đối trên tập giải tích trong Cn
2.1 Tập giải tích và hàm đa điều hòa trên tập giải
tích
Định nghĩa 2.1.1. Giả sử Ω là một tập con khác rỗng, nằm trong Cn. Tập Ω được gọi là một đa tạp phức p−chiều nếu với mỗi a ∈ Ω, tồn tại một lân cận U chứa a và các hàm chỉnh hình f1, f2, ..., fn−p trong lân cận này sao cho
Ω∩U = {z ∈ U : f1(z) = f2(z) =... = fn−p(z) = 0} và ranka(f) = rank ∂f1(a) ∂z1 ... ∂f1(a) ∂zn ... ... ... ∂fn−p(a) ∂z1 ... ∂fn−p(a) ∂zn = n−p, với f = (f1, ..., fn−p) : U →Cn−p là ánh xạ chỉnh hình.
Định nghĩa 2.1.2. Giả sử Ω là một đa tạp phức, tập G nằm trong Cn là một tập mở chứa Ω. Ta nói Ω là một đa tạp con của G nếu Ω đóng trong
G, tức là Ω∩G = Ω.
Rõ ràng, mọi đa tạp phức trong Cn là đa tạp con của một lân cận của nó.
Định nghĩa 2.1.3. Giả sửΩ là một miền trongCn. Một tập V nằm trong
Ω được gọi là tập giải tích của Ω nếu với mỗi a ∈ Ω, tồn tại một lân cận
U chứa a trong Ω và các hàm chỉnh hình f1, f2, ..., fn trong lân cận này sao cho
V ∩ U = {z ∈ U : f1(z) =f2(z) = ... = fn(z) = 0}, ở đây n phụ thuộc vào a.
Nói cách khác, về địa phương, V là tập không điểm chung của một số hữu hạn các hàm chỉnh hình.
Ví dụ 2.1.4. Tập V = (z, ω) ∈ B2 :zω = 0 , ở đó B2 là hình cầu đơn vị trong C2 là một tập giải tích trong C2.
Định nghĩa 2.1.5. Giả sử V là một tập giải tích trong Cn. Một điểm
a ∈ V được gọi là điểm chính quy nếu tồn tại một lân cận U chứa a trong
Cn sao cho V ∩U là đa tạp phức con của Cn.
Tập hợp tất cả các điểm chính quy của V được kí hiệu là Vreg. Mọi điểm còn lại của V gọi là điểm kì dị và được kí hiệu là Vsng, có nghĩa là
Vsng := V\Vreg.
Theo định nghĩa, Vreg là tập mở trong V, và do đó Vsng là tập đóng trong V (nếu V là một tập con giải tích thì Vsng cũng đóng trong Cn).
Định nghĩa 2.1.6. Tập giải tích V trong Cn được gọi là khả quy nếu V
có thể viết dưới dạng hợp của hai tập giải tích khác V, có nghĩa là tồn tại hai tập giải tích V1, V2 khác tập V sao cho V = V1∪V2. Ngược lại,V được gọi là bất khả quy trong Cn.
Tập V được gọi là bất khả quy tại a ∈ V nếu với mỗi a ∈ V, tồn tại một cơ sở lân cận Uj chứa a sao cho V ∩ Uj là bất khả quy tương ứng trong Uj.
Kí hiệu Vred là tập tất cả các điểm khả quy và Virr là tập tất cả các điểm bất khả quy củaV. Tập V là bất khả quy địa phương nếu V bất khả quy tại mọi điểm của nó.
Mệnh đề sau đây chỉ ra mối liên hệ giữa tính bất khả quy và tính chính quy của V, chứng minh có thể xem trong [2].
Mệnh đề 2.1.7. Một tập giải tích V là bất khả quy khi và chỉ khi tập các điểm chính quy của V là liên thông.
Định nghĩa 2.1.8. Giả V là một tập giải tích trong tập mở Ω ⊂ Cn và
U là một tập con mở của V. Một hàm u : U → [−∞; +∞) được gọi là một hàm đa điều hòa dưới yếu nếu nó là nửa liên tục trên và u◦f là điều hòa dưới trên M, với mọi hàm chỉnh hình f : M→U, M là đĩa đơn vị trên
C. Ta cũng kí hiệu P SH(U) là tập tất cả các hàm đa điều hòa dưới trên
U.
Định nghĩa 2.1.9. Giả sử U là một tập con mở của tập giải tích V (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
trong Ω. Ta nói rằng hàm u là hầu đa điều hòa dưới trên U và kí hiệu
u ∈ PSH^(U) nếuu là đa điều hòa dưới trên Ureg (với Ureg là tập các điểm chính qui của U) và thỏa mãn
u(z) = lim
Ureg3ς→zu(ς), với mọi z ∈ U\Ureg.
Một hàm trên U được gọi là điều hòa dưới mạnh nếu nó được mở rộng thành một hàm đa điều hòa dưới trên một lân cận mở của U trong Cn. Kết quả rất quan trọng của Fornæss và Narasimhan (tham khảo [5]) đó là trên một không gian phức, mọi hàm đa điều hòa dưới yếu là một hàm đa điều hòa dưới mạnh sẽ sử dụng kết quả đó trong phần sau của luận văn.
Phần lớn từ những tính chất đặc trưng của một hàm đa điều hòa dưới trong Cn ta sẽ suy ra những tính chất của hàm đa điều hòa dưới trên một tập giải tích. Tuy nhiên, một số tính chất quan trọng, chẳng hạn như tính đa điều hòa dưới của chính quy hóa u∗ không còn đúng nữa, bởi ví dụ sau đây.
Ví dụ 2.1.10. Cho V = (z, w) ∈ C2 : zw = 0 . Với ε là số dương tùy ý, xác định hàm uε trên V cho bởi công thức
uε(z, w) =
(
1 +εlog|w| khi z = 0
εlog|z| khi w = 0.
Khi đó uε ∈ P SH(V) nhưng (supuε)∗ = u, với u trên V xác định bởi
u(z, w) =
(
0 khi z 6= 0 1 khi z = 0.
Thật vậy, ta có hàm ϕε = max{εlog|z|, 1 +εlog|w|} ∈ PSH ∆2 và
ϕε|V = uε nên uε ∈ PSH(V).
Mặt khác, khi z = 0 thì uε(z, w) = 1 +εlog|w| còn khi z 6= 0, w = 0 thì
(supuε)∗ =
(
0 nếu z 6= 0 1 nếu z = 0 = u(z, w).
Để xét tính đa điều hòa dưới cho supremum của họ các hàm đa điều hòa dưới, ta có kết quả quan trọng sau.
Định lí 2.1.11. Giả sử V là tập giải tích trong Ω ⊂ Cn và F ⊂ PSH(V)
là một họ bị chặn trên đều địa phương. Đặt U(z) = sup
u∈F
u(z). Khi đó nếu V nếu là bất khả quy địa phương thì U∗ ∈ PSH(V). Tổng quát hơn, U∗ ∈ PSH(Virr), hơn nữa U∗ ∈ PSH^(V) khi V không là bất khả quy địa phương.
Tương tự, nếu F ⊂˜ PSH^(V) là một họ bị chặn trên đều địa phương, đặt U˜(z) = sup
u∈F˜
u(z), thế thì U˜∗ ∈ ^PSH(V).
Chứng minh. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Tính đa điều hòa dưới của U∗ (tương ứng U˜∗) tại mỗi điểm chính quy trong V được suy ra từ định lý về hàm đa điều hòa dưới trên Cn. Hơn nữa, từ tính nửa liên tục trên của U∗ (tương ứng U˜∗) suy ra chúng là đa điều hòa dưới trên V. Để chứng minh U∗ là đa điều hòa dưới trên Virr, ta có thể giả sử V là bất khả quy địa phương.
Bởi Định lí khử kỳ dị của Demaily (xem trong [3]) cho hàm đa điều