Ω là một hàm siêu lồi. Nếu z ∈ V thì =0
z = =0c,z. c,z. Chứng minh. Hiển nhiên =0 z ⊂ =0 c,z. Giả sử µ ∈ =0
c,z vàu ∈ P SHo là một hàm đa điều hòa dưới tùy ý. Theo Định lí 2.2.3, ta có thể tìm được dãy uj ∈ P SHco, với uj & u∗ trên V. Theo đó, do Định lí hội tụ không đổi, ta có
R u∗dµ = lim j→∞ R ujdµ≥ lim j→∞uj(z) =u∗(z). Do u được lấy tùy ý nên µ ∈ =o
z. Vậy hệ quả được chứng minh.
2.3 Tính liên tục của hàm cực trị tương đối trên
tập giải tích
Để tiện theo dõi, ta nhắc lại định nghĩa về hàm cực trị tương đối của
K đối với Ω trong tập giải tích, tương tự như trong Cn.
Định nghĩa 2.3.1. Giả sử V là một tập giải tích trong Ω ⊂ Cn và K là một tập con đóng của V. Hàm cực trị tương đối của K đối với V và Ω
được xác định như sau
ωK(z) =ωK,V,Ω(z) = sup{u(z) : u∈ P SH(V), u ≤0, u|K ≤ −1}. Kết quả chính của phần này đồng thời cũng là kết quả chính của luận văn là định lí sau đây. Phần chứng minh của nó được dựa vào các kết quả của Mục 2.2.
Định lí 2.3.2. Giả sử V là một tập giải tích bất khả quy địa phương trong
quy thì ωK ∈ C V ∩Ω. Một cách tổng quát nếu K chính quy và Ω là siêu lồi, nhưng V không nhất thiết bất khả quy địa phương, thì ωK liên tục trên Virr.
Chứng minh. Giả sử h ∈ P SH (Ω)∩Cn là hàm vét cạn bị chặn với
h|∂Ω = 0. Nếu unằm trong họ các hàm xác định ωK thì ue= max{u, M h}
với M > 0 và ue∈ P SH0(V) cũng vậy. Do đó, chỉ cần xét các hàm trong
P SH0 khi xác định ωK, nghĩa là
ωK(z) = supu(z) : u ∈ P SH0(V), u ≤ 0, u|K ≤ −1.
Như một hệ quả của điều trên, từ Định lí Edwards và Hệ quả 2.2.4 suy ra
ωK(z) = infR −χKdµ: µ ∈ Jz0
= inf R −χKdµ :µ ∈ Jc,z0
= supu(z) : u ∈ P SHc0(V), u ≤ 0, u|K ≤ −1 =: ωKc (z),
với mọi z ∈ V. Hiển nhiên, ωKc là hàm nửa liên tục dưới, bởi vì supremum của họ các hàm liên tục và vì ta giả thiết rằng K chính quy, nên ωK = ωK∗
sẽ là hàm đa điều hòa dưới, nói riêng, nó là hàm nửa liên tục trên ở Virr. Do đó
ωK ∈ P SH (Virr)∩C V\Vred∩Ω. Vậy định lí được chứng minh.
Bây giờ ta xét hàm cực trị tương đối ωfK ứng với lớp hàm hầu đa điều hòa dưới. Cụ thể ta có định nghĩa sau.
Định nghĩa 2.3.3. Giả sử V là một tập giải tích trong Ω ⊂ Cn và K là một tập con đóng của V. Khi đó, ta có
f
ωK(z) =ωeK,V,Ω(z) = supnu(z) : u ∈ ^P SH(V), u ≤0, u|K ≤ −1o.
Nếu ωeK là liên tục trên K thì ta nói rằng K là P SH^− chính quy. Vì P SH (V) ⊂ ^P SH(V), nên hiển nhiên ωK ≤ ωfK. Chúng ta có kết quả sau cho ωeK.
Định lí 2.3.4. Giả sử V là một tập giải tích trong Ω ⊂ Cn và giả sử K là một tập con đóng của V và giả sử có hàm âm φ ∈ P SH^(V), với φ−1(−∞) = Vsng. Nếu Ω là siêu lồi và K là P SH^− chính quy thì ωfK =
Chứng minh.
Đầu tiên lưu ý rằng nếu u ∈ P SH^(V), khi đó u + εφ ∈ P SH (V), với mọi ε > 0. Theo đó ωfK ≤ ωK + εφ với mọi ε > 0. Cho ε → 0, ta suy ra rằng ωfK = ωK trên Vreg. Bởi vậy theo Định lý 2.3.2, ωeK∗ = ωK∗ = ωK trên
Kết luận
Luận văn này tập trung nghiên cứu tính liên tục của hàm cực trị tương đối trên tập giải tích trong Cn, đó là công cụ hỗ trợ đắc lực để nghiên cứu về các số ước lượng lớn.
Chương 1 của luận văn nhắc lại khái niệm và một số tính chất cơ bản của các hàm điều hòa dưới, đa điều hòa dưới và hàm cực trị tương đối trong Cn.
Chương 2 của luận văn đưa ra khái niệm của tập giải tích. Từ đó trình bày định nghĩa, tính chất của hàm đa điều hòa dưới trên tập giải tích trước khi đi vào khái niệm và tính chất của hàm cực trị tương đối trên tập giải tích.