hoctoancapba.com THÊM MỘT CÁC TIẾP CẬN NỮA ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN Nguyễn Hữu Thanh – THPT Thuận Thành số I – Bắc Ninh Trong kỳ thi tuyển sinh vào trường đại học – cao đẳng thường có toán tính tích phân Bài viết xin trao đổi với bạn hướng tiếp cận ( cách “tư duy”) để tính tích phân phạm vi phương pháp “ đặt ẩn phụ” Tác giả gọi tên “ đặt ẩn phụ không làm thay đổi cận tích phân” Kiến thức Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) liên tục a; b F (x) nguyên hàm f(x) b f ( x)dx F ( x) | b a F (b) F (a ) a Định nghĩa không phụ thuộc vào kí hiệu biến số dấu tích phân - Một số tính chất cần ý: b + a f ( x)dx f ( x)dx a b + b c b a c f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx c a; b a Các toán phân tích Bài toán 1: Tính tích phân I= x x dx 3 Khi gặp toán này, chắn tất bạn nghĩ cách khai triển biểu thức dấu tích phân để đưa tích phân để tính Đó cách suy nghĩ thường hay gặp phải Nhưng bạn thử làm xem sao, thử thay (x3-3x2+2)3 (x3-3x2+3)7 , (x3-3x2+3)9 tính nhé! Sau mời bạn nghiên cứu lời giải sau: dx dt Lời giải: Đặt x=2-t x 3 : t x : t 3 3 I (2 t )3 3(2 t ) dt 5 5 3 t 3t dt t 3t dt 3 3 3 x3 3x dx I I I 3 Khi đọc xong lời giải chắn bạn đặt câu hỏi : Tại lại đặt ẩn phụ vậy? Để tìm câu trả lời xin mời bạn nghiên cứu tiếp toán sau: a Bài toán 2: Cho f(x) hàm lẻ, liên tục [-a; a] Chứng minh f ( x)dx a Đây tập quen thuộc với bạn học tích phân nhiều bạn biết cách giải Xong bạn xem kỹ lời giải sau để “ phát hiện” vấn đề nhé! dx dt Lời giải: Đặt x=-t x a : t a x a : t a a I a a I a a f ( x)dx f (t )dt a a f (t )dt Do f(x) hàm lẻ nên f(-x)=-f(x) a a a a a f (t )dt f (t )dt f ( x)dx I I I Qua toán trên, điểm chung cách đặt ẩn phụ gì? Câu trả lời : Đặt ẩn phụ không làm thay đổi cận tích phân hoctoancapba.com Vậy sử dụng suy nghĩ vào toán thực tế ? Các bạn ý số điểm sau: - Bài toán 1, tổng quát thành : Chứng minh hàm f (x) liên tục thoả b mãn: f(a+b-x) =-f(x) f ( x)dx Việc chứng minh toán xin dành cho độc a giả (bằng cách đặt x=a+b-t cách đặt mà cận không thay đổi!) b - Từ ta có cách đặt tổng quát gặp tích phân f ( x)dx mà không thay đổi cận đặt a - x=a+b-t hoctoancapba.com Bài toán có cách giải khác hay để dẫn tới “ suy nghĩ” sau: dx dt 4 3 Đặt x=1-t x 3 : t I (1 t ) 3(1 t ) dt t 3t dt 4 x : t 4 Sử dụng kết chứng minh toán ta I=0 ( f(t)=-t3+3t hàm số lẻ) Vậy “ suy nghĩ” gì? Việc đặt ẩn phụ ta dẫn đến tích phân có cận “đối b xứng” Trong trường hợp tổng quát để dẫn đến cận “ đối xứng” gặp tích phân f ( x)dx a ab t nhé! Bây vận dụng suy nghĩ để giải số toán sau: bạn đặt x Bài toán 3: Tính tích phân I sin x cos6 x dx ( Đề thi đại học năm 2000) 6x dx dt Lời giải: Đặt x=-t x : t ( cách đặt không làm thay đổi cận tích 4 x : t phân) Khi I sin (t ) cos (t ) dt 6 t 6 2I x sin x cos6 x dx 6x 1 3s in 6t sin t cos t dt 6t x cos x dx 4 4 x sin x cos x dx 6x sin x cos6 x dx 6x sin x cos x dx 5 2 s in x dx s in x dx cos x dx 8 4 5x sin x 32 - 16 4 4 hoctoancapba.com Chú ý: Bài toán có dạng tổng quát sau: Nếu f(x) hàm số liên tục, chẵn b b b f ( x) f ( x) I x dx a x x dx I f ( x)dx b a 1 b a b x sin x dx x4 Thông thường gặp tích phân trên, hầu hết bạn nghĩ đến phương pháp tính tích phân phần hoctoancapba.com Xong bạn thử làm so sánh với lời giải sau: dx dt Lời giải : Đặt x t x : t x : t Bài toán 4: Tính tích phân I = Khi I cos ( t )sin( t ) ( t )sin t sin t t sin t dt dt dt dt 2 cos ( t ) cos t cos t cos t 0 sin x x sin x sin x dx dx dx I 2 cos x cos x cos x 0 sin x sin x 2I dx I dx cos x cos x sinxdx dt Đặt cosx t x : t x : t 1 1 dt dt t 2 ln I ln t 1 (t 2)(t 2) t 1 Chú ý: Bài toán tổng quát sau: b Cho hàm số f(x) liên tục thoả mãn: f(a+b-x) = f(x) Khi xf ( x)dx a ab f ( x)dx a b ( để chứng minh kết bạn đặt x= a+b-t ) xdx Bài toán 5: Tính tích phân I = ( Đề thi khối A năm 2004) x 1 1 Với toán trên, cách đặt để không thay đổi cận tích phân Lời giải: Đặt t x dx 2(t 1)dt 2 Khi x -1 = (t -1) hay x=(t -1) x 1: t ( cách đặt đảm bảo cận x : t không đổi !) 2 (t 1) (t 1)2 1 t t 3t 4t 1 dt 2 dt 2 t 3t dt t t 1 2 t3 2 t2 4t ln | t | 2ln 3 1 Chú ý: Bài toán tổng quát dạng b a p( x) dx với p(x) đa thức chứa mx n c biến x; m,n,c số Ta đặt t mx n c t mx n giải hoctoancapba.com sin x Bài toán 6: Tính tích phân I dx sin x cos x dx dt Lời giải: Đặt x t x : t 2 x : t sin t 2 co s t co s3 x I dt dt dx J sin t cos t sin x cos x 0 sin t cos t 2 2 sin x co s x sin x co s x I+J dx dx dx (1 sin x.cos x)dx sin x cos x sin x cos x sin x cos x 0 0 3 1 (1 sin x)dx x co s x Vậy 0 2 I J 1 1 I IJ Chú ý: Bài toán tổng quát thành dạng sau: b sin k mx a sin mx cos mx dx n ; n sin m ax sin m ax n cosm ax Qua toán trên, tác giả muốn bạn học sinh có thêm cách nhìn để tiếp cận với phương pháp đặt ẩn phụ tính tích phân Rất mong nhận quan tâm trao đổi Cuối mời bạn vận dụng vào số tập sau: Tính tích phân: 4x dx 3x I1 I3 lg 1 x 3 lg 1 I4 cos x.ln x x 16 dx x dx I6 e x x 4 x 7 x 16 n 1 dx 1 I7 x x dx 2000 I2 3 x 1000 x dx 2 2004 I5 sin x.sin x.cos 3x dx 2x 1 dx x (e 1)( x 1) 1 I8 I9 I10 x(tgx cot gx)dx I13 cos x sin x dx I14 2 x sin x dx cos x I11 I12 sin x.sin x.cos x dx ex 4sin x sin x cos x dx sin x dx sin x cos x