Hàm đa điều hòa dưỡi trên tập giải tích trong cn (tt)

MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Hàm đa điều hồ tập giải tích đối tượng quan trọng giải tích phức nhiều biến Tuy nhiên việc nghiên cứu đồng thời hai đối tượng đề cập đến Một ngun nhân diện điểm kỳ dị tập giải tích làm cho q trình trơn hóa (hay xấp xỉ địa phương tích chập) hàm đa điều hòa hay kỹ thuật lấy bao họ hàm đa điều hòa khơng tác dụng Đây hai cơng cụ kỹ thuật coi tiêu chuẩn lý thuyết đa vị phức tập mở Cn Chúng chọn nghiên cứu đề tài "Hàm đa điều hòa tập giải tích Cn " phần thách thức kể phần ứng dụng vào toán trung tâm lý thuyết đa vị giải tích phức như: Giải phương trình Monge-Ampère tập giải tích, đánh giá định lượng hội tụ dãy hàm đa điều hòa tập giải tích, II Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Để dễ theo dõi, ta bắt đầu cách nhắc lại số khái niệm (xem [6]) tập giải tích Cho D tập mở Cn Một tập đóng V D gọi tập giải tích với z0 ∈ V ta tìm lân cận mở U z0 họ hàm chỉnh hình {fi }i∈I xác định U cho V ∩ U = {z ∈ U : fi (z) = 0, ∀i ∈ I} Trên tập giải tích có hai loại điểm điểm kỳ dị điểm qui Điểm a ∈ V gọi điểm qui tồn lân cận U a để V ∩ U đa tạp phức số chiều k U Nói cách khác, tồn hàm chỉnh hình f1 , , fn−k xác định U cho điều kiện sau thỏa mãn: a V ∩ U = {z ∈ U : fi (z) = 0, ∀1 i n − k}; ∂fi )1≤i≤n−k,1≤j≤n = n − k b rank ( ∂zj Trong trường hợp viết dima V = k Tập điểm qui V ký hiệu Vr Vs := V \ Vr tập điểm kỳ dị V Số chiều tập giải tích V định nghĩa dim V = max dima V a∈Vr Chúng tơi tập trung tìm hiểu vấn đề sau xoay quanh hàm đa điều hòa xác định tập giải tích Cn Vấn đề Cho V tập giải tích miền bị chặn D Cn Tìm điều kiện V để hàm đa điều hòa bị chặn xác định V xấp xỉ hàm đa điều hòa V liên tục V¯ Từ tìm ứng dụng vào việc giải tốn Dirichlet với giá trị biên liên tục (có thể trừ tập kỳ dị đủ nhỏ) Vấn đề Xây dựng cách định lượng nguyên lý so sánh hàm đa điều hòa bị chặn Từ tìm áp dụng vào việc nghiên cứu điều kiện đủ cho hội tụ dãy hàm đa điều hòa thơng qua hội tụ giá trị biên chúng với hội tụ dãy độ đo Monge-Ampère tương ứng Để hiểu rõ hướng nghiên cứu này, chúng tơi bình luận kết mà nhà tốn học trước đạt Đối với miền mở bị chặn Cn vấn đề nghiên cứu F Wikstrom sau N Q Diệu Wikstrom cách khoảng 15 năm công trình [18], [11], [8] Điểm mấu chốt tác giả sử dụng định lý đối ngẫu cổ điển Edwards [12] nhằm đưa toán xấp xỉ hàm đa điều hòa việc so sánh lớp độ đo Jensen ứng với nón hàm đa điều hòa khác Khi chuyển sang tập giải tích có số kết ban đầu đạt [19] Những kết có hạn chế ln giả thiết tập giải tích V có lân cận mở B−chính qui Cn Đối với vấn đề 2, ngồi cơng trình kinh điển Bedford Taylor [2], [3], [4] hay Cegrell [5], phải kể đến kết gần Xing citeXi1 [21], cơng trình này, đánh giá định lượng nguyên lý so sánh đưa Một lần nữa, nghiên cứu toán xấp xỉ cho vấn đề thứ 2, phải vượt qua khó khăn đáng kể thiết lập cơng thức tích phân phần cho dòng dương tập giải tích có kỳ dị Ngồi ra, ý lần đề cập tới việc làm yếu điều kiện biên III PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Một khó khăn làm việc với tập giải tích xuất điểm kỳ dị nên phương pháp truyền thống Nguyễn Quang Diệu Frank Wikstrom (sử dụng định lý đối ngẫu Edwards) hay Bedford (nguyên lý so sánh toán tử Monge-Ampère) trường hợp Cn , chúng tơi phải kết hợp với công cụ mạnh lý thuyết đa vị phức tập giải tích kết Fornaess Narasimhan đặc trưng hàm điều hòa dưới, cơng thức tích phân phần dạng vi phân tập giải tích, Chương Tổng quan vấn đề luận án 1.1 Hàm điều hòa Ta bắt đầu việc trình bày lại định nghĩa với số kết hàm điều hòa C sau hàm đa điều hòa Cn Dụng ý bạn đọc hiểu khái niệm hàm đa điều hòa tập giải tích trình bày sau Các kết với chứng minh chi tiết tìm thấy sách kinh điển lý thuyết đa vị phức [16] Định nghĩa 1.1.1 Giả sử X không gian tôpô Hàm u : X → [−∞, +∞) gọi nửa liên tục trên X với a ∈ R tập Xa = {x ∈ X : u(x) < a} tập mở X Hàm nửa liên tục có tính chất thú vị sau Mệnh đề 1.1.2 Giả sử u hàm nửa liên tục trên không gian tôpô X K X tập compact Khi u đạt cực đại K Định nghĩa 1.1.3 Giả sử Ω tập mở C Hàm u : Ω → [−∞, +∞) gọi điều hòa Ω u nửa liên tục trên Ω, u ≡ −∞ thành phần liên thông Ω thỏa mãn bất đẳng thức trung bình Ω, nghĩa với ω ∈ Ω tồn > cho với ≤ r < ta có 2π u(w) 2π u(w + reit )dt 1.2 Hàm đa điều hòa Định nghĩa 1.2.1 Giả sử Ω ⊂ Cn tập mở u :−→ [−∞, +∞) hàm nửa liên tục trên, không đồng −∞ thành phần liên thông Ω Hàm u gọi đa điều hòa Ω (viết u ∈ P SH(Ω)) với a ∈ Ω b ∈ Cn , hàm λ −→ u(a + λb) điều hòa −∞ thành phần liên thông tập {λ ∈ C : a + λb ∈ Ω} Tương tự hàm điều hòa dưới, ta có kết sau Định lý 1.2.2 Giả sử u : Ω −→ [−∞, +∞) hàm nửa liên tục trên, không đồng −∞ thành phần liên thông Ω ∈ Cn Khi u ∈ P SH(Ω) với a ∈ Ω, b ∈ Cn cho {a + λb : λ ∈ C, |λ| ≤ 1} ⊂ Ω ta có 2π u(a) 2π u(a + eiθ b)dθ Bây ta phát biểu định lí xấp xỉ cho hàm đa điều hòa tương tự hàm điều hòa Trong Chương 3, phải áp dụng kỹ thuật tinh tế Bedford xấp xỉ hàm đa điều hòa tập giải tích dãy hàm trơn, tựa đa điều hòa Định lý 1.2.3 Giả sử Ω ⊂ Cn tập mở u ∈ P SH(Ω) Nếu ε > cho Ωε : = {z ∈ Ω : d(z, ∂Ω) > ε} = ∅ u ∗ χε ∈ C ∞ (Ωε ) ∩ P SH(Ωε ) Họ {u ∗ χε : ε > 0} đơn điệu giảm ε ↓ lim u ∗ χε (z) = u(z) ε→0 xảy với z ∈ Ω Quay trở lại nội dung luận án Chúng ta nghiên cứu hai vấn đề hàm đa điều hòa tập giải tích Vấn đề xấp xỉ hàm đa điều hòa tập giải tích nghiên cứu nguyên lý so sánh với hàm đa điều hòa bị chặn với ứng dụng vào nghiên cứu toán hội tụ dãy hàm đa điều hòa Sau tìm hiểu hai nội dung 1.3 Xấp xỉ hàm đa điều hòa tập giải tích Cn Hàm đa điều hòa đối tượng quan trọng giải tích phức Tuy nhiên chúng nghiên cứu nhiều tập mở Cn đa tạp phức Nội dung luận án nghiên cứu xấp xỉ hàm đa điều hòa tập giải tích Cn Đó tính chất xấp xỉ hàm đa điều hòa tập nhỏ tập giải tích hàm đa điều hòa tập lớn Ngồi chúng tơi nghiên cứu tốn tử Monge-Ampère phương trình Monge-Ampère tập giải tích Ta nhắc lại số khái niệm Định nghĩa 1.3.1 Cho D tập mở Cn V tập đóng D Ta nói V tập giải tích D với x ∈ V tồn lân cận mở Ux ⊂ Cn x cho Ux ∩ V không điểm chung số hàm chỉnh hình Ux Những khái niệm số chiều tập giải tích V , phần qui Vr phần kỳ dị Vs V trình bày sơ lược phần mở đầu luận án không cần thiết nhắc lại Ta cần nhớ ví dụ sau tập giải tích: Nếu V := {(z1 , z2 ) ∈ C2 : z1 z2 = 0} Vr = V \ {(0, 0)} Vs = {(0, 0)} Hơn dim V = Gắn liền với khái niệm tập giải tích khái niệm hàm chỉnh hình hàm đa điều hòa tập Chúng ta có khái niệm sau lấy [13] Định nghĩa 1.3.2 Cho V tập giải tích miền bị chặn D Cn Một hàm f : V → C gọi chỉnh hình địa phương f hạn chế V hàm chỉnh hình tập mở Cn Định nghĩa 1.3.3 Cho V tập giải tích miền bị chặn D Cn Hàm nửa liên tục u : V → [ − ∞, ∞) gọi đa điều hòa địa phương u hạn chế hàm đa điều hòa tập mở Cn Tập hàm đa điều hòa tập giải tích V ký hiệu P SH(V ) Một vấn đề truyền thống giải tích xấp xỉ hàm tập nhỏ hàm có tính chất tốt xác định tập lớn Với ý tưởng này, chứng minh kết sau cơng trình [9] Định lý 1.3.4 Cho V tập giải tích miền D nằm Cn Giả sử có hàm đa điều hòa liên tục âm vét cạn V Khi với hàm u đa điều hòa âm, liên tục V tồn dãy hàm đa điều hòa hội tụ giảm u V Hơn {uj } có giá trị biên không với j Trong trường hợp V tập mở Cn kết chứng minh Cegrell cơng trình [5] Trong trường hợp chúng tơi, chứng minh đòi hỏi thay đổi đáng kể phép làm trơn lấy tích chập qui hóa nửa liên tục không thực tập giải tích Phát triển theo hướng nghiên cứu trên, chúng tơi có kết sau xấp xỉ giá trị biên hàm đa điều hòa tập giải tích B−chính qui Nhắc lại định nghĩa sau [9] Định nghĩa 1.3.5 Tập giải tích V gọi B−chính qui với hàm liên tục ϕ : ∂V → R ta tìm u ∈ P SH(V ) ∩ C(V ) cho u = ϕ ∂V Định lý 1.3.6 Cho V tập giải tích định lý Giả sử V B qui Cho u hàm đa điều hòa âm V Khi tồn dãy đa điều hòa {uj } âm V , liên tục V¯ hội tụ giảm u∗ V¯ Kết mở rộng nh lý ca Wikstrăom trng hp m B - qui Cn Cũng Định lý 1.3.4, chúng tơi gặp khó khăn làm việc với hàm đa điều hòa V phép làm trơn địa phương lấy qui hóa nửa liên tục khơng bảo tồn tính đa điều hòa Định lý 1.3.7 Cho V tập giải tích Stein, bất khả quy địa phương miền bị chặn D ⊂ Cn Giả sử tồn v ∈ P SH − (V ), v > −∞ V tập compact K ⊂ ∂V thỏa mãn tính chất sau: (i) limv(z) = −∞, ∀ξ ∈ K z→ξ (ii) Mỗi điểm ξ ∈ (∂V ) \ K có cản địa phương đa điều hòa liên tục Khi với ϕ ∈ C(∂V ) tồn hàm đa điều hòa dưới, bị chặn, liên tục cực đại u V cho lim u(z) = ϕ(ξ), ∀ξ ∈ ∂V \ K z→ξ,z∈V 1.4 Nguyên lý so sánh cho hàm đa điều hòa bị chặn tập giải tích Cn Cho u ∈ PSH(V ), hàm bị chặn địa phương đa điều hòa tập giải tích V Giả sử dim V = k Khi ta định nghĩa qui nạp biểu thức sau Vr , phần qui V , (ddc u)m := ddc (u(ddc u)m−1 ) ∀ m k Tiếp theo, độ đo (ddc u)k xác định toàn thể V theo cách sau đây: (ddc u)k := E (ddc u)k , E∩Vr với Borel E V Định lý sau chứng minh Bedford vào đầu năm 80 kỷ trước Định lý 1.4.1 Cho u, v hàm đa điều hòa bị chặn V Giả sử lim (u(z) − v(z)) ≥ Khi ta có z→∂V (ddc u)k ≥ {u