Chứng minh định lý Sondat dựa theo ý tưởng của JeanLouis AymeChứng minh định lý Sondat dựa theo ý tưởng của JeanLouis AymeChứng minh định lý Sondat dựa theo ý tưởng của JeanLouis AymeChứng minh định lý Sondat dựa theo ý tưởng của JeanLouis AymeChứng minh định lý Sondat dựa theo ý tưởng của JeanLouis AymeChứng minh định lý Sondat dựa theo ý tưởng của JeanLouis AymeChứng minh định lý Sondat dựa theo ý tưởng của JeanLouis AymeChứng minh định lý Sondat dựa theo ý tưởng của JeanLouis AymeChứng minh định lý Sondat dựa theo ý tưởng của JeanLouis AymeChứng minh định lý Sondat dựa theo ý tưởng của JeanLouis AymeChứng minh định lý Sondat dựa theo ý tưởng của JeanLouis AymeChứng minh định lý Sondat dựa theo ý tưởng của JeanLouis Ayme
Chứng minh định lý Sondat dựa theo ý tưởng Jean-Louis Ayme Nguyễn Văn Linh Năm 2015 Giới thiệu Tại [1], tác giả người Pháp Jean-Louis Ayme đưa chứng minh sơ cấp thú vị cho định lý Sondat hai tam giác trực giao có tâm thấu xạ Hướng chứng minh tác giả đặc sắc sử dụng phép vị tự để đưa hai tam giác có chung tâm trực giao Tuy nhiên phần sau tác giả dài có đoạn lí luận chưa chặt chẽ Trong viết xin chứng minh lại định lý Sondat dựa theo ý tưởng tác giả phần chỉnh sửa Chứng minh Trước tiên xin giới thiệu tới bạn đọc khái niệm hai tam giác trực giao Định lý Cho hai tam giác ABC A B C Khi đường vng góc kẻ từ A, B, C tới B C , C A , A B đồng quy P đường vng góc kẻ từ A , B , C tới BC, CA, AB đồng quy Q Ta gọi ABC A B C hai tam giác trực giao, P tâm trực giao tam giác A B C ứng với điểm A, B, C, Q tâm trực giao tam giác ABC ứng với điểm A , B , C A B' C' P Q B C A' Chứng minh Áp dụng định lý Carnot, đường vng góc kẻ từ A, B, C tới B C , C A , A B đồng quy (AB − AC ) + (BC − BA ) + (CA − CB ) = Hay (B A2 − B C ) + (A C − A B ) + (C B − C A2 ) = tương đương đường vng góc kẻ từ A , B , C tới BC, CA, AB đồng quy Ta có đpcm Định lý (Pierre Sondat) Cho hai tam giác ABC A1 B1 C1 trực giao có tâm trực giao P Q Giả sử hai tam giác ABC A1 B1 C1 thấu xạ theo tâm O Khi O, P, Q thẳng hàng Chứng minh Trước tiên ta cần hai bổ đề sau Bổ đề (Định lý Dergiades) Cho tam giác ABC đường tròn ωa , ωb , ωc qua cặp đỉnh B, C; C, A; A, B Gọi D, E, F giao điểm thứ hai đường tròn Đường thẳng Qua D vng góc với AD cắt BC X Tương tự xác định Y, Z Khi X, Y, Z thẳng hàng Chứng minh A E F J D X C B Đặt ∠BEC = ∠BF C = α, ∠ADC = ∠AF C = β, ∠AEB = ∠ADB = γ, bán kính ωa , ωb , ωc Ra , Rb , Rc XB BD · sin ∠XDB BD · (− cos ∠ADB) BD · cos γ = = = Ta có XC CD · sin ∠XDC CD · (− cos ∠ADC) CD · cos β XB Y C ZA BD CE AF Chứng minh tương tự suy · · = · · XC Y A ZB CD AE BF BD 2Rc sin ∠BAD Ta lại có = Tương tự áp dụng định lý Céva sin cho tam giác ABC với CD 2Rb sin ∠CAD BD CE AF · · = đường AD, BE, CF đồng quy tâm đẳng phương ωa , ωb , ωc ta thu CD AE BF Vậy X, Y, Z thẳng hàng Bổ đề Cho hai tam giác ABC XY Z thỏa mãn đường vuông góc kẻ từ A, B, C tới Y Z, ZX, XY đường vng góc kẻ từ X, Y, Z tới BC, CA, AB đồng quy O Khi hai tam giác ABC XY Z thấu xạ Chứng minh F X A E Y' Z' O P Z t B C D Y K H Gọi X , Y , Z hình chiếu X, Y, Z BC, CA, AB D, E, F giao BC Y Z, AC XZ, AB XY Gọi H, K giao AB OY , AC OZ Do O trực tâm tam giác AHK nên AO ⊥ HK Mà AO ⊥ Y Z nên Y Z HK Lại có HZ Y K tứ giác nội tiếp nên áp dụng định lý Reim suy Y, Z, Y , Z nằm đường tròn ωx Tương tự có ωy , ωz Áp dụng định lý Dergiades cho tam giác XY Z đường tròn ωx , ωy , ωz suy D, E, F thẳng hàng Theo định lý Desargues ta có hai tam giác ABC XY Z thấu xạ Trở lại định lý Sondat O A A1 Q A2 P P' C1 C'2 C2 B C B1 B'2 B2 Gọi A2 điểm nằm AA1 cho P A2 ⊥ BC, B2 , C2 hai điểm BB1 , CC1 cho A2 B2 A1 B1 , A2 C2 A1 C1 Do A1 A2 , B1 B2 , C1 C2 đồng quy O nên hai tam giác A1 B1 C1 A2 B2 C2 vị tự theo tâm O Suy B1 C1 B2 C2 P tâm trực giao tam giác A2 B2 C2 ứng với tam giác ABC Gọi D, E, F giao điểm B2 C2 với BC, A2 C2 với AC, A2 B2 với AB Do hai tam giác A2 B2 C2 ABC thấu xạ nên theo định lý Desargues, D, E, F thẳng hàng Qua P kẻ đường thẳng vng góc với AC, AB cắt A2 B2 , A2 C2 B2 , C2 Do đường vuông góc kẻ từ B2 tới AC, C2 tới AB cắt điểm P A2 P nên hai tam giác P B2 C2 P B2 C2 vị tự theo tâm A2 Suy B2 C2 B2 C2 P tâm trực giao hai tam giác A2 B2 C2 ABC Theo bổ đề suy A2 B2 C2 ABC thấu xạ Theo định lý Desargues, giao điểm D B2 C2 với BC nằm EF Mà D D nằm BC nên D ≡ D hay hai tam giác ABC A2 B2 C2 có chung tâm trực giao P Ta có hai tam giác A2 P B2 A1 QB1 có cạnh tương ứng song song nên vị tự theo tâm O Suy O, P, Q thẳng hàng Nhận xét Tại [1], kết luận A2 B2 C2 ABC có chung tâm trực giao đưa sau chứng minh P tâm trực giao A2 B2 C2 ứng với ABC Điều khơng hiển nhiên tơi nhận thấy việc chứng minh khó khăn Tài liệu [1] Jean-Louis Ayme, Le théorème de Sondat une preuve simple et purement synthétique http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/vol1.html [2] Sondat P., Question 38, L’intermédiaire des mathématiciens (1894) 10 Email: Lovemathforever@gmail.com