tóm tắt khóa luận một số ứng dụng của định lý pascal và định lý brianchon

Vớimong muốn được nghiên cứu sâu hơn về hình học và tìm hiểu sâuhơn nữa về ứng dụng của hai định lý tuyệt mỹ ấy, tôi đã chọn đề tài "Một số ứng dụng của định lý Pascal và định lýBriancho

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Toán học nói chung và hình học nói riêng có tầm quan trọng đặcbiệt đối với những môn khoa học khác Đồng thời, hình học còngiúp chúng ta có một phương pháp suy luận, phương pháp giải vàsáng tạo một số bài toán thuộc chương trình phổ thông

Định lý Pascal và định lý Brianchon chắc không còn quá xa lạ vớinhững bạn yêu toán và đặc biệt là yêu thích môn hình học Vớimong muốn được nghiên cứu sâu hơn về hình học và tìm hiểu sâuhơn nữa về ứng dụng của hai định lý tuyệt mỹ ấy, tôi đã chọn

đề tài "Một số ứng dụng của định lý Pascal và định lýBrianchon" làm khóa luận tốt nghiệp

Định lý Pascal và định lý Brianchon tổng quát được phát biểu chocác đường cônic trong mặt phẳng xạ ảnh Trong đề tài này, tôicũng đã đề cập đến một trường hợp đặc biệt của nó, đó là đườngtròn trong mặt phẳng

• Biết cách thể hiện những hiểu biết của mình

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Hệ thống lý thuyết, phân loại và đưa ra bài tập chi tiết liên quanđến Định lý Pascal - Định lý Brianchon

4 Đối tượng - Phạm vi nghiên cứu

- Định lý Pascal - Định lý Brianchon và những ứng dụng có liênquan

- Các tài liệu tham khảo do cá nhân tự tìm hiểu và thu thập thêm

Nội dung chính

1 Tên đề tài

Một số ứng dụng của định lý Pascal và định lý Brianchon

2 Kết cấu của nội dung

3 Phương pháp nghiên cứu

• Thu thập, tra cứu, phân tích tài liệu

• Nghiên cứu hệ thống kiến thức của hình học sơ cấp và hìnhhọc xạ ảnh

• Tham khảo tài liệu, đào sâu suy nghĩ tìm ra cách giải quyếtmột số vấn đề

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ LÝ THUYẾT CHUẨN BỊ

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ LÝ THUYẾT CHUẨN BỊ

mà f bảo toàn tỷ số kép giữa hai chùm nên:

1.1.3 Một số trường hợp đặc biệt của định lý Pascal

Trường hợp 1: Hình năm đỉnh

Định lý 1.1.3 Hình năm đỉnh A1A2A3A4A5 nội tiếp đường ôvan (S)thì ba giao điểm của cạnh A1A2 với cạnh A4A5, cạnh A2A3 với tiếptuyến của (S) tại A5, cạnh A3A4 với cạnh A5A1 thẳng hàng

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ LÝ THUYẾT CHUẨN BỊ

Chú ý 1.1.4 Nếu hai đỉnh trùng nhau thì khi đó cạnh nối hai đỉnhtrùng nhau đó thay bằng tiếp tuyến của ôvan (S) tại điểm đó

Trường hợp 2: Hình bốn đỉnh

Định lý 1.1.5 Nếu một hình bốn đỉnh ABCD nội tiếp một đườngôvan thì giao điểm các cạnh đối diện và giao điểm các tiếp tuyến tạicác cặp đỉnh đối diện là bốn điểm thẳng hàng

• ABCD ≡ AABBCC (tiếp tuyến tại hai đỉnh kề nhau)

• ABCD ≡ AABCCD (tiếp tuyến tại hai đỉnh đối diện)

Kết luận 1.1.6 Nếu hình bốn đỉnh ABCD nội tiếp ôvan thì giao củacác cặp cạnh đối diện và giao của các tiếp tuyến tại các cặp đỉnh đốidiện là bốn điểm thẳng hàng

Trường hợp 3: Hình ba đỉnh

Định lý 1.1.7 Nếu một hình ba đỉnh nội tiếp một đường ôvan thìgiao điểm của một cạnh với tiếp tuyến tại đỉnh đối diện là ba điểmthẳng hàng

Xét hình ba đỉnh AABBCC:

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ LÝ THUYẾT CHUẨN BỊ

Kết luận 1.1.8 Nếu hình ba đỉnh nội tiếp một ôvan thì giao của mộtcạnh với tiếp tuyến tại đỉnh đối diện là ba điểm thẳng hàng

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ LÝ THUYẾT CHUẨN BỊ

1.2.3 Một số trường hợp đặc biệt của định lý Brianchon

Trường hợp 1: Nếu một hình tứ cạnh ngoại tiếp một ôvan thì cácđường nối các đỉnh đối diện và các đường nối các tiếp điểm trên cáccạnh đối diện đồng quy

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ LÝ THUYẾT CHUẨN BỊ

Trường hợp 2: Nếu một hình ba cạnh ngoại tiếp một ôvan thì bađường nối mỗi đỉnh với tiếp điểm trên mỗi cạnh đối diện là ba đườngđồng quy

Chương 2

Một số ứng dụng của định lý

Pascal và định lý Brianchon

2.1 Ứng dụng của định lý Pascal

2.1.1 Định lý Pascal với sáu điểm phân biệt.

Bài tập 2.1.1 Cho tam giác ABC nội tiếp một đường tròn (O) GọiA’, B’, C’ lần lượt là các điểm chính giữa của các cung BC, CA, ABkhông chứa A, B, C của (O) Các cạnh BC, CA, AB cắt các cặp đoạnthẳng C’A’ và A’B’, A’B’ và B’C’, B’C’ và C’A’ lần lượt ở các cặpđiểm M và N; P và Q; R và S

Chứng minh rằng: MQ, NR, PS đồng quy

Bài tập 2.1.2 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O) Gọi

M là điểm nào đó trên cạnh AC (M 6= A, C) Đường thẳng BM cắtđường tròn lần nữa tại N Đường thẳng qua A vuông góc với AB vàđường thẳng quan N vuông góc với NC cắt nhau tại điểm Q

Chứng minh rằng QM luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyểntrên cạnh AC

Bài tập 2.1.3 Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm (O) và 3 điểm

M, N, P cùng thuộc đường thẳng (d) AM, BM, CM cắt lại (O) tương

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON

ứng ở A1, B1, C1; A1N, B1N, C1N cắt lại (O) tương ứng ở A2, B2, C2;

A1N , B1N , C1N cắt lại (O) tương ứng ở A3, B3, C3

2.1.2 Định lý Pascal cho sáu điểm không phân biệt

Bài tập 2.1.5 Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp (O) Tiếp tuyếncủa (O) tại A cắt CD ở S BS cắt lại đường tròn ở T

Chứng minh rằng CT, SO và AD đồng quy

Bài tập 2.1.6 Cho tam giác cân ABC (AB = AC) nội tiếp đườngtròn (O) Kẻ đường kính AD của đường tròn, S là 1 điểm di động trênđường tròn SB cắt AC ở M, SD cắt BC ở N

Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định

Bài tập 2.1.7 Cho tam giác ABC và điểm S thuộc cạnh BC Trên cáctia AB, AC lấy tương ứng các điểm M, N sao choAM C =\ 1

2ASC,[ AN B =\1

2ASB Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN.[

Chứng minh rằng: IS⊥BC

2.1.3 Định lý Pascal với cực và đối cực

Bài tập 2.1.8 Chứng minh rằng ba đường chéo chính của một lụcgiác ngoại tiếp đồng quy

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON

Bài tập 2.1.9 Cho hình vuông ABCD ngoại tiếp (O) Tiếp điểm (O)trên AB, BC, CD, DA lần lượt là M, N, P, Q Một điểm S nằm trêncung nhỏ PN của (O) Tiếp tuyến của (O) tại S cắt BC, CD lần lượttại H, K

Chứng minh rằng: M H//AK

Bài tập 2.1.10 Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F cùng thuộc một đườngtròn (O) sao cho ABCD là hình chữ nhật Giả sử EF cắt AB, CD lầnlượt ở P, Q; BE cắt AF ờ H; CE cắt DF ở K

Chứng minh rằng: PH // QK

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1 Cho đường tròn tâm (O) đường kính EF Lấy hai điểm

N, P trên đường thẳng EF sao cho ON = OP Từ điểm M nào đóbên trong đường tròn mà không thuộc EF , kẻ đường thẳng M N cắtđường tròn tại A và C, đường thẳng M P cắt đường tròn tại B và Dsao cho B và O nằm khác phía đối với AC Gọi K là giao điểm của

OB và AC, Q là giao điểm của EF và CD

Chứng minh rẳng các đường thẳng KQ, BD và AO đồng quy

Bài 2 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O) Mộtđường thẳng đi qua O cắt hai cạnh AB, AC lần lượt tại M, N Gọi

I, J, K lần lượt là trung điểm của CM, BN, M N

Chứng minh bốn điểm I, J, K, O nằm trên một đường tròn

Bài 3 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và một điểm

S trong mặt phẳng AS, BS, CS cắt lại (O) tương ứng ở D, E, F Mộtđường thẳng (d) qua S cắt BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P

Chứng minh rằng DM, EN, F P và đường tròn (O) đồng quy

Bài 4 Một đường tròn cắt các cạnh BC, CA, AB của tam giácABC lần lượt tại D1, D2; E1, E2; F1, F2 D1E1 cắt D2F2 ở L; E1F1 cắt

E2D2 ở M ; F1D1 cắt F2E2 ở N

Chứng minh rằng AL, BM và CN đồng quy

Bài 5 Cho tam giác ABC không cần nội tiếp đường tròn tâm(O) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB

Chứng minh rằng các đường tròn (AOM ), (BON ), (COP ) có hai điểmchung

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON

2.2 Ứng dụng của định lý Brianchon

2.2.1 Bài toán Brianchon với cực và đối cực

Bài tập 2.2.1 Cho tam giác ABC với (I) là đường tròn nội tiếp.Tiếp điểm của (I) trên BC, CA, AB lần lượt là D, E, F Gọi M, N, Plần lượt là điểm chung của các cặp đường thẳng (EF,BC), (DF,CA),(DE,AB)

Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng

Bài tập 2.2.2 Cho tam giác ABC, đường tròn nội tiếp tiếp xúc với

BC, CA, AB lầ lượt là D, E, F Đường tròn nội tiếp tam giác DEFtiếp xúc với EF, FD, DE lần lượt là M, P, N

Chứng minh rằng: AM, BP, CN đồng quy

Bài tập 2.2.3 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyếncủa (O) tại A, B cắt nhau tại S Một cát tuyến quay quanh S cắt CA,

CB tại M, N và cắt (O) lần lượt tại P, Q

Chứng minh rằng (M,N,P,Q) = -1

2.2.2 Định lý Brianchon với các đường cônic

Bài tập 2.2.4 Cho ôvan (S) và 2 điểm I, J trên nó Lấy 2 điểm A,

B lần lượt nằm trên tiếp tuyến (S) tại I, J Vẽ AC và BD tiếp xúc với(S) lần lượt tại C và D Kí hiệu P = ID ∩ AC, Q = J C ∩ BD

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON

Bài tập 2.2.7 Hãy dựng thêm tiếp tuyến của đường bậc hai (S) biết

ba tiếp tuyến của (S) và hai tiếp điểm của a, b (a, b là hai tiếp tuyếncủa (S))

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1 Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) M, N lần lượt là trungđiểm của AB, CD (ABN ) cắt CD ở P , (CDM ) cắt AB ở Q

Chứng minh rằng AC, P Q, BD đồng quy

Bài 2 Cho parabol (G) tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC

cố định Chứng minh rằng: mỗi đường thẳng nối hai điểm thuộc haicạnh cho trước đều đi qua một điểm cố định, ba đường thẳng nối mỗiđỉnh với tiếp điểm thuộc cạnh đối diện đồng quy tại điểm E Tìm quỹtích điểm E

Bài 3 Cho elip (G) và tam giác ABC có các cạnh AB, BC, CAtiếp xúc với (G) lần lượt tại các điểm M, N, L

Chứng minh rằng [ABM ].[BCN ].[CAL] = −1

Bài 4 Cho parabol (G) và tam giác AC có các cạnh tiếp xúc với(G).Từ B kẻ đường thẳng b0 song song với AC Đặt H và K là haigiao điểm của b; với (G) Đặt L là giao điểm của hai tiếp tuyến tại H

và K của (G)

Chứng minh rằng: LA song song với BC còn LC song song với AB

Bài 5 Trong mặt phẳng afin cho (H) với hai đường tiệm cận a

và b Cho bốn điểm A, B, C, D nằm trên (H) Gọi a0 là đường thẳng

đi qua A và song song với a, b0 là đường thẳng đi qua B và song songvới b Đường thẳng AC ∩ b0 = P, BD ∩ a0 = Q Chứng minhh rằng:

P Q//CD

Kết luận

Khóa luận với đề tài: “ Một số ứng dụng của định lý Pascal

và định lý Brianchon”, tôi đã nghiên cứu được các nội dung chủ yếusau:

• Luận văn trình bày một số bài tập hình học được giải bằng cáchứng dụng của định lý Pascal và định lý Brianchon Đối với nhữngvấn đề đã được lựa chọn cho luận văn, tôi hi vọng rằng đó là nhữngvấn đề có thể giúp cho việc nghiên cứu các vấn đề khác của định

lý Pascal và định lý Brianchon được thuận lợi hơn

• Ngoài sự nỗ lực học hỏi và tìm tòi của bản thân, đề tài của tôi

đã được hoàn thành dưới sự giúp đỡ, hướng dẫn của cô NGUYỄNTHỊ TRÀ cùng ý kiến đóng góp của các thầy cô trong khoa Toán

và các bạn sinh viên Theo tôi, đề tài thực tập cơ bản đã đạt đượcmục đích đề ra, nó đã mang lại sự cần thiết và những lợi ích củathực tập chuyên ngành nói chung và việc đào tạo Cử nhân ngànhToán nói riêng, góp phần thúc đẩy sự tìm tòi, nghiên cứu toán họccủa bản thân tôi Tuy nhiên do thời gian có hạn và mới bắt đầulàm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài nàycũng không tránh khỏi thiếu sót, tôi rất mong được sự chỉ bảo,đóng góp ý kiến của thầy, cô và các bạn để đề tài này được hoànthiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn

Tài liệu tham khảo

[1] Văn Như Cương, Hình học xạ ảnh, Nhà xuất bản Giáo dục 1998.[2] Văn Như Cương, Bài tập Hình học xạ ảnh, Nhà xuất bản Giáo dục1998

[3] Phạm Đình Đô, Bài tập Hình học xạ ảnh, Nhà xuất bản Đại học

Sư phạm 2008

[4] Các tài liệu khác, nguồn internet,