Lưu ý: Thầy sẽ chứng minh lại dưới dạng chi tiết để các em hiểu.Dạng toán này xuất phát là của thầy Chu Văn Biên nhé.. Trước khi đến với dạng toán trên ta hãy nhắc lại nhứng tính chất v
Trang 1Lưu ý: Thầy sẽ chứng minh lại dưới dạng chi tiết để các em
hiểu.Dạng toán này xuất phát là của thầy Chu Văn Biên nhé
Hai giá trị của x cho cùng UX = kU
Trước khi đến với dạng toán trên ta hãy nhắc lại nhứng tính chất vốn
có của hàm bậc hai để ta dễ dàng áp dụng vào bài toán vật lý cụ thể
Xét hàm số 2
0
yax bx c (*) Xét trường hợp (a>0), ( Vì trong vật lý thông thường chỉ số a>0)
Hàm số (*) có thể đưa về tam thức bậc hai như sau: 2
0
ax bx c y (**) Tam thức bậc hai thườn có những tính chất sau đây:
Tại một giá trị 0
2
b x a
chính là giá trị cực trị của tam thức bậc hai, do hệ
số a>0 nên nên x0 chính là điểm cực tiểu của (**) Tiếp tục áp dụng định
lý Viet ta lại có:
b
x x
a
và x x1 2 c
a
Một mấu chốt quan trọng ở đây nữa là ta có
0 0
2
c y b
x
Bây giờ ta đi chứng minh đó
Thật vậy: Tam thức bậc hai của (**) đạt giá trị cực tiểu x0 tương ứng lúc này thì y0 Thay 0
2
b x a
vào phương trình (**) ta rút ra được
2
0
c y
Ta thấy rằng mối liên hệ giữa x0và y0
một cách rõ ràng Khi x0đạt cực tiểu, kéo theo y0, hay nói ngược lại, ứng với một giá trị của y0 thì tam thức bậc hai của (**) đạt giá trị nhỏ nhất
Vì sao phải chứng minh được 0
0
2
c y b
x
thì đọc giả sẽ thấy ở
phần áp dụng vào cho bài toán vật lý cụ thể
1 Mạch RLC, khi R thay đổi thì mạch tiêu thụ công suất công suất cực
đại Pmax.Nếu hai giá trị R1 và R2 để mạch tiêu thụ công suất P
Xuất phát từ công thức tính công suất:
2 2
2
P R I R
R
R
Lưu ý: Vì R thay đổi nên ta xem R là biến số để khảo sát
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương R và 2
Z Z R
ta có R + 2
Z Z R
2 Z LZ C Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau: R =
Trang 2đại khi R0 Z LZ C , thay vào biểu thức của P ta tính được giá trị cực đại
đó là: max 2 2
0
P
R Z Z
Từ công thức (1.1) ta có thể biến đổi như sau: 2 2 2
0
U
R R Z Z P
Áp dụng định lý Viet ta dễ dàng suy ra: R1 R2 U2
P
(5.3) và
2
Từ (1.2) ta biến đổi 2
max
2
U
Z Z
P
kết hợp với (1.4) ta được
2
1 2 max
.R 2
U
R
Từ (1.3) và (1.5) ta lập tỉ và bình phương 2 vế thì sẽ rút ra được:
2 max
2 4.P
R R
Các em học sinh khi làm trắc nghiệm thì nên ghi nhớ công thức (1.6) để làm bài tập
Ví dụ 1: Đặt điện áp xoay chiều uU0 cos t (V) (U và không đổi) vào hai đầu đoạn mạch AB mắc nối tiếp gồm biến trở R, tụ điện có điện dung C, cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L Khi R = R1 và R = R2 thì công suất tiêu thụ trên mạch đều bằng 120 W Nếu R1/R2 + R2/R1 = 4,25 thì công suất mạch tiêu thụ cực đại là bao nhiêu?
A 127,5 W B 150 W C.180 W D 300 W
Hướng dẫn
Áp dụng công thức (1.6) ta rút ra được
max
120
R R P
P
R R
Chọn B
Trang 32 Mạch RLC, khi L thay đổi thì max
L
U Nếu hai giá trị L1 và L2 để
.
L
U k U
Ta có
2
2
1
C
C
U Z I Z
R Z
Suy ra:
2
c
x x
(2.1)
0
1 1
C
b x
(2.2) Theo định lý Viet ta có:
2
2
b
x x
(2.3)
2
a Z Z R Z
(2.4) Lập tỉ giữa (2.2) và (2.3) rồi bình phương hai vế ta được:
0
1
k
Tiếp tục lập tỉ giữa (2.4) và (2.5) ta suy ra được:
Ví dụ 2.1 Đặt điện áp xoay chiều uU0 cos t (V) (U và không đổi)
vào hai đầu đoạn mạch AB mắc nối tiếp gồm điện trở R, tụ điện có điện dung
C, cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L thay đổi Điện áp hiệu dụng trên cuộn
cảm đạt giá trị cực đại bằng U 10 Khi L = L1 và L = L2 thì điện áp hiệu dụng
trên cuộn cảm đều bằng 1,5U Tính L1/L2 + L2/L1
A 1,24 B 1,50 C 3,43 D 4,48
Hướng dẫn:
2 0
1 10 1
k
L L
Trang 4đúng thứ tự R,C, cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm thay đổi được Khi
1
Z Z hoặc Z L Z L2 thì U L1U L2 270 (V) Biết 3Z L2Z L1 150( ) và tổng trở
của đoạn mạch RC trong hai trường hợp là 100 2 Giá trị U Lmax gần giá
trị nào nhất sau đây?
A 150 (V) B.180 (V) C 300(V) D.175 (V)
Hướng dẫn
Bây giờ ta đi xác định k0 thì khi đó ta dễ dàng tính được
max 0 0 90 10
L
U k Uk ; Ta có: 1 2
0
5
90 5 2
U U k
U U
Từ công thức (2.4) như đã trình bày trong phần lý thuyết ta có :
R Z k Z Z thay 2
Z R Z
và kết hợp với Z L1 3Z L2 150ta tìm được
2 4
3 5
Từ đó tìm được Z L2 150 Z L1 300 Tiếp tục thay vào công thức
“Độc” của ĐL BHD5
2 2
1 5
L
Z Z
max
90 10
2
L
C
U Nếu hai giá trị C1 và C2 để
.
C
U k U
Ta có
2
2
1
L
L
U Z I Z
R Z
Suy ra:
2
x x
0
1 1
L
b x
Theo định lý Viet ta có:
Trang 51 2 2 2 2 2
2
2
b
x x
2
a Z Z R Z
Lập tỉ giữa (2.2) và (2.3) rồi bình phương hai vế ta được:
0
1
k
Tiếp tục lập tỉ giữa (2.4) và (2.5) ta suy ra được:
Ví dụ 3.1: Đặt điện áp xoay chiều uU0 cos t (V) (U và không đổi) vào hai đầu đoạn mạch AB mắc nối tiếp gồm điện trở R, tụ điện có điện dung C thay đổi được, cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L Điện áp hiệu dụng trên tụ đạt giá trị cực đại bằng 5U/3 Khi CC1 và 2 1
16
C C F
thì điện áp hiệu dụng trên tụ đều bằng U= U 2,5 Tính C1
A 12( F)
B 40( F)
C.18( F)
D.24( F)
Hướng dẫn
Từ công thức (3.6) ta suy ra 1 2 02
2
1
1
k
C C
thay k k, 0 :
1
16
16
đến đây ta không rút C1 vì có
số lẻ là 16
nên cách nhanh nhất trong thi trắc nghiệm là lấy 4 phương
án thế vào Nhận thấy chỉ có đáp án D thỏa mãn nên ta chọn D
C
U , max
0
C
U k U và hai giá trị 1 và 2 thì
U U k U
Xuất phát từ công thức:
2
2
1
C C
L C
C
Bình phương hia vế và rút gọn cho U ta được:
2
1
c y
L C R C LC
k
Trang 6(4.1)
Do (4.1) là tam thức bậc hai nên, hệ số (a>0) nên (4.1) đạt cực đại tại
0
2
b
x
a
1 2
2
k
LC R C
L C L C
Áp dụng định lý Viet: 2 2 2 2
2LC R C
L C
2 2 2
1
.
k
L C
Lập tỉ (4.2) và và (4.3) rồi bình phương hai vế ta được
2
1 1
4
k
L C
Tiếp tục lập tỉ giữa (4.5) và (4.4) ta rút ra đươc:
Ví dụ 4.1: Đặt điện áp xoay chiều u 100 2 cos t (V) ( thay đổi được) vào hai đầu đoạn mạch AB mắc nối tiếp gồm điện trở R, tụ điện có điện dung C, cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L sao cho 2L > R2C Khi
1
và 2 thì điện áp hiệu dụng trên tụ cùng bằng 115 V Nếu
2, 66
thì điện áp hiệu dụng cực đại trên tụ là bao nhiêu?
A 100(V) B.132,6(V) C.150(V) D.155,5(V)
Ta có: 115 1,15
100
C
U k
U
Từ công thức (5.5) ta suy ra
2
0
k k
U Cmax k U0 100.1,326 132, 6 V
Chọn B
L
U , max
0
L
U k U và hai giá trị 1 và 2 thì
U U k U
Xuất phát từ công thức:
Trang 72 2 2
1
2
R
R L
L C LC L C
Bình phương hia vế và rút gọn cho U ta được:
2
2
b
R
L C LC L k
(5.1) Tam thức bậc hai trên đạt cực trị tại
2
2 2
1
1 2
2
R
x
L C L C
Áp dụng định lý Viet ta được:
2
2 2
1 2
2 1
R
LC L b
a
L C
2
2 2
1 2
2 2
1
1
k
L C
Lập tỉ giữa (5.2) và (5.3) rồi bình phương hai vế ta rút ra được:
2
2 2
1 4.
1
k
L C
Tiếp tỉ giữa (5.5) và (5.4) rồi khai triễn ra ta được kết quả:
0
2
1
2 4.
1
k k
Ví dụ 5.1: Đặt điện áp (U không đổi, f thay đổi được) vào hai đầu đoạn
mạch mắc nối tiếp gồm cuộn cảm thuần có độ tự cảm L, điện trở thuần R
và tụ điện có điện dung C Khi f = f1 hoặc f = 2,3f1 thì điện áp hiệu dụng ở hai đầu cuộn cảm có cùng giá trị 1,15U Khi f thay đổi thì điện áp hiệu dụng trên tụ đạt giá trị cực đại là xU Tính x
A 1,2 B 1,25 C 1,36 D 1,4