Định lý Pascal và định lý Brianchon

Mt s ng dng ca nh lý Pascal v nh lớ Brianchon A M U Lớ chn ti Toỏn hc núi chung v hỡnh hc núi riờng cú tm quan trng c bit i vi nhng mụn khoa hc khỏc ng thi, hỡnh hc cũn giỳp chỳng ta cú mt phng phỏp suy lun, phng phỏp gii v sỏng to mt s bi toỏn thuc chng trỡnh ph thụng Hỡnh hc x nh l mt nhng mụn hc chuyờn ngnh dnh cho sinh viờn ngnh Toỏn ti cỏc trng i hc S Phm c nc Nhiu nh lý hỡnh hc ni ting cng nh nhiu bi toỏn hỡnh hc hay tr nờn n gin di gúc nhỡn ca hỡnh hc x nh nh lý Pascal v nh lý Brianchon chc khụng cũn quỏ xa l vi nhng bn yờu thớch toỏn hc v c bit l yờu thớch mụn hỡnh hc nh lý Pascal l mt nhng nh lý ln v cú nhiu ng dng nht hỡnh hc s cp nh lý ny c t theo tờn nh Toỏn-Lý hc nc Phỏp l Blaise Pascan nh lý Pascal c ụng phỏt hin vo nm 1639, ụng ch mi 16 tui v c ụng t tờn l nh lý Lc giỏc huyn nh lý Brianchon cú th c chng minh bng cỏch s dng nh lý Pascal thụng qua tớnh cht cc i cc nh lý Brianchon c nh toỏn hc CharlesJlien Brianchon (1785-1864) chng minh nm 1806 mt cỏch c lp m khụng s dng nh lý Pascal Vi mong mun c nghiờn cu sõu hn v hỡnh hc v tỡm hiu sõu hn na v ng dng ca hai nh lý tuyt m y, em ó chn ti: Mt s ng dng ca nh lý Pascal v nh lý Brianchon Mc ớch ca ti Nm vng nhng kin thc c bn v nh lý Pascal v nh lý Brianchon Mt s bi ỏp dng s giỳp chỳng ta hiu sõu hn v lý thuyt v nõng cao kh nng suy lun v tớnh toỏn i tng v phm vi nghiờn cu nh lý Pascal, nh lý Brianchon v nhng ng dng cú liờn quan Phng phỏp nghiờn cu Thu thp, tra cu, phõn tớch ti liu Nghiờn cu h thng kin thc ca hỡnh hc s cp v hỡnh hc x nh Tham kho ti liu, o sõu suy ngh, tỡm cỏch gii quyt mt s úng gúp ca ti Trang Mt s ng dng ca nh lý Pascal v nh lớ Brianchon Chng minh chi tit v lm rừ nh lý Pascal, nh lý Brianchon cng nh a mt vi vớ d minh nhm lm cho ngi c d dng tip cn c Cu trỳc ca ti Ngoi phn m u, kt lun, ti liu tham kho, ni dung ti gm hai chng: Chng 1: Kin thc chun b Chng 2: ng dng ca nh lý Pascal v nh lý Brianchon B NI DUNG Chng KIN THC CHUN B Hỡnh sỏu nh v nh lý Pascal 1.1.1 nh ngha hỡnh sỏu nh nh ngha 1.1.1: Tp hp gm im phõn bit, cú th t A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , 1.1 A6 gi l mt hỡnh sỏu nh Kớ hiu: A1 A2 A3 A4 A5 A6 Trong ú: Trang Mt s ng dng ca nh lý Pascal v nh lớ Brianchon Cỏc nh: A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 Cỏc cnh: A1 A2 , A2 A3 , A3 A4 , A4 A5 , A5 A6 , A6 A1 Cỏc cp nh i din: A1 A4 , A2 A5 , A3 A6 Cỏc cp cnh i din: A1 A2 v A4 A5 , A2 A3 v A5 A6 , A3 A4 v A6 A1 1.1.2 nh lý Pascal nh lý 1.1.2: Nu mt hỡnh nh cú nh nm trờn mt ng ụvan (cũn gi l hỡnh nh ni tip ng ụvan) thỡ giao im ca cỏc cp cnh i din nm trờn mt ng thng Chng minh: Gi s hỡnh sỏu nh A1 A2 A3 A4 A5 A6 ni tip ng ụvan (S) Gi P = A1 A2 A4 A5 Theo nh lý Stõyne (thun): Cho hai im c nh A1 v A2 nm trờn ụvan (S), mt im I bt kỡ chy trờn ụvan ú Khi ú, ỏnh x f : { A1 } { A5 } bin ng thng A1 I thnh A5 I l ỏnh x x nh, khỏc vi phộp chiu xuyờn trc f : { A1 } { A5 } A1 A2 A5 A2 A1 A3 A5 A3 A1 A4 A5 A4 A1 A5 A5 A6 M f bo ton t s kộp gia hai chựm nờn: [ A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 , A1 A6 ] [ M , A3 , A4 , R] = [ A5 A2 , A5 A3 , A5 A4 , A5 A6 ] = [ A2 , A3 , N , Q] Khi ú luụn tn ti mt ỏnh x: g : A3 A4 A3 A2 M A2 A4 N R Q A3 A2 A3 A4 = A3 m g ( A3 ) = A3 nờn g l phộp chiu xuyờn tõm Suy tõm l giao ca MA2 , NA4 , RQ M MA2 NA4 = P suy P RQ Hay P, Q, R thng hng (pcm) 1.1.3 nh lý o Pascal Trang Mt s ng dng ca nh lý Pascal v nh lớ Brianchon - Nu mt lc giỏc cú giao im cỏc cp cnh i cựng nm trờn mt ng thng thỡ lc giỏc ú ni tip mt cụnic Trong trng hp cụnic l ng trũn, nh lý c phỏt biu: - Nu mt lc giỏc cú giao im cỏc cp cnh i thng hng v nm sỏu nh cựng nm trờn ng trũn thỡ nh cũn li ca lc giỏc ú cng nm trờn ng trũn ú Chng minh: - Xột lc giỏc ABCDEF cú A, B, C , D, E cựng nm trờn (O) v AB ầ DE = { M } , BC ầ DF = { N } , AF ầ CD = { P} - Theo gi thit M , N , P thng hng ' ' ' Vy MN ầ CD = { P} , EF ầ(O ) = { D; F } , CD ầ AF = { P } Lc giỏc ABCDEF ni tip (O) ' ' ' Theo nh lý Pascal: M , N , P ' thng hng ị CD ầ MN = { P } ị P P ị F F Ta cú th vit li nh lý Pascal vi ng trũn nh sau: Xột lc giỏc cú nh cựng nm trờn ng trũn nh cũn li ca lc giỏc cng thuc ng trũn ú Giao im cỏc cp cnh i ca lc giỏc thng hng 1.1.4 Mt s trng hp c bit ca nh lý Pascal Trng hp 1: Hỡnh nm nh Xột mt hỡnh nm nh A1 A2 A3 A4 A5 ni tip ng ụvan ( S ) Ta xem hỡnh nm nh ú nh l mt trng hp c bit ca hỡnh sỏu nh hai nh liờn tip no ú trựng nhau, chng hn ú l hỡnh sỏu nh A1 A2 A3 A4 A5 A5 Khi ú lp lun chng minh ca nh lý Pascal ỳng nu cnh A5 A6 c thay bng tip tuyn ca ụvan ti nh A5 Vy ta cú kt qu sau õy: nh lý: Hỡnh nm nh A1 A2 A3 A4 A5 ni tip ng ụvan (S) thỡ ba giao im ca: cnh A1 A2 vi cnh A4 A5 , cnh A2 A3 vi tip tuyn ca (S) ti A5 , cnh A3 A4 vi cnh A5 A1 thng hng Trang Mt s ng dng ca nh lý Pascal v nh lớ Brianchon Trng hp 2: Hỡnh bn nh i vi hỡnh bn nh ABCD ni tip ụvan (S), nu ta xem nú l trng hp c bit ca hỡnh sỏu nh AABBCD thỡ s cú ba im sau õy thng hng: giao im ca tip tuyn ti A vi cnh BC, giao im hai cnh AB v CD, giao im ca tip tuyn ti B vi cnh AD nh lý: Nu mt hỡnh bn nh ABCD ni tip mt ng ụvan thỡ giao im cỏc cp cnh i din v giao im cỏc tip tuyn ti cỏc cp nh i din l bn im thng hng Trng hp 3: Hỡnh ba nh i vi hỡnh ba nh ABC ni tip mt ng ụvan, nu ta xem nú l trng hp c bit ca hỡnh sỏu nh AABBCC thỡ c kt qu sau õy: nh lý: Nu mt hỡnh ba nh ni tip mt ng ụvan thỡ giao im ca mt cnh vi tip tuyn ti nh i din l ba im thng hng Hỡnh sỏu cnh v nh lý Brianchon 1.2.1 nh ngha hỡnh sỏu cnh nh ngha 1.2.1: Hỡnh sỏu cnh l hp gm sỏu ng thng cú th t 1.2 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 Kớ hiu: a1a2 a3a4 a5 a6 Trang Mt s ng dng ca nh lý Pascal v nh lớ Brianchon Trong ú: Cỏc cnh: a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 Cỏc giao: a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 gi l cỏc nh ca hỡnh ỡ a1 ầ a2 v a4 ầ a5 ù ù ù ù Cỏc cp nh i din: a2 ầ a3 v a5 ầ a6 ù ù a ầ a v a ầ a ù ù ợ 1.2.2 nh lý Brianchon nh lý 1.2.2: Nu mt hỡnh sỏu cnh cú sỏu cnh phõn bit cựng tip xỳc vi mt ng ụvan (cũn gi l hỡnh lc giỏc ngoi tip ụvan ú) thỡ cỏc ng thng ni cỏc nh i din ng quy 1.2.3 Mt s trng hp c bit ca nh lý Brianchon Trng hp 1: Hỡnh nm cnh Cng nh i vi nh lý Pascal ta cú th ỏp dng nh lý Brianchon vo cỏc ng giỏc, t giỏc, tam giỏc ngoi tip bng cỏch coi nhng hỡnh ny nh nhng lc giỏc ngoi tip c bit cú mt, hai hoc ba cp trựng Vớ d ta hóy hỡnh dung tip im A1 chy trờn vũng trũn n trựng vi im B1 cnh FA n trựng vi cnh AB Lỳc ú, ta cú mt ng giỏc ABCDE ngoi tip cú tớnh cht sau: nh lý: Hai ng ni hai cp nh khụng k no ú ct ti mt im thng hng vi nh th nm v tip im ca cnh i din vi nh ny Trang Mt s ng dng ca nh lý Pascal v nh lớ Brianchon Trng hp 2: hỡnh bn cnh nh lý: Nu mt hỡnh t giỏc ngoi tip mt ng trũn thỡ cỏc ng ni cỏc nh i din v cỏc ng ni cỏc tip im trờn cỏc cnh i din ng quy Trng hp 3: Hỡnh ba cnh nh lý: Nu mt hỡnh tam giỏc ngoi tip mt ng trũn thỡ ba ng ni mi nh vi tip im trờn mi cnh i din l ba ng ng quy 1.3 Ni dung m rng nh lý Pascal v nh lý Brianchon: Cho sỏu ng trũn (O1 ), (O ), (O3 ), (O ), (O ), (O ) Cỏc ng trũn (Oi ), (Oi+1 ) ct ti cỏc im Ai , A i ' vi i = 1, 2, 3, 4, 5, Chng minh rng nu sỏu im ' ' ' A1 , A , A , A , A , A nm trờn mt ng trũn v A1' , A '2 , A , A '4 , A , A nm trờn mt ng trũn khỏc Trang Mt s ng dng ca nh lý Pascal v nh lớ Brianchon 1.3.1 M rng nh lý Pascal: Giao im ca cỏc cp ng trũn (O1 ) v (O ), (O ) v (O5 ), (O3 ) v (O ) (nu tn ti) s nm trờn mt ng trũn (1) ng trũn suy bin thnh ng thng Pascal: ' ' ' Nu cho ng trũn qua A1' , A '2 , A , A '4 , A , A suy bin thnh mt im t tờn l im M, ú rừ rng (O1 ), (O ), (O3 ), (O ), (O ), (O ) u i qua M Gi s cỏc giao im cũn li ca (O1 ) v (O ), (O ) v (O5 ), (O3 ) v (O ) l A, B, C Nh vy, theo kt qu (1) A, B, C, M nm trờn mt ng trũn Bõy gi, nu ta cho im M c tin ti vụ cựng, ú ng trũn ny s bin thnh mt ng thng v A, B, C chớnh l giao im ca ba cp cnh i din ca lc giỏc A1A A 3A A A 1.3.2 M rng nh lý Brianchon: Cỏc ng thng O1O4 , O2O5 , O3O6 ng quy Khi no kt qu trờn thu v nh lý Brianchon: Dng hỡnh cho cỏc im Ai A i ' ú s cú phỏt biu l: Cho sỏu ng trũn (O1 ), (O ), (O3 ), (O ), (O ), (O ) , gi s cỏc ng trũn (Oi ) tip xỳc (Oi+1 ) v sỏu tip im tip xỳc ny nm trờn mt ng trũn, ú Trang Mt s ng dng ca nh lý Pascal v nh lớ Brianchon ng thng O1O4 , O2O5 , O3O6 ng quy Thc s d dng thy rng nh lý Brianchon l trng hp c bit ca kt qu ny Chng MT S NG DNG CA NH Lí PASCANL Trang Mt s ng dng ca nh lý Pascal v nh lớ Brianchon V NH Lí BRIANCHON 2.1 ng dng ca nh lý Pascal 2.1.1 nh lý Pascal vi sỏu im phõn bit Bi toỏn 1: Cho tam giỏc ABC ni tip mt ng trũn (O) Gi A' , B' , C' ln lt l cỏc im chớnh gia ca cỏc cung BC , CA, AB khụng cha A, B, C ca (O) Cỏc cnh ct cỏc cp on thng C' A' v A' B ' , A' B ' v B 'C ' , B 'C ' v C' A' ln lt cỏc cp im M v N ; P v Q; R v S Chng minh rng: MQ, NR, PS ng quy Bi gii: Vỡ A ' , B' , C' ln lt l cỏc im chớnh gia ca cỏc cung BC , CA, AB nờn AA ' , BB' , CC' theo th t l cỏc ng phõn giỏc ca gúc , I = AA ầBB ' ầ CC ' (do ba ng phõn giỏc ng quy) p dng nh lý Pascal cho sỏu im C , C ' , A' , B ' , B, A ta cú: CC ' ầ B ' B = I C ' A' ầ BA = S A' B ' ầ AC = P Vy S , I , P thng hng (1) p dng nh lý Pascal cho im A, A' , B ' , C ' , C , B ta cú: AA ' ầ C 'C = I A' B ' ầ CB = N B 'C ' ầ AB = R Vy I , N , R thng hng (2) p dng nh lý Pascal cho sỏu im B, B ' , C ' , A' , A, C ta cú: BB ' ầ A' A = I B 'C ' ầ AC = Q C ' A' ầ CB = M Trang 10 , Suy Mt s ng dng ca nh lý Pascal v nh lớ Brianchon Bi gii Gi s NB, MC ct ng trũn ( I ) ti H v K HK ct tip tuyn ti A ca ( I ) V p dng nh lý Pascal cho im A, A, H , K , M , N ta cú: AV ầ HK = V AM ầ HN = B AN ầ MK = C Suy im V , B, C thng hng ã ị ã AIV = ASV + Vỡ + Vỡ ã AIV = ã ASV (cựng chn cung AV) ã ã ị T giỏc AISV l t giỏc ni tip nờn: VAI = ISV = 1800 ã ISV = 1800 - 900 = 900 Vy IS ^ BC (pcm) 2.1.3 nh lý Pascal vi cc v i cc Bi toỏn 1: Chng minh rng ba ng chộo chớnh ca mt lc giỏc ngoi tip ng quy Bi gii: Ta kớ hiu ABCDEF l lc giỏc ngoi tip (O) Tip im (O) trờn AB, BC , CD, DE , EF, FA ln lt l M , N , P, Q, R, S Xột cc v i cc vi (O) Trang 19 Mt s ng dng ca nh lý Pascal v nh lớ Brianchon Gi I , J , K ln lt l giao im ca cỏc cp ng thng ( HM , PQ), ( MN , QR ), ( NP, RS ) p dng nh lý Pascal cho lc giỏc ni tip MNPQRS ta cú I , J , K thng hng Ta cú cỏc ng i cc ca I , J , K ln lt l AD, BE , CF nờn AD, BE , CF ng quy Nh vy ta suy ba ng chộo chớnh ca mt lc giỏc ngoi tip ng quy Bi toỏn 2: Cho hỡnh vuụng ABCD ngoi tip (O) Tip im (O) trờn AB, BC , CD, DA ln lt l M , N , P, Q Mt im S nm trờn cung nh PN ca (O) Tip tuyn ca (O) ti S ct BC , CD ln lt ti H , K Chng minh rng: MH / / AK Bi gii: Xột cc v i cc vi (O) ỡ SN ầ AB = I ù Gi s ù ù SP ầ MQ = J ù ợ p dng nh lý Pascal cho M , P, S , N , Q ta cú: MP ầ NQ = O SN ầ MB = I QM ầ PS = J (MB l tip tuyn ti M) Suy im I , O, J thng hng ỡ IJ ^ AK ù I , O, J ln lt l cỏc cc ca MH , AK nờn ị ù M ù IJ ^ MH ù ợ Suy MH / / AK (pcm) Bi toỏn 3: Cho sỏu im A, B, C, D, E, F cựng thuc mt ng trũn (O) cho ABCD l hỡnh ch nht Gi s EF ct AB, CD ln lt P, Q; BE ct AF H; CE ct DF K Chng minh rng: PH / / QK Bi gii: Trang 20 Mt s ng dng ca nh lý Pascal v nh lớ Brianchon Xột cc v i cc vi (O) ỡ I = AE ^ BF ù Gi ù ù J = DE ^ CF ù ợ p dng nh lý Pascal cho sỏu im A, B, C, F, E, F ta cú: AC ầ EF = O AE ầ BF = I AJ ầ CF = J ( AJ l tip tuyn ca A ti (O)) Suy ba im O, I, J thng hng M I,J chớnh l cỏc cc ca HP, QK ỡ HP ^ IJ ù ị ù ị HP / / QK (pcm) ù QK ^ IJ ù ợ Bi toỏn 4: Lc giỏc ABCDEF ngoi tip mt ng trũn Khi ú: AD, BE, CF ng quy Bi gii: Gi cỏc im trờn cỏc cnh ln lt l G, H, I, J, K, L Khi ú: GH, HI, IJ, JK, KL, LG ln lt l i cc ca B, C, D, E, F, A ỡ GH ầ JK = N ù ù ù Gi HI ầ KL = P ù ù IJ ầ LG = M ù ù ợ Theo nh lý Pascal cho lc giỏc GHIJKL ta cú M, N, P thng hng M M, N, P ln lt l i cc ca AD, BE, CF nờn suy AD, BE, CF ng quy ti cc ca ng thng MNP 2.1.4 nh lý Pascal v bi toỏn bm i vi ng trũn Bi toỏn 1: Cho ng trũn (O) v dõy cung AB Gi I l trung im ca AB Qua I v hai dõy cung tựy ý MN v PQ cho MN v PQ ct AB ti E, F Chng minh rng I l trung im ca EF Bi gii: chng minh bi toỏn trờn ta s dng b sau: Trang 21 Mt s ng dng ca nh lý Pascal v nh lớ Brianchon B : Cho bn im phõn bit A, B, C, D mt phng Gi s AC ct BD S Mt ng thng qua S ct AB, BC, CD, DA ln lt M, N, P, Q Ta cú IM = IP v ch IN = IQ Tr li bi toỏn ban u: Gi s AP ct MN S; QP ct MB V p dng nh lý Pascal cho sỏu im A, B, M, N, P, Q ta thu c S, V, F thng hng Tip tc s dng b cho bn im S, V, M, P v ng thng AB vi IA = IB ta suy pcm Bi toỏn 2: Cho ng trũn (O) vi dõy cung AB nhn I lm trung im Hai im H, K thuc AB v i xng vi qua I Gi MN, PQ ln lt l hai dõy cung ca (O) i qua H, K Gi s QN, MP ct AB ti E, F tng ng Chng minh rng IE = IF Bi gii: B : Cho bn im phõn bit A, B, C, D Mt ng thng d bt kỡ mt phng ct AB, BC, CD, DA ln lt M, N, P, Q Ta cú im I l trung im AB v ch I l trung im ca NQ Tr li bi toỏn ban u: Trang 22 Mt s ng dng ca nh lý Pascal v nh lớ Brianchon Gi s MN ct AQ V; QP ct NP T S dng nh lý Pascal cho sỏu im A, B, M, N, P, Q ta thu c F, T, V thng hng n õy s dng b cho bn im V, T, Q, N v ng thng AB ta thu c kt qu bi toỏn Bi toỏn 3: Cho ng trũn (O) ng kớnh EF Ly hai im N, P trờn ng thng EF cho ON = OP T im M no ú nm bờn ng trũn m khụng thuc EF, k ng thng MN ct ng trũn ti A v C, ng thng MP ct ng trũn ti B v D cho B v O nm khỏc phớa i vi AC Gi K l giao im ca OB v AC, Q l giao im ca EF v CD Chng minh rng cỏc ng thng KQ, BD v AO ng quy Bi gii: Gi s AO ct BD I v ct li (O) S; BO ct li (O) T; AB ct EF V Trang 23 Mt s ng dng ca nh lý Pascal v nh lớ Brianchon Theo bi toỏn [2] ta cú OV = OQ Mt khỏc ATSB l hỡnh ch nht nờn d thy Q thuc ST S dng nh lý Pascal cho sỏu im A, T, D, S, C, B ta thu c K, I, Q thng hng 2.2 ng dng ca nh lý Brianchon 2.2.1 Bi toỏn Brianchon vi cc v i cc Bi toỏn 1: Cho tam giỏc ABC vi (I) l ng trũn ni tip Tip im ca (I) trờn BC, CA, AB ln lt l D, E, F Gi M, N, P ln lt l im chung ca cỏc cp ng thng (EF, BC), (DF, CA), (DE, AB) Chng minh rng M, N, P thng hng Bi gii: Xột cc v i cc i vi (I): Vỡ AI l phõn giỏc gúc A, m AEF cõn ti A AI EF p dng nh lý Brianchon ta cú: AD, BE, CF ng quy ti F D thy rng ng i cc ca M i qua D nờn suy ng i cc ca M l AD Hon ton tng t ta cng cú: ng i cc ca N l BE v ng i cc ca P l CF Vỡ ba ng AD, BE, CF ng quy nờn cú M, N, P thng hng Bi toỏn 2: Cho tam giỏc ABC, ng trũn ni tip tip xỳc vi BC, CA, AB ln lt l D, E, F ng trũn ni tip tam giỏc DEF tip xỳc vi EF, FD, DE ln lt l M, P, N Chng minh rng AM, BP, CN ng quy Bi gii: Trang 24 Mt s ng dng ca nh lý Pascal v nh lớ Brianchon Gi I, O ln lt l tõm ng trũn ni tip tam giỏc DEF v ABC Gi H, K, L ln lt l giao im ca cỏc cp ng thng (MP, EF), (MN, FD), (MP, DE) Theo bi toỏn [1] thỡ H, K, L thng hng (*) + p dng nh Brianchon i vi DEF ni tip ng trũn tõm (I) ta cú DM, EN, FP ng quy nờn H, M, F, E thng hng Do ú M thuc ng i cc ca (H) i vi (O) Mt khỏc: E, F ln lt l tip im ca cỏc ng tip tuyn AC v AB i vi (O) suy OA EF Do ú A thuc ng i cc ca H i vi (O) nờn ta cú AM l ng i cc ca H i vi (O) (1) Tng t ta cú: BP l ng i cc ca K i vi (O) (2) CN l ng i cc ca L i vi (O) (3) T (1), (2), (3), v (*) ta cú pcm Bi toỏn : Cho tam giỏc ABC ni tip ng trũn (O) Tip tuyn ca (O) ti A, B ct ti S Mt cỏt tuyn quay quanh S ct CA, CB ti M, N v ct (O) ln lt ti P, Q Chng minh rng M, N, P, Q thng hng Bi gii: Trang 25 Mt s ng dng ca nh lý Pascal v nh lớ Brianchon V tip tuyn ME, MF ca (O) ct SA, SB ti K, L Gi I = SM ầ KL p dng nh lý Brianchon cho lc giỏc SKML ngoi tip ng trũn (O), ta cú: BE, SM, KL, AD ng quy ti I p dng nh lý Pascal cho lc giỏc ni tip ADEEBC, ta cú: AD ầ BE = I DE ầ BC = N ' thng hng EE ầ CA = M Suy N ' N tc l N ẻ DE Do ED l ng i cc ca M i vi (O) nờn M, N, P, Q thng hng 2.2.2 nh lý Brianchon vi cỏc ng conic Bi toỏn 1: Cho ng trũn (S) v hai im I, J trờn nú Ly im A, B ln lt nm trờn tip tuyn (S) ti I, J V AC v BD tip xỳc vi (S) ln lt ti C v D Kớ hiu P = ID ầ AC , Q = JC ầ BD Chng minh rng PQ ầ AB ẻ IJ Bi gii: Ta cú bn im C, D, I, J ẻ (S) nờn ng AB, CD, PQ ng quy (1) Trang 26 Mt s ng dng ca nh lý Pascal v nh lớ Brianchon Sỏu ng thng IA, IA, AC, BJ, BJ, BD tip xỳc vi (S) nờn ỏp dng nh lý Brianchon ta cú ba ng IJ, AB v ng thng ni hai im IA ầ BD v AC ầ BJ ng quy Sỏu ng thng AC, AC, AI, BD, BD, BJ tip xỳc vi (S) nờn ỏp dng nh lý Brianchon ta cú ba ng CD, AB v ng thng ni hai im IA ầ BD v AC ầ BJ ng quy Suy ba ng IJ, CD, AB ng quy (2) T (1) v (2) suy PQ, AB, IJ ng quy hay PQ ầ AB ẻ IJ Bi toỏn 2: Trong P chng minh rng nu hai n hỡnh ABC, ABC cú cỏc nh nm trờn mt ng bc hai khụng suy bin (G) thỡ tn ti mt ng bc hai khụng suy bin tip xỳc vi tt c cỏc cnh ca hai n hỡnh ú Bi gii: A F E Q R B (G) P C D Xột hỡnh sỏu im ACFDEB cú sỏu nh trờn (G) nờn theo nh lý Pascal, cỏc im P = AC ầ DE , Q = CF ầ EB, R = FD ầ BA thng hng Nh vy hỡnh sỏu nh BCPEFR cú ba ng thng ni ba cp nh i din ng quy ti Q Theo nh lý Brianchon, cỏc ng thng BC, CP, PE, EF, FR tip xỳc vi mt ng bc hai khụng suy bin no ú Sỏu ng thng ny chớnh l sỏu cnh ca hai n hỡnh ABC, ABC Bi toỏn 3: Trong P cho ng bc hai khụng suy bin (G), bn im A, B, C, D trờn (G) Gi P l giao hai tip tuyn ti A v D Gi Q l giao hai tip tuyn ti B v C t M = AC ầ DP, N = BD ầ CQ Chng minh rng MN, PQ, AB ng quy Bi gii: Trang 27 Mt s ng dng ca nh lý Pascal v nh lớ Brianchon E B A Q K P D C F N M t E = AP ầ BQ, F = DP ầ CD, K = AC ầ BD p dng nh lý Brianchon vo hỡnh bn nh PEQF v (G) ta cú PQ, EF va ng quy vi AC, va ng quy vi BD Do ú, EF i qua giao im K=AC I BD Vy E, F, K thng hng Hai n hỡnh APM v BQN cú ba cp cnh tng ng giao ti ba im thng hng E, F, K nờn theo nh lý Desargues th nht, ba ng thng AB, PQ, MN ng quy 2.2.3 Bi toỏn dng hỡnh Bi toỏn 1: Hóy dng tip tuyn ca ng trũn (S) bit nm tip tuyn thuc (S) Bi gii: Gi s (S) cú nm tip tuyn a1 , a2 , a3 , a4 , a5 Ta cn dng thờm tip tuyn a6 ca (S) + Cỏch dng: Bc 1: (d ) = ((a1 ầ a2 ),(a4 ầ a5 )) Bc 2: Trờn (d ) ly im O bt k ỡ d1 = (O, a2 ầ a3 ) ù ù Bc 3: Dng ù d = (O, a3 ầ a4 ) ù ợ Bc 4: Khi ú ng thng a6 = (a1 ầ d , a5 ầ d1 ) l ng thng cn tỡm Trang 28 Mt s ng dng ca nh lý Pascal v nh lớ Brianchon + Chng minh: Xột lc giỏc to bi a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 Vỡ (d ) i qua (a1 ầ a2 , a4 ầ a5 ) ( d1 ) i qua (a2 ầ a3 , a5 ầ a6 ) ( d ) i qua (a3 ầ a4 , a6 ầ a1 ) Do d , d1 , d ng quy nờn theo nh lý Brianchon lc giỏc ny ngoi tip mt ng trũn ( S ' ) no ú, m sỏu ng thng a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 cú nht mt ng trũn (S) nờn S S ' Vy ta ó dng c tip tuyn a6 ẻ ( S ) Bi toỏn 2: Hóy dng thờm tip tuyn ca ng trũn (S) bit bn tip tuyn thuc (S) Bi gii: Gi s ta dng c bn tip tuyn a, b, c, d v M l tip im ca a Ta cn dng tip tuyn e ca (S) + Cỏch dng Bc 1: Dng p qua ( M , c ầ d ) Bc 2: Trờn p ly O bt k Bc 3: Dng q qua (O = a ầb) , r qua (O, b ầ c) Bc 4: Khi ú, e= (a ầr , d ầ q) l tip tuyn cn dng + Chng minh: Xột lc giỏc c to bi sỏu cnh aabcde cú: ỡ p qua (M,c ầ d ) (M= a ầ a) ù ù ù q qua (a ầ b, e ầ d ) ù ù r qua (b ầ c,a ầ e) ù ù ợ Trang 29 Mt s ng dng ca nh lý Pascal v nh lớ Brianchon Do p, q, r ng quy nờn theo nh lý Brianchon, ng giỏc ny ni tip mt ng trũn ( S ' ) no ú; m qua bn ng thng a, b, c, d v tip im M ca a cú nht mt ng trũn (S) nờn S S ' Vy e l tip tuyn ca (S) Bi toỏn 3: Hóy dng tip tuyn ca ng trũn (S) bit ba tip tuyn ca (S) v hai tip im a, b (a, b l hai tip tuyn ca (S)) Bi gii: Gi s A, B, C ẻ ( S ) + Cỏch dng: Bc 1: Dng p qua (A), b ầc Bc 2: Trờn p ly im O bt k Bc 3: Dng q qua B, O, r = (O) Bc 4: Khi ú ng thng cn dng l d= (a ầq, c ầ r ) + Chng minh: Xột lc giỏc to bi sỏu cnh aabbqq cú: ỡ p qua b ầ c, A=(a ầ a) ù ù ù q qua a ầ d , B=(b ầ b) ù ù r qua a ầ b, (c ầ d ) ù ù ợ Do p, q, r ng quy ti O nờn theo nh lý Brianchon, lc giỏc ny ni tip mt ng trũn ( S ' ) no ú; m qua ba tip tuyn a, b, c v hai tip im A, B ln lt ca a, b xỏc nh nht mt ng trũn (S) nờn S S ' Suy D ẻ ( S ) Vy ta ó dng c tip tuyn (d) ca (S) Trang 30 Mt s ng dng ca nh lý Pascal v nh lớ Brianchon C KT LUN Qua thi gian thc hin ti: Mt s ng dng ca nh lý Pascal v nh lý Brianchon em ó thu c mt s kt qu nht nh: - Khỏi quỏt c nhng kin thc c bn v nh lý Pascal v nh lý Brianchon - Trỡnh by mt s bi hỡnh hc phng liờn quan n ng trũn c gii bng cỏch ng dng ca nh lý Pascal v nh lý Brianchon hỡnh hc s cp Trang 31 Mt s ng dng ca nh lý Pascal v nh lớ Brianchon D TI LIU THAM KHO [1] Hỡnh hc x nh, Vn Nh Cng [2] Bi hỡnh hc x nh, Phm Bỡnh ụ [3] Hỡnh hc cao cp, Nguyn Mng Hy [4] http://giaoan.violet.vn/present/show/entry_id/8055742 Trang 32 Mt s ng dng ca nh lý Pascal v nh lớ Brianchon MC LC Trang 33