Luận án chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu của phương trình kiểu Monge - Ampère trên lớp N (Ω, f) cho một độ đo bất kỳ, đặc biệt là độ đo mang bởi tập đa cực. Chúng tôi chứng minh rằng bài toán dưới trác triển cho lớp Eχ(Ω, f), Fm(Ω) với Ω là miền siêu lồi bị chặn và m - siêu lồi bị chặn là có hiệu lực. Hơn nữa chúng tôi thiết lập được đẳng thức giữa độ đo Monge - Ampère của hàm dưới thác triển và hàm đã cho. Cũng như vậy chúng tôi thiết lập được sự tồn tại dưới thác triển cho lớp F(Ω, f) khi Ω là miền siêu lồi không bị chặn và có đẳng thức giữa độ đo như trên.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRIỆU VĂN DŨNG DƯỚI THÁC TRIỂN CÁC HÀM ĐA ĐIỀU DƯỚI VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 9.46.01.02 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2018 Cơng trình hồn thành tại: Khoa Tốn - Tin Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Lê Mậu Hải Phản biện 1: GS TSKH Phạm Hoàng Hiệp - Viện Toán Học Phản biện 2: PGS TS Nguyễn Minh Tuấn - Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội Phản biện 3: PGS TS Thái Thuần Quang - Đại học Quy Nhơn Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp trường họp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Vào lúc ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án thư viện: - Thư viện Quốc Gia, Hà Nội - Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Việc thác triển đối tượng giải tích phức thác triển hàm chỉnh hình, hàm phân hình, bó giải tích coherent, dòng, v.v ln quan tâm nhiều giải tích phức lý thuyết đa vị phức Một đối tượng quan tâm nghiên cứu coi đối tượng trung tâm lý thuyết đa vị hàm đa điều hòa Do đối tượng nói trên, việc xét tốn thác triển hàm đa điều hòa việc cần lưu tâm tới nghiên cứu toán lý thuyết đa vị Nhưng hàm đa điều hòa dưới, từ định nghĩa nó, lại xác định nhờ bất đẳng thức tích phân, nên xét vấn đề này, người ta quan tâm tới toán thác triển Trong luận án này, chúng tơi dành phần lớn nội dung trình bày vấn đề thác triển cho lớp hàm đa điều hòa khơng bị chặn hàm m - điều hòa khơng bị chặn Các vấn đề đề cập quan tâm nghiên cứu khoảng 10 năm trở lại Từ năm 1998 đến 2004, Cegrell, chuyên gia hàng đầu giới lý thuyết đa vị, xây dựng toán tử Monge - Ampère cho số lớp hàm đa điều hòa khơng bị chặn địa phương Ơng đưa lớp Ep (Ω), Fp (Ω), F(Ω), N (Ω) E(Ω) Đó lớp hàm đa điều hòa khơng bị chặn khác miền siêu lồi Ω ⊂ Cn mà tốn tử (ddc )n xác định liên tục dãy giảm Trong lớp E(Ω) lớp lớn tốn tử Monge–Ampère xác định độ đo Radon Kể từ đó, người ta bắt đầu hướng quan tâm toán thác triển tới lớp Năm 2003, Cegrell Zeriahi nghiên cứu toán thác triển cho lớp F(Ω) lớp lớp E(Ω) Các tác giả chứng minh rằng: Nếu Ω Ω miền siêu lồi bị chặn Cn u ∈ F(Ω), tồn u ∈ F(Ω) cho u ≤ u Ω, u sau gọi thác triển u từ Ω lên Ω Điều đáng quan tâm tác giả cho đánh giá mass toàn thể độ đo (ddc u)n (ddc u)n qua bất đẳng thức (ddc u)n ≤ (ddc u)n Kết xem kết cho việc nghiên Ω Ω cứu vấn đề thác triển hàm đa điều hòa khơng bị chặn Sau năm 2008 P H Hiệp, năm 2009 Benelkourchi tiếp tục nghiên cứu vấn đề cho lớp hàm khác Ep (Ω), Eχ (Ω) Việc xét toán thác triển lớp Cegrell có giá trị biên Czy˙z, Hed năm 2008 Chúng trình bày kỹ kết Czy˙z Hed đầu chương luận án Điều đáng nói chủ đề xuyên suốt luận án quan hệ độ đo (ddc u)n 1Ω (ddc u)n với u thác triển u Phần lớn kết tác Cegrell - Zeriahi, P.H.Hiep, Benelkourchi hay Czy˙z Hed dừng lại đánh giá quan hệ mass toàn thể (ddc u)n mass (ddc u)n Do vậy, việc nghiên cứu vấn đề thác triển hàm đa điều hòa mà kiểm sốt độ đo Monge Ampère hàm thác triển hàm cho câu hỏi mở Năm 2014, hai tác giả L M Hải, N X Hồng nghiên cứu toán thác triển cho lớp F(Ω, f ) Điều đáng nói họ chứng minh đẳng thức độ đo Monge - Ampère hàm thác triển hàm cho Do vấn đề cần nghiên cứu liệu mở rộng kết hai tác giả L M Hải, N X Hồng cho lớp hàm rộng hơn, lớp Eχ (Ω, f )? Vấn đề quan tâm nghiên cứu luận án thiết lập thác triển hàm đa điều hòa miền khơng bị chặn Chúng ta biết để xác định thác triển u u nói chung ta phải giải phương trình Monge - Ampère Tuy nhiên việc giải phương trình Monge Ampère miền khơng bị chặn Cn việc đơn giản Năm 2014, kết quan trọng giải phương trình Monge - Ampère cho miền siêu lồi không bị chặn Cn ba tác giả L M Hải, N V Trào, N X Hồng đề xuất báo "The complex Monge - Ampère equation in unbounded hyperconver domains in Cn " Từ đưa phương hướng cho chúng tơi xét toán thác triển hàm đa điều hòa lớp F(Ω, f ) với Ω miền siêu lồi không bị chặn Từ kết ứng dụng, chúng tơi nghiên cứu tốn xấp xỉ hàm đa điều hòa dãy tăng hàm đa điều hòa miền rộng Tiếp theo đó, chương luận án xem xét thác triển cho lớp hàm m - điều hòa Như biết, việc mở rộng lớp hàm đa điều hòa thời gian gần số tác giả nghiên cứu Z Blocki, S Dinew, S Kolodziej, A S Sadullaev, B I Abullaev, L H Chinh, Năm 2005 Z Blocki đưa khái niệm hàm m - điều hòa (SHm (Ω)) nghiên cứu lời giải cho nghiệm phương trình Hessian lớp này, Theo đó, năm 2012 cơng trình mình, L H Chinh dựa theo ý tưởng Cegrell đưa lớp hàm Em (Ω), Fm (Ω), Em (Ω) lớp SHm (Ω) Đó lớp hàm m - điều hòa khơng bị chặn xác định toán tử Hessian phức, tương tự lớp E (Ω), F(Ω), E(Ω) Cegrell đưa Qua tác giả chứng minh tồn toán tử m-Hessian phức Hm (u) = (ddc u)m ∧ β n−m lớp hàm Em (Ω) Hơn toán tử xác định Hm (u) độ đo Radon Ω Một câu hỏi đặt liệu toán thác triển cho lớp hàm nào? Việc kiểm soát độ đo m-Hessian phức hàm thác triển hàm cho sao? Việc nghiên cứu câu hỏi lớp hàm vấn đề cần tiếp tục quan tâm nghiên cứu Vấn đề cuối đề cập luận án giải phương trình kiểu Monge - Ampère cho lớp Cegrell N (Ω, f ) Đó phương trình dạng (ddc u)n = F (u, )dµ, chi tiết xem định nghĩa (4.1.1) Như ta biết, việc chứng minh tồn nghiệm yếu phương trình kiểu Monge - Ampère phức thu hút quan tâm nhiều tác Bedford and Taylor, Benelkourchi, Cegrell and Kolodziej, Zeriahi Phần lớn kết tác giả nói đề cập tới trường hợp độ đo µ triệt tiêu tất tập đa cực Ω Vấn đề mà quan tâm nghiên cứu nghiệm yếu phương trình kiểu Monge - Ampère nói cho độ đo tùy ý, đặc biệt độ đo mang tập đa cực Vì lý trên, chúng tơi lựa chọn đề tài "Dưới thác triển hàm đa điều hòa ứng dụng" Tính cấp thiết đề tài Như đề cập đến trên, toán thác triển cho lớp hàm đa điều hòa khơng bị chặn với giá trị biên toán xuất gần Hơn việc thiết lập mối quan hệ độ đo Monge - Ampère hàm thác triển hàm cho gần chưa xem xét đến trừ trường hợp lớp F(Ω, f ) Do tiếp tục mở rộng tốn cho lớp khác toán cần đặt đáng quan tâm nghiên cứu Cũng cho việc nghiên cứu thác triển cho lớp hàm m - điều hòa với kiểm sốt độ đo Hessian Hm (u) = (ddc u)m ∧ β n−m giải phương trình kiểu Monge - Ampère cho độ đo có giá tập đa cực 3 Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Mục đích luận án nghiên cứu vấn đề thác triển hàm đa điều hòa lớp Eχ (Ω, f ) Ω miền siêu lồi bị chặn Cn ; lớp F(Ω, f ) với Ω miền siêu không lồi bị chặn Cn thác triển hàm m - điều hòa cho lớp Fm (Ω) với Ω miền m - siêu lồi bị chặn Cn Ngồi luận án chứng minh tồn nghiệm yếu phương trình kiểu Monge - Ampère lớp N (Ω, f ) cho độ đo bất kỳ, đặc biệt độ đo mang tập đa cực Chúng chứng minh toán trác triển cho lớp Eχ (Ω, f ), Fm (Ω) với Ω miền siêu lồi bị chặn m - siêu lồi bị chặn có hiệu lực Hơn thiết lập đẳng thức độ đo Monge - Ampère hàm thác triển hàm cho Cũng thiết lập tồn thác triển cho lớp F(Ω, f ) Ω miền siêu lồi khơng bị chặn có đẳng thức độ đo Đối tượng phạm vi nghiên cứu Như trình bày phần lý chọn đề tài Đối tượng nghiên cứu luận án tốn thác triển hàm đa điều hồ với giá trị biên lớp lượng phức có trọng, tốn thác triển hàm đa điều hồ miền siêu lồi khơng bị chặn ứng dụng, toán thác triển hàm m - điều hồ phương trình kiểu Monge – Ampère cho độ đo tùy ý với điều kiện tổng quát nghiên cứu trước vấn đề Hơn nữa, tình mà chúng tơi đưa nghiên cứu kỹ thuật phương pháp trước tác giả khác chưa đề cập tới Ý nghĩa khoa học thực tiễn Luận án Luận án góp phần làm phát triển sâu sắc kết vấn đề thác triển hàm đa điều hòa dưới, thác triền hàm m - điều hòa dưới, nghiệm yếu phương trình kiểu Monge - Ampère cho độ đo Về mặt phương pháp, Luận án góp phần làm đa dạng hóa hệ thống cơng cụ kỹ thuật nghiên cứu chuyên ngành, áp dụng cụ thể đề tài Luận án chủ đề tương tự Luận án tài liệu tham khảo cho học viên cao học nghiên cứu sinh theo hướng nghiên cứu Cấu trúc luận án Cấu trúc Luận án trình bày theo quy định cụ thể luận án tiến sỹ Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, bao gồm phần: Mở đầu, Tổng quan - trình bày lịch sử vấn đề, phân tích đánh giá cơng trình nghiên cứu tác giả nước liên quan đến luận án Bốn chương lại luận án viết dựa bốn cơng trình đăng gửi công bố Chương 1: Dưới thác triển hàm đa điều hoà với giá trị biên lớp lượng phức có trọng Chương 2: Dưới thác triển hàm đa điều hồ miền siêu lồi khơng bị chặn ứng dụng Chương 3: Dưới thác triển hàm m - điều hoà Chương 4: Phương trình kiểu Monge – Ampère cho độ đo Cuối cùng, phần Kết luận, điểm lại kết nghiên cứu trình bày Luận án Đây khẳng định ý tưởng khoa học đề tài Luận án đặt đắn kết nghiên cứu đạt mục đích đề Do đó, Luận án có đóng góp cho khoa học chuyên ngành, có ý nghĩa khoa học thực tiễn nêu phần Mở đầu hoàn toàn xác đáng Đồng thời, Phần Kiến nghị mạnh dạn nêu vài ý tưởng nghiên cứu phát triển đề tài Luận án Chúng hy vọng nhận nhiều quan tâm chia sẻ đồng nghiệp giúp hoàn thiện kết nghiên cứu Nơi thực đề tài luận án Trường Đại học sư phạm Hà Nội Tổng quan thác triển hàm đa điều hòa phương trình kiểu Monge–Ampère Dưới thác triển hàm đa điều hoà với giá trị biên lớp lượng phức có trọng Trong lý thuyết đa vị, tốn tử Monge–Ampère cơng cụ đóng vai trò trung tâm xuyên suốt phát triển lý thuyết Toán tử nhiều tác giả tập trung nghiên cứu mạnh mẽ nửa sau kỷ thứ XX, theo hướng mô tả lớp lớp hàm đa điều hòa (P SH(Ω)) mà tốn tử Monge–Ampère xác định độ đo Radon, không âm, liên tục dãy giảm Năm 1975, Y Siu rằng, xác định (ddc u)n độ đo Borel quy hàm đa điều hòa u Năm 1982, Bedford Taylor xác định toán tử (ddc )n lớp hàm đa điều hòa bị chặn địa phương, lớp P SH(Ω) ∩ L∞ loc (Ω) Các kết khác lý thuyết đa vị liên quan đến vấn đề tìm thấy tài liệu E Bedford and B A Taylor(1976), S Kolodziej(1995)(2005) Tiếp tục theo hướng mở rộng miền xác định tốn tử Monge–Ampère phức nói trên, năm 1998, 2004 2008, Cegrell mô tả nhiều lớp PSH(Ω) với Ω miền siêu lồi bị chặn Cn , có lớp E(Ω) lớp lớn mà tốn tử Monge–Ampère xác định độ đo Radon, đồng thời toán tử liên tục dãy giảm hàm đa điều hòa Điều có nghĩa u ∈ E(Ω) tồn (ddc u)n {uj } ⊂ E(Ω) cho uj u (ddc uj )n hội tụ yếu đến (ddc u)n Trong phần đầu luận án nghiên cứu toán thác triển hàm đa điều hòa với giá trị biên lớp lượng phức có trọng Eχ (Ω, f ) Bài tốn thác triển hàm đa điều hòa quan tâm từ năm 80 kỷ trước El Mir năm 1980 cho ví dụ chứng tỏ tồn hàm đa điều hòa song đĩa đơn vị = {(z1 , z2 ) ∈ Cn :| z1 |< 1, | z2 |< 1} cho hạn chế song đĩa nhỏ khơng có thác triển lên miền lớn Sau đó, năm 1987, Fornaess Sibony miền vành C2 , tồn hàm đa điều hòa khơng có thác triển vào bên miền Năm 1988, Bedford Taylor chứng minh miền bị chặn với biên trơn tồn hàm đa điều hòa trơn khơng có thác triển lên miền rộng (nghĩa miền tồn hàm đa điều hòa trơn) Trước nói vấn đề thác triển hàm đa điều hòa lớp Cegrell, ta đề cập tới vài lớp lớp P SH − (Ω) miền siêu lồi bị chặn Ω ⊂ Cn mà tốn tử Monge-Ampère (ddc )n xác định Các lớp Cegrell đưa nghiên cứu , khái niệm cần thiết đề cập đến dùng cho chương chương sau: Định nghĩa Giả sử Ω miền siêu lồi bị chặn Cn Khi ta xác định lớp sau E0 (Ω) = ϕ ∈ P SH − (Ω) ∩ L∞ (Ω) : lim ϕ(z) = 0, (ddc ϕ)n < ∞ , z→∂Ω Ω E(Ω) = ϕ ∈ P SH − (Ω) : ∀z0 ∈ Ω, ∃ lân cận U E0 (Ω) ϕj z0 , (ddc ϕj )n < ∞ , ϕ U, sup j F(Ω) = ϕ ∈ P SH − (Ω) : ∃ E0 (Ω) ϕj Ω (ddc ϕj )n < ∞ , ϕ, sup j Ω F a (Ω) = ϕ ∈ F(Ω) : (ddc ϕ)n (E) = 0, ∀E ⊂ Ω tập đa cực , với p>0, Ep (Ω) = ϕ ∈ P SH − (Ω) : ∃E0 (Ω) ϕj (−ϕj )p (ddc ϕj )n < ∞ ϕ, sup j Ω Nhận xét: Từ định nghĩa ta có E0 (Ω) ⊂ F(Ω) ⊂ E(Ω) Năm 2003, Cegrell Zeriahi nghiên cứu toán thác triển cho lớp F(Ω) Các tác giả chứng minh rằng: Ω Ω miền siêu lồi bị chặn Cn u ∈ F(Ω), tồn u ∈ F(Ω) cho u ≤ u Ω (ddc u)n ≤ (ddc u)n Ω Ω Sau năm 2008, lớp Ep (Ω), p > 0, toán thác triển nghiên cứu Phạm Hoàng Hiệp Phạm Hoàng Hiệp chứng minh rằng: Ω ⊂ Ω Cn miền siêu lồi bị chặn u ∈ Ep (Ω), tồn u ∈ Ep (Ω) cho u ≤ u Ω (−u)p (ddc u)n ≤ (−u)p (ddc u)n Ω Ω Ở tác giả bỏ điều kiện Ω compact tương đối Ω Tiếp đến năm 2009, ba tác giả Benelkourchi, Guedj Zeriahi đưa nghiên cứu lớp lượng phức có trọng Eχ (Ω) Benelkourchi chứng minh rằng: Ω ⊂ Ω miền siêu lồi Cn χ : R− −→ R+ hàm giảm với χ(−∞) = +∞ với u ∈ Eχ (Ω), tồn u ∈ Eχ (Ω) cho u ≤ u Ω (ddc u)n ≤ (ddc u)n Ω χ(u)(ddc u)n ≤ χ(u)(ddc u)n Ω Ω Trong trường hợp đặc biệt ta chọn χ(t) = (−t)p , p > lớp Eχ (Ω) lớp Ep (Ω) Nếu χ(t) bị chặn χ(0) > Eχ (Ω) lớp F(Ω) lúc kết thác triển quay kết nói Bây ta nói thác triển lớp có giá trị biên Kết theo hướng đưa nghiên cứu Czy˙z Hed lớp F(Ω, f ), Czy˙z Hed chứng minh rằng: Ω ⊂ Ω miền siêu lồi bị chặn Cn , n ≥ Giả sử f ∈ E(Ω) g ∈ E(Ω) ∩ M P SH(Ω) với f ≥ g Ω Khi với hàm u ∈ F(Ω, f ), tồn thác triển v ∈ F(Ω, g) (ddc v)n ≤ Ω (ddc u)n , Ω M P SH(Ω) tập hàm đa điều hòa cực đại Ω Ta thấy nghiên cứu tác giả dừng lại việc đánh giá mass độ đo Monge - Ampère toàn thể hàm thác triển hàm cho Năm 2014, hai tác giả Lê Mậu Hải Nguyễn Xuân Hồng nghiên cứu toán thác triển với giá trị biên lớp F(Ω, f ), tác giả phát kết luận mạnh kết có trước độ đo Monge - Ampère hàm thác triển hàm cho không thay đổi Kết họ đạt sau Giả sử Ω ⊂ Ω miền siêu lồi bị chặn Cn (n ≥ 1), f ∈ E(Ω) g ∈ E(Ω)∩M P SH(Ω) với f ≥ g Ω Khi với hàm u ∈ F(Ω, f ) với (ddc u)n < +∞, tồn u ∈ F(Ω, g) với u ≤ u Ω c n c n Ω (dd u) = 1Ω (dd u) Ω Từ kết ta thu kết Cegrell, Zeriahi Czy˙z, Hed Hướng nghiên cứu luận án mở rộng kết hai tác giả Lê Mậu Hải Nguyễn Xuân Hồng cho lớp lượng phức có trọng với giá trị biên lớp Eχ (Ω, f ) Chúng toán thác triển lớp lượng phức có trọng Eχ (Ω, f ) giải cho đẳng thức độ đo Monge - Ampère hàm thác triển hàm cho Cụ thể là, Định lý 1.2.1 Cho Ω Ω miền siêu lồi bị chặn Cn f ∈ E(Ω) ∩ M P SH(Ω), g ∈ E(Ω) ∩ M P SH(Ω) với f ≥ g Ω Giả sử χ : R− −→ R+ hàm liên tục giảm cho χ(t) > với t < Khi với u ∈ Eχ (Ω, f ) cho [χ(u) − ρ](ddc u)n < +∞, Ω với ρ thuộc E0 (Ω), tồn u ∈ Eχ (Ω, g) cho u ≤ u Ω χ(u)(ddc u)n = 1Ω χ(u)(ddc u)n Ω Để chứng minh kết phải sử dụng phương pháp chứng minh khác so với cách chứng minh truyền thống sử dụng để chứng minh vấn đề cho lớp F(Ω, f ) Eχ (Ω), lớp Eχ (Ω, f ) khơng có tích chất tốt lớp F(Ω, f ) việc so sánh độ đo 1Ω χ(u)(ddc u)n , u ∈ Eχ (Ω, f ) với độ đo hàm thác triển việc làm khơng đơn giản có tham gia hàm χ Do đó, nghiên cứu vấn đề thác triển lớp Eχ (Ω, f ) chúng tơi tìm hướng tiếp cận để giải vấn đề Dưới thác triển hàm đa điều hoà miền siêu lồi khơng bị chặn ứng dụng Bài tốn thác triển lớp Cegrell miền siêu lồi bị chặn Ω Cn đạt kết giới thiệu Một câu hỏi tự nhiên đặt Ω miền siêu lồi khơng bị chặn Cn vấn đề thác triển có giải khơng? Khi tìm câu trả lời cho câu hỏi chúng tơi nhận thấy miền siêu lồi bị chặn kỹ thuật sử dụng giải phương trình Monge – Ampère Do đến thác triển hàm đa điều hòa thực miền siêu lồi bị chặn miền đạt nhiều kết việc giải phương trình Monge Ampère Tuy nhiên miền siêu lồi không bị chặn Cn , kết nhận giải phương trình Monge – Ampère miền hạn chế Năm 2014, ba tác giả Lê Mậu Hải, Nguyễn Văn Trào, Nguyễn Xuân Hồng nghiên cứu lời giải phương trình Monge-Ampère miền siêu lồi khơng bị chặn Cn ; đồng thời giới thiệu lớp Cegrell hàm đa điều hòa miền siêu lồi khơng bị chặn Cn Các kết công bố báo “The complex Monge–Ampère equation in unbounded hyperconvex domains in Cn ” đăng tạp chí Com,Var and Elliptic Equar Định nghĩa Giả sử Ω miền siêu lồi không bị chặn Cn cho P SH s (Ω) ∩ L∞ (Ω) = ∅ đặt E0 (Ω) = {u ∈ P SH − (Ω) ∩ L∞ (Ω) : ∀ ε > 0, {u < −ε} (ddc u)n < ∞}, Ω, Ω F(Ω) = u ∈ P SH − (Ω) : ∃ E0 (Ω) uj (ddc uj )n < ∞ , u, sup j Ω E(Ω) = u ∈ P SH − (Ω) : ∀ U Ω, ∃ v ∈ F(Ω) với v = u U } Nếu f ∈ M P SH − (Ω) ∩ C(Ω) K ∈ {E0 , F, E} ta đặt K(Ω, f ) = {u ∈ P SH − (Ω) : ∃ ψ ∈ K(Ω), ψ + f ≤ u ≤ f Ω} Nhận xét Từ định nghĩa ta có quan hệ bao hàm E0 (Ω, f ) ⊂ F(Ω, f ) ⊂ E(Ω, f ) Dựa vào kết lời giải phương trình Monge-Ampère miền siêu lồi khơng bị chặn Cn ba tác giả nói với kết nghiên cứu hai tác giả Lê Mậu Hải, Nguyễn Xuân Hồng đặt hướng nghiên cứu cho luận án nghiên cứu tốn thác triển hàm đa điều hòa cho lớp F(Ω, f ) với Ω miền siêu lồi không bị chặn Cn Cụ thể nhận kết sau, Định lý 2.2.1.Giả sử Ω ⊂ Ω miền siêu lồi không bị chặn Cn cho P SH s (Ω) ∩ L∞ (Ω) = ∅ Khi với f ∈ M P SH − (Ω) ∩ C(Ω) u ∈ F(Ω, f ) cho (ddc u)n < ∞, Ω tồn u ∈ F(Ω, f ) cho u ≤ u Ω (ddc u)n = 1Ω (ddc u)n Ω Trên sở kết thu được, áp dụng vào nghiên cứu tốn xấp xỉ hàm đa điều hòa dãy tăng hàm đa điều hòa miền rộng Lược sử vấn đề sau Cho Ω Ωj+1 Ωj , j = 1, 2, miền siêu lồi bị chặn Cn Năm 2006, giả thiết Ω miền siêu lồi mạnh lim Cap(K, Ωj ) = Cap(K, Ω), tập K Ω, Benelkourchi [?] chứng j→∞ minh với u ∈ F a (Ω) tồn dãy tăng hàm uj ∈ F a (Ωj ) cho uj −→ u hầu khắp nơi Ω Tiếp năm 2008, bỏ qua giả thiết lim Cap(K, Ωj ) = Cap(K, Ω), Cegrell Hed chứng minh j→∞ rằng: có v ∈ N (Ω), v < vj ∈ N (Ωj ) cho vj −→ v hầu khắp nơi Ω với u ∈ F(Ω) tồn dãy hàm tăng uj ∈ F(Ωj ) cho uj −→ u hầu khắp nơi Ω Đối với trường hợp có giá trị biên, năm 2010, Hed chứng minh kết cho lớp F(Ω, f ) Cụ thể, Hed chứng minh có v ∈ N (Ω), v < vj ∈ N (Ωj ) cho vj −→ v hầu khắp nơi Ω với f ∈ M P SH − (Ω1 ) ∩ C(Ω1 ) u ∈ F(Ω, f ) cho (ddc u)n < ∞, Ω tồn dãy hàm tăng uj ∈ F(Ωj , f ) cho uj −→ u hầu khắp nơi Ω Dùng kết thác triển cho miền siêu lồi không bị chặn, thiết lập kết Hed cho miền siêu lồi không bị chặn Cn Cụ thể chứng minh kết sau: Định lý 2.3.1 Giả sử Ω miền siêu lồi không chặn Cn {Ωj }∞ j=1 dãy miền siêu lồi không s ∞ bị chặn cho Ω ⊂ Ωj+1 ⊂ Ωj P SH (Ω1 ) ∩ L (Ω1 ) = ∅ Giả sử tồn ψ ∈ F(Ω) ψj ∈ F(Ωj ) cho ψ < Ω ψj ψ hầu khắp nơi Ω j ∞ Khi với f ∈ M P SH − (Ω1 ) ∩ C(Ω1 ) với u ∈ F(Ω, f ) cho (ddc u)n < ∞, Ω tồn dãy hàm uj ∈ F(Ωj , f ) cho uj u hầu khắp nơi Ω j ∞ Dưới thác triển hàm m - điều hòa Trong thời gian gần đây, việc mở rộng lớp hàm đa điều hòa nghiên cứu toán tử vi phân lớp hàm mở rộng số tác giả nghiên cứu, chẳng hạn Z Blocki, S Dinew, S Kolodziej, Sadullaev, Abullaev, L H Chinh, Cụ thể họ đưa nghiên cứu lớp hàm m-điều hòa nghiên cứu tốn tử m-Hessian phức lớp hàm Các kết đạt Z Blocki, S Dinew, Kolodziej, Sadullaev - Abullaev, chủ yếu lớp hàm m-điều hòa bị chặn địa phương tập mở Cn Các kết hàm m-điều hòa tốn tử m-Hessian phức bạn đọc xem nghiên cứu Blocki(2005), Dinew - Kolodziej(2014), Sadullaev - Abullaev(2012) Việc nghiên cứu tốn tử m-Hessian phức lớp hàm khơng thiết bị chặn địa phương đưa nghiên cứu thời gian gần đây, đặc biệt phải kể tới kết L H Chinh(2013) Dựa theo ý tưởng Cegrell, L H Chinh đưa lớp hàm Em (Ω), Fm (Ω), Em (Ω) tương tự lớp E (Ω), F(Ω), E(Ω) Qua tác giả chứng minh tồn toán tử m-Hessian phức Hm (u) = (ddc u)m ∧ β n−m lớp hàm Em (Ω) Hơn toán tử xác định độ đo Radon Ω Trong phần chúng tơi xét tốn thác triển cho lớp hàm m- điều hòa khơng bị chặn, cụ thể cho lớp Fm (Ω) Chúng tơi thấy tốn thác triển cho lớp Fm (Ω) trường hợp Ω miền siêu lồi Cn nghiên cứu trước Vũ Việt Hùng Tuy nhiên, kết thác triển mà tác giả đạt lớp Fm (Ω) trường hợp nhiều hạn chế Thứ nhất, tác giả xét toán thác triển với giả thiết Ω miền siêu lồi compact tương đối Ω Thứ hai, họ không mô tả độ đo Hessian phức hàm m- điều hòa thác triển hàm cho Đối với vấn đề cố gắng vượt qua hạn chế Cụ thể chứng minh tồn thác triển cho lớp Fm (Ω) trường hợp Ω, Ω miền m-siêu lồi bị chặn Cn mà không cần giả thiết Ω compact tương đối Ω Chúng mơ tả xác độ đo Hessian phức hàm thác triển hàm cho Cụ thể chứng minh định lý: Định lý 3.2.1 Cho Ω ⊂ Ω ⊂ Cn miền m- siêu lồi bị chặn u ∈ Fm (Ω) Khi tồn w ∈ Fm (Ω) cho w ≤ u Ω (ddc w)m ∧ β n−m = 1Ω (ddc u)m ∧ β n−m Từ định lý trên, đạt hệ Hệ 3.2.5 Cho Ω ⊂ Ω miền m- siêu lồi bị chặn {uj }j≥1 , u ⊂ Fm (Ω) cho uj ≥ u, uj hội tụ Cm - dung lượng tới u Ω Giả sử uj , u theo thứ tự thác triển uj , u Ω Khi Hm (uj ) hội tụ yếu tới Hm (u) Ω Phương trình kiểu Monge – Ampère cho độ đo Trong lý thuyết đa vị, việc tìm nghiệm tốn Dirichler u ∈ P SH(Ω) ∩ L∞ (Ω) (ddc u)n = dµ (1) lim u(z) = ϕ(x), ∀x ∈ ∂Ω z→x Ở Ω tập mở, bị chặn Cn , µ độ đo Borel không âm Ω ϕ ∈ C(∂Ω) hàm liên tục, thu hút quan tâm nhiều tác giả Trong trường hợp Ω ⊂ Cn miền siêu lồi, bị chặn dµ = f dV2n , f ∈ C(Ω) Bedford - Taylor (1976) chứng minh (1) có nghiệm Nếu dµ = f dV2n , f ∈ C ∞ (Ω), f > ∂Ω trơn, tác giả chứng minh (1) có nghiệm u ∈ C ∞ (Ω) Một hướng để giải toán xét tồn nghiệm phương trình chứng minh tồn nghiệm Năm 1995, S Kolodziej chứng minh miền giả lồi chặt Ω ⊂ Cn : tồn Chương Dưới thác triển hàm đa điều hòa với giá trị biên lớp lượng phức có trọng Như trình bày phần mở đầu Mục đích chương xét vấn đề thác triển hàm đa điều hòa với giá trị biên lớp lượng phức có trọng Eχ (Ω, f ) Chương gồm hai phần Phần thứ dành để trình bày số kiến thức chuẩn bị cần thiết cho chương chương sau Phần thứ hai nói định lý Các kết chương rút từ báo [1] ( danh mục cơng trình cơng bố liên quan đến luận án) 1.1 Một số khái niệm kết bổ trợ Giả sử Ω tập mở Cn Ta dùng ký hiệu P SH(Ω), P SH − (Ω) tập hàm đa điều hòa dưới, đa điều hòa âm Ω Định nghĩa 1.1.1 Cho Ω ⊂ Ω miền Cn u hàm đa điều hòa Ω (u ∈ P SH(Ω)) Hàm u ∈ P SH(Ω) gọi thác triển hàm u u(z) ≤ u(z), ∀z ∈ Ω Nhận xét 1.1.2 Nếu u thác triển u điểm z ∈ Ω mà u(z) = −∞ u(z) = −∞ Định nghĩa 1.1.3 Tập mở Ω ⊂ Cn gọi miền siêu lồi tồn hàm đa điều hòa ϕ : Ω −→ (−∞, 0) cho với c < tập Ωc = {z ∈ Ω : ϕ(z) < c} Ω Định nghĩa 1.1.4 Hàm đa điều hòa u gọi hàm đa điều hòa cực đại (kí hiệu u ∈ M P SH(Ω) ) tập compact K ⊂ Ω với v ∈ P SH(Ω), v ≤ u Ω \ K v ≤ u Ω Kí hiệu M P SH − (Ω) tập hàm đa điều hòa cực đại âm Nhận xét 1.1.5 Như ta biết hàm đa điều hòa bị chặn địa phương u ∈ P SH(Ω) ∩ L∞ loc (Ω) đa điều hòa cực đại thỏa mãn phương trình Monge - Ampère (ddc u)n = Blocki mở rộng kết cho lớp E(Ω) Định nghĩa 1.1.6 Giả sử Ω miền siêu lồi Cn {Ωj }j≥1 dãy Ω, nghĩa +∞ {Ωj }j≥1 dãy miền giả lồi chặt tăng Ω, Ωj Ωj+1 Ω Ωj = Ω j=1 10 11 Giả sử ϕ ∈ P SH − (Ω) Với j ≥ 1, đặt ϕj = sup{u : u ∈ P SH − (Ω), u ≤ ϕ Ω\Ωj } Khi đó, hàm ϕ = (limj→∞ ϕj )∗ ∈ P SH(Ω) ϕ ∈ M P SH(Ω) Đặt N (Ω) = {ϕ ∈ E(Ω) : ϕ = 0} tương đương N (Ω) = {ϕ ∈ PSH − (Ω) : ϕj ↑ 0} Nhận xét 1.1.7 Từ định nghĩa nguyên lý so sánh cho lớp F a (Ω) ta có quan hệ bao hàm F(Ω) ⊂ N (Ω) ⊂ E(Ω) Định nghĩa 1.1.8 Giả sử χ : R− −→ R+ hàm giảm Ω miền siêu lồi bị chặn Cn Khi hàm u ∈ P SH − (Ω) thuộc Eχ (Ω) tồn dãy {uj } ⊂ E0 (Ω) giảm tới u Ω χ(uj )(ddc uj )n < +∞ sup j Ω Nhận xét 1.1.9 a) Nếu ta chọn χ(t) = (−t)p , p > lớp Eχ (Ω) lớp Ep (Ω) b) Nếu χ(t) bị chặn χ(0) > Eχ (Ω) lớp F(Ω) c) Hệ 3.3 L.M.Hải P.H.Hiệp khẳng định χ ≡ Eχ (Ω) ⊂ E(Ω) Do trường hợp tốn tử Monge-Ampère xác định lớp Eχ (Ω) d) Hệ 3.3 L.M.Hải P.H.Hiệp khẳng định χ(t) > với t < Eχ (Ω) ⊂ N (Ω) Hơn nữa, ta có Eχ (Ω) = u ∈ N (Ω) : χ(u)(ddc u)n < +∞ Ω Trong luận án cần dùng khái niệm sau Định nghĩa 1.1.10 Giả sử Ω ⊂ Cn tập mở, µ độ đo Borel dương Ω, ta nói: i) µ triệt tiêu tập đa cực Ω với tập A ⊂ Ω, A đa cực ta có µ(A) = ii) µ gọi mang tập đa cực tồn tập đa cực A ⊂ Ω, cho µ(A) = µ(Ω) Trong trường hợp viết µ = 1A µ Tiếp theo, đề cập tới định nghĩa lớp hàm đa điều hòa có giá trị biên lớp E(Ω) Định nghĩa 1.1.11 Giả sử K ∈ {E0 (Ω), F(Ω), N (Ω), Eχ (Ω), E(Ω)} f ∈ E(Ω) Ta nói hàm đa điều hòa u Ω thuộc K(Ω, f ), tồn hàm ϕ ∈ K cho ϕ + f ≤ u ≤ f Ω Ký hiệu Ka (Ω, f ) hàm đa điều hòa u ∈ K(Ω, f ) cho ∃ϕ ∈ Ka : ϕ + f ≤ u ≤ f , Ka hàm u ∈ K cho (ddc u)n = Để chứng minh Định lý 1.2.1 ta cần số kết sau Mệnh đề 1.1.12 Giả sử χ : R− −→ R+ hàm liên tục giảm cho χ(t) > với t < Ω miền siêu lồi bị chặn Cn Giả sử µ độ đo Radon, triệt tiêu tập đa cực Ω u, v ∈ E(Ω) hàm thỏa mãn χ(u)(ddc u)n ≥ µ, χ(v)(ddc v)n ≥ µ Khi χ(max(u, v))(ddc max(u, v))n ≥ µ 12 Mệnh đề sau kết không dùng để chứng minh Định lý 1.2.1 mà dùng cho chứng minh kết khác Mệnh đề 1.1.13 Giả sử Ω miền siêu lồi bị chặn Cn f ∈ E(Ω) ∩ M P SH(Ω) Khi với u ∈ N (Ω, f ) cho (ddc u)n < +∞, {u=−∞}∩Ω tồn v ∈ F(Ω, f ) cho v ≥ u (ddc v)n = 1{u=−∞} (ddc u)n 1.2 Dưới thác triển hàm đa điều hòa lớp Eχ (Ω, f ) Bây chúng tơi trình bày kết chương chứng minh kết thác triển hàm đa điều hòa cho lớp Eχ (Ω, f ) Đó là, Định lý 1.2.1 Giả sử Ω Ω miền siêu lồi bị chặn Cn f ∈ E(Ω) ∩ M P SH(Ω), g ∈ E(Ω) ∩ M P SH(Ω) với f ≥ g Ω Giả sử χ : R− −→ R+ hàm liên tục giảm cho χ(t) > với t < Khi với u ∈ Eχ (Ω, f ) cho [χ(u) − ρ](ddc u)n < +∞, Ω với ρ thuộc E0 (Ω), tồn u ∈ Eχ (Ω, g) cho u ≤ u Ω χ(u)(ddc u)n = 1Ω χ(u)(ddc u)n Ω Để chứng minh định lý trên, ta cần vài bổ đề sau Bổ đề 1.2.2 Cho Ω ⊂ Ω miền siêu lồi bị chặn Cn f ∈ E(Ω), g ∈ E(Ω) ∩ M P SH(Ω) với f ≥ g Ω Giả sử u ∈ F(Ω, f ) cho (a) (ddc u)n mang tập đa cực (b) (ddc u)n < +∞ Ω Khi hàm u := (sup{ϕ ∈ F(Ω, g) : ϕ ≤ u Ω})∗ thuộc F(Ω, g) (ddc u)n = 1Ω (ddc u)n Ω Bổ đề sau dùng để chứng minh kết Bổ đề 1.2.3 Giả sử Ω miền siêu lồi bị chặn Cn µ độ đo Radon dương, triệt tiêu tập đa cực Ω với µ(Ω) < +∞ Cho χ : R− → R+ hàm liên tục giảm bị chặn thỏa mãn χ(t) > với t < χ(−∞) = Giả sử f ∈ E(Ω) ∩ M P SH(Ω) v ∈ F(Ω, f ) thỏa mãn (ddc v)n mang tập đa cực (ddc v)n < +∞ Ω Khi hàm u xác định u := (sup{ϕ ∈ E(Ω) : ϕ ≤ v χ(ϕ)(ddc ϕ)n ≥ µ})∗ 13 thuộc lớp N (Ω, f ) χ(u)(ddc u)n ≥ µ + (ddc v)n Hơn nữa, supp(ddc v)n (−ρ)(ddc u)n < +∞ với ρ thuộc E0 (Ω) Ω Ω χ(u)(ddc u)n = µ + (ddc v)n Chương Dưới thác triển hàm đa điều hoà miền siêu lồi không bị chặn ứng dụng Như trình bày phần mở đầu, chương chúng tơi trình bày vấn đề thác triển hàm đa điều hòa lớp F(Ω, f ) với Ω miền siêu lồi không bị chặn Phần ứng dụng chúng tơi giải tốn xấp xỉ hàm đa điều hòa với giá trị biên miền siêu lồi không bị chặn Cn Chương gồm ba phần Trong phần đầu, trình bày số khái niệm mệnh đề cần thiết cho chứng minh phần Phần thứ hai bổ đề chứng minh định lý Phần thứ ba phần ứng dụng, áp dụng kết thác triển miền siêu lồi không bị chặn vào tốn xấp xỉ hàm đa điều hòa dãy tăng hàm đa điều hòa miền rộng Chương viết dựa báo [2] (trong danh mục cơng trình cơng bố liên quan đến luận án) 2.1 Một số khái niệm kết bổ trợ Định nghĩa 2.1.1 Cho Ω miền Cn Hàm đa điều hòa âm u ∈ P SH − (Ω) gọi hàm đa điều hòa chặt với U Ω, tồn λ > cho hàm u(z) − λ|z|2 ∈ P SH(U ) Nghĩa ddc u ≥ λβ U , β = i n dzj d zj l dng Kăahler chớnh tắc Cn j=1 Kí hiệu P SH s (Ω) tập tất hàm đa điều hòa chặt Ω Một kết L.M.Hải, N,X.Hồng N.V.Trào đưa Ví dụ 3.2 chứng tỏ tồn miền siêu lồi không bị chặn Ω ⊂ Cn cho P SH s (Ω) ∩ L∞ (Ω) = ∅, cụ thể họ đưa ví dụ sau đây, n Ví dụ 2.1.2 Giả sử n ≥ số nguyên dương Đặt ρ(z) := 12| z1 |2 − (|z1 |21+1)2 + j=2 |zj |2 , z = (z1 , z2 , , zn ) ∈ Cn , zj = xj + iyj , j = 1, , n Giả sử Ω thành phần liên thông tập mở {z ∈ Cn : ρ(z) < 0} Khi Ω chứa đường thẳng (iy1 , 0), y1 ∈ R, nên Ω miền siêu lồi không bị chặn Cn ρ hàm đa điều hòa chặt bị chặn Ω Do suốt chương ta đặt điều kiện P SH s (Ω) ∩ L∞ (Ω) = ∅, với điều kiện trường hợp Ω miền siêu lồi không bị chặn Cn , Mệnh đề 4.2 L.M.Hải, N.X.Hồng 14 15 N.V.Trào cho ta kết quan trọng là: Nếu u ∈ E(Ω, f ) u ∈ E(D) với miền siêu lồi bị chặn D Ω trường hợp toán tử Monge-Ampère phức (ddc )n xác định lớp E(Ω, f ) Trong chương ta phải sử dụng lớp E0 (Ω), F(Ω), E(Ω) F(Ω, f ) trường hợp Ω miền siêu lồi không bị chặn Cn ( xem Định nghĩa phần tổng quan) Chúng ta tiếp tục phải sử dụng lớp hàm đa điều hòa cực đại, hàm đa điều hòa cực đại âm Ω nêu Định nghĩa 1.1.4 chương Bây cho kết liên quan đến lớp F(Ω, f ) Ω miền siêu lồi không bị chặn Cn Mệnh đề 2.1.3 Giả sử Ω miền siêu lồi không bị chặn Cn cho P SH s (Ω) ∩ L∞ (Ω) = ∅ giả sử f ∈ M P SH − (Ω) ∩ C(Ω) Giả sử u, v ∈ F(Ω, f ) Khi ta có kết sau (a) Nếu u ≤ v (ddc u)n ≥ Ω c n c n (b) Nếu u ≤ v, (dd u) ≤ (dd v) 2.2 Ω c Ω (ddc v)n n (dd u) < ∞ u = v Dưới thác triển miền siêu lồi không bị chặn Định lý chương mở rộng kết L.M.Hải N.X.Hồng cho trường hợp Ω siêu lồi không bị chặn Định lý 2.2.1 Giả sử Ω ⊂ Ω miền siêu lồi không bị chặn Cn cho P SH s (Ω)∩L∞ (Ω) = ∅ Khi với f ∈ M P SH − (Ω) ∩ C(Ω) u ∈ F(Ω, f ) cho (ddc u)n < ∞, Ω tồn u ∈ F(Ω, f ) cho u ≤ u Ω (ddc u)n = 1Ω (ddc u)n Ω Ta cần có số bổ đề sau Bổ đề 2.2.2 Cho Ω miền siêu lồi bị chặn Cn f ∈ M P SH − (Ω) ∩ E(Ω) Giả sử w ∈ E(Ω) µ độ đo Borel dương Ω cho w ≤ f Ω, µ ≤ (ddc w)n Ω Ω (ddc w)n < ∞ Khi tồn u ∈ F(Ω, f ) cho u ≥ w (ddc u)n = µ Ω Bổ đề 2.2.3 Giả sử Ω miền siêu lồi không bị chặn Cn cho P SH s (Ω) ∩ L∞ (Ω) = ∅ f ∈ M P SH − (Ω) ∩ C(Ω) Giả sử {Ωj }∞ Ωj+1 Ω j=1 dãy tăng miền siêu lồi bị chặn cho Ωj ∞ Ωj Khi với u ∈ F(Ω, f ) cho Ω = j=1 (ddc u)n < ∞, Ω tồn dãy giảm uj ∈ F(Ωj , f ) cho uj 2.3 u Ω (ddc uj )n = (ddc u)n Ωj Ứng dụng Trong phần dùng kết thác triển cho miền siêu lồi không bị chặn, áp dụng vào giải tốn xấp xỉ hàm đa điều hòa dãy tăng hàm đa điều hòa miền rộng Chúng thiết lập kết Hed cho miền siêu lồi không bị chặn Cn Cụ thể chứng minh định lý sau đây: 16 Định lý 2.3.1 Giả sử Ω miền siêu lồi không chặn Cn {Ωj }∞ j=1 dãy miền siêu lồi không bị chặn cho Ω ⊂ Ωj+1 ⊂ Ωj P SH s (Ω1 ) ∩ L∞ (Ω1 ) = ∅ Giả sử tồn ψ ∈ F(Ω) ψj ∈ F(Ωj ) cho ψ < Ω ψj ψ hầu khắp nơi Ω j ∞ Khi với f ∈ M P SH − (Ω1 ) ∩ C(Ω1 ) với u ∈ F(Ω, f ) cho (ddc u)n < ∞, Ω tồn dãy hàm uj ∈ F(Ωj , f ) cho uj u hầu khắp nơi Ω j ∞ Để chứng minh Định lí 2.3.1 ta cần chứng minh mệnh đề sau: Mệnh đề 2.3.2 Cho Ω miền siêu lồi không bị chặn Cn cho P SH s (Ω) ∩ L∞ (Ω) = ∅ f ∈ M P SH − (Ω) ∩ C(Ω) Giả sử u ∈ E(Ω, f ) cho (ddc u)n < ∞ Khi u ∈ F(Ω, f ) Ω tồn dãy {uj }∞ j=1 ⊂ E0 (Ω, f ) cho uj u Ω j (ddc uj )n < ∞ sup j Ω ∞ Chương Dưới thác triển hàm m - điều hòa Như phần tổng quan giới thiệu, chương nghiên cứu vấn đề thác triển hàm m - điều hòa lớp Fm (Ω) với Ω m - siêu lồi bị chặn Cn Chúng đẳng thức độ đo Hessian phức hàm thác triển hàm cho Chương gồm hai phần Trong phần thứ nhất, chúng tơi dành để trình bày số kiến thức chuẩn bị cần thiết cho chương Phần thứ hai, chứng minh số mệnh đề, bổ đề để áp dụng cho việc chứng minh kết thác triển hàm m - điều hòa hệ Chương rút từ báo [4] (trong danh mục công trình cơng bố liên quan đến luận án) 3.1 Một số khái niệm kết bổ trợ Cho l mt m Cn vi dng Kăahler tắc β = ddc z Ta đặt, Γm = {η ∈ C(1,1) : η ∧ β n−1 ≥ 0, , η m ∧ β n−m ≥ 0}, C(1,1) kí hiệu khơng gian (1, 1) - dạng với hệ số Định nghĩa 3.1.1 Giả sử u hàm điều hòa tập mở Ω ⊂ Cn Ta nói u hàm m - điều hòa Ω với η1 , , ηm−1 ∈ Γm bất đẳng thức ddc u ∧ η1 ∧ ∧ ηm−1 ∧ β n−m ≥ 0, theo nghĩa dòng − Kí hiệu SHm (Ω) tập hàm m- điều hòa Ω SHm (Ω) kí hiệu tập hàm m- điều hòa âm Ω Trước thiết lập tính chất hàm m- điều hòa ta nhắc lại tính chất sau, Giả sử λ = (λ1 , , λn ) ∈ Rn Ta xác định λj1 · · · λjm Sm (λ) = 1≤j1 ε} Khi uε ∈ SHm (Ωε ) ∩ C ∞ (Ωε ) uε ↓ u ρε (z) := ε2n ε ↓ (h)Giả sử u1 , , up ∈ SHm (Ω) χ : Rp → R hàm lồi, tăng theo biến Nếu χ mở rộng liên tục tới hàm [−∞, +∞)p → [−∞, ∞), χ(u1 , , up ) ∈ SHm (Ω) Ví dụ 3.1.3 Xét u(z1 , z2 , z3 ) = 3|z1 |2 + 2|z2 |2 − |z3 |2 Theo tính chất (b) mệnh đề 3.1.2 ta thấy u ∈ SH2 (C3 ) Tuy nhiên, u không đa điều hòa C3 hạn chế u đường thẳng {(0, 0, z3 ) : z3 ∈ C} u(0, 0, z3 ) = −|z3 |2 khơng đa điều hòa Bây giờ, dựa theo Z Blocki, S Dinew S Kolodziej định nghĩa toán tử m-Hessian phức cho lớp hàm m-điều hòa bị chặn địa phương Cụ thể, cho định nghĩa sau Định nghĩa 3.1.4 Giả sử u1 , , up ∈ SHm (Ω) ∩ L∞ loc (Ω) Khi tốn tử Hessian phức Hm (u1 , , up ) định nghĩa quy nạp sau: ddc up ∧ · · · ∧ ddc u1 ∧ β n−m = ddc (up ddc up−1 ∧ · · · ∧ ddc u1 ∧ β n−m ) Từ định nghĩa hàm m- điều hòa sử dùng lý luận chứng minh Định lý 2.1 Bedford Taylor(1982) ta Hm (u1 , , up ) dòng dương đóng song bậc (n − m + p, n − m + p) toán tử liên tục dãy giảm hàm m- điều hòa bị chặn địa phương Do đó, cho p = m, ddc u1 ∧ · · · ∧ ddc um ∧ β n−m độ đo Borel không âm Đặc biệt, u = u1 = · · · = um ∈ SHm (Ω) ∩ L∞ loc (Ω) độ đo Borel Hm (u) = (ddc u)m ∧ β n−m , xác định gọi m - Hessian phức u Tương tự định nghĩa 1.1.1 thác triển hàm đa điều hòa dưới, ta định nghĩa thác triển hàm m-điều hòa dưới, 19 Định nghĩa 3.1.5 Cho Ω ⊂ Ω tập mở Cn u hàm m-điều hòa Ω (u ∈ SHm (Ω)) Hàm u ∈ SHm (Ω) gọi thác triển hàm u u(z) ≤ u(z), ∀z ∈ Ω Bây ta nhắc lại miền m- siêu lồi Cn mà giới thiệu L.H.Chinh Miền định nghĩa tương tự miền siêu lồi lý thuyết đa vị Định nghĩa 3.1.6 Cho Ω miền bị chặn Cn Ta nói Ω miền m- siêu lồi tồn hàm m- điều hòa liên tục u : Ω −→ R− cho Ωc = {u < c} Ω với c < Nhận xét 3.1.7 Từ định nghĩa miền m-siêu lồi định nghĩa hàm m- điều hòa dưới, Ta thấy hàm đa điều hòa m- điều hòa với n ≥ m ≥ nên miền siêu lồi Cn m-siêu lồi Tiếp theo ta nhắc lại lớp Cegrell lớp hàm m- điều hòa đưa L.H.Chinh(2013, 2015) Định nghĩa 3.1.8 Giả sử Ω ⊂ Cn miền m- siêu lồi Khi ta xác định lớp hàm m - điều hòa sau: 0 − Em = Em (Ω) = {u ∈ SHm (Ω) ∩ L∞ (Ω) : lim u(z) = 0, Hm (u) < ∞} z→∂Ω Ω − Fm = Fm (Ω) = u ∈ SHm (Ω) : ∃ Em uj Hm (uj ) < ∞ u, sup j Ω − Em = Em (Ω) = u ∈ SHm (Ω) : ∀z0 ∈ Ω, ∃ lân cận ω Em uj z0 , Hm (uj ) < ∞ u ω, sup j Ω Nhận xét 3.1.9 a) Từ định nghĩa ta có quan hệ bao hàm sau Em (Ω) ⊂ Fm (Ω) ⊂ Em (Ω) b) Tương tự Định lý 4.5 Cegrell(2014), Định lý 3.5 L.H.Chinh(2013) khẳng định lớp Em lớp − lớn SHm (Ω) thỏa mãn điều kiện: − (i) Nếu u ∈ Em (Ω) v ∈ SHm (Ω) max{u, v} ∈ Em (Ω) − (ii) Nếu u ∈ Em (Ω) uj ∈ SHm (Ω) ∩ L∞ u, Hm (uj ) hội tụ yếu tới Hm (u) loc (Ω), uj Chúng ta có khái niệm tương tự khái niệm hàm cực trị tương đối lý thuyết đa vị Đó khái niệm hàm m- cực trị tương đối Định nghĩa 3.1.10 Cho Ω tập mở Cn E ⊂ Ω Hàm m- cực trị tương đối E Ω, xác định công thức − hm,E,Ω = hm,E = sup{u ∈ SHm (Ω) : u|E ≤ −1} Như [?], h∗m,E hàm m- điều hòa âm Ω Hơn nữa, Ω m- siêu lồi Cn Ω Ω ta chứng minh hm,Ω thuộc Em (Ω) Tương tự tập đa cực định lý Josefson lý thuyết đa vị có tập m- cực định lý Josefson cho tập m- cực Định nghĩa 3.1.11 Cho Ω tập mở Cn E ⊂ Ω E gọi m- cực với a ∈ E tồn lân cận liên thông Va a Ω u ∈ SHm (V ), u ≡ −∞ cho E ∩ Va ⊂ {z ∈ Va : u(z) = −∞} 20 Định lý 2.35 L.H.Chinh(2013) tương tự định lý Josefson lý thuyết đa vị tập m- cực Nghĩa E ⊂ Ω tập m- cực tồn hàm u ∈ SHm (Cn ) cho u ≡ −∞ E Nhận xét 3.1.12 a) Theo (a) mệnh đề 3.1.2 tập đa cực lý thuyết đa vị tập m- cực với ≤ m ≤ n b) Ví dụ 2.27 Lữ Hoàng Chinh(2015) chứng tỏ tồn tập m- cực E n Cn tập đa cực 3.2 Dưới thác triển lớp Fm (Ω) Trong mục trình bày kết thác triển lớp Fm (Ω) Cụ thể chứng minh định lý sau Định lý 3.2.1 Cho Ω ⊂ Ω ⊂ Cn miền m- siêu lồi bị chặn u ∈ Fm (Ω) Khi tồn w ∈ Fm (Ω) cho w ≤ u Ω (ddc w)m ∧ β n−m = 1Ω (ddc u)m ∧ β n−m , Ω Trước hết cần mệnh đề cho lớp hàm m- điều hòa Fm Mệnh đề 3.2.2 Cho Ω miền m- siêu lồi Cn u ∈ Fm (Ω) Khi Hm (u) < ∞ em (u) = Ω Ta cần dùng kết sau Mệnh đề 3.2.3 Cho Ω miền m- siêu lồi bị chặn Cn {uj } ⊂ Fm (Ω) dãy giảm hội tụ tới − u ∈ Fm (Ω) Nếu ϕ ∈ SHm (Ω) ∩ L∞ (Ω) ϕHm (uj ) = lim j Ω ϕHm (u) Ω Để chứng minh Định lý 3.2.1 ta cần dùng bổ đề sau Đây kết để chứng minh Định lý 3.2.1 Đồng thời cho kỹ thuật để tiếp cận tốn thác triển hàm m- điều hòa a Bổ đề 3.2.4 Giả sử Ω miền m- siêu lồi bị chặn Cn u ∈ Fm (Ω) Khi tồn g ∈ Fm (Ω), h ∈ Fm (Ω) cho 1{u>−∞} (ddc u)m ∧ β n−m = (ddc g)m ∧ β n−m , (3.1) 1{u=−∞} (ddc u)m ∧ β n−m = (ddc h)m ∧ β n−m (3.2) h ≥ u ≥ g + h Ω Từ định lý trên, thu hệ sau Hệ 3.2.5 Cho Ω ⊂ Ω miền m- siêu lồi bị chặn {uj }j≥1 , u ⊂ Fm (Ω) cho uj ≥ u, uj hội tụ Cm - dung lượng tới u Ω Giả sử uj , u theo thứ tự thác triển uj , u Ω Khi Hm (uj ) hội tụ yếu tới Hm (u) Ω Chương Phương trình kiểu Monge – Ampère cho độ đo Như trình bày phần mở đầu Mục đích chương chúng tơi trình bày tồn nghiệm yếu phương trình kiểu Monge – Ampère cho độ đo bất kỳ, đặc biệt độ đo mang tập đa cực Chương gồm hai phần Trong phần đầu, giới thiệu phương trình kiểu Monge – Ampère hướng chứng chứng minh kết chương Trong phần thứ hai, chứng minh tồn nghiệm yếu phương trình kiểu kiểu Monge – Ampère lớp N (Ω, f ) cho độ đo Chương viết dựa báo [3] (trong danh mục cơng trình cơng bố liên quan đến luận án) 4.1 Giới thiệu Để thuận lợi cho việc trình bày, chúng tơi xin nhắc lại khái niệm phương trình kiểu Monge-Ampère đưa Bedford, Taylor Định nghĩa 4.1.1 Cho Ω miền siêu lồi bị chặn Cn µ độ đo Borel dương Ω Giả sử F : R × Ω [0, +) l dt ì dà - hm o Khi phương trình dạng (ddc u)n = F (u, )dµ, (4.1) u hàm đa điều hòa Ω, gọi phương trình kiểu Monge – Ampère Bedford Taylor chứng minh tồn nghiệm phương trình (4.1) trường hợp µ độ đo Lebesgue, F n ≥ bị chặn, liên tục, lồi, tăng theo biết thứ Sau Cegrell chứng tỏ bỏ qua giả thiết lồi đơn điệu Trong trường hợp F trơn tồn ngiệm (4.1) chứng minh Kolodziej chứng minh tồn u ∈ P SH ∩ L∞ (Ω) nghiệm phương trình (4.1) F bị chặn, không âm, tăng liên tục theo biết thứ µ độ đo Monge - Ampère hàm đa điều hòa bị chặn Ω miền giả lồi chặt Thiết lập tồn nghiệm yếu phương trình (4.1) lớp Cegrell, đặc biệt lớp F(Ω),Cegrell Kolodziej chứng minh µ triệt tiêu tập đa cực µ(Ω) < +∞, ≤ F (t, z) ≤ g(z) với g ∈ L1 (dµ) với f ∈ M P SH(Ω) ∩ E(Ω), phương trình (4.1) có nghiệm u ∈ F a (Ω, f ) Sau Czy˙z nghiên cứu tồn nghiệm yếu phương trình (4.1) lớp N (Ω, f ) lớp rộng lớp F(Ω, f ) Czy˙z chứng minh rằng: µ triệt tiêu tập đa cực Ω, F hàm liên tục biến thứ bị chặn hàm khả tích g ∈ L1 (dµ), ≤ F (t, z) ≤ g(z) µ = (ddc w)n , w ∈ N (Ω) phương trình (4.1) giải lớp N (Ω, f ) Gần năm 2014, với giả thiết µ triệt tiêu tập đa cực Ω tồn nghiệm v0 ∈ N a (Ω) (4.1), tức tồn hàm v0 ∈ N a (Ω) cho (ddc v0 )n ≥ F (v0 , )dµ, Benelkourchi chứng minh phương trình (4.1) có nghiệm u ∈ N a (Ω, f ) 21 22 Mục đính chương chúng tơi chứng minh tồi nghiệm yếu phương trình (4.1) lớp N (Ω, f ) µ triệt tiêu tập đa cực Khi giải tốn chúng tơi gặp khó khăn µ mang tập đa cực giải Để giải khó khăn trước tiên chúng tơi tìm nghiệm yếu phần mang tập đa cực Sau chúng tơi xây dựng bao kiểu Perron - Bremerman hàm đa điều hòa khác với tác giả khác để tiết tục giải phần lại Chi tiết ta chứng minh kết chương 4.2 Phương trình kiểu Monge – Ampère cho độ đo Bây chúng tơi chứng minh kết chương Cụ thể đạt kết sau: Định lý 4.2.1 Giả sử Ω miền siêu lồi bị chặn µ độ đo khơng âm Ω Giả sử F : R × Ω −→ [0, +∞) dt ì dà- hm o c tha món: (1) Vi z ∈ Ω, hàm t −→ F (t, z) hàm liên tục không giảm; (2) Với t ∈ R, hàm z −→ F (t, z) thuộc L1loc (Ω, µ); (3) Tồn hàm w ∈ N (Ω) cho (ddc w)n ≥ F (w, )dµ Khi với f ∈ M P SH(Ω) ∩ E(Ω), tồn u ∈ N (Ω, f ) cho u ≥ w (ddc u)n = F (u, )dµ Ω Để chứng minh Định lý 4.2.1 ta cần bổ đề quan trọng sau Bổ đề 4.2.2 Cho Ω, µ, F w thỏa mãn giả thiết định lý 4.2.1 Giả sử w ∈ N a (Ω), suppdµ Ω, dµ(Ω) < ∞ dµ triệt tiêu tập đa cực Ω Nếu f ∈ E(Ω) ∩ M P SH(Ω) v ∈ F(Ω, f ) cho supp(ddc v)n Ω (ddc v)n mang tập đa cực Ω Khi hàm u := (sup{ϕ ∈ E(Ω) : ϕ ≤ v (ddc ϕ)n ≥ F (ϕ, )dµ})∗ thuộc N (Ω, f ) (ddc u)n = F (u, )dµ + (ddc v)n Ω Kết luận kiến nghị I Kết luận Luận án đạt mục đích nghiên cứu đề Kết Luận án góp phần làm phong phú thêm thác triển hàm đa điều hòa khơng bị chặn lớp Eχ (Ω, f ), F(Ω, f ), Fm (Ω) với kiểm soát độ đo Monge - Ampère độ đo Hessian phức 1) Chứng minh tồn thác triển lớp Eχ (Ω, f ) với Ω miền siêu lồi bị chặn Cn đẳng thức χ(u)(ddc u)n = 1Ω χ(u)(ddc u)n Ω 2) Chứng minh toán thác triển cho lớp F(Ω, f ) với Ω miền siêu lồi khơng bị chặn Cn có lời giải đẳng thức độ đo Monge - Ampère hàm thác triển hàm cho 3) Mở rộng kết của Hed cho tốn xấp xỉ hàm đa điều hòa dãy tăng hàm đa điều hòa miền rộng lớp F(Ω, f ) cho trường hợp Ω miền siêu lồi không bị chặn Cn 4) Chứng tỏ tồn thác triển đẳng thức độ đo Hessian phức cho lớp Fm (Ω) hàm m điều hòa 5) Thiết lập tồn nghiệm yếu thuộc lớp N (Ω, f ) phương trình kiểu Monge - Ampère cho độ đo II Kiến nghị Chúng tơi nghĩ tương lai gần, việc tìm nghiệm liên tục Holder cho phương trình kiểu Monge - Ampère toán tử Monge - Ampère toán tử Hessian toán cần quan tâm tìm lời giải Đặc biệt cần nghiên cứu toán cho đối tượng rộng miền Cn , chẳng hạn đa tạp Kahler Compact hay tổng quát đa tạp Hermite Đã có số kết đạt theo hướng thời gian qua câu trả lời đầy đủ cho hướng nghiên cứu xa đạt 23 Danh mục cơng trình công bố liên quan đến luận án A Các cơng trình sử dụng luận án [1] Le Mau Hai, Nguyen Xuan Hong and Trieu Van Dung (2015), "Subextension of plurisubharmonic functions with boundary values in weighted pluricomplex energy classes", Complex Var Elliptic Equ., 60(11), pp 1580-1593.(SCIE) [2] Le Mau Hai, Nguyen Van Khiem and Trieu Van Dung (2016), "Subextension of plurisubharmonic functions in unbounded hyperconvex domains and applications", Complex Var Elliptic Equ., 61(8), 1116– 1132.(SCIE) [3] Le Mau Hai, Tang Van Long and Trieu Van Dung (2016), "Equations of complex Monge-Ampère type for arbitrary measures and applications", Int J Math., 27(4), 1650035(13 pages).(SCI) [4] Le Mau Hai and Trieu Van Dung (2018), "Subextension of m-subharmonic functions", submitted to Vietnam J.Math B Các báo cáo kết luận án hội nghị, hội thảo [1] Trieu Van Dung (2014), "Dưới thác triển hàm đa điều hoà với giá trị biên lớp lượng phức có trọng" , Báo cáo Hội nghị khoa học Khoa Toán – Tin, Trường ĐHSPHN [2] Trieu Van Dung (2016), "Dưới thác triển hàm đa điều hoà miền siêu lồi không bị chặn ứng dụng", Báo cáo Hội nghị khoa học Khoa Toán – Tin, Trường ĐHSPHN [3] Le Mau Hai, Tang Van Long, Trieu Van Dung (2016), "Phương trình kiểu Monge – Ampère cho độ đo tùy ý ứng dụng" , Báo cáo Hội nghị khoa học Khoa Toán - Tin, Trường ĐHSPHN [4] Trieu Van Dung (2018), "Dưới thác triển hàm m- điều hòa dươi" , Báo cáo Đại hội Tốn học toàn quốc lần thứ 9, Nha Trang tháng năm 2018 24 ... nghiên cứu luận án toán thác triển hàm đa điều hoà với giá trị biên lớp lượng phức có trọng, tốn thác triển hàm đa điều hồ miền siêu lồi khơng bị chặn ứng dụng, toán thác triển hàm m - điều hồ phương... trung tâm lý thuyết đa vị hàm đa điều hòa Do đối tượng nói trên, việc xét toán thác triển hàm đa điều hòa việc cần lưu tâm tới nghiên cứu toán lý thuyết đa vị Nhưng hàm đa điều hòa dưới, từ định nghĩa... 1.1.1 thác triển hàm đa điều hòa dưới, ta định nghĩa thác triển hàm m -điều hòa dưới, 19 Định nghĩa 3.1.5 Cho Ω ⊂ Ω tập mở Cn u hàm m -điều hòa Ω (u ∈ SHm (Ω)) Hàm u ∈ SHm (Ω) gọi thác triển hàm