Các bài toán cực trị hàm số công phá toán

Công Phá Toán tập – Lớp 12 Ngọc Huyền LB I.II Cực trị hàm số giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số A Lý thuyết cực trị hàm số Ở phần I.I ta vừa học cách sử dụng đạo hàm để tìm khoảng đơn điệu hàm số, khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến hàm số Ở phần ta xác điểm cực đại định điểm nằm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số, ngược lại Những điểm gọi điểm cực trị đồ thị hàm số Điểm cực trị bao gồm điểm cực đại điểm cực tiểu đồ thị hàm số Đồ thị hàm số hình 1.7 có điểm cực đại điểm phía bên trái điểm cực tiểu phía bên phải điểm cực tiểu (điểm đánh dấu) O x Hình 1.7 Định nghĩa y Cho hàm số y  f  x  xác định liên tục khoảng  a; b ( a  ; b  ) điểm xo   a; b a, Nếu tồn số h  cho f  x   f  x0  với x   x0  h; x0  h  x  x0 ta nói hàm số f  x  đạt cực đại x0 b, Nếu tồn số h  cho f  x   f  x0  với x   x0  h; x0  h  x  x0 ta nói hàm số f  x  đạt cực tiểu x0 Với hàm liên tục hàm số đạt cực trị điểm làm cho y '  y ' không xác định thể hình 1.8 y O điểm cực đại c điểm cực đại y x không xác định c O x Hình 1.8 Nếu hàm số đạt cực đại cực tiểu x  c x  c điểm làm cho y ' y ' không xác định Chú ý Nếu hàm số f  x  đạt cực đại (cực tiểu) x x gọi điểm cực đại STUDY TIP: điểm cực trị hàm số x  c ; điểm cực trị đồ thị hàm số điểm có tọa độ  M c;f  c   (điểm cực tiểu) hàm số ; f  x0  gọi giá trị cực đại (giá trị cực tiểu)   hàm số, kí hiệu fCD  fCT  , điểm M x0 ; f  x0  gọi điểm cực đại (điểm cực tiểu) đồ thị hàm số Trong trắc nghiệm thường có câu hỏi đưa để đánh lừa thí sinh phải phân biệt điểm cực trị hàm số điểm cực trị điểm cực trị đồ thị hàm số Điều kiện đủ để hàm số có cực trị   Khi f ' x đổi dấu từ dương sang âm qua x  c x  c gọi điểm cực đại hàm số Công Phá Toán tập – Lớp 12 The best or nothing   Khi f ' x đổi dấu từ âm sang dương qua x  c x  c gọi điểm cực tiểu hàm số Hình 1.9 mô tả điều kiện đủ để hàm số có cực trị: điểm cực đại y y điểm cực tiểu O y x c O y Không phải điểm cực trị O c Không phải điểm cực trị O x x c c x Hình 1.9 Ví dụ 1: Hàm số y  x  x có điểm cực trị A x  0; x  B x  C x  D x  Lời giải: Ta có y '  4x3  3x2  x2  4x  3 y x  y'    x   x Ta thấy y ' không đổi dấu qua x  , x  không điểm cực trị O điểm cực tiểu Hình 1.10 hàm số Và y ' đổi dấu từ âm sang dương quan x  3 x  điểm cực 4 tiểu hàm số Hình 1.10 thể đồ thị hàm số , ta thấy rõ điểm O  0;  không điểm cực trị đồ thị hàm số) Nếu x  c điểm cực trị hàm y  f  x  f '  c   f '  c  không xác định, f '  c   chưa x  c điểm cực trị hàm số Quy tắc để tìm cực trị Quy tắc Đặt trước tại: http://cpt.gr8.com/ Công Phá Toán tập – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Tìm tập xác định Tính f '  x  Tìm điểm f '  x  không xác định Lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy cực trị Quy tắc Tìm tập xác định Tính f '  x  Giải phương trình f '  x   kí hiệu xi  i  1, 2, 3, , n nghiệm Tính f ''  x  f ''  xi  Dựa vào dấu f ''  xi  suy tính chất cực trị điểm xi Ví dụ 2: Cho hàm số y  x Tìm mệnh đề mệnh đề sau: A Hàm số có điểm cực đại B Hàm số cho cực trị C Hàm số cho có đạo hàm không xác định x  nên không đạt cực trị x  D Hàm số cho có đạo hàm không xác định x  đạt cực trị x0 Đáp án D Lời giải: Ta có y '  x y y ' không xác định x  , đạo hàm hàm số đổi dấu qua x  Nên O điểm cực tiểu hàm số đạt cực trị x  Phần giới thiệu sau phần định nghĩa: Với hàm liên tục hàm x số đạt cực trị điểm làm cho y '  y ' không xác định Hình 1.11 biểu thị đồ thị hàm số y  Hình 1.11 Ví dụ 3: Tìm tất điểm cực trị hàm số y  x  3 x2 y điểm cực đại x đạt có điểm cực tiểu O  0;  x  Lời giải: Ta có y '  x  x O  2   '   x  3x  '      x     x 1 x y' không xác định x  ; y '   x  Và đạo hàm đổi dấu qua điểm cực tiểu Hình 1.12 x  0; x  Do hàm số có hai điểm cực trị x  0; x  Ví dụ 4: Cho hàm số y  x  mx  x  với m tham số Khẳng định sau đúng? A Với tham số m, hàm số cho có cực đại B Với tham số m, hàm số cho có cực tiểu C Với tham số m, hàm số cho có điểm cực đại điểm cực tiểu D Với tham số m, hàm số cho cực trị Lời giải Công Phá Toán tập – Lớp 12 The best or nothing Xét hàm số y  x  mx  x  có y '  x  mx  Xét phương trình y '   x  mx   có  '   m    2   m2   Do phương trình có hai nghiệm phân biệt x1  x2 Mặt khác ta có mẹo xét dấu tam thức bậc hai “ khác cùng”, đạo hàm hàm số cho đổi dấu sau: x y' + + Vậy hàm số cho có điểm cực đại điểm cực tiểu với tham số m B Các dạng toán liên quan đến cực trị Dạng 1: Xác định điểm cực trị hàm số, điểm cực trị đồ thị hàm số, tìm giá trị cực trị hàm số Đây dạng toán cực trị, nhiên xuất nhiều đề thi thử Ở dạng toán ta áp dụng tính chất nêu phần A Tuy nhiên ta xét ví dụ để rút kết quan trọng Ví dụ : Hàm số sau cực trị ? 2x x3 A y  x  x  B y  C y  x  x  x  D y  x n  2017 x n   *  (Trích đề thi thử THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định) Đáp án B STUDY TIP: Hàm phân thức bậc bậc cực trị Lời giải Với A: Ta thấy hàm bậc ba có y  3x  , phương trình y   có hai nghiệm phân biệt nên hàm số có hai điểm cực trị (loại) Với B: Đây hàm phân thức bậc bậc nên cực trị Do ta chọn B Ví dụ 2: Hàm số sau có ba điểm cực trị? A y  x  x  10 C y  x3  3x2  5x  B y   x  x  D y  x  (Trích đề thi thử THPT Công Nghiệp – Hòa Bình) Đáp án B Lời giải Ta loại C hàm số bậc ba có nhiều hai cực trị Tiếp theo ta đến với hàm bậc bốn Ta có hàm bậc bốn trùng phương có hai trường hợp, có điểm cực trị, có ba điểm cực trị Đặt trước tại: http://cpt.gr8.com/ Công Phá Toán tập – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Đối với hàm bậc bốn trùng phương dạng y  ax4  bx2  c  a   STUDY TIP: Đối với hàm bậc bốn trùng phương có dạng y  ax  bx  c,  a   nếu: ab  hàm số có điểm cực trị x  ab  hàm số có ba điểm cực trị x  0;x    b 2a x  Ta có y '  4ax  2bx     2ax  b   x   b  2a Số điểm cực trị phụ thuộc vào nghiệm phương trình ax  b  b a Nếu  tức a, b dấu b  phương trình vô nghiệm 2a có nghiệm x  Khi hàm số có điểm cực trị x  b b.Nếu  tức a, b trái dấu phương trình có hai nghiệm phân biệt 2a b b x    Nghĩa hàm số có ba điểm cực trị x  0; x    2a 2a Đến ta suy ra, hệ số a, b khác dấu hàm số bậc bốn trùng phương có ba cực trị, ta chọn B Tiếp tục toán áp dụng kết vừa thu Ví dụ 3: Cho hàm số y   x  x  Mệnh đề đúng? A Hàm số có cực đại hai cực tiểu B Hàm số có hai cực đại cực tiểu C Hàm số có cực đại cực tiểu D Hàm số có cực đại cực tiểu STUDY TIP: Đối với hàm bậc bốn trùng phương có dạng y  ax  bx  c,  a   có ab  , nếu: a a  x  điểm cực tiểu; x    b 2a hai điểm cực đại hàm số b a  ngược lại x  điểm cực đại; x  b hai điểm cực 2a tiểu hàm số (Trích đề thi thử THPT Phan Đình Phùng – Hà Nội) Đáp án B Lời giải Áp dụng kết vừa thu ta có kết luận hàm số có ba điểm cực trị hai hệ số a, b trái dấu Mặt khác hệ số a  1  nên đồ thị hàm số có dạng chữ M (mẹo nhớ), hàm số có hai điểm cực đại cực tiểu Đến ta tiếp tục thu kết luận phần STUDY TIP \2 có bảng biến Ví dụ 4: Cho hàm số y  f ( x) xác định, liên tục thiên phía dưới: Khẳng định sau khẳng định ? A Hàm số đạt cực đại điểm x  đạt cực tiểu điểm x  B Hàm số có cực trị C Hàm số có giá trị cực tiểu D Hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ -15 (Trích đề thi thử THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định) x   y’ y 0  + +    15   Đáp án C Lời giải Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy có hai giá trị x mà qua y  đổi dấu, x  x  , hai điểm cực trị hàm số Công Phá Toán tập – Lớp 12 The best or nothing Ta thấy y’ đổi dấu từ âm sang dương qua x  , x  điểm cực tiểu hàm số, ngược lại x  lại điểm cực đại hàm số Từ ta loại A, B Với D: D sai giá trị cực trị, không giải giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Ta chọn C x  hàm số có giá trị cực tiểu y  Tiếp tục toán nhìn bảng biến thiên để xác đinh tính sai mệnh đề: Ví dụ 5: Hàm số y  f  x  liên tục có bảng biến thiên hình vẽ bên Mệnh đề sau đúng? A Hàm số cho có hai điểm cực trị B Hàm số cho giá trị cực đại C Hàm số cho có điểm cực trị D Hàm số cho giá trị cực tiểu x  y’ + y  +   STUDY TIP: Ở quy tắc ta có hàm số đạt cực trị điểm khiến cho đạo hàm không xác định  Đáp án A Lời giải Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy có hai giá trị x mà qua y  đổi dấu Do hàm số cho có hai điểm cực trị x  1; x  Chú ý: Nhiều độc giả nghĩ x  không tồn y  x  điểm cực trị hàm số, sai lầm lớn Bởi hàm số đạt cực trị điểm khiến cho đạo hàm không xác định Ví dụ: Hàm số y  x có đạo hàm không tồn x  đạt cực tiểu x0 Ví dụ Hàm số y  f  x  có đạo hàm f '  x    x  1  x   Phát biểu sau đúng? A Hàm số có điểm cực đại B Hàm số có hai điểm cực trị C Hàm số có điểm cực trị D Hàm số điểm cực trị (Trích đề thi thử THPT chuyên ĐHSP HN – lần I) Đáp án C Lời giải x  Ta thấy f   x     x  Đặt trước tại: http://cpt.gr8.com/ Công Phá Toán tập – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Đến có nhiều độc giả kết luận hàm số có hai điểm cực trị, nhiên kết luận sai lầm, qua x  f   x  không đổi dấu, STUDY TIP: Trong đa thức, dấu đa thức đổi qua nghiệm đơn nghiệm bội lẻ, nghiệm bội chẵn không khiến đa thức đổi dấu  x  1  , x Do hàm số có điểm cực trị x  Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị Chú ý: Hàm số y  f  x  xác định D có cực trị  x0  D thỏa mãn hai điều kiện sau: i Đạo hàm hàm số x0 phải hàm số đạo hàm x0 ii f '  x  phải đổi dấu qua x0 f   x0   Đối với hàm số bậc 3: y  ax  bx  cx  d STUDY TIP: Qua ta rút kết quả, đồ thị hàm số bậc ba có hai điểm cực trị, điểm cực trị  a  0 Ta có y   3ax  2bx  c Để hàm số bậc ba có cực trị phương trình y '  có hai nghiệm phân biệt     b2  3ac  Ngược lại, để hàm số cực trị phương trình y '  vô nghiệm có nghiệm  b2  3ac  Đối với hàm bậc bốn trùng phương dạng y  ax4  bx2  c  a   x  Ta có y '  4ax3  2bx    2ax  b  Đến ta có nhận xét hàm số bậc bốn trùng phương có điểm cực trị Số điểm cực trị phụ thuộc vào nghiệm phương trình 2ax2  b  b  tức a, b dấu b  phương trình vô nghiệm 2a có nghiệm x  Khi hàm số có điểm cực trị x  a Nếu b.Nếu b  tức a, b trái dấu phương trình có hai nghiệm phân biệt 2a x    Dạng 3: Tìm điều kiện để hàm số cho có điểm cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước 3.1 Xét hàm số bậc bốn trùng phương có dạng y y  ax4  bx2  c ,  a   C B Ta vừa chứng minh dạng 2, ab  hàm số có ba điểm cực trị A O b b Nghĩa hàm số có ba điểm cực trị x  0; x    2a 2a x x  0; x    b 2a Khi đồ thị hàm số cho có ba điểm cực trị là:  b   b  A  0; c  ; B    ;   ; C   ;   với   b2  4ac (Hình minh họa)  2a 4a   2a 4a   Công Phá Toán tập – Lớp 12 The best or nothing    ab2 b2 b  b  b  c (Chứng minh: ta có f     a     b     c         a a a a a       y  A B ab2  2ab2  4a c ab2  2ab2  4a c ab  4ac b  4ac    (đpcm)) 4a 4a2 4a2 4a2 b4 b b  ; BC   2a 2a 16a  AB  AC  C x O Bài toán 1: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  ax  bx  c ,  a   có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông STUDY TIP: Qua ta rút kết quả, để đồ thị hàm số Lời giải tổng quát Với ab  hàm số có ba điểm cực trị y  ax  bx  c , Do điểm A  0; c  nằm Oy cách hai điểm B, C Nên tam giác ABC  a   có ba điểm cực trị phải vuông cân A Điều tương đương với AB  AC (do AB  AC có sẵn rồi) tạo thành tam giác vuông cân điều kiện   b b2  b b2  Mặt khác ta có AB     ;   ; AC    ;     2a 4a  2a 4a    b3  8 Ta loại a điều kiện a, b trái dấu từ công thức cuối thu ta có a, b trái dấu Do AB  AC nên AB.AC   b3 b b4  0   8 2a 16a a Ví dụ 1: Tìm tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  x  m2 x  có điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vuông cân  1 D  ;   2  1 C     2 1 B   2 A 0 Đáp án D Cách 1: Lời giải thông thường Cách 2: Áp dụng công thức TXĐ: D  Để điểm cực trị 2 đồ thị hàm số Ta có: y  x x  m ba đỉnh tam Hàm số có ba điểm cực trị phương trình giác vuông cân y  có nghiệm phân biệt  m  b3  8 Lúc đó, ba điểm cực trị là: A m; 16 m4  , a 8m2 B  0;  , C 2m; 16m    8 Nên BA  BC Do đó, tam giác ABC cân B m Khi đó, tam giác ABC vuông cân khi:        BA.BC   4m2  256m8    64m4   m    m   m    Đặt trước tại: http://cpt.gr8.com/  Công Phá Toán tập – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Nhận xét: Rõ ràng việc nhớ công thức làm nhanh nhiều so với việc suy trường hợp Bài tập rèn luyện lại công thức: STUDY TIP: Độc giả nên làm tập rèn luyện mà không nhìn lại công thức để ghi nhớ công thức lâu Cho hàm số y  x4  2mx2  m2  Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị điểm cực trị đồ thị hàm số ba đỉnh tam giác vuông? A m  B m  1 D m  2 C m  (Trích đề thi thử THPT Trần Hưng Đạo – Nam Định) Cho hàm số y  f  x   x   m   x  m  5m  (Cm ) Giá trị m để đồ thị hàm số cho có điểm cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác vuông cân thuộc khoảng sau đây? 4 3 A  ;  7 2  21  B  ;   10   1 C  0;   2 D  1;0  Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y   x   m  2015  x  2017 có điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân A m  2017 B m  2014 D m  2015 C m  2016 Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  x   m  2016  x  2017m  2016 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân A m  2017 B m  2017 D m  2015 C m  2018 Tìm m để đồ thị hàm số f  x   x   m  1 x  m có điểm cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác vuông A m  D m  C m  B m  1 Bài toán 2: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  ax  bx  c ,  a   có ba điểm cực trị tạo thành tam giác Lời giải tổng quát STUDY TIP: Qua ta rút kết quả, để đồ thị hàm số y  ax  bx  c , Do AB  AC , nên ta cần tìm điều kiện để AB  BC  a   có ba điểm cực trị tạo thành tam giác Với ab  hàm số có ba điểm cực trị b3  24 a Mặt khác ta có  AB  AC  b4 b b  ; BC   2a 16a 2a Do AB  BC   b3 b b4 2b     24 2a 16a a a Ví dụ 2: Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y  x  2mx  m  có ba điểm cực trị tạo thành tam giác Ta có kết quả: A m  B m  C m  D m  3 (Trích đề thi thử THPT chuyên Lam Sơn Thanh Hóa) Công Phá Toán tập – Lớp 12 The best or nothing Đáp án D Lời giải Áp dụng công thức vừa chứng minh ta có STUDY TIP: Qua ta rút kết quả, để đồ thị hàm số y  ax4  bx2  c ,  2m   24  m  3 b3  24  a  a   có ba điểm cực trị Bài tập rèn luyện lại công thức: tạo thành tam giác Cho hàm số y  x   m   x  m  5m   C m  Với giá trị m b3  24 a đồ thị  C m  có điểm cực đại điểm cực tiểu, đồng thời điểm cực đại điểm cực tiểu lập thành tam giác đều? Mà tam giác vuông b  8 a A m   3 “Vuông -8, -24” B m   3 D m   3 C m   3 x   m  2017  x2  2016 có đồ thị (Cm ) Tìm tất giá trị m cho đồ thị (Cm ) có ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều? Cho hàm số y  A m  2015 B m  2016 D m  2017 C m  2017 Cho hàm số y  x4  2mx2  Tìm tất giá trị m cho đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều? B m   3 A m  3 D m   C m  Cho hàm số y  mx4  2mx2  m Tìm tất giá trị tham số m cho đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác y H B A m  3; m   3; m  B m   3; m  C m  D m  Bài toán 3: Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  ax  bx  c ,  a   có ba điểm cực C trị tạo thành tam giác có diện tích S Lời giải tổng quát A Gọi H trung điểm BC lúc H nằm đường thẳng chứa đoạn thẳng BC (hình vẽ) x O  b2    Lúc H  0;    AH   0;   Diện tích tam giác ABC tính 4a  4a     b2  công thức: SABC  AH.BC  So      4a  STUDY TIP: Qua ta rút kết quả, để đồ thị hàm số  S0  y  ax  bx  c ,  a   có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích S0 có điều kiện S   b 32a  b      2a   b 2b b  S  16a2 a 32 a Ví dụ 3: Cho hàm số y  x  mx  m  m4 Với giá trị m đồ thị C  có điểm cực trị, đồng thời điểm cực trị tạo thành tam giác có m diện tích A m  16 B m  16 C m  16 D m   16 (Trích đề thi thử Sở GD&ĐT Hưng Yên, đề thi thử THPT chuyên Lam Sơn) Đặt trước tại: http://cpt.gr8.com/ Công Phá Toán tập – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Đáp án A Lời giải Áp dụng công thức ta có, hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích  32.a3 S0  b5   32.13   2m    m  16 Bài tập rèn luyện lại công thức: Cho hàm số y  x4  2m2x2  Với giá trị m đồ thị hàm số cho có điểm cực trị, đồng thời điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích 32 A m  2; m  2 B m  0; m  D m  2; m  2; m  C m  0; m  2 Cho hàm số y  f(x)  x4  2(m  2)x2  m2  5m  Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số cho có điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích A m  B m  3 C m  D m  2 Cho hàm số y  3x4  2mx2  2m  m4 Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số cho có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích A m  B m  3 C m  D m  4 Cho hàm số y  x4  2mx2  m  (1) , với m tham số thực.Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời điểm cực trị đồ thị tạo thành tam giác có diện tích A m  B m  2 D m  4 C m  Bài toán 4: Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  ax  bx  c ,  a   có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích lớn Lời giải tổng quát Ở toán ta có S0   b5 32 a  b  Do ta tìm Max    32a  Bài toán 5: Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  ax  bx  c ,  a   có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có góc đỉnh cân  STUDY TIP: Qua ta rút kết quả, để đồ thị hàm số y  ax  bx  c ,  a   có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có góc đỉnh  có điều b  8a kiện cos   b  8a Hoặc 8a  b3 tan  0 Lời giải tổng quát Cách 1: Ta có cos   AB AC AB AC  AB AC  AB2 cos     b b b4 b4      cos   2 a 16a  a 16 a   a   cos    b   cos     cos   b3  8a b3  8a Cách 2: Gọi H trung điểm BC, tam giác AHC vuông H có: tan  HC BC      BC  4.AH tan   8a  b3 tan  AH AH 2 Công Phá Toán tập – Lớp 12 The best or nothing Bài toán 6: Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  ax  bx  c ,  a   có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có ba góc nhọn Lời giải tổng quát Do tam giác ABC tam giác cân nên hai góc đáy Một tam giác có hai góc tù, hai góc đáy tam giác ABC góc nhọn Vì để tam giác ABC tam giác có ba góc nhọn góc đỉnh phải góc nhọn Tức tìm điều kiện để BAC   góc nhọn STUDY TIP: Qua ta rút kết quả, để đồ thị hàm số y  ax4  bx2  c ,  a   có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có ba góc nhọn   b b3  8a  Ở toán ta vừa tìm cos BAC  cos   Để góc BAC nhọn b3  a b3  a b3  8a 0 b3  8a Cách khác để rút gọn công thức: Do cos   AB AC AB AC nên để  góc nhọn Mà AB AC  AB.AC   AB AC AB AC 0 b b4    b b3  8a  2a 16a   Bài toán 7: Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  ax  bx  c ,  a   có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp r Lời giải tổng quát Ta có S0  p.r (công thức tính diện tích tam giác theo bán kính đường tròn nội tiếp) r  2S0  AB  AC  BC   b5 32 a b b4 b  2  a 16 a 2a r b2  b3  a 1     8a    Bài toán 8: Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  ax  bx  c ,  a   có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp R Lời giải tổng quát Trước tiên ta có công thức sau: SABC  AB.BC.CA 4R Gọi H trung điểm BC, AH đường cao tam giác ABC, nên AB.BC.CA AH.BC   2.R AH  AB4 4R  b b3  8a b4 b4  R  2.R       16a2  2a 16a2  a b Đặt trước tại: http://cpt.gr8.com/ Công Phá Toán tập – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Bài toán 9: Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  ax  bx  c ,  a   có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có a Có độ dài BC  m0 b Có AB  AC  n0 Lời giải tổng quát Ở đầu Dạng ta có công thức  b   b  A  0; c  ; B    ;   ; C   ;   với   b2  ac    2a 4a   2a 4a    AB  AC  b4 16a  b b ; BC   2a 2a Do với ý a, b ta cần sử dụng hai công thức Đây hai công thức quan trọng, việc nhớ công thức để áp dụng điều cần thiết! Bài toán 10: Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  ax  bx  c ,  a   có ba điểm cực trị tạo thành tam giác a nhận gốc tọa độ O trọng tâm b nhận gốc tọa độ O làm trực tâm c nhận gốc tọa độ O làm tâm đường tròn ngoại tiếp Lời giải tổng quát a Nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm STUDY TIP: Với dạng toán này, ta lưu ý ta có tam giác ABC cân A, nên ta cần tìm điều kiện có đáp án toán a Ở công thức vừa nhắc lại toán 9, ta có tọa độ điểm A, B, C cần x  xB  xC y  yB  yC áp dụng công thức xG  A (với G trọng tâm tam ; yG  A 3 giác ABC)   b  b  3.0 0          2a  2a b2   Lúc ta có     3c  2a  b2    b2  c    c        c  3.0   4a    4a   b2  6ac  b Nhận gốc tọa độ O làm trực tâm Do tam giác ABC cân A, mà A nằm trục Oy nên AO vuông góc với BC Do để O trực tâm tam giác ABC ta cần tìm điều kiện để OB  AC OC  AB b b4 b2c     b4  8ab  4b2 c  OB  AC  OB.AC   2a 16a2 4a  b3  8a  4ac  c Nhận O làm tâm đường tròn ngoại tiếp Để tam giác ABC nhận tâm O làm tâm đường tròn ngoại tiếp OA  OB  OC Mà ta có OB  OC , ta cần tìm điềuk iện cho b b4 2b c OA  OB  c      c  b4  8ab2 c  8ab  2a 16a 4a  b3  8a  8abc  Công Phá Toán tập – Lớp 12 The best or nothing Bài toán 11: Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  ax  bx  c ,  a   có ba điểm cực y trị tạo thành tam giác cho trục hoành chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích A Lời giải tổng quát Gọi M, N giao điểm AB, AC với trục hoành, kí hiệu hình vẽ M O N x B C H SAMN  OA     (Do trục hoành chia tam giác ABC SABC  AH  thành hai phần có diện tích nhau) Ta có ANM ACB   AH  2OA  b2  ac 3.2 Xét hàm số bậc ba có dạng y  ax3  bx2  cx  d,  a   Có y   3ax  2bx  c , hàm số có hai điểm cực trị phương trình y   có hai nghiệm phân biệt    b2  3ac  Bài toán 1: Viết phương trình qua hai điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số y  ax  bx  cx  d,  a   Lời giải tổng quát Giả sử hàm bậc ba y  f  x   ax3  bx2  cx  d,  a   có hai điểm cực trị x1 ; x2 Khi thực phép chia f  x  cho f '  x  ta f  x   Q  x  f   x   Ax  B  f  x1   Ax1  B Khi ta có  (Do f   x1   f   x2   )  f  x2   Ax2  B Vậy phương trình qua hai điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số y  f  x  có dạng y  Ax  B Đến ta quay trở với toán toán 1, nhiệm vụ tìm số dư cách tổng quát STUDY TIP: Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba biểu diễn theo y’; y’’; y  g  x  y  y.y 18a Ta có y  3ax2  2bx  c ; y  6ax  2b Xét phép chia y cho y ta được: 1 b  y  y. x    g  x   *  , g  x  phương trình qua hai điểm cực trị a  đồ thị hàm số bậc ba 6ax  2b 3ax  b  g  x  g  x   y  y ' 18a 9a y .y   g  x  y  18a Tiếp tục ta có  *   y  y  y  y ' y  g  x 18a Sau xin giới thiệu cách bấm máy tính để tìm nhanh phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba sau: Trước tiên ta xét ví dụ đơn giản: Đặt trước tại: http://cpt.gr8.com/ Công Phá Toán tập – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Ví dụ 1: Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y  x  x  x  là: A 26x  9y  15  B 25x  9y  15  C 26x  9y  15  D 25x  y  15  Đáp án A Lời giải Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số xác định bởi: 6x  g  x   x  x  3x   3x  x  18 Chuyển máy tính sang chế độ tính toán với số phức cách nhập: MODE  2:CMPLX Nhập vào máy tính biểu thức g  x  sau:     6X18 X  2X  3X   3X  4X  Ấn CALC, gán X i (ở máy tính i nút ENG) máy hiện: 26  i Vậy phương trình qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số cho 26 y  x  26x  y  15  Tiếp theo ta có tham số Ví dụ 2: Cho hàm số y  x3  3x2  1  m x   3m , tìm m cho đồ thị Sử dụng máy tính Sử dụng tính toán với số phức để giải toán hàm số có điểm cực đại, cực tiểu, đồng thời tìm đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số cho A m  0;  : 2mx  y  2m   B m  0;  : 2mx  y  2m   C m  0;  : y  202  200 x D m  0;  : y  202  200x Đáp án B Lời giải Ta có y  3x  6x  1  m , y  6x  Để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu   32  1  m   m  STUDY TIP: Với dạng toán này, ta lưu ý trước tiên, tâ cần tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị Với m  ta thực hiện: Chuyển máy tính sang chế độ MODE 2:CMPLX y  Nhập vào máy tính biểu thức y  y  ta có 18a  X  3X  1  M  X   3M  3X  6X  1  M   6X18 Ấn CALC Máy X? nhập i = Máy M? nhập 100 = Khi máy kết 202  200i Ta thấy 202  200i  2.100   2.100.i  y  2m   2mx Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số cho có dạng 2mx  y  2m   Công Phá Toán tập – Lớp 12 The best or nothing Ta rút kết luận cách làm dạng toán viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm bậc ba sau: Bước 1: Xác định y; y STUDY TIP: Với bước cuối cùng, ta cần có kĩ khai triển đa thức sử dụng máy tính cầm tay, khuôn khổ sách nên giới thiệu vào sách, mong quý độc giả đọc thêm phần Bước 2: Chuyển máy tính sang chế độ tính toán với số phức: MODE  2:CMPLX y  Nhập biểu thức y  y  18 a Chú ý: Nếu toán không chứa tham số ta sử dụng biến X máy, nhiên toán có thêm tham số, ta sử dụng biến máy để biểu thị cho tham số cho, sách ta quy ước biến M để dễ định hình Bước 3: Gán giá trị Ấn CALC , gán X với i, gán M với 100 Lúc máy kết quả, từ tách hệ số i để đưa kết cuối cùng, giống hai ví dụ Bài toán 2: Viết phương trình qua hai điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số y  ax3  bx2  cx  d,  a   3.3 Xét hàm phân thức Trước tiên ta xét toán liên quan đến cực trị hàm phân thức nói chung Ta có kết quan trọng sau: u  x Xét hàm số dạng f  x   xác định D v  x ta có f   x   u  x  v  x   u  x  v   x  v2  x  Điểm cực trị hàm số nghiệm phương trình u  x  v  x   u  x  v   x  f   x   0 v2  x  STUDY TIP: Lưu ý công thức ux v x  u  x  để giải v  x  toán cách nhanh gọn  u '  x  v  x   u  x  v  x    u  x v  x  u  x  v  x  Nhận xét: Biểu thức thỏa mãn giá trị cực trị hàm số cho Do đó, thay tính trực tiếp tung độ điểm cực trị, ta cần thay vào biểu thức đơn giản sau lấy đạo hàm tử lẫn mẫu Vận dụng tính chất này, ta giải nhiều toán liên quan đến điểm cực trị hàm phân thức Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y  ax2  bx  c , a  0, a  ax  b Theo công thức vừa nêu ta tìm biểu thức đạo hàm tử số mẫu số Suy y  2ax  b phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị (nếu a có) đồ thị hàm số y  ax2  bx  c , a  0, a  ax  b Đặt trước tại: http://cpt.gr8.com/ Công Phá Toán tập – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Bài tập rèn luyện kỹ I Các dạng tính toán thông thường liên quan đến cực trị Câu 1: Số điểm cực đại đồ thị hàm số y  x4  100 y là: A B C D (Trích đề thi thử THPT chuyên Trần Phú- Hải Phòng) Câu 2: Hàm số y  x4  2x2  2017 có điểm cực trị? A B C D (Trích đề thi thử THPT Triệu Sơn 2) Câu 3: Cho hàm số y  x3  4x2  8x  có hai điểm cực trị x1 , x2 Hỏi tổng x1  x2 bao nhiêu? A x1  x2  B x1  x2  8 C x1  x2  D x1  x2  5 Câu 4: Hàm (Trích đề thi thử THPT Triệu Sơn 2) số có đạo hàm y  f  x f '  x    x  1  x   Phát biển sau đúng? A Hàm số có điểm cực đại B Hàm số có hai điểm cực trị C Hàm số có điểm cực trị D Hàm số điểm cực trị (Trích đề thi thử THPT chuyên ĐHSP HN) Câu 5: Đồ thị hàm số y  x3  3x2  có điểm cực đại là: A I  2; 3  B I  0;1 C I  0;  D Đáp án khác (Trích đề thi thử THPT Kim Thành – Hải Dương) Câu 6: Hàm số y  x4  2x2  2017 có điểm cực trị? A -1 x O -1 A Hàm số đạt giá trị nhỏ 1 đạt giá trị lớn B Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu A  1; 1 điểm cực đại B  1;  C Hàm số có giá trị cực đại D Hàm số đạt cực tiểu A  1;  1 cực đại B  1;  (Trích đề thi thử THPT chuyên Lam Sơn Thanh Hóa) Câu 9: Cho hàm số y  f  x  xác định \1;1 , liên tục khoảng xác định có bảng biến thiên sau: x 1   y' + + + y  -3    sau đúng? A Hàm số đạt cực tiểu điểm x  Hỏi khẳng định khẳng định sai? A Hàm số đạo hàm x  đạt cực trị x  B Hàm số đạt cực tiểu điểm x  C Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng đường thẳng x  1 x    ;1 D Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang đường thẳng y  3 y  B C D (Trích đề thi thử THPT Triệu Sơn 2) Câu 7: Cho hàm số y  x3  3x2  3x  Khẳng định B Hàm số đồng biến  1;   nghịch biến C Hàm số đạt cực đại điểm x  D Hàm số đồng biến (Trích đề thi thử THPT Kim Thành – Hải Dương) Câu 8: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ bên, khẳng định sau khẳng đinh đúng? (Trích đề thi thử THPT chuyên Hạ Long lần I) Câu 10: Khẳng định sau khẳng định đúng? A Hàm số y  x  có hai điểm cực trị x1 B Hàm số y  3x3  2016x  2017 có hai điểm cực trị C Hàm số y  Công Phá Toán by Ngọc Huyền LB ® 2x  có điểm cực trị x 1 Công Phá Toán tập – Lớp 12 The best or nothing D x0  gọi điểm cực tiểu hàm số D Hàm số y  x4  3x2  có điểm cực trị (Trích đề thi thử THPT Kim Liên) (Trích đề thi thử THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 3) Câu 11: Số điểm cực trị hàm số y  x  x  Câu 17: Cho hàm số y  x  x  x   C  Đường bằng: A thẳng qua điểm A  1; 1 vuông góc với đường B C D (Trích đề thi thử THPT Kim Liên) thẳng qua hai điểm cực trị  C  là: Câu 12: Hàm số y  x4  x2  đạt cực tiểu tại: A x  1 C x  2 B x  D x  (Trích đề thi thử THPT Kim Liên) Câu 13: Cho hàm số y  f  x  xác định, liên tục có bảng biến thiên: x -1   y’   y B y  Câu 18: Tính khoảng cách điểm cực tiểu đồ thị hàm số y  x  3x  A + x 2 D x  y   A y   x  2 C y  x   y  x4  2x2  + -3  B C D (Trích đề thi thử THPT chuyên ĐHSP lần 2) Câu 19: Tìm tất điểm cực đại hàm số A x  1 B x  1 C x  D x  (Trích đề thi thử THPT chuyên ĐHSP lần 2) -3 Khẳng định sau khẳng định ? A Hàm số có hai cực trị B Hàm số có giá trị cực tiểu -1 C Hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ -3 D Hàm số đạt cực đại x  (Trích đề thi thử THPT chuyên Vị Thanh – Hậu Giang) Câu 20: Hàm số y  f  x  liên tục có bảng biến thiên hình vẽ bên Mệnh đề sau đúng?  x y’ + y   +  Câu 14: Hàm số y  x  3x  đạt cực trị đại điểm sau đây? A x  2 B x  1 C x  0; x  D x  0; x  (Trích đề thi thử THPT chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương) Câu 15: Hệ thức liên hệ giá trị cực đại yCÐ giá trị cực tiểu yCT hàm số y  x3  2x là: A yCT  yCÐ  B yCT  3yCÐ C yCT  yCÐ D yCT  yCÐ Câu 16: Cho hàm số y  f  x  xác định, liên tục có bảng biến thiên:  y y 1 -  + 0 +   - Khẳng định sau sai? A Hàm số cho có hai điểm cực trị B Hàm số cho giá trị cực đại C Hàm số cho có điểm cực trị D Hàm số cho giá trị cực tiểu sau đúng? A Hàm số có giá trị cực tiểu  48 C Hàm số có giá trị cực tiểu B Hàm số có hai giá trị cực tiểu  D Hàm số có giá trị cực tiểu  đại  giá trị cực 48 (Trích đề thi thử THPT chuyên ĐH Vinh lần 1) Câu 22: Cho hàm số y   x  1 x   Trung điểm A M  0;  gọi điểm cực đại hàm số B f  1 gọi giá trị cực tiểu hàm số C Hàm số đồng biến khoảng  1;  1;   (Trích đề thi thử THPT chuyên ĐH Vinh lần 1) Câu 21: Cho hàm số y  x  x  x Mệnh đề (Trích đề thi thử THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 3) x  đoạn thẳng nối hai điểm cực trị đồ thị hàm số nằm đường thẳng đây? A 2x  y   B 2x  y   C 2x  y   D 2x  y   (Trích đề thi thử THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu) Đặt trước tại: http://cpt.gr8.com/ Công Phá Toán tập – Lớp 12 Câu 23: Cho hàm Ngọc Huyền LB f số có f   x   x  x  1  x   với x  đạo hàm Số điểm cực trị hàm số f B A cho hàm số y  x3  3x2  mx  có hai điểm cực trị D C B m  D m  (Trích đề thi thử Sở GD&ĐT Nam Định) Câu 29: Tìm tất giá trị thực tham số m A m  C m  (Trích đề thi thử “Tạp chí Toán học Tuổi trẻ lần & THPT chuyên KHTN lần 3”) Câu 24: Cho hàm số y  f ( x) liên tục có x1 , x2 thỏa mãn x12  x2  bảng biến thiên sau: (Trích đề thi thử Sở GD&ĐT Nam Định) Câu 30: Tìm m để hàm số:  x C  -2 y’ + y   0 +   -4 Khẳng định sau khẳng định SAI ? A Hàm số đồng biến khoảng (0; ) B Hàm số đạt cực tiểu x  C Hàm số đạt cực tiểu x  2 D Hàm số nghịch biến khoảng ( 2; 0) (Trích đề thi thử THPT chuyên Lê Quý Đôn) Câu 25: Cho hàm A 3 số y  f ( x) có f '( x)  ( x  1)2 ( x  2) xác định sau mệnh đề đúng? A Hàm số y  f ( x) đồng biến đạo hàm Mệnh đề khoảng ( 2; ) B Hàm số y  f ( x) đạt cực đại x  2 C Hàm số y  f ( x) đạt cực tiểu x  D Hàm số y  f ( x) nghịch biến khoảng ( 2;1) (Trích đề thi thử THPT chuyên Lê Quý Đôn) Câu 26: Kết luận sau cực trị hàm số y  x5 x đúng? A Hàm số có điểm cực đại x  ln B Hàm số cực trị C Hàm số có điểm cực tiểu x  ln D Hàm số có điểm cực đại x  ln (Trích đề thi thử THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc) II Tìm điều kiện để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước Câu 27: Với giá trị m hàm số y  x  m2 x   4m   x  đạt cực đại x  ? A m  m  3 B m  C m  3 D m  1 ( Trích đề thi thử Sở GD&ĐT Hà Tĩnh) Câu 28: Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y  x3  3mx2  3m  có điểm cực trị y B 3 D   x  mx2  m2  m  x  đạt cực trị điểm x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  A m  2 B m  2 C Không tồn m D m  (Trích đề thi thử THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 3) Câu 31: Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y  x   m  1 x  3mx  đạt cực trị điểm x0  A m  1 B m  m  C D m  2 Câu 32: Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y  x4  2mx2  m2  m có điểm cực trị A m  B m  C m  D m  Câu 33: Tìm tất giá trị thực tham số a 1 cho hàm số y  x3  x2  ax  đạt cực trị x1 , x2    thỏa mãn: x12  x2  2a x22  x1  2a  A a  B a  4 C a  3 D a  1 (Trích đề thi thử THPT chuyên Thái Bình lần 3) Câu 34: Tìm tất giá trị thực m để hàm số y  4x3  mx2  12x đạt cực tiểu điểm x  2 A m  9 B m  C Không tồn m D m  (Trích đề thi thử THPT chuyên Thái Bình lần 3) Câu 35: Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y  mx4   m2   x2  có hai cực tiểu cực đại A m    m  B   m  C m  D  m  (Trích đề thi thử THPT Phan Đình Phùng – Hà Nội) Câu 36: Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y  x4  2mx2  2m có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích Công Phá Toán by Ngọc Huyền LB ® Công Phá Toán tập – Lớp 12 A m  cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn m có giá trị là: B m  C m  1 The best or nothing D m  ( Trích đề thi thử Sở GD&ĐT Nam Định) Câu 37: Cho hàm số y  x  3mx   1 Cho A  2;  , tìm m để đồ thị hàm số   có hai điểm cực trị B C cho tam giác ABC cân A 1 3 A m  B m  C m  D m  2 2 (Trích đề thi thử THPT chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương) Câu 38 Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y  x4  2mx2  2m  m4 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác B m   3 A m  3 C m   3 D m   3 (Trích đề thi thử THPT chuyên Vị Thanh – Hậu Giang) Câu 39: Tìm để đồ thị hàm số m y  x4  2(m  1)x2  2m  có ba điểm cực trị lập thành tam giác đều? A m  B m   3 C m   3 D m   (Trích đề thi thử THPT Công Nghiệp – Hòa Bình) Câu 40: Cho hàm số y  x4  2mx2  m2  Tìm m để hàm số có điểm cực trị điểm cực trị đồ thị hàm số ba đỉnh tam giác vuông cân? A m  B m  1 D m  2 C m  (Trích đề thi thử THPT Trần Hưng Đạo – Ninh Bình) Câu 41: Cho hàm số y  x4  mx2  2m  có đồ thị C  m Tìm tất giá trị m để  C m  có điểm cực trị với gốc tọa độ tạo thành bốn đỉnh hình thoi A m  2 B m  1 2 2 D m  (Trích đề thi thử THPT Trần Hưng Đạo – Ninh Bình) Câu 44: Cho hàm số C m    y  2x3   2m  1 x  m2  x  Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m để hàm số cho có hai điểm cực trị A B C D (Trích đề thi thử THPT Phan Đình Phùng) Câu 45: Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y  x  x   m  1 x  có hai cực trị C m   D m   3 (Trích đề thi thử THPT Phan Đình Phùng) Câu 46: Tìm tất giá trị tham số m để hàm 1 số y  x3   m   x  mx có cực đại, cực tiểu A m  B m   xCĐ  xCT  B m  6 A m  D m  0; 6 C m  6; 0 (Trích đề thi thử THPT chuyên ĐHSP lần 2) Câu 47: Biết đồ thị hàm số y  ax3  bx2  cx  d có điểm cực trị  1;18   3; 16  Tính a  b  c  d B A C D (Trích đề thi thử THPT chuyên KHTN lần 3) Câu 48: Với giá trị của tham số thực m x1 điểm cực tiểu hàm số y  x3  mx  m2  m  x ?   A m   m  1  A m  2; 1 B m  2 B Không có giá trị m C m  1 D m C m   m   D m   m   (Trích đề thi thử THPT chuyên Phan Bội Châu) Câu 42: Cho hàm số y  x4  2mx2  2m  m4 Với giá trị m đồ thị  C m  có điểm cực trị, đồng thời điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích A m  B m  16 C m  16 D m   16 (Trích đề thi thử THPT Trần Hưng Đạo – Ninh Bình) Câu 43: Đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số y  x3  3mx  cắt đường tròn tâm I  1;1 , bán kính điểm phân biệt A, B (Trích đề thi thử THPT chuyên KHTN lần 3) Câu 49: Tìm tất giá trị thực tham số m để   hàm số: y   m2  5m x3  6mx2  x  đạt cực tiểu x  A Không có giá trị thực m thỏa mãn yêu cầu đề B m  C m  2;1 D m  2 (Trích đề thi thử THPT Trần Hưng Đạo – Ninh Bình) Câu 50: Cho hàm số f ( x)  x2  ln( x  m) Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số cho có hai điểm cực trị A m  B m  Đặt trước tại: http://cpt.gr8.com/ Công Phá Toán tập – Lớp 12 Ngọc Huyền LB C m   D m  (Trích đề thi thử THPT chuyên Lê Quý Đôn) Câu 51: Cho hàm số f ( x)  3mx4  8mx3  12(m  1)x2 Tập hợp tất giá trị thực tham số m để hàm số cho có cực tiểu 2 A ( ; 1)  ( 1;  )  (0; ) B ( ;  )  (0; ) 3 2 C ( ; 1)  ( 1;  ]  (0; ) D (  ; 0) 3 (Trích đề thi thử THPT chuyên Lê Quý Đôn) (Trích đề thi thử THPT chuyên Sơn La lần 1) mx2  x  m  Đường 2x  thẳng nối hai điểm cực trị đồ thị hàm số Câu 58: Cho hàm số y  vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ m (Trích đề thi thử tạp chí Toán học & Tuổi trẻ lần 7) A C 1 B D Câu 59: Đường thẳng nối điểm cực đại với điểm cực Câu 52: Cho đồ thị hàm số y  f ( x)  ax  bx  c có tiểu đồ thị hàm số y  x3  x  m qua điểm hai điểm cực trị A(0; 1) B( 1; 2) Tính giá trị M  3; 1 m abc A B C D (Trích đề thi thử THPT chuyên Lê Quý Đôn) Câu 53: Tìm tất giá trị m để hàm số y    m  x  x  x  có cực trị? A m  C  m  B m  1 D m  (Trích đề thi thử THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc) Câu 54: Cho hàm số y  x  mx   2m  1 x  Tìm mệnh đề sai B Hàm số có cực đại cực tiểu C m  hàm số có cực đại cực tiểu D m  hàm số có cực trị (Trích đề thi thử THPT chuyên Phan Bội Châu)  Câu 55: Tìm m để hàm số y  mx4  m2  x2  có hai điểm cực đại điểm cực tiểu A 3  m  B  m  C m  3 D  m (Trích đề thi thử THPT chuyên Phan Bội Châu) Câu 56: Tìm tất giá trị tham số m để phương trình x  2m.3x  2m  có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 cho x1  x2   27 C m  3 D m  (Trích đề thi thử THPT Ngô Gia Tự - Vĩnh Phúc) A m   B m  Câu 57: Biết A  1;  , B  3; 4  điểm cực trị đồ thị hàm số y  ax  bx  cx  d  a   Tính giá trị hàm số x  A y  1  B y  1  2 C y  1  D y  1  B 1 C D giá trị khác (Trích đề thi thử tạp chí Toán học & Tuổi trẻ lần 7) Câu 60: Cho hàm số f  x   x  m  n (với m, n x 1 tham số thực) Tìm m, n để hàm số đạt cực đại x  2 f  2   2 A Không tồn giá trị m, n B m  1; n  C m  n  D m  n  2 A m  hàm số có hai điểm cực trị  A (Trích đề thi thử THPT chuyên Hưng Yên lần Câu 61: Giả sử đồ thị hàm số y  x  3mx   m   x  có hai cực trị Khi đường thẳng qua hai điểm cực trị có phương trình là: A y  2x  m2  6m    B y  m2  m  x  m2  6m  C y  2x  m  6m  D Tất sai (Trích đề thi thử THPT Phạm Văn Đồng) Câu 62: Tìm tất giá trị tham số m để ba điểm cực trị đồ thị hàm số y  x   6m   x   m ba đỉnh tam giác vuông: A m  C m  1 D m  3 (Trích đề thi thử THPT Nguyễn Đình Chiểu) Câu 63: Với giá trị m đồ thị hàm số B m  y  x4  2m2 x2  có ba cực trị tạo thành tam giác vuông cân A m  B m  C m  1 D m  2 (Trích đề thi thử THPT Phạm Văn Đồng – Phú Yên) Câu 64: Tìm m để  Cm  : y  x  2mx  có điểm cực trị đỉnh tam giác vuông cân: A m  4 B m  1 C m  D m  (Trích đề thi thử THPT Quảng Xương I) Công Phá Toán by Ngọc Huyền LB ® Công Phá Toán tập – Lớp 12 The best or nothing HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT I Các dạng tính toán thông thường liên quan đến cực trị Câu 1: Đáp án A Lời giải: Tập xác định: D  x y’ y y  4x y'   x  Tuy nhiên hệ số x hàm số y  x4  100  , hàm số có điểm cực tiểu Suy hàm số điểm cực đại Phân tích sai lầm: Nhiều độc giả chọn B, có điểm, không xét kĩ xem x  điểm cực đại hay điểm cực tiểu hàm số + Tập xác định: D  3 Vậy điểm cực đại đồ thị hàm số I  0;1 Tư nhanh: Nhận thấy hàm số cho có hệ số a   có hai điểm cực trị nên đồ thị hàm số có dạng N (mẹo) Lúc ta suy x   Tập xác định: D  Cách 2: y   3x  x  Xem lại STUDY TIP hàm bậc bốn trùng phương có dạng y  ax  bx  c  a   Nếu ab  hàm số có điểm cực trị x  Nhận thấy   Ta có bảng biến thiên: x   + +  Tập xác định: D  y  x  x  Vì hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2  x1 , x2 nghiệm phương trình: x  x   hàm số y   x  D Nên hàm số đồng biến x  Ta thấy f   x     x  Câu 8: Đáp án B Đến có nhiều độc giả kết luận hàm số có hai điểm cực trị, nhiên kết luận sai lầm, không đổi dấu, Chú ý: Phân biệt giá trị lớn (nhỏ nhất) cực đại (cực tiểu) phần lý thuyết GTLN –GTNN trình bày chuyên đề sau Phương án A Sai: 1 giá trị cực tiểu giá trị cực đại  0, x Do hàm số có điểm cực trị x  Câu 5: Đáp án B Tập xác định: D  y   3x  x x  y   3x  x      x  Ta có bảng biến thiên: Tư nhanh: Nhận thấy y   x  1  , x  Câu 4: Đáp án B f x  Tuy y   x  x  không cực trị Vậy hàm số đồng biến Theo định lí Vi – ét ta có: x1  x2  8  x  1 y Câu 3: Đáp án B y    x  1   x  y’ Vậy hàm số có điểm cực trị +   Vậy hàm số có điểm cực trị x1  Câu 6: Đáp án A Nhận thấy hàm bậc bốn trùng phương có hệ số a, b dấu nên có điểm cực trị Câu 7: Đáp án D y '   4x x2    x  qua  thị hàm số I  0; 1 Cách 1:  0 điểm cực đại hàm số, suy điểm cực đại đồ Câu 2: Đáp án A y  x  x  Phương án B Đúng Phương án C Sai: Giá trị cực đại Phương án D Sai: Nếu nói hàm số đạt cực tiểu phải nói x  1 A  1; 1 điểm cực tiểu đồ thị hàm số (tương tự với B  1;  ) Câu 9: Đáp án B Ta có: D  \1; 1 Đặt trước tại: http://cpt.gr8.com/ Công Phá Toán tập – Lớp 12 The best or nothing Phương án A Đúng Do qua x  y đổi dấu từ y  x  x dương sang âm nên hàm số đạt cực trị x  y   x x    x  Phương án B Nhận thấy hàm số không đạt cực tiểu x  x  hàm số không xác đinh  Bảng biến thiên x Phương án C Đúng: Do lim y    x  1 tiệm cận đứng đồ thị x 1    y’ y     lim y    x  tiệm cận đứng đồ thị x 1 Phương án D Đúng: Do lim y  3  y  3 tiệm cận ngang đồ thị x  lim y   y  tiệm cận ngang đồ thị x  y    x  1 Tư nhanh: Không dùng bảng biến thiên, ta có a   nên hàm số có điểm cực tiểu x  (Do đồ thị hàm số có dạng parabol có đỉnh Câu 10: Đáp án D Phương án A Sai: Tập xác định: D  Vậy hàm số đạt cực tiểu x  \1 hướng xuống dưới)  nên hàm số cực trị Câu 13: Đáp án D Tập xác định: D  Dựa vào bảng biến thiên ta có: Phương án B Sai: Tập xác định D  y  9x2  2016  nên hàm số cực trị Phương án C Sai: Hàm phân thức bậc bậc cực trị Đáp án A Sai: Do hàm số có cực trị Đáp án B Sai: Hàm số đạt cực tiểu x1  1 x2  hàm số có giá trị cực tiểu tương ứng 3 Phương án D Đúng: Tập xác định D  Đáp án C Sai: Chú ý phân biệt giá trị lớn (nhỏ y  4x3  6x nhất) cực đại (cực tiểu)  Đáp án D Đúng  y   2x 2x2    x  Câu 14: Đáp án Vậy hàm số có điểm cực trị Tập xác định: D  (Hoặc dùng STUDY TIP cho hàm bậc bốn trùng y   3x  x phương ta thấy 1  0;    1  3    Hàm số có điểm cực trị x  ) x  y   3x  x      x  Câu 11: Đáp án C Bảng biến thiên: Tập xác định: D  Đặt x  t x y’ y t   Khi y  t  4t   + 0 -1   +  y   3t  8t 5  Vậy hàm số đạt cực trị x  0; x   t  ( t / m)  x    t  ( t / m)  x    3 Tư nhanh: Kết luận hàm số đạt cực trị y    t  3t    x  0; x  hàm bậc ba cực trị, có hai cực trị (STUDY TIP nói) Bảng biến thiên: x   y’ y  +   “Công phá Toán” để cảm nhận đầy đủ tâm huyết Ngọc +   175  27 Do hàm số có điểm cực trị 175  27 Continue…(Mời em quý thầy cô đọc trọn vẹn Huyền LB suốt tháng làm việc) Đặt trước tại: http://cpt.gr8.com/ Lovebook xin chân thành cảm ơn! Câu 12: Đáp án B Tập xác định: D  Đặt trước tại: http://cpt.gr8.com/ ... sai? A Hàm số cho có hai điểm cực trị B Hàm số cho giá trị cực đại C Hàm số cho có điểm cực trị D Hàm số cho giá trị cực tiểu sau đúng? A Hàm số có giá trị cực tiểu  48 C Hàm số có giá trị cực. .. đúng? A Hàm số cho có hai điểm cực trị B Hàm số cho giá trị cực đại C Hàm số cho có điểm cực trị D Hàm số cho giá trị cực tiểu x  y’ + y  +   STUDY TIP: Ở quy tắc ta có hàm số đạt cực trị. .. chất cực trị điểm xi Ví dụ 2: Cho hàm số y  x Tìm mệnh đề mệnh đề sau: A Hàm số có điểm cực đại B Hàm số cho cực trị C Hàm số cho có đạo hàm không xác định x  nên không đạt cực trị x  D Hàm số