CHỨNG MINH ĐỊNH lý BHD5 CHI TIẾT ví dụ

ĐỊNH LÝ BHD5-TRỊ NHỮNG BÀI KHÓ THẦY HOÀNG MICHAEL Lưu ý: Thầy chứng minh lại dạng chi tiết để em hiểu.Dạng toán xuất phát thầy Chu Văn Biên  Hai giá trị x cho UX = kU Trước đến với dạng toán ta nhắc lại nhứng tính chất vốn có hàm bậc hai để ta dễ dàng áp dụng vào toán vật lý cụ thể Xét hàm số y  ax  bx  c  (*) Xét trường hợp (a>0), ( Vì vật lý thông thường số a>0) Hàm số (*) đưa tam thức bậc hai sau: ax2  bx  c  y  (**) Tam thức bậc hai thườn có tính chất sau đây: Tại giá trị x0  b giá trị cực trị tam thức bậc hai, hệ 2a số a>0 nên nên x0 điểm cực tiểu (**) Tiếp tục áp dụng định lý Viet ta lại có: c b x1.x2  Một mấu chốt quan trọng ta có a a c  y0 b Bây ta chứng minh x0   2a a Thật vậy: Tam thức bậc hai (**) đạt giá trị cực tiểu x0 tương ứng lúc b y0 Thay x0  vào phương trình (**) ta rút 2a x1  x2  c  y0 b  b  y0  c       x0 Ta thấy mối liên hệ x0 y0 2a a  2a  cách rõ ràng Khi x0 đạt cực tiểu, kéo theo y0 , hay nói ngược lại, ứng với giá trị y0 tam thức bậc hai (**) đạt giá trị nhỏ Vì phải chứng minh x0  c  y0 b đọc giả thấy  2a a phần áp dụng vào cho toán vật lý cụ thể Mạch RLC, R thay đổi mạch tiêu thụ công suất công suất cực đại Pmax Nếu hai giá trị R1 R2 để mạch tiêu thụ công suất P Xuất phát từ công thức tính công suất: P  R.I  R U2 R   Z L  ZC  2  U  Z  ZC  R L (1.1) R Lưu ý: Vì R thay đổi nên ta xem R biến số để khảo sát Áp dụng BĐT Cauchy cho số dương R  Z L  ZC  R ta có R +  Z L  ZC  R  Z L  ZC Dấu “ = “ xảy hai số nhau: R = ĐỊNH LÝ BHD5-TRỊ NHỮNG BÀI KHÓ  Z L  ZC  R THẦY HOÀNG MICHAEL  R0  Z L  ZC Vây công suất toàn mạch đạt giá trị cực đại R0  Z L  ZC , thay vào biểu thức P ta tính giá trị cực đại là: Pmax  U2 U2  R0 Z L  Z C (1.2) Từ công thức (1.1) ta biến đổi sau: R  Áp dụng định lý Viet ta dễ dàng suy ra: R1.R2   Z l  Z C  R1  R2  U2 R   Z L  ZC   P U2 (5.3) P (1.4) Từ (1.2) ta biến đổi Z L  ZC  U2 kết hợp với (1.4) ta Pmax U2  R1.R 2 Pmax (1.5) Từ (1.3) (1.5) ta lập tỉ bình phương vế rút được: P2 R1 R2    max R2 R1 P (1.6) Các em học sinh làm trắc nghiệm nên ghi nhớ công thức (1.6) để làm tập Ví dụ 1: Đặt điện áp xoay chiều u  U0 cos t    (V) (U  không đổi) vào hai đầu đoạn mạch AB mắc nối tiếp gồm biến trở R, tụ điện có điện dung C, cuộn dây cảm có độ tự cảm L Khi R = R1 R = R2 công suất tiêu thụ mạch 120 W Nếu R1/R2 + R2/R1 = 4,25 công suất mạch tiêu thụ cực đại bao nhiêu? A 127,5 W B 150 W C.180 W D 300 W Hướng dẫn  Áp dụng công thức (1.6) ta rút Pmax   120 P  R1 R2  2     R2 R1   4, 25    150 (W)  Chọn B ĐỊNH LÝ BHD5-TRỊ NHỮNG BÀI KHÓ THẦY HOÀNG MICHAEL Mạch RLC, L thay đổi U Lmax Nếu hai giá trị L1 L2 để U L  k U Ta có U L  Z L I  Z L Suy ra:  R  ZC2  a U R   Z L  ZC   U R Z  2.Z C  ZL ZL 2 C 1  2Z c    ZL ZL c k b x2 y x (2.1) Hàm số đạt cực tiểu x0  c  y0 Z  k02 b    C  2a a Z L0 R  ZC  k 1 (2.2) Theo định lý Viet ta có: x1  x2  2Z Z b 1 1 1     C  C     a Z L1 Z L R  ZC R  ZC  Z L1 Z L  (2.3) x1.x2  2 c 1 1 k    R  ZC2   k 2 Z L1.Z L 2 a Z L1 Z L R  ZC   (2.4) Lập tỉ (2.2) (2.3) bình phương hai vế ta được:  k02 1 1       Z L1 Z l  R  Z C2 (2.5) Tiếp tục lập tỉ (2.4) (2.5) ta suy được:  k02  k02 Z L1 Z L L1 L2        Z L Z L1  k 2 L2 L1  k 2 (2.6) Ví dụ 2.1 Đặt điện áp xoay chiều u  U0 cos t    (V) (U  không đổi) vào hai đầu đoạn mạch AB mắc nối tiếp gồm điện trở R, tụ điện có điện dung C, cuộn dây cảm có độ tự cảm L thay đổi Điện áp hiệu dụng cuộn cảm đạt giá trị cực đại U 10 Khi L = L1 L = L2 điện áp hiệu dụng cuộn cảm 1,5U Tính L1/L2 + L2/L1 A 1,24 B 1,50 C 3,43 D 4,48 Hướng dẫn:    10  k02 L L Từ công thức (2.6) ta suy     L2 L1  k 2  1,52 Chọn D 2   4, 48 ĐỊNH LÝ BHD5-TRỊ NHỮNG BÀI KHÓ THẦY HOÀNG MICHAEL Ví dụ 2.2 (Trích đề số sách thần tốc 2016) Đặt điện áp u  90 10 cos t V  vào hai đầu đoạn mạch AB nối thứ tự R,C, cuộn dây cảm có độ tự cảm thay đổi Khi Z L  Z L1 Z L  Z L U L1  U L  270 (V) Biết 3Z L  Z L1  150() tổng trở đoạn mạch RC hai trường hợp 100    Giá trị U L max gần giá trị sau đây? A 150 (V) B.180 (V) C 300(V) D.175 (V) Hướng dẫn Bây ta xác định k0 ta dễ dàng tính U L max  k0 U  k0 90 10 ; Ta có: k  U L1 U L 270    U 90 U Từ công thức (2.4) trình bày phần lý thuyết ta có :    R  Z C2   k 2 Z L1.Z L thay Z RC  R  ZC2  100   2.104    2  kết hợp với Z L1  3Z L  150 ta tìm 2.10  1     Z L  3Z L  150        Từ tìm Z L  150    Z L1  300   Tiếp tục thay vào công thức “Độc” ĐL BHD5  k02 Z L1 Z L 300 150        2 Z L Z L1 1 k 150 300 U L max   k02 3  1     2  k0   U L max  2.U 90 10  90 10  284 V   D Chọn C Mạch RLC, C thay đổi U Cmax Nếu hai giá trị C1 C2 để U C  k.U Ta có U C  Z C I  Z C Suy ra:  R  Z L2  a U R   Z L  ZC   U R  Z L2  2.Z L 1 ZC ZC 1  2Z L 1  ZC ZC k b x2 x Hàm số đạt cực đại tại x0  (3.1) c c  y0  k02 Z b    L  2a a ZC R  Z L  k 1 Theo định lý Viet ta có: (3.2) ĐỊNH LÝ BHD5-TRỊ NHỮNG BÀI KHÓ THẦY HOÀNG MICHAEL 2Z Z b 1 1 1     L 2 L 2    a Z C1 Z C R  Z L R  Z L  Z C1 Z C  c 1  k 2 x1.x2     R  Z L2   k 2 ZC1.ZC a ZC1 ZC R  Z L2 (3.3) x1  x2    (3.4) Lập tỉ (2.2) (2.3) bình phương hai vế ta được:  k02 1 1       Z C1 Z C  R  Z L2 (3.5) Tiếp tục lập tỉ (2.4) (2.5) ta suy được: Z C1 Z C  k02  k02 C1 C2        Z C Z C1  k 2 C2 C1  k 2 (3.6) Ví dụ 3.1: Đặt điện áp xoay chiều u  U0 cos t    (V) (U  không đổi) vào hai đầu đoạn mạch AB mắc nối tiếp gồm điện trở R, tụ điện có điện dung C thay đổi được, cuộn dây cảm có độ tự cảm L Điện áp hiệu dụng tụ đạt giá trị cực đại 5U/3 Khi C  C1 C2  C1  16    F  điện áp hiệu dụng tụ U= U 2,5 Tính C1 A 12  B ( F ) 40  C ( F ) 18  D ( F ) 24  ( F ) Hướng dẫn  k02 C1 C2    thay k , k0 : C2 C1  k 2 16 C1  16 C1 C2 34 C2 C1   C1   34 đến ta không rút C có      16 C2 C1 15 C1 15 C1   16 số lẻ nên cách nhanh thi trắc nghiệm lấy phương  Từ công thức (3.6) ta suy án vào Nhận thấy có đáp án D thỏa mãn nên ta chọn D Khi  thay đổi để U Cmax , U Cmax  k0 U hai giá trị 1 2 U C1  U C  k.U Xuất phát từ công thức: U C  ZC U R   Z L  ZC  2  C. U   R   L   C    Bình phương hia vế rút gọn cho U ta được: L2C    R 2C  LC     c 0 k2 y U   L C   R C  LC   2  k U ĐỊNH LÝ BHD5-TRỊ NHỮNG BÀI KHÓ THẦY HOÀNG MICHAEL Xem x   , a  L2 C , b  LC  R C2 , c  1, y  k2 Hàm số viết lại a.x2  bx  c  y  (4.1) Do (4.1) tam thức bậc hai nên, hệ số (a>0) nên (4.1) đạt cực đại  k02 LC  R 2C b  x0  hay 0  L2C L2C 2a 2LC  R 2C Áp dụng định lý Viet: 12  22  L2C  k 2 2 1 2  2 L C (4.2) (4.3) (4.4) Lập tỉ (4.2) và (4.3) bình phương hai vế ta  1  22    k02 L2C (4.5) Tiếp tục lập tỉ (4.5) (4.4) ta rút đươc:   22  12 22 2  1   2   k02  k02           k 2  k 2  2   1  (5.5) Ví dụ 4.1: Đặt điện áp xoay chiều u  100 cos t    (V) (  thay đổi được) vào hai đầu đoạn mạch AB mắc nối tiếp gồm điện trở R, tụ điện có điện dung C, cuộn dây cảm có độ tự cảm L cho 2L > R2C Khi   1   2 điện áp hiệu dụng tụ 115 V Nếu 1 2   2, 66 điện áp hiệu dụng cực đại tụ bao nhiêu? 2 1 A 100(V) B.132,6(V) C.150(V) D.155,5(V) Hướng dẫn Ta có: k  U C 115   1,15 U 100 Từ công thức (5.5) ta suy  1 2   k02  k02   2, 66   k0  1,326     k 2  1,152  2 1   UC max  k0U  100.1,326  132,6 V  Chọn B Khi  thay đổi để U Lmax , U Lmax  k0 U hai giá trị 1 2 U L1  U L  k U  Xuất phát từ công thức: ĐỊNH LÝ BHD5-TRỊ NHỮNG BÀI KHÓ U L  Z L I  L U   R   L   C    THẦY HOÀNG MICHAEL U  R2  1     1 L2C   LC L    kU Bình phương hia vế rút gọn cho U ta được:  1 R2  1     1  2 LC   LC L   c k x2 a b x (5.1) y Tam thức bậc hai đạt cực trị R2  c  y0  k02 b x0    02  LC L  (5.2) 1 2a a 2 2 LC LC  R2  2   LC L  b  2 Áp dụng định lý Viet ta được: 1  2  a  2 LC 2 1 k 12 22  2 LC (5.3) (5.4) Lập tỉ (5.2) (5.3) bình phương hai vế ta rút được: 12  22    k02 2 LC (5.5) Tiếp tỉ (5.5) (5.4) khai triễn ta kết quả: 2  1   2   k02         k 2  2   1  (5.6) Ví dụ 5.1: Đặt điện áp (U không đổi, f thay đổi được) vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm cuộn cảm có độ tự cảm L, điện trở R tụ điện có điện dung C Khi f = f1 f = 2,3f1 điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn cảm có giá trị 1,15U Khi f thay đổi điện áp hiệu dụng tụ đạt giá trị cực đại xU Tính x A 1,2 B 1,25 C 1,36 D 1,4