Luận văn tính liên tục của hàm cực trị tương đối trên tập giải tích trong cn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————–o0o——————– BÙI THỊ HÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM CỰC TRỊ TƯƠNG ĐỐI TRÊN TẬP GIẢI TÍCH TRONG Cn LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————–o0o——————– BÙI THỊ HÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM CỰC TRỊ TƯƠNG ĐỐI TRÊN TẬP GIẢI TÍCH TRONG Cn Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS TĂNG VĂN LONG HÀ NỘI - 2017 Mục lục Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm điều hòa C 1.2 Hàm đa điều hòa Cn 1.3 Hàm cực trị tương đối Cn 13 Tính liên tục hàm cực trị tương đối tập giải tích Cn 2.1 Tập giải tích hàm đa điều hòa tập giải tích 2.2 Độ đo Jensen phép xấp xỉ hàm đa điều hòa tập giải tích 2.3 Tính liên tục hàm cực trị tương đối tập giải tích 23 23 26 29 Tài liệu tham khảo 33 Tài liệu tham khảo 33 Lời cảm ơn Trên thực tế thành công mà không gắn liền với giúp đỡ, dù hay nhiều, dù trực tiếp hay gián tiếp người khác Trong suốt thời gian nghiên cứu, nhận quan tâm, giúp đỡ tận tình chu đáo TS Tăng Văn Long Thông qua luận văn này, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy, người trực tiếp hướng dẫn giúp hoàn thành luận văn cách tốt Tôi xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo môn Lý thuyết hàm, Khoa Toán - Tin, Phòng đào tạo Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi, thầy cô giáo phản biện dành thời gian đọc đóng góp ý kiến quý báu để hoàn thành luận văn Được giúp đỡ thầy cô bạn bè, với nỗ lực thân, hoàn thành luận văn với đề tài " Tính liên tục hàm cực trị tương đối tập giải tích Cn " Do thời gian có hạn, trình độ nghiên cứu thân hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận ý kiến đóng góp quý báu thầy cô, bạn đồng nghiệp bạn độc giả gần xa để luận văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 28 tháng 09 năm 2017 Bùi Thị Hà Lời nói đầu Hàm cực trị tương đối tập K ⊂ Ω ⊂ Cn xác định công thức sau ωK (z) = ωK,Ω (z) = sup {u (z) : u ∈ P SH (Ω) , u ≤ 0, u|K ≤ −1}, P SH (Ω) tập tất hàm đa điều hòa Ω Đây lớp hàm quan trọng lí thuyết đa vị Nó liên quan đến tính cực đại hàm đa điều hòa dưới, đến nghiệm toán Dirichlet Đặc biệt, liên quan tới dung lượng tương đối, từ đưa đến tiêu chuẩn để kiểm tra tập E ⊂ Ω đa cực Vì tầm quan trọng lớp hàm này, nhiều nhà toán học nghiên cứu tính chất, đặc trưng Tuy nhiên, chuyển việc nghiên cứu toán Dirichlet cổ điển sang trường hợp tập giải tích, số tính chất kĩ thuật hàm cực trị tương đối không bảo toàn, chẳng hạn tính nửa liên tục hàm quy hóa u∗ (xem Ví dụ 2.1.10) Luận văn thực dựa kết nghiên cứu F Wikstrom với mục đích để hàm ωK liên tục K tập đóng, quy giải tích V Ngoài phần mục lục, lời nói đầu, luận văn chia làm hai chương sau: Chương : Một số kiến thức chuẩn bị Chương đưa khái niệm tính chất hàm điều hòa dưới, hàm đa điều hòa dưới, hàm cực trị tương đối Cn , chủ yếu tham khảo [1],[6] Chương : Tính liên tục hàm cực trị tương đối tập giải tích Cn Đây nội dung luận văn, trình bày chi tiết kết quan trọng [7] Trong chương này, Mục 2.1 đưa khái niệm tập giải tích hàm đa điều hòa tập giải tích Tiếp đó, Mục 2.2 đề cập đến độ đo Jensen kết quan trọng phần Định lí 2.2.3 xấp xỉ hàm đa điều hòa tập giải tích Cuối cùng, Mục 2.3 trình bày kết luận văn, tính liên tục hàm cực trị tương đối ωK tập giải tích Cn ( Định lí 2.3.2) Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm điều hòa C Định nghĩa 1.1.1 Giả sử X không gian tôpô Hàm u : X → [−∞; +∞) gọi nửa liên tục x0 ∈ X với ε > 0, tồn lại lân cận Ux0 x0 X cho với x ∈ Ux0 , ta có u (x0 ) = −∞ u (x) < u (x0 ) + ε, u (x) < − , u (x0 ) = −∞ ε Hàm u gọi nửa liên tục trên X u nửa liên tục x0 ∈ X Một cách tương đương, hàm u gọi nửa liên tục trên X với a ∈ R, tập Xα = {x ∈ X : u (x) < α} mở X Định nghĩa 1.1.2 Giả sử Ω tập mở C Hàm u : Ω → [−∞; +∞) gọi điều hòa Ω nửa liên tục trên Ω thỏa mãn bất đẳng thức trung bình Ω, nghĩa với ω ∈ Ω tồn ρ > cho với ≤ r < ρ, ta có u (ω) ≤ 2π 2π u ω + reit dt Từ định nghĩa ta thấy hàm điều hòa hàm điều hòa Tập tất hàm diều hòa Ω kí hiệu SH (Ω) Ví dụ 1.1.3 Giả sử f : Ω → C hàm chỉnh hình Ω Khi log |f | hàm điều hòa Ω Mệnh đề sau suy trực tiếp từ Định nghĩa 1.1.2, kết quan trọng sử dụng trình làm việc với hàm điều hòa Mệnh đề 1.1.4 Giả sử u, v hàm điều hòa tập mở Ω C Khi đó: (i) max (u, v) hàm điều hòa Ω (ii) Tập hàm điều hòa Ω nón, có nghĩa u, v ∈ SH (Ω) α, β > αu + βv thuộc SH (Ω) Dưới số tính chất quan trọng khác hàm điều hòa Định lí 1.1.5 (Nguyên lí cực đại) Giả sử u hàm điều hòa miền bị chặn Ω C Khi đó: (i) Nếu u đạt cực đại toàn thể điểm Ω u số Ω (ii)Nếu lim sup u (z) ≤ ς ∈ ∂Ω u ≤ Ω z→ς ∂ 2u ∂ 2u + Laplace u Định lí 1.1.6 Giả sử u ∈ C (Ω) ∆u = ∂x2 ∂y Khi u điều hòa Ω ∆u ≥ Ω Định lí 1.1.7 (Định lí dán) Giả sử u hàm điều hòa tập mở Ω1 v hàm điều hòa tập mở Ω2 ⊂ Ω1 Giả sử ς ∈ Ω1 ∩ ∂Ω2 ta có lim sup v (z) ≤ u (ς) z→ς Khi hàm u xác định Ω1 : u= max (u, v) u điều hòa Ω1 Ω2 Ω1 \Ω2 Định lí 1.1.8 Giả sử {un } dãy giảm hàm điều hòa tập mở Ω C u = lim un Khi u điều hòa Ω n→∞ Định lí 1.1.9 (Định lí xấp xỉ) Giả sử u hàm điều hòa tập mở Ω ⊂ C với u không đồng −∞ Giả sử χ : C2 → C hàm cho bởi:    − χ (z) = ke − z z <   z ≥ Với r > đặt χr (z) = z χ , với z ∈ C r r Khi u ∗ χr hàm điều hòa trơn Ωr u ∗ χr r 1.2 u Ω Hàm đa điều hòa Cn Định nghĩa 1.2.1 Giả sử Ω tập mở Cn hàm u : Ω → [−∞; +∞) nửa liên tục trên, không đồng −∞ thành phần liên thông Ω Hàm u gọi đa điều hòa Ω (kí hiệu u ∈ PSH(Ω)) với a ∈ Ω b ∈ Cn , hàm λ → u(a + λb) điều hòa đồng −∞ thành phần liên thông tập {λ ∈ C : a + λb ∈ Ω} Các tính chất sau hàm đa điều hòa tương tự hàm điều hòa Định lí 1.2.2 Giả sử u : Ω → [−∞; +∞) hàm nửa liên tục trên, không đồng −∞ thành phần liên thông Ω ⊂ Cn Khi u ∈ PSH(Ω) với a ∈ Ω, b ∈ Cn cho {a + λb : λ ∈ C, |λ| 1} ⊂ Ω, ta có u(a) 2π 2π u a + reiθ b dθ := l(u, a, b) Chứng minh Điều kiện cần hiển nhiên, suy trực tiếp từ Định nghĩa 1.2.1 Sau ta chứng minh điều kiện đủ Lấy a ∈ Ω, b ∈ Cn xét U = {λ ∈ C : a + λb ∈ Ω} Khi đó, U tập mở C Ta cần chứng minh v (λ) = u (a + λb) , λ ∈ U hàm điều hòa U Thật vậy, lấy λ0 ∈ U a + λ0 b ∈ Ω Do tồn ρ > cho |λ| < ρ a + λ0 b + λb ∈ Ω Với ≤ r < ρ ta có {a + λ0 b + λrb : |λ| ≤ 1} ⊂ Ω Kết hợp với giả thiết ta có u (a + λ0 b) ≤ Do v (λ0 ) ≤ 2π 2π 2π u a + λ0 b + rbeiθ dθ 2π v λ0 + reiθ dθ Vậy ta có điều phải chứng minh Bổ đề 1.2.3 Giải sử Ω ⊂ Cn tập mở u ∈ L1loc (Ω) Khi với z ∈ Ω, b ∈ Cn cho {z + λb : λ ∈ C, |λ| ≤ 1} ⊂ Ω ta có (l (u, , b) ∗ χε ) (z) = l (u ∗ χε , z, b) Chứng minh Áp dụng định lí Fubini ta có (l (u, , b) ∗ χε ) (z) = Cn 2π 2π 2π u z + eiθ b − ω dθ χε (ω) dλ (ω) u z + eiθ b − ω χε (ω) dλ (ω) dθ = Cn 2π (u ∗ χε ) z + eiθ b dθ 2π = l (u ∗ χε , z, b) = Vậy bổ đề chứng minh Sử dụng bổ đề ta chứng minh Định lí xấp xỉ cho hàm đa điều hòa tương tự hàm điều hòa Định lí 1.2.4 (Định lí xấp xỉ.) Giả sử Ω ⊂ Cn tập mở hàm u ∈ P SH (Ω) Nếu ε > cho Ωε := {z ∈ Ω : d (z, ∂Ω) > ε} = ∅ u ∗ χε ∈ C ∞ ∩ P SH (Ωε ) Khi họ {u ∗ χε : ε > 0} đơn điệu giảm ε ↓ với z ∈ Ω Dưới kết liên quan tới dung lượng Cn (E, Ω) hàm cực trị tương đối Giả sử C hàm tập hợp xác định tập Borel tập mở Ω ⊂ Cn Khi E ⊂ Ω, ta định nghĩa hai hàm tập hợp C∗ (E, Ω) = inf C (G) , C ∗ (E, Ω) = sup C (K) E⊂G K⊂E với G mở K compact Khi ta có kết sau Định lí 1.3.13 Nếu E tập compact tương đối miền siêu lồi bị chặn Ω ⊂ Cn C ∗ (E, Ω) = ddc u∗E,Ω n Ω Nếu K tập compact Ω Cn (K, Ω) = C ∗ (K, Ω) Chứng minh Bước Ta chứng minh K ⊂ Ω tập compact ddc u∗K,Ω Cn (K, Ω) = n Ω Do −1 ≤ u∗K,Ω ≤ Ω nên từ định nghĩa Cn (K, Ω) Mệnh đề 1.3.11 ta có ddc u∗K,Ω Cn (K, Ω) ≥ n K Ngược lại, giả sử ρ hàm vét cạn Ω cho ρ < −1 K , < ε < v ∈ P SH (Ω, (0, − ε)) Theo Hệ 1.3.8 ta tìm dãy tăng {uj }j≥1 ⊂ C (Ω) ∩ P SH (Ω, [−1; 0)) hội tụ tới uK,Ω Khi đó, ρ < −1 K nên ta coi uj ≥ ρ Ω với j Khi K ⊂ {uj < v − 1} ⊂ {ρ < v − 1} ⊂ {ρ < −ε} Ω Theo Nguyên lí so sánh (ddc v)n ≤ K (ddc v)n ≤ {uj u ∈ P SH (V ) Do đó, cần xét hàm P SH xác định ωK , nghĩa ωK (z) = sup u (z) : u ∈ P SH (V ) , u ≤ 0, u|K ≤ −1 Như hệ điều trên, từ Định lí Edwards Hệ 2.2.4 suy ωK (z) = inf −χK dµ : µ ∈ Jz0 = inf −χK dµ : µ ∈ Jc,z c (z) , = sup u (z) : u ∈ P SHc0 (V ) , u ≤ 0, u|K ≤ −1 =: ωK c hàm nửa liên tục dưới, supremum với z ∈ V Hiển nhiên, ωK ∗ họ hàm liên tục ta giả thiết K quy, nên ωK = ωK hàm đa điều hòa dưới, nói riêng, hàm nửa liên tục Virr Do ωK ∈ P SH (Virr ) ∩ C V \Vred ∩ Ω Vậy định lí chứng minh Bây ta xét hàm cực trị tương đối ωK ứng với lớp hàm hầu đa điều hòa Cụ thể ta có định nghĩa sau Định nghĩa 2.3.3 Giả sử V tập giải tích Ω ⊂ Cn K tập đóng V Khi đó, ta có ωK (z) = ωK,V,Ω (z) = sup u (z) : u ∈ P SH (V ) , u ≤ 0, u|K ≤ −1 Nếu ωK liên tục K ta nói K P SH− quy Vì P SH (V ) ⊂ P SH (V ), nên hiển nhiên ωK ≤ ωK Chúng ta có kết sau cho ωK Định lí 2.3.4 Giả sử V tập giải tích Ω ⊂ Cn giả sử K tập đóng V giả sử có hàm âm φ ∈ P SH (V ), với φ−1 (−∞) = Vsng Nếu Ω siêu lồi K P SH− quy ωK = ωK Virr , đặc biệt ωK ∈ C V \Vred ∩ Ω 30 Chứng minh Đầu tiên lưu ý u ∈ P SH (V ), u + εφ ∈ P SH (V ), với ε > Theo ωK ≤ ωK + εφ với ε > Cho ε → 0, ta suy ∗ ∗ ωK = ωK Vreg Bởi theo Định lý 2.3.2, ωK = ωK = ωK Virr 31 Kết luận Luận văn tập trung nghiên cứu tính liên tục hàm cực trị tương đối tập giải tích Cn , công cụ hỗ trợ đắc lực để nghiên cứu số ước lượng lớn Chương luận văn nhắc lại khái niệm số tính chất hàm điều hòa dưới, đa điều hòa hàm cực trị tương đối Cn Chương luận văn đưa khái niệm tập giải tích Từ trình bày định nghĩa, tính chất hàm đa điều hòa tập giải tích trước vào khái niệm tính chất hàm cực trị tương đối tập giải tích 32 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Nguyễn Quang Diệu, Lê Mậu Hải,Cơ sở lý thuyết đa vị, NXB Đại học Sư phạm Hà Nội (2014) [B] Tài liệu Tiếng Anh [2] E.M Chirka, Complex Analytic Sets, Kluwer, Dordecht (1989); Russian original: Nauka, Moscow (1985) [3] J-P Demailly, Mesures de Monge- Ampère et caractérisation géométrique des varié- tés algébriques affines, Mém Soc Math France (N.S) 19(1985) [4] D A Edwards, Choquet boundary theory for certain spaces of lower semicontinuous functions,in: Function Algebras (Tulane Univ., 1965), Scott - Foresman, Chicago (1966), 300 - 309 [5] J.E Fornæss and Narasimhan, The Levi problem on complex spaces with singularities, Math Ann 248 (1980), 47 - 72 [6] M Klimek, Pluripotential theory , The Clarendon Press Oxford University Press, NewYord (1991), Oxford Science Publications [7] F Wikstrom, Continuity of the relative extremal function on analytic varieties in Cn , Ann Polon Math 86 (2005), 219-225 [8] F Wikstrom, Jensen measures and boundary values of plurisubharmonic functions, Ark Mat 39 (2001), 181-200 33 ... 1.1 Hàm điều hòa C 1.2 Hàm đa điều hòa Cn 1.3 Hàm cực trị tương đối Cn 13 Tính liên tục hàm cực trị tương đối tập giải tích Cn 2.1 Tập giải tích hàm. .. minh Tính liên tục hàm cực trị tương đối tập giải tích Để tiện theo dõi, ta nhắc lại định nghĩa hàm cực trị tương đối K Ω tập giải tích, tương tự Cn Định nghĩa 2.3.1 Giả sử V tập giải tích Ω ⊂ Cn. .. ≤ C (E, Ω) n Chương Tính liên tục hàm cực trị tương đối tập giải tích Cn 2.1 Tập giải tích hàm đa điều hòa tập giải tích Định nghĩa 2.1.1 Giả sử Ω tập khác rỗng, nằm Cn Tập Ω gọi đa tạp phức