Xấp xỉ hàm đa điều hòa dưới trong lớp năng lượng có trọng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN THỊ HẢI HIỀN XẤP XỈ HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƢỚI TRONG LỚP NĂNG LƢỢNG CÓ TRỌNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN THỊ HẢI HIỀN XẤP XỈ HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƢỚI TRONG LỚP NĂNG LƢỢNG CĨ TRỌNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS PHẠM HIẾN BẰNG THÁI NGUYÊN - 2015 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các tài liệu luận văn trung thực Luận văn chưa cơng bố cơng trình Tác giả Nguyễn Thị Hải Hiền ii LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp xin cám ơn Thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học Xin chân thành cảm ơn Trường Phổ thông Dân tộc nội trú THPT Tỉnh Hồ Bình đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ tơi mặt q trình học tập hoàn thành luận văn Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tháng 04 năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Hải Hiền iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục luận văn Chƣơng CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hoà 1.2 Hàm đa điều hoà cực đại 1.3 Hàm cực trị tương đối 1.4 Toán tử Monge-Ampère phức 10 Chƣơng XẤP XỈ CỦA HÀM ĐA ĐIỀU HỊA DƢỚI TRONG LỚP NĂNG LƢỢNG CĨ TRỌNG 15 2.1 Các lớp lượng Cegrell n 15 2.2 Xấp xỉ hàm đa điều hòa lớp lượng Cegrell 16 2.3 Các lớp lượng có trọng 22 2.4 Dưới thác triển lớp 35 2.5 Xấp xỉ hàm đa điều hòa lớp 37 KẾT LUẬN 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bài toán xấp xỉ hàm đa điều hịa đóng vai trò đặc biệt quan trọng lý thuyết đa vị, tất đối tượng kỹ thuật kinh điển lý thuyết dung lượng, toán tử Monge-Ampere, nguyên lý so sánh, liên quan đến xấp xỉ hàm đa điều hịa Do đó, tốn nhiều tác giả nước quan tâm nghiên cứu Gần đây, nghiên cứu hàm đa điều hịa khơng bị chặn địa phương mà xác định tốn tử Monge-Ampere, Cegrell phân chúng thành lớp hàm đa điều hòa khác để xấp xỉ chúng hàm đa điều hịa bị chặn từ định nghĩa toán tử Monge-Ampere cho lớp Ta biết toán tử Monge-Ampere phức xác định với hàm (dd c j ( ) giới hạn yếu dãy độ đo )n , ( j ) dãy giảm hàm đa điều hòa thuộc lớp ( ) hội tụ đến Mở rộng lớp này, năm 2005, Cegrell đưa lớp hàm ( ) mà compact Tiếp tục mở rộng lớp , trùng với hàm lớp ( ) lớp lớp lượng có trọng p ( ) ( ) , năm 2011, S Benelkourchi đưa ( ) nghiên cứu việc xấp xỉ hàm đa điều hồ lớp Theo hướng nghiên cứu chọn đề tài: "Xấp xỉ hàm đa điều hòa lớp lượng có trọng" Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn trình bày số kết việc nghiên cứu xấp xỉ hàm đa điều hòa lớp Cegrell n lớp lượng có trọng 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau đây: - Trình bày tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà cực đại, hàm cực trị tương đối, toán tử Monge-Ampère - Nghiên cứu số tính chất lớp lượng U.Cegrell n lớp lượng có trọng ( ) - Trình bày kết gần Slimane Benelkourchi xấp xỉ hàm đa điều hoà lớp Cegrell lớp lượng có trọng Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp giải tích phức kết hợp với phương pháp giải tích hàm đại, phương pháp lý thuyết đa vị phức Bố cục luận văn Nội dung luận văn gồm 42 trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà cực đại, hàm cực trị tương đối, toán tử Monge-Ampère Chương 2: Là nội dung luận văn, trình bày số kết tính chất lớp lượng U.Cegrell trọng n lớp lượng có ( ) Trình bày kết nghiên cứu gần Slimane Benelkourchi xấp xỉ hàm đa điều hoà lớp Cegrell lớp lượng có trọng Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt Chƣơng CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hoà dƣới 1.1.1 Định nghĩa Cho X không gian tôpô, hàm u : X gọi nửa liên tục trên X với x X : u(x ) n tập mở hàm nửa liên tục không trùng với liên thông n b u(a , hàm này, ta viết u u : , thành phần Hàm u gọi đa điều hoà với b) điều hoà trùng :a thành phần tập hợp tập hợp mở X 1.1.2 Định nghĩa Cho a , b ( ) (ở kí hiệu Trong trường hợp ( ) lớp hàm đa điều hồ ) Sau vài tính chất hàm đa điều hoà dưới: ( ) u 1.1.3 Mệnh đề Nếu u, v u v hầu khắp nơi , v 1.1.4 Mệnh đề Hàm đa điều hoà thoả mãn nguyên lý cực trị miền bị chặn, tức u tập mở liên thông bị chặn PSH ( ), u với z u(z ) sup lim sup u(y ) y y , n n 1.1.5 Định nghĩa Tập hợp E a E có lân cận V a hàm u E V z V : u(z ) 1.1.6 Định lý Cho (i ) Họ u, v u v lim u j uj ( ) u j (iii ) Nếu u : , u số không âm ( ) dãy giảm, j , u j tập compact , Khi ( ) liên thông (iv ) Giả sử u n tập mở ( ) , (V ) cho ( ) nón lồi, tức (ii ) Nếu u gọi đa cực với điểm ( ) hội tụ tới u j ( ) ( ) cho bao u A sup u bị A chặn địa phương Khi hàm qui nửa liên tục u * đa điều hoà 1.1.7 Hệ Cho n tập mở khác rỗng Nếu u y , cơng thức xác định hàm đa điều hoà tập mở thực ( ), lim v(x ) ( ), v max u, v u x trong \ y u(y ) với 1.1.8 Định lý Cho n tập mở (i ) Cho u, v hàm đa điều hoà : v lồi, v (u / v) đa điều hoà (ii ) Cho u ( ), v ( ), v Nếu Nếu : lồi tăng dần, v (u / v) đa điều hồ (iii ) Cho u, v : 0, ( ), u 0, lồi (0) 1.1.9 Định lý Cho , v (u / v) tập mở F z tập đóng , v n Nếu ( ) : v(z )  v ( ) Nếu u ( \ F ) bị chặn trên, hàm u xác định u(z ) (z lim sup u(y ) (z u (z ) y z y F đa điều hoà n 1.1.10 Định nghĩa Một miền bị chặn tồn hàm đa điều hòa liên tục c z \ F) F) : (z ) : c gọi miền siêu lồi ( , 0) cho với c 1.2 Hàm đa điều hoà dƣới cực đại 1.2.1 Định nghĩa Cho tập mở n u : hàm đa điều hồ Ta nói u cực đại với tập mở compact 28 o( ) chứng minh hội tụ lượng Thật vậy, với k ta định nghĩa u kj sup{u j , k } u k Cố định số nguyên k , dãy (u kj )j lượng u kj hội tụ tới sup{u, k } bị chặn giảm tới u k , lượng u k j lượng u kj ta hoàn thành việc chứng minh lượng u j theo j j hội tụ tới Như Điều suy từ bất đẳng thức sau (u kj )(dd cu kj )n I ( j, k ) : {u j M (u kj )(dd cu kj )n k} ( k) ( k) (u j )(dd cu j )n {u j {u j k} (u kj )(dd cu j )n k} ( k) ( k) (u j )(ddcu j )n sup j (u j )(dd cu j )n Trường hợp tổng quát, ý f (u j )(dd cu kj )n {u j k} (u j )(dd cu j )n ( k) , ( k) 2M (u) L1((dd cu)n ) theo Mệnh đề 2.3.3 Khi suy tồn hàm tăng h : lim t h(t ) t (t ) : h( L1((dd cu)n ) Như u h( f ) (t )) với t lượng suy từ trường hợp o( ) tính liên tục cho ( ) , với 29 : 2.3.6 Định lý Cho hàm không giảm cho t Khi ( ) ( ) tuỳ ý, tốn tử Monge-Ampere phức (dd cu )n xác Nói riêng, với hàm u L1((dd cu)n ) (u) định tốt Chứng minh Lấy r không giảm số thực cho cho , r v ( r) Chọn hàm r, , đoạn Ta chứng minh lồi (v) ( ) với ( ) tuỳ ý Thật dd c (v) Nếu u ( ) d cv (v)dv ( ) tồn dãy u j sup j (v)dd c (v ) 0 ( ) giảm u thỏa mãn (u j )(dd cu j )n Khi (u1 )(dd cu j )n sup j sup j sup j Vì với G (u j )(dd cu j )n (u j )(dd cu j )n u1 hàm đa điều hòa âm, nên ta chứng minh u miền xét hàm uGj sup v ( ); v u j G ( ) Thật vậy, 30 uGj ( ) uGj u G Lấy ( ) cho u1 Bằng cách lấy tích phân phần ta có (dd cuGj )n sup j (dd cu j )n sup j sup j (u1 )(dd cu j )n Khi (dd cuGj )n sup j Điều cho ta uGj j G ( ) u Bây u (dd cuGj )n ( sup ) sup ( ) ( ) , tính nửa liên tục u suy (u)(dd cu)n bị chặn điểm tụ dãy bị chặn (u j )(dd cu j )n Do (u)((dd cu)n ) 2.3.7 Định nghĩa ˆ( ): ( )/ Các lớp t n ( t )Cap ({ t})dt ( ) ˆ ( ) có mối quan hệ mật thiết với nhau: 2.3.8 Mệnh đề Các lớp ˆ ( ) lồi ổn định theo nghĩa ( ) max( , ) ˆ ( ) ˆ ( ) , ˆ(t ) ˆ ( ) Hơn ln có ˆ ( ) (2t ) ˆ( ) ( ), 31 Chứng minh Tính lồi ˆ ( ) suy từ khẳng định sau: ˆ ( ) , {a a (1 a) t} t} { { t} Tính ổn định hiển nhiên ˆ ( ) Khơng tính tổng quát, ta giả sử Giả sử (0) Đặt j ( j ) max( , j ) Theo Bổ đề 2.3.1 ta có (dd c j )n ( t )(dd c ( t )Cap ( ˆ( ) ( ) Suy j )n ( t )dt j t )dt ( ) Bao hàm thức lại chứng minh tương tự, sử dụng bất đẳng thức thứ hai Bổ đề 2.3.1 Chú ý ˆ ˆ ( ) , ˆ(t ) ( ) bất đẳng thức Bổ đề 2.3.1với t Khi ( t )p ta có (t ) trưng lớp U Cegrell p (2t ) , suy cách áp dụng s ˆ ( ) ( ) Như ta nhận đặc ( ) theo nghĩa tốc độ giảm dung lượng tập mức 2.3.9 Hệ a ( ) ( ) (0) ( ) 32 Chứng minh Bao hàm thức suy từ Mệnh đề 2.3.3 Để chứng minh bao hàm thức ngược lại, ta cần chứng minh u ˆ ( ) Điều cho u h(t ) t nCap ({u a ( ) tồn hàm ˆ Đặt sup h(s ) , t s t t }) h (t ) Hàm h bị chặn, giảm hội tụ vô Xét với t hàm lồi, tăng với (0) (t ) Khi đó, : h( t ) ( ) Hơn t n ( t )Cap ({ t })dt h (s ) ds 1/2 h (s ) h 1/2 (0) , điều suy từ Bổ đề 2.3.1 : 2.3.10 Mệnh đề Cho t Khi tồn dãy (uk ) sup k hàm u hàm không giảm cho lim uk k ( ) cho (uk )(dd cuk )n u , ( ) Chứng minh Không tổng quát, giả sử tập hợp t độ dài dương Theo Bổ đề 2.3.1 ta có s nCap (uk 2s ) (uk s) (dd cuk )n : (t) có 33 suy t n ( t )Cap (uk 2n t )dt ( t) 2n (uk s) (dd cuk )n dt (uk )(dd cuk )n Do từ định lí tính đơn điệu hội tụ ta có : t n ( t )Cap ({u t })dt lim k t n ( t )Cap ({uk sup ( k Hay u u u ( ) ta có u * ( ) hàm khơng giảm Nếu t lim supz u(z ) , với Chứng minh Khơng tính tổng qt, giả sử t tập có độ dài dương với t0 lim supz z0 B u ( ) : 2.3.11 Mệnh đề Cho ) uk (dd cuk )n t })dt với 0, t t0 , ( t ) Giả sử tồn z 0 cho Chọn hình cầu B tâm z nhỏ tùy ý cho u(z ) / Khi theo [5] ta có Cap (u s) , s / Do t n ( t )Cap (u mâu thuẫn với giả thiết u ( ) ˆ ( ) ˆ t )dt , 34 : 2.3.12 Định lý Cho ( ) hàm không giảm Nếu t ( ) Chính xác hơn, ta có u ( ) L1((dd cu)n ) u ( ): Chứng minh Theo Mệnh đề 2.3.8 trước hết ta chứng minh u ( ) hàm cực đại u định nghĩa lớp 0 Lấy u j ( ) dãy cho ( ) Theo Bổ đề 2.3.1 ta có ( s / 2)s nCap (u j 2n s)ds ( s) (u j s) (dd cu j )n (u j )(dd cu j )n Vì u ( ) hàm cực đại (tức (dd cu)n ) nên (u j )(dd cu j )n lim j Do ( s / 2)s nCap (u s )ds lim j ( s / 2)s nCap (u j 2n lim (u j )(dd cu j )n j Từ Cap (u s) 0, s Vậy u s )ds 0 Bây ta chứng minh khẳng định sau cùng, tức ta phải chứng minh bao hàm thức ( ) u ( ) : (u) L1((dd cu)n ) 35 Lấy u (u)(dd cu )n ( ) cho dựng dãy u j ( ) giảm u sup j )(u j )(dd cu j )n ( , tồn u j Từ [13] suy với j (dd cu)n Tương tự [8], ta xây 1u ( ) cho (dd cu)n , j Chú ý ( ) hàm vét cạn với (dd cu)n (dd cu j )n (dd cu j )n Theo nguyên lý so sánh suy (u j )j dãy giảm uˆ lim j u j u Từ chứng minh Định lí 2.3.6 suy tồn hàm đa điều hòa âm (dd cu )n cho Khi theo Định lí 3.6 [2] ta có uˆ u Theo Định lí hội tụ đơn điệu ta có ( ) u j (dd cu j )n ) uj ( u j (dd cu)n u j (dd cu j )n 2.4 Dƣới thác triển lớp Ta cần bổ đề sau ([11]): n 2.4.1 Bổ đề Cho hàm u xác định u u ( ),(dd cu)n miền siêu lồi Giả sử u sup v u v ( );v (dd cu)n u ( ) Khi thoả mãn: (dd cu)n 36 n 2.4.2 Định lý Cho không giảm cho t u u : miền siêu lồi Nếu u ( ) tồn u hàm ( ) cho , (u )(dd cuˆ)n Chứng minh Cho u ( ) cho uk ( ) với k nghĩa lớp (u )(dd cu )n ( ) dãy giảm u theo định cho uk thác triển hàm uk theo Bổ đề 2.4.1 ta có: (uk )(dd cuk )n (uk )(dd cuk )n uk uk (uk )(dd cuk )n (uk )(dd cuk )n uk uk Do sup k (uk )(dd cuk )n Theo Mệnh đề 2.3.10 ta có hàm u (u)(dd cu)n limk uk (2.9) u ( ) Khi từ (2.9) suy (u )(dd cu )n Theo nguyên lý so sánh ta nhận uk k ta có u u (u )(dd cu )n uk với k , cho 37 2.5 Xấp xỉ hàm đa điều hịa dƣới lớp ( ) ta có: Mở rộng Định lý 2.2.4 cho lớp lượng có trọng n 2.5.1 Định lý Cho cho lim Cap (K ) lồi chứa K t miền siêu lồi j hàm không giảm cho ( t ) Khi với ( j j (lim j (z ) (z ), với z ( ) Với j j tăng dần đến ˆ j j )* ˆ t n ( t )Cap ( ˆ j xét hàm ( j j ) thác ta có j j 2t )dt lim J ˆ ( ) Để chứng minh ˆ (dd c ˆ)n (dd c )n Lấy h j t n ( t )Cap ({ j ( Do ˆ t n ( t )Cap ( ˆ )(dd c )n 2t )dt 2t})dt j ta phải chứng minh ( ) cho h(dd c )n Lấy tích phân phần ta j Đặt Theo Bổ đề 2.3.1 ta có h(dd c ˆ)n , nhận theo Định lí 2.4.2 Ta chứng minh dãy Từ cách xây dưng j 0, với ( ) tồn dãy không giảm hàm ) cho lim Chứng minh Lấy triển dãy giảm miền siêu Cap (K ) , với tập compact j : Cho j 38 h(dd c )n dd ch (dd c )n hdd c ˆ (dd c )n j ta có k j k limk Nhớ lại k j limk j k với ( ˆdd ch (dd c )n 1 h(dd c ˆ)n ) dãy giảm k j , ( j ( ) , với ) thác triển , cho k j sup v ( j k ); v Từ tính liên tục tốn tử Monge-Ampere phức dãy đơn điệu giảm ta có h(dd c ˆ)n h(dd c lim j lim lim j Do dó với h k ( ) thỏa mãn j )n j h(dd c k n , ( ) cho l Thật vậy, cố định h định (dd c )n k n j ) h(dd c )n ) h(dd c )n tồn k h(dd c )n Theo Bổ đề 3.1 [9] hàm h(dd c lim lim , ta có h(dd c ˆ)n trơn có giá compact Ta chọn với l ( ) Hàm , cho 1,2 l ,l 1,2 xác 39 l mz max( b,Mh ) max(m z a, b, m M số phụ thuộc vào l Mh , suy (dd c ˆ)n l b,Mh ) ,h Khi hàm khả tích (dd c )n (dd c ˆ)n Do (dd c )n Theo Định lí 3.6 [2] suy ˆ 40 KẾT LUẬN Luận văn trình bày: - Tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà cực đại, hàm cực trị tương đối, toán tử MongeAmpère - Một số tính chất lớp lượng U.Cegrell n lớp ( ) lượng có trọng - Các kết gần Slimane Benelkourchi xấp xỉ hàm đa điều hoà lớp Cegrell lớp lượng có trọng Cụ thể định lý sau: n + Cho miền siêu lồi chặt, int lồi chứa cho cho D Giả sử j a j ( j a ) cho lim j j n + Cho j : j với tập mở D ( j tồn j ( ) Khi tồn dãy tăng hàm (z ) (z ) với z j dãy giảm miền siêu lồi chứa Cap (K ) , với tập compact K hàm không giảm cho ( t) 0, với t ( ) tồn dãy không giảm hàm Khi với j j miền siêu lồi cho lim Cap (K ) Cho j dãy giảm miền siêu j ) cho lim j j (z ) (z ), với z 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] DiÖu N Q., Hải L M (2009), Cơ sở lí thuyết đa vị, Nxb Đại Học sphạm Hà Nội TIẾNG ANH [2] Ahag P., Czyz R., Pham H H (2009), "Monge-Ampere measure on pluripola sets", J Math Pures Appl (9) 92, No.6, pp.613-627 [3] Bedford E., and Taylor B A (1982), "A new capacity for plurisubharmonic funtions", Acta Math 149, No.1-2, pp.1 - 40 [4] Benelkourchi S (2009), Weighted pluricomplex energy, Potential Analysis Volume 31, Issuel, pp.1-20 [5] Benelkourchi S (2006), "A note on the approximation of plurisubharmonic functions", C.R Math Acad Sci Paris, 342, pp 647-650 [6] Benelkourchi S., Guedj V., and Zeriahi A (2007), Plurisubharmonic functions with weak singularities, complex Analysis and Digital Geometry Proceedings from the Kisslmanfest, Uppsala Universitet, ISSN 0502-7454, pp 57-73 [7] Blocki Z (2004), "On the definition of the Monge- Ampere operator in " Math Ann 328, no 3, pp 415- 423 [8] Cegrell U (1998), "Pluricomplex energy", Acta Math 180, pp.187 - 217 [9] Cegrell U (2004), "The general definition of the complex Monge - Ampère", Ann Inst Fourier (Grenoble) 54, pp.159 - 179 [10] Cegrell U (2008), "A general Dirichle problem for of the complex Monge-Ampere operator", Ann Polon Math.94, no2, pp.131-147 42 [11] Cegrell U., and Hed L (2008), "Subextension and approximation of negative plurisubharmonic functions", Michigan Math J 56, no.3, pp 93-601 [12] Cegrell U., Kolodziej S., and Zeriahi A (2005), "Subextension of plurisubharmonic functions with weak singularities", Math Z 250, no 1, pp 7-22 [13] Kolodziej S (1994), "The range of the complex Monge-Ampere operator", Indiana Univ Math J 43, no 4, pp 1321-1338 ... Chƣơng XẤP XỈ CỦA HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƢỚI TRONG LỚP NĂNG LƢỢNG CÓ TRỌNG Trong chương này, trình bày số tính chất lớp lượng có trọng nghiên cứu việc xấp xỉ hàm đa điều hịa lớp Ta chứng minh hàm tùy ý xấp. .. LƢỢNG CÓ TRỌNG 15 2.1 Các lớp lượng Cegrell n 15 2.2 Xấp xỉ hàm đa điều hòa lớp lượng Cegrell 16 2.3 Các lớp lượng có trọng 22 2.4 Dưới thác triển lớp 35 2.5 Xấp xỉ. .. j ) dãy giảm hàm đa điều hòa thuộc lớp ( ) hội tụ đến Mở rộng lớp này, năm 2005, Cegrell đưa lớp hàm ( ) mà compact Tiếp tục mở rộng lớp , trùng với hàm lớp ( ) lớp lớp lượng có trọng p ( ) (