Dưới thác triển của hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ HƯỜNG DƯỚI THÁC TRIỂN CỦA HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI VỚI KỲ DỊ YẾU LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ HƯỜNG DƯỚI THÁC TRIỂN CỦA HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI VỚI KỲ DỊ YẾU Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. PHẠM HIẾN BẰNG THÁI NGUYÊN - 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ i LỜI CAM ĐOAN Tơi xin . . Thái Ngun, tháng 04 năm 2014 Tác giả Nguyễn Thị Hường Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ii MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 1. Lý do chọn đề tài 1 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2 3. Phương pháp nghiên cứu 2 4. Bố cục của luận văn 2 Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5 1.1. Hàm đa điều hồ dưới 5 1.2. Tốn tử Monge-Ampère phức 7 Chương 2: DƯỚI THÁC TRIỂN CỦA HÀM ĐA ĐIỀU HỒ DƯỚI VỚI KỲ DỊ YẾU 17 2.1. Hàm đa điều hồ dưới với độ đo Monge-Ampere bị chặn đều địa phương 17 2.2. Dung lượng của tập mức con của hàm đa điều hòa dưới trong lớp con của ()e W 22 2.3. Dưới thác triển của hàm đa điều hòa dưới với độ đo Monge- Ampere bị chặn 27 2.4. Dưới thác triển tồn cục của hàm đa điều hồ dưới với kỳ dị yếu 30 2.5. Dưới thác triển tồn cục của hàm đa điều hồ dưới với độ đo Monge - Ampere bị chặn đều 34 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Cho n   là một miền siêu lồi. Ký hiệu 0 ()e W là lớp các hàm đa điều hồ dưới âm j trên W với giá trị biên 0 và độ đo Monge-Ampere hữu hạn trên W . Ký hiệu ()WF là lớp các hàm đa điều hồ dưới âm j trên W sao cho tồn tại dãy giảm () j j các hàm đa điều hồ dưới trong 0 ()e W hội tụ đến j thỏa mãn sup ( ) cn j j dd j W     . Ta biết rằng tốn tử Monge-Ampere là xác định tốt trên lớp ()WF và với hàm ()j F kết hợp với độ đo Borel dương nó là độ đo Monge-Ampere bị chặn trên W . Nếu W và W % là các miền siêu lồi với n   %  và ()j F thì có thể chỉ ra rằng tồn tại một hàm đa điều hòa dưới ()j F % % sao cho jj % trên W và ( ) ( ) c n c n dd ddjj WW   % % . Hàm như thế được gọi là dưới thác triển của j tới W % . E.Bedford và D.Burns và sau đó là U.Cegrell, năm 1978, đã chứng minh rằng một vài miền trơn bị chặn thỏa mãn điều kiện biên đã biết là một miền tồn tại của một hàm đa điều hòa dưới. El Mir, năm 1980, đã cho một ví dụ về một hàm đa điều hòa dưới trên song đĩa đơn vị trong 2  mà hạn chế lên một song đĩa bé hơn khơng có dưới thác triển lên tồn bộ khơng gian. Tác giả cũng chứng minh rằng, sau khi làm yếu đi tính kỳ dị của hàm đa điều hòa dưới đã cho bằng sự hợp thành với hàm lồi tăng thích hợp, có thể đạt được dưới thác triển tồn cục. Sau đó Alexander và Taylor vào năm 1984 đã tổng qt hóa kết quả này với chứng minh đơn giản và hiệu quả hơn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2 E.Bedford và B.A.Taylor, năm 1988, đã chứng minh rằng một miền bị chặn trơn tuỳ ý trong n C là miền tồn tại của hàm đa điều hòa dưới trơn. Gần đây, các tác giả Cegrell và Zeriahi đã chứng minh rằng hàm đa điều hòa dưới với độ đo Monge - Ampere bị chặn đều trên một miền siêu lồi bị chặn ln có dưới thác triển đa điều hòa dưới đến một miền siêu lồi lớn hơn. Ở đây chúng tơi muốn chứng minh một vài kết quả chỉ ra rằng hàm đa điều hòa dưới với độ đo Monge - Ampere trên một miền siêu lồi bị chặn ln có dưới thác triển đa điều hòa dưới tồn cục với cấp tăng lơga ở vơ cùng. Vì thế chúng tơi chọn đề tài “Dưới thác triển của hàm đa điều hồ dưới với kỳ dị yếu”. Đề tài có tính thời sự, đã và đang được nhiều nhà tốn học trong và ngồi nước quan tâm nghiên cứu. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1. Mục đích nghiên cứu Mục đích chính của luận văn là trình bày một số kết quả trong việc nghiên cứu về dưới thác triển của hàm đa điều hồ dưới với kỳ dị yếu. 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây: + Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hồ dưới, tốn tử Monge-Ampère. + Trình bày một số kết quả về dưới thác triển của hàm đa điều hồ dưới với kỳ dị yếu. 3. Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng các phương pháp của giải tích phức kết hợp với các phương pháp của giải tích hàm hiện đại, các phương pháp của lý thuyết thế vị phức. - Trình bày lại các kết quả của U.cegrell, S.kolodziej và A.zeriahi 4. Bố cục của luận văn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 3 Nội dung luận văn gồm 44 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hồ dưới, tốn tử Monge-Ampère. Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày các kết quả nghiên cứu về dưới thác triển của hàm đa điều hồ dưới với kỳ dị yếu. Trong mục 2.1, nhắc lại định nghĩa cơ bản liên quan đến lớp Cegrell ()e W các hàm đa điều hòa dưới với độ đo Monge - Ampere bị chặn đều địa phương trên miền siêu lồi n W . Từ đó cho đặc trưng theo ngơn ngữ dung lượng của hàm trong lớp ()e W . Trong mục 2.2, trình bày các ước lượng về cỡ của tập mức con của các hàm đa điều hòa dưới trong lớp con khác nhau của lớp ()e W . Trong mục 2.3 trình bày các kết quả về dưới thác triển của hàm đa điều hồ dưới với độ đo bị chặn. Trong mục 2.4, sử dụng kết quả trong phần 2.2 để tổng qt hóa định lý dưới thác triển của Alexander - Taylor, từ đó suy ra rằng hàm đa điều hòa dưới có năng lượng hữu hạn theo nghĩa của Cegrell sẽ có dưới thác triển tồn cục với cấp tăng lơgarit kiểu logarit bé tùy ý. Phần cuối cùng của chương này, trong mục 2.5, sử dụng kết quả gần đây từ lý thuyết của phương trình Monge - Ampere trên đa tạp Kahler compact nhờ tác giả Kolodziej, chứng minh hai kết quả về dưới thác triển tồn cục của hàm đa điều hòa dưới có độ đo bị chặn đều trên miền siêu lồi nhờ hàm đa điều hòa dưới với cấp tăng logarit trên n C với độ đo Monge - Ampere tồn cục được xác định tốt trong một vài trường hợp. Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được. Bản luận văn được hồn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Ngun dưới sự hướng dẫn tận tình của . Nhân Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 4 dịp này tơi xin bày tỏ lòng biết ơn về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong q trình học tập, nghiên cứu và hồn thành luận văn. Xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, các thầy cơ giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Ngun, Viện Tốn học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tơi trong q trình học tập và nghiên cứu khoa học. Xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Ngun, Trường THPT cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tơi về mọi mặt trong q trình học tập và hồn thành bản luận văn này. Bản luận văn chắc chắn sẽ khơng tránh khỏi những khiếm khuyết, vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cơ giáo và các bạn học viên để luận văn này được hồn chỉnh hơn. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tơi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hồn thành luận văn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 5 Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Hàm đa điều hồ dưới 1.1.1. Định nghĩa Cho W là một tập con mở của n  và [ ) :,u     là một hàm nửa liên tục trên và khơng trùng với  trên bất kỳ thành phần liên thơng nào của W . Hàm u được gọi là đa điều hồ dưới nếu với mỗi a  và n b   , hàm ()u a bll+a là điều hồ dưới hoặc trùng  trên mỗi thành phần của tập hợp { } :abll    . Trong trường hợp này, ta viết ()u PSH . ( ở đây kí hiệu ()WPSH là lớp hàm đa điều hồ dưới trong W ). Sau đây là một vài tính chất của hàm đa điều hồ dưới: 1.1.2. Mệnh đề Nếu , ( )uvPSH và uv= hầu khắp nơi trong W , thì uv . 1.1.3. Định lý Cho W là một tập con mở trong n  . Khi đó ()i Họ ()WPSH là nón lồi, tức là nếu ,ab là các số khơng âm và , ( )uvPSH , thì ()uv  PSHab . ()ii Nếu W là liên thơng và { } () j j u  PSH  là dãy giảm, thì lim ( ) j j uu    PSH hoặc u    . ()iii Nếu :u   , và nếu { } () j j u  PSH  hội tụ đều tới u trên các tập con compact của W , thì ()u PSH . ()iv Giả sử { } () A u  PSH a a sao cho bao trên của nó sup A uu a a  = là bị chặn trên địa phương. Khi đó hàm chính qui nửa liên tục trên * u là đa điều Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 6 hồ dưới trong W . 1.1.4. Hệ quả Cho W là một tập mở trong n  và w là một tập con mở thực sự khác rỗng của W . Nếu ()u PSH , ()v  PSH w , và lim ( ) ( ) xy v x u y   với mỗi y w    , thì cơng thức { } max , \ u v trong u trong w w w     =   W    xác định một hàm đa điều hồ dưới trong W . 1.1.5. Định lý Cho W là một tập con mở của n  . ()i Cho ,uv là các hàm đa điều hồ trong W và 0v > . Nếu :f  là lồi, thì ( / )v u vf là đa điều hồ dưới trong W . ()ii Cho ()u PSH , ()v PSH , và 0v > trong W . Nếu :f  là lồi và tăng dần, thì ( / )v u vf là đa điều hồ dưới trong W . ()iii Cho , ( )uv  PSH , 0u  trong W , và 0v > trong W . Nếu [ ) [ ) : 0, 0,f    là lồi và (0) 0f = , thì ( / ) ( )v u v PSHf . 1.1.6. Định lý Cho W là một tập con mở của n  và { } : ( )F z v z      là một tập con đóng của W ở đây ()v PSH . Nếu ( \ )uFPSH là bị chặn trên, thì hàm u xác định bởi ( ) ( \ ) () lim sup ( ) ( ) yz yF u z z F uz u y z F         =        [...]... http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2.4 Dưới thác triển tồn cục của hàm đa điều hồ dưới với kỳ dị yếu Trong mục này chúng ta sẽ chứng minh định lý dưới thác triển tồn cục đối với lớp các hàm đa điều hồ dưới với kỳ dị yếu, tổng qt hố định lý bởi El Mir ([El]) và bởi Alexander và Taylor (xem [Al-Ta], [De] ) Từ đó áp dụng kết quả đạt được để suy ra các định lý về dưới thác triển của hàm đa điều hồ dưới với năng lượng hữu... + ey } Ð {u < v } Khi đó như chứng minh của Hệ quả 1.2.6 ta có: 0= ³ ò c n ( dd cu )n ³ ò ( dd u ) {u < v } {u < v + ey } ò (dd cv )n + en 4n n !l n ({ < v + ey } > 0 u ) {u < v + ey } và ta gặp mâu thuẫn W 16 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 2 DƯỚI THÁC TRIỂN CỦA HÀM ĐA ĐIỀU HỒ DƯỚI VỚI KỲ DỊ YẾU 2.1 Hàm đa điều hồ dưới với độ đo Monge-Ampere bị chặn đều địa phương... s ) ( Do đó ò (dd j ) c n = 0 Þ j Ỵ F a (W ) K 2.3 Dưới thác triển của hàm đa điều hòa dưới với độ đo MongeAmpere bị chặn Chúng ta cần kết quả sau đây của U.Cegrell: 27 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2.3.1 Bổ đề ò (dd j ) ) Cho j Ỵ F (W Khi đó e0 (j ) = c n là hữu hạn và với mỗi dãy W (j j ) j các hàm đa điều hòa dưới bị chặn, dần đến 0 tại biên sao cho j j ] j trên... cho ví dụ cụ thể về hàm thuộc lớp e(W ) Kết quả này cũng đã đạt được bởi U.Cegrell 2.1.3 Mệnh đề ) ) Với một miền siêu lồi bất kỳ WÐ £ n , ta có B(W Ð e(W Nói riêng, với một hàm đa điều hòa dưới âm u trên W và 0 < a < 1 , tuỳ ý n ta có - (- u )a Ỵ e(W ) Chứng minh Bedford đã chứng minh rằng với hàm y Ỵ B (W tùy ý, ) điều kiện C y (K ; W < + ¥ xảy ra với K Ð W bất kỳ Do đó bao hàm thức ) B (W Ð e... - (- u q(- u )) n , trong đó q(t ) = t n a - 1 thỏa mãn điều kiện (2.6) Do đó - (- u )a Ỵ B (W Ð e (W ) ) 2.2 Dung lượng của tập mức con của hàm đa điều hòa dưới trong lớp con của e(W ) 22 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Bây giờ chúng ta chứng minh ước lượng dung lượng sau của tập mức con của các hàm đa điều hồ dưới có năng lượng hữu hạn 2.2.1 Mệnh đề ) ) Giả sử j Ỵ... ò (dd j c j ò (dd j ) )n tăng dần đến c W n W 2.3.2 Định lý % (Định lý dưới thác triển) Cho WÍ WÍ £ n là hai miền siêu lồi và % j Ỵ F (W Khi đó tồn tại một hàm đa điều hòa dưới j%Ỵ F (W sao cho j%£ j ) ) trên W và ) ò (dd j% c % W n £ ò (dd j ) c n W ) Chứng minh Theo định nghĩa của F (W tồn tại dãy (j j ) các hàm đa điều hòa dưới bị chặn tiến đến 0 trên biên sao cho j j ] j ò (dd j c j )n tăng dần... nghĩa hàm j% bởi (2.3) với j được thay thế bởi j j j ) Khi đó (j%) là dãy giảm các hàm đa điều hồ dưới thuộc lớp e0 (W sao cho j j j £ j% trên W và trên j% = j j j j hầu khắp nơi trên K Do đó (j%) hội tụ đến hàm j đa điều hồ dưới y sao cho j% £ y trên W và y = j hầu khắp nơi trên K Như K vậy y = j% Vì j j £ j% trên W và các hàm này thuộc e0 (W), nên suy ra: K j ò (dd j%) c n j £ ò (dd j c W j )n với. ..là đa điều hồ dưới trong W Nếu u là đa điều hồ và bị chặn trong W\ F , thì u là đa điều hồ trong W Nếu W là liên thơng, thì W\ F cũng liên thơng 1.2 Tốn tử Monge-Ampère phức Cho u là đa điều hồ dưới trên miền WÐ £ n Nếu u Ỵ C 2 (W thì ) tốn tử: n c (dd u ) é ¶u ù ú := (dd u ) Ù Ù (dd u ) = 4 n !det ê dV , ê¶ z ¶ z ú 14444444 44444444 42 3 ê j k ú £ j ,k £ n n ë û 1 c c n với dV là yếu có thể... đến Chứng minh Nhận xét rằng đối với dãy dưới trong e0 , giảm đến ( ) tuỳ ý các hàm đa điều hồ j , với điều kiện (2.1), dãy (- j ) p là dãy tăng các hàm ( nửa liên tục dưới trên W hội tụ đến (- ) p và dãy các độ đo dd c n j ) hội tụ yếu đến (dd c )n trên W Từ đó suy ra ò (- ) p (dd c )n £ lim infj ® + ¥ W ò (- j ) p (dd c j )n , W e p ( ) < + ¥ Với p = 0 , kết quả của bổ đề suy ra từ định nghĩa Bây... con đa cực ) ) j của W } ) ) ) ) ) Theo Cegrell [Ce2] ta có e0 (W Ð F p (W Ð ep (W Ð F a (W Ð F (W , với mọi p ³ 1 Điều đó cũng được chứng minh trong ([Ce 2], [Ce 3]) rằng tốn tử Monge - Ampere được xác định tốt đối với hàm j Ỵ F W như là giới hạn ( ) 17 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ yếu* của dãy các các độ đo (dd cj j )n , trong đó (j j ) là dãy giảm các hàm đa điều . hàm đa điều hòa dưới với độ đo Monge- Ampere bị chặn 27 2.4. Dưới thác triển tồn cục của hàm đa điều hồ dưới với kỳ dị yếu 30 2.5. Dưới thác triển tồn cục của hàm đa điều hồ dưới với độ đo Monge. có dưới thác triển đa điều hòa dưới tồn cục với cấp tăng lơga ở vơ cùng. Vì thế chúng tơi chọn đề tài Dưới thác triển của hàm đa điều hồ dưới với kỳ dị yếu . Đề tài có tính thời sự, đã và đang. Hàm đa điều hồ dưới với độ đo Monge-Ampere bị chặn đều địa phương 17 2.2. Dung lượng của tập mức con của hàm đa điều hòa dưới trong lớp con của ()e W 22 2.3. Dưới thác triển của hàm đa điều