kết khơng cao KẾT LUẬN 1.Bài học kinh nghiệm: * Với học sinh: - Học sinh chưa chăm học, kiến thức chưa nắm vững tất nhiên, với học sinh học kĩ chưa làm tập, làm sai, em có sai sót sau: + Chưa đọc kĩ đề bài, khơng biết đâu, gặp khó khăn khơng biết làm để tìm lời giải Vì giáo viên nên hướng dẫn học sinh đọc phân tích kĩ dạng tập thường gặp Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 26 SKKN: Tích phân đổi biến số hoctoancapba.com + Chưa nghiên cứu kĩ dạng tốn tính tích phân nên chưa định hướng cách giải - Giải xong chưa kiểm tra lại lời giải để kiểm tra kiến thức vận dụng Vì vậy, giáo viên cần rèn tính xác, cẩn thận giải tốn Hướng dẫn học sinh kiểm tra kết cách dùng máy tính bỏ túi * Với giáo viên: - Cần tạo cho em có thói quen thuộc làm đầy đủ đến lớp - Hình thành khả nhận dạng tốn từ vận dụng lý thuyết học đưa lời giải phù hợp - Chú ý rèn khả thực hành, cần lựa chọn hệ thống tập đa dạng, đầy đủ, đừng đơn điệu lặp lại làm học sinh nhàm chán nảy sinh tính lười suy nghĩ, ỷ lại khơng phát huy tính tích cực, khơng hình thành khả tự giác học tập em, có học sinh giỏi, động linh hoạt, khơng giải tốn qua loa, đại khái - Việc học em, giáo viên mơn cần phải giám sát, theo dõi chặt chẽ vai trò giáo viên chủ nhiệm Nếu khơng quan tâm sâu sắc hiệu khơng cao Ý nghĩa sáng kiến kinh nghiệm khả ứng dụng: Trong nằm gần đây, việc học sinh trung bình yếu giải tốn tích phân vấn đề Tuy nhiên thực theo đề tài nghiên cứu cơng việc có phần nhẹ nhàng Đề tài đưa thành cơng hy vọng giúp em học sinh trung bình yếu trường làm tốn tính tích phân đề thi tốt nghiệp Kích thích tính tò mò, khả ham thích học tập mơn, dần hình thành khả tự giác học tốt mơn tốn, để học tốt mơn khác Hình thành óc thẩm mỹ, linh hoạt, nhạy bén, tích cực tư duy, học tập hoạt động khác Hạn chế học sinh bỏ học, phần nhiều khơng học sinh lười biếng Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 27 SKKN: Tích phân đổi biến số hoctoancapba.com Tóm lại, việc nghiên cứu đề tài: “CÁCH TIẾP CẬN BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ” thành cơng giúp học sinh trường học tập tốt thi đạt hiệu cao Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 28 SKKN: Tích phân đổi biến số hoctoancapba.com TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách Giáo khoa Đại số Giải tích 12 Sách tập Đại số Giải tích 12 Tích Phân – Trần Phương Tích Phân – Phạm Kim Chung Tích Phân – Phan Huy Khải Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 29 [...]... Trang 27 SKKN: Tích phân đổi biến số hoctoancapba.com Tóm lại, việc nghiên cứu đề tài: “CÁCH TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ” thành công sẽ giúp học sinh trường học tập tốt hơn và thi đạt hiệu quả cao hơn Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 28 SKKN: Tích phân đổi biến số hoctoancapba.com TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Sách Giáo khoa Đại số và Giải tích 12 2 Sách bài tập Đại số và... 2x ÷ = 2 2 4 0 0 Như vậy ngoài cách đổi biến số thông thường ta còn có một cách khác để giải quyết bài tóan tích phân bằng phương pháp đổi biến số như trên * Phương pháp giải + Bước 1: Đặt x = f ( t ) ⇒ dx = f ' ( t ) dt + Bước 2: Đổi cận: x = α ⇒ α = f ( t ) ; x = β ⇒ β = f ( t ) hay + Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t + Bước 4: Tính tích phân theo t Những dạng thường gặp: + Gặp... c) TÍCH PHÂN DẠNG ku' x a * Nhận xét Đây là dạng đổi biến mà hàm số trên tử là đạo hàm của hàm số dưới mẫu hoặc hàm số trên tử là hệ số nhân với đạo hàm của hàm số dưới mẫu * Phương pháp giải Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 15 SKKN: Tích phân đổi biến số hoctoancapba.com + Bước 1: Đặt t = u ( x ) ⇒ dt = u' ( x ) dx + Bước 2: Đổi cận: x = a ⇒ t = u ( a ) ; x = b ⇒ t = u ( b) + Bước 3: Chuyển tích. .. là loại tích phân có phương pháp đổi biến giải ngược so với các cách đổi biến đã trình bày ở trên Cụ thể ta xét ví dụ: 1 Tính tích phân : ∫ 1 − x2 dx 0 Giải: + Đặt : x = sint ⇒ dx = costdt + Đổi cận : x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = + 1 ∫ 1 − x2 dx = 0 π 2 + ∫ π 2 ∫ π 2 1 − sin2 t costdt 0 1 − sin 2 t costdt = 0 Người viết: Châu Thị Phương Thùy π 2 ∫ cost costdt 0 Trang 23 SKKN: Tích phân đổi biến số hoctoancapba.com... u' ( x ) dx hay t = e ⇒ dt = u' ( x ) e dx + Bước 2: Đổi cận: x = a ⇒ t = u ( a ) ; x = b ⇒ t = u ( b) hay ( ) ua x =a⇒t =e ( ) ub ; x = b⇒ t =e + Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t + Bước 4: Tính tích phân theo t Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 19 SKKN: Tích phân đổi biến số hoctoancapba.com * Ví dụ minh họa Tính các tích phân: 1 1 x 1) ∫ e xdx x +1 2) ∫ e xdx 2 0 2 0 Giải... ⇒ dt = cosxdx hay t = cosx ⇒ dt = − sinxdx + Bước 2: Đổi cận: x = a ⇒ t = sina; x = b ⇒ t = sinb hay x = a ⇒ t = cosa; x = b ⇒ t = cosb + Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t + Bước 4: Tính tích phân theo t hoctoancapba.com * Ví dụ minh họa Tính các tích phân sau: Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 21 SKKN: Tích phân đổi biến số hoctoancapba.com π 2 π 2 2) ∫ sin 3 xcos 2 xdx 1)... 11 SKKN: Tích phân đổi biến số hoctoancapba.com Tuy nhiên nếu k và n lớn hơn thì ta cũng hoctoancapba.com khó thực hiện được cách giải như trên , do đó ta có phương pháp tổng quát cho bài toán dạng này như sau: * Phương pháp giải + Bước 1: Đặt t = axk + b⇒ dt = kaxk−1dx ⇔ dt = xk−1dx ka k k + Bước 2: Đổi cận: x = x1 ⇒ t = ax 1 + b; x = x2 ⇒ t = ax 2 + b + Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân. .. Trang 26 SKKN: Tích phân đổi biến số hoctoancapba.com + Chưa nghiên cứu kĩ từng dạng bài toán tính tích phân nên chưa định hướng cách giải - Giải xong chưa kiểm tra lại lời giải để kiểm tra kiến thức vận dụng Vì vậy, giáo viên cần rèn tính chính xác, cẩn thận trong giải toán Hướng dẫn học sinh kiểm tra kết quả bằng cách dùng máy tính bỏ túi * Với giáo viên: - Cần tạo cho các em có thói quen thuộc bài và... dt 3 3 3 1 1 t5 t 4 3 dt t−2 t = ∫ t 4 − 2t 3 dt = − ÷ = 3 32 3 5 2 ÷ 2 ) ( ) * Phân tích ví dụ Qua ví dụ cho thấy, khi gặp bài toán dạng này (dạng hàm số dưới dấu tích phân có hai phần mà phần trong dấu ngoặc số mũ của x lớn hơn số mũ của x bên ngoài 1 đơn vị) Thì ta nên dùng phương pháp đổi biến số * Bài tập áp dụng: 1 ( ) 3 2 3 1) ∫ x x + 2 dx 0 1 3) ∫ 0 (x 2x2 3 +2 1 ( 0 1 ) dx 3 ) 3 5... + 4 ) dx + Bước 2: Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 5; x = 1 ⇒ t = 5 1 4x + 8 dx = + Bước 3: ∫ 2 x + 4 x + 5 0 10 + Bước 4: ∫ 5 10 ∫ 5 2dt t 10 2dt = 2 lnt = 2 ln 2 5 t **** Đối với dạng bài tập này khi dạy cần chú ý cho học sinh là ta thử tính đạo hàm của hàm số dưới mẫu rồi so sánh với hàm số trên tử Người viết: Châu Thị Phương Thùy Trang 16 SKKN: Tích phân đổi biến số hoctoancapba.com * Bài tập áp dụng: 1 1)