Định lý Brianchon

Định lý BrianchonĐịnh lý BrianchonĐịnh lý BrianchonĐịnh lý BrianchonĐịnh lý BrianchonĐịnh lý BrianchonĐịnh lý BrianchonĐịnh lý BrianchonĐịnh lý BrianchonĐịnh lý BrianchonĐịnh lý BrianchonĐịnh lý BrianchonĐịnh lý BrianchonĐịnh lý BrianchonĐịnh lý BrianchonĐịnh lý BrianchonĐịnh lý BrianchonĐịnh lý BrianchonĐịnh lý BrianchonĐịnh lý BrianchonĐịnh lý BrianchonĐịnh lý BrianchonĐịnh lý BrianchonĐịnh lý BrianchonĐịnh lý BrianchonĐịnh lý BrianchonĐịnh lý BrianchonĐịnh lý BrianchonĐịnh lý BrianchonĐịnh lý BrianchonĐịnh lý BrianchonĐịnh lý BrianchonĐịnh lý BrianchonĐịnh lý BrianchonĐịnh lý BrianchonĐịnh lý BrianchonĐịnh lý Brianchon

Định lý Brianchon Nguyễn Văn Linh Năm 2014 Giới thiệu Định lý Brianchon ,được đặt theo tên nhà toán học Charles Julien Brianchon, định lý tiếng hình học xạ ảnh Nó coi kết liên hợp định lý Pascal Trong hình học Euclide, định lý phát biểu sau: Cho lục giác ABCDEF ngoại tiếp đường tròn (O) Khi đường chéo AD, BE, CF đồng quy B A F C E D Chú ý lục giác ABCDEF không thiết phải lục giác lồi Chứng minh Cách (A.S.Smogorzhevski) [1] Z' O1 V' B X Y A C V X' Z O2 F Y' D U T E O3 T' U' Gọi X, Y, Z, T, U, V tiếp điểm (O) với AB, BC, CD, DE, EF, F A Trên tia XA lấy X , tia Y C lấy Y , tia ZC lấy Z , tia T E lấy T , tia U E lấy U , tia V A lấy V cho XX = Y Y = ZZ = T T = U U = V V Rõ ràng tồn đường tròn (O1 ) tiếp xúc với V V , ZZ V , Z ; đường tròn (O2 ) tiếp xúc với Y Y , U U Y , U ; đường tròn (O3 ) tiếp xúc với XX , T T X , T Lại có AV = V V − V A = XX − XA = AX Suy A nằm trục đẳng phương (O1 ) (O3 ), chứng minh tương tự suy AD trục đẳng phương (O1 ) (O3 ) Tương tự ta thu AD, BE, CF đồng quy tâm đẳng phương (O1 ), (O2 ), (O3 ) Cách B P X Y A Q V C B' C' A' F U Z T D E Kí hiệu tiếp điểm giống cách Gọi XY ∩ V Z = {P }, XZ ∩ Y U = {Q} Áp dụng định lý Pascal cho điểm X, X, Y, Z, V, V suy P, A, Q thẳng hàng Tương tự suy P, Q, A, C thẳng hàng Bằng phương pháp tương tự ta thu XT, ZV, AD đồng quy A , XT, Y U, BE đồng quy B , Y U, ZV đồng quy C Xét hai tam giác ABC tam giác A B C có AB∩A B = {X}, AC∩A C = {P }, BC∩B C = {Y } thẳng hàng nên theo định lý Desargues, AA , BB , CC đồng quy hay AD, BE, CF đồng quy Cách B X A Y B' X' A' Y' V' V C' C O Z Z' F' U' T' D' F D E' U T E Vẫn kí hiệu tiếp điểm giống cách Gọi A giao OA với XV , tương tự xác định B , C , D , E , F R2 : A → A , B → B , C → C , D → D , E → E , F → F Xét phép nghịch đảo IO Xét phép vị tự HO2 : X → X , Y → Y , Z → Z , T → T , U → U , V → V Khi AD, BE, CF đồng quy đường tròn ngoại tiếp tam giác A OD , B OE , C OF đồng trục Điều xảy tâm ngoại tiếp tam giác thẳng hàng hay X V ∩ Z T , X Y ∩ T U , Y Z ∩ U V thẳng hàng R Mà X , Y , Z , T , U , V nằm (O, ) nên theo định lý Pascal, X V ∩ Z T , X Y ∩ T U , Y Z ∩ U V thẳng hàng Ta có đpcm Cách M A X B Y C V Z N D T F U E P Áp dụng định lý Pascal cho điểm X, Y, Z, T, U, V suy V X ∩ZT = {M }, XY ∩U T = {N }, Y Z ∩ U V = {P } thẳng hàng Xét cực đối cực ứng với đường tròn (O) Ta có M nằm đường đối cực A D nên A, D nằm đường đối cực M Vậy AD đường đối cực M Tương tự BE đường đối cực N, CF đường đối cực P Do M, N, P thẳng hàng nên AD, BE, CF đồng quy cực đường thẳng qua M, N, P Nhận xét Cách 3,4 cho thấy định lý Brianchon định lý Pascal liên hợp với Có thể dùng định lý để chứng minh định lý Ứng dụng Bài (Czech-Polish-Slovak 2008) Cho lục giác lồi ABCDEF cho ∠F AB = ∠BCD = ∠DEF AB = BC, CD = DE, EF = F A Chứng minh AD, BE, CF đồng quy B A C I F D E Chứng minh Gọi I tâm ngoại tiếp tam giác ACE Do BA = BC, IA = IC nên BI phân giác góc ABC, tương tự DI, F I phân giác góc CDE, EFA Mặt khác, từ giả thiết ∠F AB = ∠BCD = ∠DEF suy ∠IAF = ∠IEF = ∠DEF − ∠IED = ∠BCD − ∠ICD = ∠BCI = ∠BAI, suy AI phân giác ∠BAF Chứng minh tương tự suy I tâm đường tròn nội tiếp lục giác ABCDEF Theo định lý Brianchon ta thu AD, BE, CF đồng quy Bài Cho đường tròn (O) điểm E nằm ngồi đường tròn Kẻ tiếp tuyến EA, EC tới (O) B điểm thuộc cung nhỏ AC Tiếp tuyến (O) B cắt EA, EC F, D Gọi P điểm nằm (O) DP, EP, F P cắt BC, CA, AB I, J, K Chứng minh AI, BJ, CK đồng quy A F K B E O J P I D C Chứng minh Áp dụng định lý Brianchon cho lục giác ngoại tiếp suy biến AF BDCE suy AD, BE, CF đồng quy Do A, B, C nằm cạnh tam giác DEF ; I, J, K nằm cạnh tam giác ABC DI, EJ, F K đồng quy P nên theo định lý Céva-nest ta thu AI, BJ, CK đồng quy Bài (Iran TST 2007) Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) Gọi M, N tiếp điểm (I) với AB, AC, M N giao BC D EF tiếp tuyến (I) cho EF BC (E ∈ AB, F ∈ AC) Gọi J trung điểm EF , chứng minh DJ tiếp xúc với (I) A F J E N M I C B D Chứng minh Gọi J giao tiếp tuyến (I) qua D với EF Áp dụng định lý Brianchon cho lục giác suy biến DJ EAN C suy DN, AJ , CE đồng quy Chứng minh tương tự suy AJ , EC, F B, M N đồng quy Do EF BC nên theo bổ đề hình thang, AI qua trung điểm EF Vậy J E = J F hay J ≡ J Ta có đpcm Bài (Iran 2002) Cho đường tròn (O) điểm A nằm ngồi đường tròn Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới (O) Tiếp tuyến l (O) cắt AB, AC P, Q Đường thẳng qua P song song với AC cắt BC R Chứng minh l chuyển động, QR qua điểm cố định A C B R T O Q P Chứng minh Gọi giao QR với AB T Giả sử tiếp tuyến khác T A kẻ từ T với (O) cắt AC J Áp dụng định lý Brianchon cho lục giác ngoại tiếp suy biến JCQP BT ta có JP, CB, QT đồng quy R Tuy nhiên P R song song với AC nên J điểm vô cùng, tức tiếp tuyến khác T A kẻ từ T tới (O) song song với AC Suy T điểm cố định Bài (Iran 2003) Cho tam giác ABC điểm Q nằm tam giác M, N, P giao AQ, BQ, CQ với BC, CA, AB Đường tròn nội tiếp (I) tam giác ABC tiếp xúc với BC, CA, AB D, E, F Tiếp tuyến (I) M, N, P khác cạnh tam giác ABC cắt tạo thành tam giác D E F Chứng minh DD , EE , F F đồng quy Q A E F I P N Q F' D B M C D' E' Chứng minh Áp dụng định lý Brianchon cho lục giác suy biến BP D N CD suy BN, CP, DD đồng quy Q Chứng minh tương tự ta có đpcm Bài (Poncelet porism) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), ngoại tiếp đường tròn (I) Gọi D điểm (O) Kẻ tiếp tuyến từ D đến (I), cắt (O) lần thứ hai E, F Chứng minh EF tiếp xúc với (I) E A N F O J I M B C D Chứng minh Gọi M, N, J giao điểm DF AB, DE AC, BE CF Áp dụng định lý Pascal cho điểm F, A, E, C, D, B suy M, J, N thẳng hàng Hay BE, CF, M N đồng quy Gọi E giao tiếp tuyến F khác F D (I) với DN Áp dụng định lý Brianchon cho lục giác ngoại tiếp F E N CBM suy BE, CF , M N đồng quy Điều nghĩa F ≡ F Ta có đpcm Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), ngoại tiếp đường tròn (I) P, Q hai điểm nằm (O) Kẻ tiếp tuyến P X, P Y, QM, QN tới (I) (X, Y, M, N ∈ (O)) Gọi T, R giao P Y, QN với BC Chứng minh M T XR cắt điểm nằm (O) N A X Y O I M E D R C T B K P Q Chứng minh Gọi D giao P X QM , K giao M T XR Theo định lý Poncelet porism ta thu M N tiếp xúc với (I) Từ áp dụng định lý Brianchon cho lục giác RN M DP T suy RD, N P, M K đồng quy E Do P X ∩ M Q = {D}, M K ∩ P N = {E}, XK ∩ QN = {R} thẳng hàng nên áp dụng định lý Pascal dễ dàng suy K nằm (O) Ta có đpcm Bài (Iran TST 2007) Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) l tiếp tuyến (I) Gọi l đường thẳng cắt BC, CA, AB A , B , C Tiếp tuyến (I) A khác BC cắt l A1 Tương tự xác định B1 , C1 Chứng minh AA1 , BB1 , CC1 đồng quy A I C' l C B A' C1 B1 l' A1 B' Chứng minh Áp dụng định lý Brianchon cho lục giác A CAC C1 A1 ta thu A C , CC1 , AA1 đồng quy Có nghĩa AA1 cắt CC1 điểm nằm l Chứng minh tương tự suy AA1 , BB1 , CC1 đồng quy điểm nằm l Nhận xét Trong số ví dụ ta áp dụng định lý Brianchon cho lục giác suy biến, lục giác không lồi hay gọi đường gấp khúc khép kín ngoại tiếp Có thể xảy trường hợp hình vẽ Rõ ràng ABCDEF gọi đường gấp khúc ngoại tiếp, nhiên định lý Brianchon áp dụng trường hợp Chính cần định nghĩa lại đường gấp khúc đỉnh ngoại tiếp cách chặt chẽ để thoả mãn định lý Brianchon sau: Một đường gấp khúc khép kín đỉnh A1 A2 A3 A4 A5 A6 thoả mãn A1 A2 , A2 A3 , , A6 A1 tiếp xúc với đường tròn (O) đồng thời Ai Ai−1 , Ai Ai+1 hai tiếp tuyến khác kẻ từ Ai đến (O) Khi A1 A4 , A2 A5 , A3 A6 đồng quy C A B F E D Bài tập áp dụng Bài Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) Gọi X, Y, Z, T tiếp điểm (O) với AB, BC, CD, DA Chứng minh AC, BD, XZ, Y T đồng quy; AZ, CT, BD đồng quy Bài 10 Cho hình vng ABCD F trung điểm cạnh CD E điểm nằm đường thẳng AB Đường thẳng qua F song song với DE cắt BC H Chứng minh EH tiếp xúc với đường tròn nội tiếp hình vng ABCD Bài 11 Cho hình thoi ABCD ngoại tiếp đường tròn (I) Gọi M, N, P, Q điểm nằm AD, AB, BC, CD cho M N, P Q tiếp xúc với (I) Chứng minh M P N Q Bài 12 Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) Gọi (Oa ) đường tròn qua I, cắt đoạn AI tiếp xúc với AB, AC X, Y Tương tự có (Ob ), (Oc ).(Ob ) tiếp xúc với BA, BC N, M , (Oc ) tiếp xúc với CA, CB Z, T Chứng minh XT, Y M, ZN đồng quy Bài 13 (St Petersburg MO) Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) Một đường tròn tâm I cắt BC A1 , A2 ; CA B1 , B2 ; AB C1 , C2 cho A1 , A2 , B1 , B2 , C1 , C2 theo thứ tự xoay vòng Gọi A3 , B3 , C3 trung điểm cung A1 A2 , B1 B2 , C1 C2 C4 giao A2 A3 B1 B3 , A4 giao B2 B3 C1 C3 , B4 giao C2 C3 A1 A3 Chứng minh A3 A4 , B3 B4 , C3 C4 đồng quy Bài 14 Cho lục giác lưỡng tâm ABCDEF Phân giác góc B, D, F cắt AC, CE, EA M, N, P Chứng minh AN, CP, EM đồng quy Tài liệu [1] A.S.Smogorzhevski, The ruler in Geometrical Construction, Blaisdell publications, 1961, Newyork Email: Lovemathforever@gmail.com