HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI TRÊN TẬP GIẢI TÍCH TRONG Cn

Luận án tiến sĩ toán học Ham đa điều hòa dưới trên tập giải tích trong Cn được sư hướng dẫn của các giao sư , tiến sĩ có kinh nghiệm trong trường DHSP Hà nội, để có thể đúc kết được nhiều yếu tố quan trọng trong luận án tiến sĩ này..

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI SANPHET OUNHEUAN HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI TRÊN TẬP GIẢI TÍCH TRONG n Chun ngành : Tốn giải tích Mã số : 9.46.01.02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học : GS.TS Nguyễn Quang Diệu HÀ NỘI - 2018 Mục lục Danh mục ký hiệu Lời cảm đoan Lời cảm ơn Mở đầu Tổng quan vấn đề luận án 10 1.1 Hàm điều hòa 10 1.2 Hàm đa điều hòa 12 1.3 Xấp xỉ hàm đa điều hòa tập giải tích Cn 15 1.4 Nguyên lý so sánh cho hàm đa điều hòa bị chặn tập giải tích Cn 17 Xấp xỉ hàm đa điều hòa tập giải tích tốn Dirichlet 20 2.1 Nội dung tóm tắt 20 2.2 Một số kết bổ trợ 24 2.3 Chứng minh kết 30 2.4 Kết luận Chương 43 Nguyên lý so sánh cho hàm đa điều hòa tập giải tích 3.1 45 Nội dung tóm tắt 45 3.2 Một số kết bổ trợ 49 3.3 Nguyên lý so sánh mạnh 54 3.4 Kết luận Chương 67 Danh mục cơng trình sử dụng luận án 68 Tài liệu tham khảo 69 Danh mục ký hiệu Cn : Không gian euclide phức n−chiều P SH(D) : Tập hàm đa điều hòa tập mở D Cn P SH(V ) : Tập hàm đa điều hòa tập giải tích V miền mở D Cn (ddc )n : Toán tử Monge-Ampère phức Cn (ddc )k : Toán tử Monge-Ampère phức tập giải tích V với số chiều k Jz : Tập độ đo Jensen với tâm z ứng với hàm đa điều hòa âm Jzc : Tập độ đo Jensen với tâm z ứng với hàm đa điều hòa liên tục âm P SH − (D) : Tập hàm đa điều hòa âm D ¯ P SHc (D) : Tập hàm đa điều hòa liên tục D P SH − (V ) : Tập hàm đa điều hòa âm V P SHc (V ) : Tập hàm đa điều hòa V , liên tục V¯ ∂V : Biên tập giải tích V miền mở D Cn LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu Các kết viết chung với đồng tác giả trí tác giả đưa vào luận án Kết luận án mới, đề tài luận án không trùng lặp chưa công bố cơng trình trước Nghiên cứu sinh Sanphet Ounhean LỜI CẢM ƠN Trước tiên, tất kính trọng mình, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TS Nguyễn Quang Diệu, người Thầy trực tiếp giảng dạy hướng dẫn khoa học giúp tơi hồn thành Luận án mơn Lý thuyết hàm, Khoa Tốn-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Trong trình làm luận án, vô may mắn thường xuyên nhận dẫn khoa học nghiêm túc với chia sẻ, động viên khích lệ thầy Được sinh hoạt làm việc thường xuyên tập thể khoa học nghiêm túc, vô cảm ơn thầy cô, đặc biệt GS TSKH Lê Mậu Hải, PGS.TS Phùng Văn Mạnh nhiều đồng nghiệp khác seminar môn Lý thuyết hàm, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Chính đây, tơi nhận nhiều góp ý trực tiếp thành viên seminar để tơi hồn thiện luận án tiến sĩ tốn học Tơi muốn gửi lời cảm ơn đặc biệt sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Thạc Dũng, GS.TSKH Hà Huy Khoái, TS Phạm Đức Thoan, TS Dương Anh Tuấn, TS Đỗ Hoàng Sơn PGS.TS Nguyễn Văn Trào dẫn thiết thực cải thiện luận án nội dung hình thức Những lỗi sót lại luận án hiển nhiên thuộc tơi tơi mong nhận góp ý thầy đồng nghiệp nhằm làm luận án hoàn thiện Tơi muốn tỏ lòng biết ơn tới Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội đơn vị chức phòng đào tạo sau đại học, phòng quan hệ quốc tế trao cho học bổng, tạo cho điều kiện thuận lợi suốt trình sống, học tập nghiên cứu Việt Nam kể từ học thạc sĩ mái trường Tôi muốn cảm ơn Đại học Champasak (Cộng Hòa Dân Chủ Nhân Dân Lào) cho phép học thạc sĩ làm tiếp nghiên cứu sinh Việt Nam thời gian dài Cuối cùng, tơi xin tỏ lòng tri ân người thầy, đồng nghiệp, gia đình bạn bè thân thích Đây điểm tựa tinh thần vững chắc, giúp đỡ, động viên, khích lệ, chia sẻ khó khăn ln đồng hành tiến trưởng thành để hình thành nên nghiệp cá nhân MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Hàm đa điều hoà tập giải tích đối tượng quan trọng giải tích phức nhiều biến Tuy nhiên việc nghiên cứu đồng thời hai đối tượng đề cập đến Một nguyên nhân diện điểm kỳ dị tập giải tích làm cho q trình trơn hóa (hay xấp xỉ địa phương tích chập) hàm đa điều hòa hay kỹ thuật lấy bao họ hàm đa điều hòa khơng tác dụng Đây hai công cụ kỹ thuật coi tiêu chuẩn lý thuyết đa vị phức tập mở Cn Chúng chọn nghiên cứu đề tài "Hàm đa điều hòa tập giải tích Cn " phần thách thức kể phần ứng dụng vào toán trung tâm lý thuyết đa vị giải tích phức như: Giải phương trình Monge-Ampère tập giải tích, đánh giá định lượng hội tụ dãy hàm đa điều hòa tập giải tích, II Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Để dễ theo dõi, ta bắt đầu cách nhắc lại số khái niệm (xem [6]) tập giải tích Cho D tập mở Cn Một tập đóng V D gọi tập giải tích với z0 ∈ V ta tìm lân cận mở U z0 họ hàm chỉnh hình {fi }i∈I xác định U cho V ∩ U = {z ∈ U : fi (z) = 0, ∀i ∈ I} Trên tập giải tích có hai loại điểm điểm kỳ dị điểm qui Điểm a ∈ V gọi điểm qui tồn lân cận U a để V ∩ U đa tạp phức số chiều k U Nói cách khác, tồn hàm chỉnh hình f1 , , fn−k xác định U cho điều kiện sau thỏa mãn: a V ∩ U = {z ∈ U : fi (z) = 0, ∀1 i n − k}; ∂fi b rank ( )1≤i≤n−k,1≤j≤n = n − k ∂zj Trong trường hợp viết dima V = k Tập điểm qui V ký hiệu Vr Vs := V \ Vr tập điểm kỳ dị V Số chiều tập giải tích V định nghĩa dim V = max dima V a∈Vr Chúng tập trung tìm hiểu vấn đề sau xoay quanh hàm đa điều hòa xác định tập giải tích Cn Vấn đề Cho V tập giải tích miền bị chặn D Cn Tìm điều kiện V để hàm đa điều hòa bị chặn xác định V xấp xỉ hàm đa điều hòa V liên tục V¯ Từ tìm ứng dụng vào việc giải toán Dirichlet với giá trị biên liên tục (có thể trừ tập kỳ dị đủ nhỏ) Vấn đề Xây dựng cách định lượng nguyên lý so sánh hàm đa điều hòa bị chặn Từ tìm áp dụng vào việc nghiên cứu điều kiện đủ cho hội tụ dãy hàm đa điều hòa thơng qua hội tụ giá trị biên chúng với hội tụ dãy độ đo Monge-Ampère tương ứng Để hiểu rõ hướng nghiên cứu này, chúng tơi bình luận kết mà nhà tốn học đạt trước Đối với miền mở bị chặn Cn vấn đề nghiên cứu Frank Wikstrom sau Nguyễn Quang Diệu Wikstrom cách khoảng 15 năm cơng trình [18], [11], [8] Điểm mấu chốt tác giả sử dụng định lý đối ngẫu cổ điển Edwards [12] nhằm đưa tốn xấp xỉ hàm đa điều hòa việc so sánh lớp độ đo Jensen ứng với nón hàm đa điều hòa khác Khi chuyển sang tập giải tích có số kết ban đầu đạt [19] Những kết có hạn chế ln giả thiết tập giải tích V có lân cận mở B−chính qui Cn Về vấn đề 2, ngồi cơng trình kinh điển Bedford Taylor [2], [3], [4] hay Cegrell [5], phải kể đến kết gần Xing [20] [21], công trình này, đánh giá định lượng nguyên lý so sánh đưa Một lần nữa, nghiên cứu toán xấp xỉ cho vấn đề thứ 2, chúng tơi phải vượt qua khó khăn đáng kể thiết lập cơng thức tích phân phần cho dòng dương tập giải tích có kỳ dị Ngồi ra, ý lần đề cập tới việc làm yếu điều kiện biên III PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Một khó khăn làm việc với tập giải tích xuất điểm kỳ dị nên phương pháp truyền thống Nguyễn Quang Diệu Frank Wikstrom (sử dụng định lý đối ngẫu Edwards) hay Bedford (nguyên lý so sánh toán tử Monge-Ampère) trường hợp Cn , chúng tơi phải kết hợp với cơng cụ mạnh lý thuyết đa vị phức tập giải tích kết Fornaess Narasimhan đặc trưng hàm điều hòa dưới, cơng thức tích phân phần dạng vi phân tập giải tích, Khi có |µδ (V ) − µ(V )| = |µδ (K) − µ(K)| f dµδ − ≤ V f dµ + 2ε V Điều dẫn tới lim |µδ (V ) − µ(V )| ≤ 2ε δ→0 Cho ε ↓ 0, ta có µδ (V ) → µ(V ) δ → Điều có nghĩa [ϕ◦(v δ +ε−uδ )−ϕ(ε)]ddc w1δ ∧T δ = lim δ→0 V [ϕ◦(v+ε−u)−ϕ(ε)]ddc w1 ∧T V Tương tự phần trước, xét dòng sau V µ δ : = w1δ [ϕ ◦ (v δ + ε − uδ )ddc (v δ − uδ ) + ϕ ◦ (v δ + ε − uδ )d(v δ − uδ ) ∧ dc (vδ − uδ ) ∧ T δ , µ : = w1 [ϕ ◦ (v + ε − u)ddc (v − u) + ϕ ◦ (v + ε − u)d(v − u) ∧ dc (v − u) ∧ T Lập luận tương tự có µ δ (V ) → µ (V ) δ ↓ Vì thế, cách áp dụng Bổ đề 3.3.1 (a) có w1δ ddc (ϕ ◦ (v δ + ε − uδ )) ∧ T δ = lim δ→0 V w1 ddc (ϕ ◦ (v + ε − u)) ∧ T V Kết hợp ba đẳng thức cuối lại thu ϕ ◦ (v + ε − u) − ϕ(ε) ddc w1 ∧ · · · ∧ ddc wk V w1 ddc (ϕ ◦ (v + ε − u)) ∧ ddc w2 ∧ · · · ∧ ddc wk = V Cuối cùng, nhờ bất đẳng thức Chern-Levine-Nirenberg có ≤ V ddc w1 ∧ · · · ∧ ddc wk < ∞ Kết hợp lại có điều phải chứng minh ✷ Bổ đề trường hợp đặc biệt Định lý 3.1.3, bước cốt lối chứng minh định lý 57 Bổ đề 3.3.3 Cho u, v ∈ P SH(V )∩L∞ (V ) cho u ≤ v V u = v tập hợp compact K V Khi với ≤ m ≤ k có χ ◦ (v − u)ddc w1 ∧ · · · ∧ ddc wk V (−w1 )χ(m) ◦ (v − u)(ddc v)m ddc wm+1 ∧ · · · ∧ ddc wk + V (−w1 )χ(m) ◦ (v − u)(ddc u)m ddc wm+1 ∧ · · · ∧ ddc wk ≤ V ddc w1 ∧ · · · ∧ ddc wk , + Pm (χ) V w1 , · · · , wk ∈ P SH(V ) ∩ L∞ loc (V ) thỏa mãn wj < với ≤ j ≤ m wj ≥ −1 với ≤ j ≤ m Chứng minh Để đơn giản ký hiệu, đặt T := ddc w1 ∧ · · · ∧ ddc wm , T := ddc wm+1 ∧ · · · ∧ ddc wk Cho V tập mở compact tương đối V cho K ⊂ V Khi u = v lân cận nhỏ ∂V Bây chứng minh ước lượng sau (−w1 )χ(m) ◦ (v − u)(ddc v)m ∧ T χ ◦ (v − u)T ∧ T + V V (−w1 )χ(m) ◦ (v − u)(ddc u)m ∧ T + Pm (χ) ≤ V T ∧T (3.6) V Để làm điều này, giả sử χ ∈ C m+1 (0, ∞) Khi χ(j) ≥ (0, ∞) với ≤ j ≤ m + Bây sử dụng công thức tích phân phần (Bổ đề 3.3.2) với lưu ý wm < ta có χ ◦ (v + ε − u)T ∧ T V wm ddc (χ ◦ (v + ε − u))ddc w1 ∧ · · · ∧ ddc wm−1 ∧ T + χ(ε) = V T ∧T V wm χ ◦ (v + ε − u)ddc (v − u) ∧ ddc w1 ∧ · · · ∧ ddc wm−1 ∧ T ≤ V T ∧T + χ(ε) V χ ◦ (v + ε − u)ddc u ∧ ddc w1 ∧ · · · ∧ ddc wm−1 ∧ T + χ(ε) ≤ V T ∧T V 58 Bất đẳng thức cuối hệ giả thiết −1 ≤ wm < V bất đẳng thức wm ddc (v − u) ≤ ddc u, Áp dụng liên tục trình (m − 2) lần nhận χ(m−1) ◦ (v + ε − u)(ddc u)m−1 ∧ ddc w1 ∧ T χ ◦ (v + ε − u)T ∧ T ≤ V V m−2 χ(j) (ε)) +( T ∧T V j=0 Tiếp theo, χ ∈ C m+1 (0, ∞) nên lại áp dụng Bổ đề 3.2.2 Bổ đề 3.2.1(b) lần (với lưu ý w1 < V ) để nhận χ(m−1) ◦ (v + ε − u)(ddc u)m−1 ∧ ddc w1 ∧ T V w1 ddc (χ(m−1) ◦ (v + ε − u)) ∧ (ddc u)m−1 ∧ T = V + χ(m−1) (ε) ddc w1 ∧ · · · ∧ ddc wk V w1 χ(m) ◦ (v + ε − u)ddc (v − u) ∧ (ddc u)m−1 ∧ T ≤ V + χ(m−1) (ε) ddc w1 ∧ · · · ∧ ddc wk V Điều dẫn đến w1 χ(m) ◦ (v + ε − u)ddc (v − u) ∧ (ddc u)m−1 ∧ T χ ◦ (v + ε − u)T ∧ T ≤ V V m−1 χ(j) (ε)) +( T ∧T V j=0 Do u, v bị chặn V , cách cho ε ↓ áp dụng định lý hội tụ bị chặn Lebesgue đạt w1 χ(m) ◦ (v − u)ddc (v − u) ∧ (ddc u)m−1 ∧ T χ ◦ (v − u)T ∧ T ≤ V V T ∧T + Pm (χ) V 59 Khi u, v ∈ P SH(V ) w1 < 0, số hạng bên tay phải bị trội sau (−w1 )χ(m) ◦ (v − u)ddc (u − v) ∧ (ddc u)m−1 ∧ T V m−1 ≤ (−w1 )χ (m) (ddc u)j ∧ (ddc v)m−j−1 ∧ ddc (u − v) ∧ T ◦ (v − u) V j=0 (−w1 )χ(m) ◦ (v − u)[(ddc u)m − (ddc v)m ] ∧ T = V Kết hợp bất đẳng thức với nhau, ta có điều phải chứng minh Để bỏ giả thiết trơn χ, dùng Bổ đề 3.2.4 để lấy dãy (l) χj hàm m- tăng trơn cho χj χj hội tụ địa phương χ χ(l) [0, ∞) với ≤ l ≤ m Khi với j , có (m) χj ◦ (v − u)T ∧ T + V V (m) ≤ V (−w1 )χj (−w1 )χj ◦ (v − u)(ddc v)m ∧ T ◦ (v − u)(ddc u)m ∧ T + Pm (χj ) T ∧T V Bằng cách cho j → ∞ dùng định lý hội tụ bị chặn Lebesgue có điều phải chứng minh Cuối cùng, cách cho V ↑ V dùng Định lý hội tụ đơn điệu Lebesgue hai vế bất đẳng thức trên, kết thúc chứng minh bổ đề.✷ Cuối cần bổ đề sau đây, trường hợp tập mở Cn kết Mệnh đề 4.2 [3] Bổ đề 3.3.4 Cho ≤ m ≤ k u, w1 , · · · , wk−m ∈ P SH(V )∩L∞ loc (V ), v ∈ P SH(V ) đặt T := ddc w1 ∧ · · · ∧ ddc wk−m Khi có (ddc max{u, v})m ∧ T = (ddc u)m ∧ T {u > v} Chứng minh Chúng ta sử dụng số ý tưởng chứng minh Định lý 4.1 [15] Cố định a ∈ V , ta cần chứng tỏ tồn hình cầu mở B ⊂ D với tồn a cho (ddc max{u, v})m ∧ T = (ddc u)m ∧ T {u > v} ∩ B 60 Để làm điều này, chọn hình cầu nhỏ B ⊂ D tồn a cho u, w1 , · · · , wk−m hạn chế hàm đa điều hòa B Bằng cách thu hẹp B, tìm dãy hàm đa điều hòa trơn uj , w1,j , · · · , wk−m,j B cho uj ↓ u w1,j ↓ w1 , · · · , wk−m,j ↓ wk−m B ∩ V Tiếp theo đặt Tj := ddc w1,j ∧ · · · ddc wk−m,j Do {uj > v} ∩ V ∩ B mở V , có (ddc max{uj , v})m ∧ Tj = (ddc uj )m ∧ Tj {uj > v} ∩ V ∩ B Do {u > v} ∩ B ⊂ {uj > v} kết luận (ddc max{uj , v})m ∧ Tj = (ddc uj )m ∧ Tj {u > v} ∩ B Đặt u := max{u − v, 0} u bị chặn địa phương tựa liên tục V Khi áp dụng Mệnh đề 2.2(c) để nhận hội tụ yếu sau V ∩ B u (ddc max{uj , v})m ∧ Tj → u (ddc max{u, v})m ∧ T, u (ddc uj )m ∧ Tj → u (ddc u)m ∧ T Điều dẫn đến u µ = V ∩ B, µ := (ddc max{u, v})m ∧ T − (ddc u)m ∧ T Khi dùng định lý Hahn phân tích độ đo cho độ đo µ chu ý u > u > v (xem Bổ đề 4.2 [15]), suy µ = {u > v} ∩ B Chứng minh kết thúc ✷ Chứng minh (Định lý 3.1.3) Đầu tiên, xét trường hợp E = ∅ u, v ∈ P SH(V )∩L∞ (V ) Với ε > 0, đặt vε := max{u, v −ε} Khi vε ∈ P SH(V ) ∩ L∞ (V ) Hơn nữa, giả thiết (b) có vε = u lân cận ∂V Chúng ta đặt T := ddc w1 ∧ · · · ∧ ddc wm , T := ddc wm+1 ∧ · · · ∧ ddc wk 61 Khi dùng Bổ đề 3.3.3 có (−w1 )χ(m) ◦ (vε − u) (ddc u)m − (ddc vε )m ∧ T χ ◦ (vε − u)T ∧ T ≤ V V T ∧T + Pm (χ) V Để đơn giản ký hiệu đặt T1,m := (ddc v)m ∧ T , T2,m := (ddc u)m ∧ T Áp dụng Bổ đề 3.3.4, có (ddc u)m − (ddc vε )m ∧ T = {u > v − ε}, (ddc v)m − (ddc vε )m ∧ T = {u < v − ε} Chúng ta lưu ý vε − u = v − ε − u u ≤ v − ε Từ đẳng thức kết luận (−w1 )χ(m) ◦ (v − ε − u)T1,m χ ◦ (v − ε − u)T ∧ T + {u