Luận văn tính liên tục của hàm cực trị tương đối trên tập giải tích trong cn

13 2 Tính liên tục của hàm cực trị tương đối trên tập giải tích 2.1 Tập giải tích và hàm đa điều hòa trên tập giải tích.. 262.3 Tính liên tục của hàm cực trị tương đối trên tập giải tích

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

——————–o0o——————–

BÙI THỊ HÀ

TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM CỰC TRỊ TƯƠNG ĐỐI TRÊN TẬP GIẢI TÍCH TRONG C n

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

——————–o0o——————–

BÙI THỊ HÀ

TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM CỰC TRỊ TƯƠNG ĐỐI TRÊN TẬP

GIẢI TÍCH TRONG C n

Chuyên ngành: GIẢI TÍCH

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS TĂNG VĂN LONG

HÀ NỘI - 2017

Mục lục

1.1 Hàm điều hòa dưới trong C 51.2 Hàm đa điều hòa dưới trong Cn 71.3 Hàm cực trị tương đối trong Cn 13

2 Tính liên tục của hàm cực trị tương đối trên tập giải tích

2.1 Tập giải tích và hàm đa điều hòa trên tập giải tích 232.2 Độ đo Jensen và phép xấp xỉ của hàm đa điều hòa dưới trên

tập giải tích 262.3 Tính liên tục của hàm cực trị tương đối trên tập giải tích 29

Lời cảm ơn

Trên thực tế không có sự thành công nào mà không gắn liền với sự giúp

đỡ, dù ít hay nhiều, dù trực tiếp hay gián tiếp của người khác Trong suốtthời gian nghiên cứu, tôi đã nhận được sự quan tâm, giúp đỡ tận tình vàchu đáo của TS Tăng Văn Long Thông qua luận văn này, tôi xin đượcbày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới thầy, người đã trực tiếphướng dẫn giúp tôi hoàn thành luận văn một cách tốt nhất

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong bộ môn Lýthuyết hàm, Khoa Toán - Tin, Phòng đào tạo và Trường Đại học Sư phạm

Hà Nội đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, cùng các thầy cô giáo phản biện

đã dành thời gian đọc và đóng góp ý kiến quý báu để tôi hoàn thành bàiluận văn

Được sự giúp đỡ của thầy cô và bạn bè, cùng với những nỗ lực của bảnthân, tôi đã hoàn thành luận văn với đề tài " Tính liên tục của hàmcực trị tương đối trên tập giải tích trong Cn " Do thời gian có hạn,trình độ nghiên cứu của bản thân còn hạn chế nên luận văn không tránhkhỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quýbáu của các thầy cô, các bạn đồng nghiệp và các bạn độc giả gần xa đểluận văn được hoàn thiện hơn Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 28 tháng 09 năm 2017

Bùi Thị Hà

Lời nói đầu

Hàm cực trị tương đối của tập K ⊂ Ω ⊂ Cn được xác định bởi côngthức sau

ωK(z) = ωK,Ω(z) = sup {u (z) : u ∈ P SH (Ω) , u ≤ 0, u|K ≤ −1},

ở đó P SH (Ω) là tập tất cả các hàm đa điều hòa dưới trên Ω

Đây là lớp hàm rất quan trọng trong lí thuyết đa thế vị Nó liên quanđến tính cực đại của hàm đa điều hòa dưới, đến nghiệm của bài toánDirichlet Đặc biệt, nó liên quan tới dung lượng tương đối, từ đó đưa đếnmột tiêu chuẩn để kiểm tra một tập E ⊂ Ω là đa cực

Vì tầm quan trọng của lớp hàm này, nhiều nhà toán học đã nghiên cứunhững tính chất, đặc trưng của nó Tuy nhiên, khi chuyển việc nghiên cứubài toán Dirichlet cổ điển sang trường hợp tập giải tích, một số tính chất

và kĩ thuật đối với hàm cực trị tương đối không được bảo toàn, chẳng hạnnhư tính nửa liên tục trên của hàm chính quy hóa u∗ (xem Ví dụ 2.1.10).Luận văn được thực hiện dựa trên kết quả nghiên cứu của F Wikstro mvới mục đích chính là để chỉ ra rằng hàm ωK liên tục khi K là tập conđóng, chính quy của một giải tích V

Ngoài phần mục lục, lời nói đầu, luận văn được chia làm hai chươngnhư sau:

Chương 1 : Một số kiến thức chuẩn bị Chương này đưa ra khái niệm

và tính chất của các hàm điều hòa dưới, hàm đa điều hòa dưới, hàm cựctrị tương đối trong Cn, chủ yếu được tham khảo trong [1],[6]

Chương 2 : Tính liên tục của hàm cực trị tương đối trên tập giảitích trong Cn Đây là nội dung chính của luận văn, ở đó trình bày chitiết các kết quả quan trọng trong [7] Trong chương này, Mục 2.1 đưa rakhái niệm tập giải tích và hàm đa điều hòa dưới trên tập giải tích Tiếp

đó, Mục 2.2 đề cập đến độ đo Jensen và kết quả quan trọng trong phần

này là Định lí 2.2.3 về xấp xỉ của hàm đa điều hòa dưới trên tập giải tích.Cuối cùng, Mục 2.3 trình bày kết quả chính của luận văn, đó là tính liêntục của hàm cực trị tương đối ωK trên tập giải tích trong Cn ( Định lí2.3.2).

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Hàm điều hòa dưới trong C

Định nghĩa 1.1.1 Giả sửX là không gian tôpô Hàmu : X → [−∞; +∞)

gọi là nửa liên tục trên tại x0 ∈ X nếu với mọi ε > 0, tồn lại lân cận Ux0

của x0 trong X sao cho với mọi x ∈ Ux0, ta có

Định nghĩa 1.1.2 Giả sửΩ là tập mở trong C Hàmu : Ω → [−∞; +∞)

gọi là điều hòa dưới trên Ω nếu nó nửa liên tục trên trên Ω và thỏa mãnbất đẳng thức dưới trung bình trên Ω, nghĩa là với mọi ω ∈ Ω tồn tại

ρ > 0 sao cho với mọi 0 ≤ r < ρ, ta có

Từ định nghĩa ta thấy mọi hàm điều hòa là hàm điều hòa dưới Tập tất

cả các hàm diều hòa dưới trên Ω được kí hiệu là SH (Ω)

Ví dụ 1.1.3 Giả sử f : Ω → C là hàm chỉnh hình trên Ω Khi đó log |f |

là hàm điều hòa dưới trên Ω

Mệnh đề sau được suy ra trực tiếp từ Định nghĩa 1.1.2, đó là kết quảquan trọng được sử dụng trong quá trình làm việc với các hàm điều hòadưới

Mệnh đề 1.1.4 Giả sử u, v là các hàm điều hòa dưới trên tập mở Ω trong

C Khi đó:

(i) max (u, v) là hàm điều hòa dưới trên Ω

(ii) Tập các hàm điều hòa dưới trên Ω là một nón, có nghĩa là nếu

u, v ∈ SH (Ω) và α, β > 0 thì αu + βv cũng thuộc SH (Ω)

Dưới đây là một số tính chất quan trọng khác của hàm điều hòa dưới.Định lí 1.1.5 (Nguyên lí cực đại) Giả sử u là hàm điều hòa dưới trênmiền bị chặn Ω trên C Khi đó:

(i) Nếu u đạt cực đại toàn thể tại một điểm trên Ω thì u là hằng số trên

Định lí 1.1.7 (Định lí dán) Giả sử u là hàm điều hòa dưới trên tập mở

Ω1 và v là hàm điều hòa dưới trên tập mở Ω2 ⊂ Ω1 Giả sử rằng đối vớimọi ς ∈ Ω1 ∩ ∂Ω2 ta có

lim sup

z→ς

v (z) ≤ u (ς).Khi đó hàm ue xác định trên Ω1:

Định lí 1.1.8 Giả sử {un} là dãy giảm các hàm điều hòa dưới trên tập

mở Ω trên C và u = lim

n→∞un Khi đó u là điều hòa dưới trên Ω.Định lí 1.1.9 (Định lí xấp xỉ) Giả sử u là hàm điều hòa dưới trên tập

mở Ω ⊂ C với u không đồng nhất bằng −∞ Giả sử χ : C2 → C là hàm

được cho bởi:

, với z ∈ C.

Khi đó u ∗ χr là hàm điều hòa dưới trơn trên Ωr và u ∗ χr & u trên Ω khi

r & 0

1.2 Hàm đa điều hòa dưới trong Cn

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử rằng Ω là một tập con mở trong Cn và hàm

u : Ω → [−∞; +∞) là nửa liên tục trên, không đồng nhất bằng −∞ trênmọi thành phần liên thông củaΩ Hàmu gọi là đa điều hòa dưới trênΩ(kíhiệu là u ∈ PSH(Ω)) nếu với mọi a ∈ Ωvà b ∈ Cn, hàm λ 7→ u(a + λb) làđiều hòa dưới hoặc đồng nhất bằng −∞ trên mọi thành phần liên thôngcủa tập {λ ∈ C : a + λb ∈ Ω}

Các tính chất sau của hàm đa điều hòa dưới tương tự như hàm điềuhòa dưới

Định lí 1.2.2 Giả sử u : Ω → [−∞; +∞) là hàm nửa liên tục trên,không đồng nhất bằng −∞ trên mọi thành phần liên thông của Ω ⊂ Cn.Khi đó u ∈ PSH(Ω) khi và chỉ khi với mọi a ∈ Ω, b ∈ Cn sao cho

Chứng minh Điều kiện cần là hiển nhiên, được suy ra trực tiếp từĐịnh nghĩa 1.2.1.

Sau đây ta chứng minh điều kiện đủ Lấy a ∈ Ω, b ∈ Cn và xét

U = {λ ∈ C : a + λb ∈ Ω}.Khi đó, U là tập mở trên C Ta cần chứng minh v (λ) = u (a + λb) , λ ∈ U

là hàm điều hòa dưới trên U Thật vậy, lấy λ0 ∈ U thì a + λ0b ∈ Ω Do

đó tồn tại ρ > 0 sao cho nếu |λ| < ρ thì a + λ0b + λb ∈ Ω Với 0 ≤ r < ρ

ta có {a + λ0b + λrb : |λ| ≤ 1} ⊂ Ω Kết hợp với giả thiết ta có

v λ0 + reiθ
dθ Vậy ta có điều phải chứng minh

Bổ đề 1.2.3 Giải sử Ω ⊂ Cn là tập mở và u ∈ L1loc(Ω) Khi đó với mọi

z ∈ Ω, b ∈ Cn sao cho {z + λb : λ ∈ C, |λ| ≤ 1} ⊂ Ω ta có

(l (u, , b) ∗ χε) (z) = l (u ∗ χε, z, b).Chứng minh Áp dụng định lí Fubini ta có

(l (u, , b) ∗ χε) (z) = R

Cn



12π

Vậy bổ đề được chứng minh

Sử dụng bổ đề trên ta chứng minh được Định lí xấp xỉ chính cho cáchàm đa điều hòa dưới tương tự như các hàm điều hòa dưới

Định lí 1.2.4 (Định lí xấp xỉ.) Giả sử Ω ⊂ Cn là tập mở và hàm

u ∈ P SH (Ω) Nếu ε > 0 sao cho Ωε := {z ∈ Ω : d (z, ∂Ω) > ε} 6= ∅ thì

u ∗ χε ∈ C∞∩ P SH (Ωε) Khi đó họ {u ∗ χε : ε > 0} là đơn điệu giảm khi

ε ↓ 0 và với mọi z ∈ Ω thì

ε→0u ∗ χε(z) = u (z).Chứng minh Từ cách xác định tích chập, ta thấy u ∗ χε ∈ C∞(Ωε)

Nếu với a ∈ Ωε, b ∈ Cn mà {a + λb : λ ∈ C, |λ| ≤ 1} ⊂ Ωε thì với ω ∈ Cn,

Ωε1 ⊂ Ωε2 và u ∗ χε1, u ∗ χε2 ∈ C∞(Ωε1) Bằng phương pháp quy nạp theo

n, ta chứng minh với z ∈ Ωε1 thì

u ∗ χε1(z) ≥ u ∗ χε2(z).Với n = 1 thì kết quả trên được chứng minh ở Định lí 1.1.9 (xem trong[1]) Khi đó,với z ∈ Ωε1 ⊂C và ω ∈ C ta có

Để thuận tiện cho việc theo dõi chúng ta chứng minh đẳng thức trên với

n − 2, (trường hợp với n tùy ý được chứng minh bằng quy nạp) Thật vậy,nếu (z1, z2) ∈ Ωε1, (ω1, ω2) ∈ C2 thì

u ∗ χε1(z1, z2) = R

C

R

Cuối cùng, ta chứng minh lim

ε→0u ∗ χε(z) = u (z) , với mọi z ∈ Ω Giả

sử z ∈ Ω Do u nửa liên tục trên tại z nên với η > 0 ta có ε1 > 0 sao cho

Từ đó ta có điều phải chứng minh

Định lí sau đây chỉ ra một đặc trưng của tính đa điều hòa dưới đốivới các hàm u ∈ C2 trên tập mở Ω ⊂ Cn Đặc trưng này được suy ra từđịnh nghĩa hàm đa điều hòa dưới cùng Định lí 1.1.6 và đẳng thức: với mọi

z ∈ Ω, ω ∈ Cn và ξ ∈ C ta có

1

4∆ξu (z + ξω)

u ∈ PSH(Ω) khi và chỉ khi Hessian Hu(z) =



∂2u

∂zj∂ ¯zk

của u tại z xácđịnh dương, nghĩa là với mọi w = (w1; w2; ; wn) ∈ Cn ta có

Định lí 1.2.6 Giả sử Ω là tập mở trong Cn Khi đó

(i) Nếu u, v ∈ PSH(Ω) thì max {u, v} ∈ PSH(Ω) và nếu α, β > 0 thì

αu + βv ∈ PSH(Ω), nghĩa là PSH(Ω) là nón lồi

(ii) Nếu {uj}j>1 ⊂ PSH(Ω) là dãy giảm thì u = lim uj hoặc là hàm đađiều hòa dưới trên Ω hoặc u đồng nhất bằng −∞

(iii) Nếu dãy {uj} ⊂ PSH(Ω) là dãy hội tụ đều trên mọi tập compact của

Ω tới hàm u : Ω → R thì u ∈ PSH(Ω)

(iv) Nếu {uα}α∈I ⊂ PSH(Ω) sao cho u = sup {uα : α ∈ I} là bị chặntrên địa phương thì chính quy hóa nửa liên tục trên u∗ ∈ PSH(Ω)

Chứng minh Các khẳng định (i), (ii), (iii) suy ra trực tiếp từ Địnhnghĩa 1.2.1 và Định lí hội tụ đơn điệu hay Định lí qua giới hạn dưới dấutích phân trong trường hợp dãy hội tụ đều.

Để chứng minh (iv), ta chỉ cần chứng tỏ với a ∈ Ω, b ∈ Cn thỏa mãn

{a + λb : λ ∈ C, |λ| ≤ 1} ⊂ Ω

nên với n đủ lớn thì

{zn+λb : λ ∈ C, |λ| ≤ 1} ⊂ Ω.Khi đó

x→ysup v(x)6 v(y) Khi đó

w =

(

max {u, v} trong ω

u trong Ω\ω

là hàm đa điều hòa dưới trên Ω.

Chứng minh Hiển nhiên ω là nửa liên tục trên trên Ω Chỉ cần chứng

tỏ rằng với a ∈ Ω, b ∈ Cn sao cho {a + λb : |λ| ≤ r} ⊂ Ω thì

{a + λb : |λ| ≤ r} ⊂ ω.Khi đó

Mệnh đề 1.2.8 (Nguyên lý cực đại) Giả sử D là một miền trong Cn

và u ∈ PSH(D), u không đồng nhất là hằng số Khi đó u không đạt cựcđại toàn thể trên D Hơn nữa nếu D là bị chặn thì với mọi z ∈ D ta có

Chứng minh Lấy z0 ∈ D sao cho u (z0) = max {u (z) : z ∈ D} Đặt

D0 = u−1(u (z0)) Khi đóD0 là tập con khác rỗng của D Nếua ∈ D0∩D

Do đó a ∈ D0 và D0 đóng trong D Hơn nữa, nếu a ∈ D0, với mọi b ∈ Cn,chọn r > 0 sao cho {a + λb : |λ| ≤ r} ⊂ D thì

Định lí 1.2.9 (Khử kỳ dị) Giả sử D ⊂ Ω là một miền và F ⊂ D

là tập đóng sao cho với mỗi a ∈ F tồn tại một lân cận mở, liên thông

Ua ⊂ D và hàm va ∈ PSH(Ua) mà va không đồng nhất bằng −∞ và ta

có F ∩ Ua = {z ∈ Ua : va(z) = −∞} Giả sử u ∈ PSH(D\F ) là hàm bịchặn trên địa phương trên D Khi đó hàm

là hàm đa điều hòa dưới trên D

Chứng minh Do tính đa điều điều hòa dưới là tính địa phương nên

có thể coi F = {x ∈ D : v (x) = −∞} với v ∈ P SH (D) và v < 0 Với

1.3 Hàm cực trị tương đối trong Cn

Định nghĩa 1.3.1 Giả sử Ω ⊂Cn là tập mở và E ⊂ Ω Với z ∈ Ω, hàm

uE,Ω xác định bởi công thức

uE,Ω(z) = sup {v (z) : v ∈ P SH (Ω)} , v ≤ −1 trên E, v ≤ 0 trên Ω}

gọi là hàm cực trị tương đối của E đối với Ω

sao cho M ρ < −1 trên E Khi đó M ρ < uE,Ω trên Ω, từ đó ta có điềuphải chứng minh.

Định lí 1.3.5 (Định lí hai hằng số) Giả sử Ω ⊂ Cn là tập mở và

E ⊂ Ω Giả sử M, m là các số thực, M > m và u ∈ P SH (Ω) sao cho

u ≤ M trên Ω và u ≤ m trên E Khi đó

u ≤ M 1 + u∗E,Ω− mu∗E,Ω

Chứng minh Do hàm v (z) = u (z) − M

M − m thuộc lớp hàm đa điều hòa

dưới tham gia vào định nghĩa uE,Ω nên

j→∞uK,Ωj (z) = uK,Ω(z)

Chứng minh Giả sử zo ∈ Ω, K ∪ {z0} ⊂ Ω1 và ρ < 0là hàm vét cạn đốivới Ω sao cho ρ < −1 trên K Lấy ε ∈ (0; 1) sao cho ρ (z0) < −ε Khi đótồn tại j0 ≥ 1 sao cho ω = ρ−1((−∞; −ε)) b Ωj0 Giả sử u ∈ P SH (Ωj0)

sao cho u ≤ 0 trên Ωj0 và u ≤ −1 trên K Khi đó hàm

uK1,Ω(z) ≤ uK2,Ω(z) ≤ ≤ uK,Ω(z) , z ∈ Ω

Do đó tồn tại lim

j→∞uKj,Ω(z) ≤ uK,Ω(z) Giả sử z ∈ Ω Do K là compactnên với v ∈ P SH (Ω), v ≤ −1 trên K và v ≤ 0 trên Ω ta có

uK,Ω(z) = sup {v (z) : v ∈ P SH (Ω) }

là hoàn toàn xác định và tập

V = {z ∈ Ω : v (z) < −1}

là lân cận mở của K Do đó tồn tại j0 sao cho Kj ⊂ V với mọi j ≥ j0

Suy ra v (z) ≤ uKj,Ω, với mọi z ∈ Ω, j ≥ j0 Do đó v (z) ≤ lim

j→∞uKj,Ω(z)

Suy ra uK,Ω(z) ≤ lim

j→∞uKj,Ω(z) Vì vậy

j→∞uKj,Ω(z) = uK,Ω(z)

Với ∩

ε>0Kε = K, từ mệnh đề trên ta có được hệ quả sau đây

Hệ quả 1.3.8 Nếu Ω ⊂ Cn là siêu lồi và K ⊂ Ω là tập compact thì

lim

ε→0uKε,Ω(z) = uK,Ω(z) , z ∈ Ω

Đặc biệt, uK,Ω là nửa liên tục dưới trên Ω

Sau đây ta đưa ra công thức tính hàm uK,Ω trong trường hợp K và



thì u (z) < 0 trên B(a, R) và u (z) = −1 trên B(a, r) Suy ra

u (z) ≤ u

B(a,r),B(a,R)(z) , z ∈ B(a, R).Giả sử v ∈ P SH (B(a, R)) , v ≤ 0, v ≤ −1 trên B(a, r) và b ∈ ∂B(0, 1)

u (z) ≥ u

B(a,r),B(a,R)(z), z ∈ B(a, R).Vậy đẳng thức được chứng minh

Hệ quả 1.3.10 Giả sử Ω ⊂Cn là miền siêu lồi và K ⊂ Ω là tập compact

và là hợp của một họ các hình cầu đóng Khi đó uK,Ω = u∗K,Ω là hàm liêntục Đặc biệt, nếu K ⊂ Ω là tập compact và 0 < ε < dist (K, ∂Ω) thì

uKε,Ω là hàm liên tục, ở đó

Kε = {z ∈ Cn : d (z, K) ≤ ε}.Chứng minh Trước tiên ta chứng minh uK,Ω = u∗K,Ω Thật vậy, giả sử

u∗B(a

α ,rα),B(aα,R) ≥ u∗B(a

α ,rα),Ω trên Ω.Tuy nhiên, nếu z ∈ B (aα, rα) thì u∗B(a

α ,r α ),B(a α ,R)(z) = −1 Do đó ta có

u∗K,Ω(z) ≤ −1 Suy ra u∗K,Ω(z) = −1 Vậy uK,Ω = u∗K,Ω trên Ω và hàm

uK,Ω(z) nửa liên tục trên trên Ω

Tiếp theo, ta chứng minh uK,Ω(z) là nửa liên tục dưới Giả sử rằng

F ⊂ P SH (Ω) là họ hàm xác định của uK,Ω và ρ là hàm đa điều hòa dướivét cạn của Ω với ρ < −1 trên K Vậy ρ ≤ uK,Ω Để chứng minh uK,Ω nửaliên tục dưới chỉ cần chứng minh với ε ∈ (0, 1) nên tồn tại v ∈ C (Ω) ∩ F

sao cho

uK,Ω− ε ≤ v ≤ uK,Ω trên Ω.Lấy ε ∈ (0, 1) Khi đó tồn tại η > 0 sao cho uK,Ω − ε < ρ trên Ω\Ωn và

K ⊂ Ωn, ở đó

Ωn = {z ∈ Ω : dist (z, ∂Ω) > η}

Áp dụng Định lí xấp xỉ 1.2.4 và Định lí Dini ta có tồn tại δ > 0 sao cho



ddcu∗E,Ω

n

= 0, trên Ω\E.Chứng minh Để chứng minh mệnh đề trên, ta chỉ cần chỉ ra rằng vớimọi hình cầu B ⊂ Ω\E thì



ddcu∗E,Ω

n

(B) = 0

Do Bổ đề Choquet, tồn tại dãy {uj} ∈ P SH (Ω) , uj ≤ 0, uj ≤ −1 trên K

sao cho u∗E,Ω = supjuj
∗ Thay uj bởi max {u1, , uj} và coi {uj} là dãytăng,{uj} hội tụ hầu khắp nơi tớiu∗E,Ω Với mỗij, tồn tại ubj ∈ P SH (Ω),b

uj = uj trên Ω\B và ubj cực đại trên B,ubj ≥ uj Như vậy, ubj ≤ 0 trên Ω,b

uj ≤ −1 trên E và do đó

u∗E,Ω ≥ ubj ≥ uj trên Ω.Như vậy {ubj} hội tụ hầu khắp nơi tới u∗E,Ω và ubj là dãy tăng Vì vậy

(ddcubj)n →ddcu∗E,Ω

n

Do đóR

= 0 Vậy mệnh đề được chứng minh

Hệ quả 1.3.12 Với giả thiết như ở Mệnh đề 1.3.11, hàm uE,Ω là hàm đađiều hòa dưới cực đại trên Ω\E

Dưới đây là các kết quả liên quan tới dung lượng Cn(E, Ω) và hàm cựctrị tương đối.

Giả sử C là hàm tập hợp được xác định trên các tập Borel của tập mở

Ω ⊂ Cn Khi đó nếu E ⊂ Ω, ta định nghĩa hai hàm tập hợp

C∗(E, Ω) = inf

E⊂GC (G) , C∗(E, Ω) = sup

K⊂E

C (K)

với G mở và K compact Khi đó ta có kết quả sau

Định lí 1.3.13 Nếu E là tập compact tương đối của miền siêu lồi bị chặn

đó, do ρ < −1 trên K nên ta có thể coi uj ≥ ρ trên Ω với mọi j Khi đó

... Cn(E, Ω) hàm cựctrị tương đối.

Giả sử C hàm tập hợp xác định tập Borel tập mở

Ω ⊂ Cn Khi E ⊂ Ω, ta định nghĩa hai hàm tập hợp

C∗(E,... u∗K,Ω Ω hàm

uK,Ω(z) nửa liên tục trên Ω

Tiếp theo, ta chứng minh uK,Ω(z) nửa liên tục Giả sử

F ⊂ P SH (Ω) họ hàm xác định uK,Ω ρ hàm đa... SH (D) v < Với

1.3 Hàm cực trị tương đối Cn

Định nghĩa 1.3.1 Giả sử Ω ⊂Cn tập mở E ⊂ Ω Với z ∈ Ω, hàm

uE,Ω xác định