Hàm đa điều hòa dưỡi trên tập giải tích trong cn tt

Mé U I Lỵ chồn ãti H m a iãu ho dữợi v têp giÊi tẵch l cĂc ối tữủng quan trồng cừa giÊi tẵch phực nhiãu bián Tuy nhiản viằc nghiản cựu ỗng thới hai ối tữủng n y cỏn ẵt ữủc ã cêp án Mởt nhỳng nguyản nhƠn l sỹ hiằn diằn nhỳng im ký d trản têp giÊi tẵch l m cho quĂ trẳnh trỡn hõa (hay l xĐp x a phữỡng bơng tẵch chêp) cĂc h m a iãu hỏa dữợi hay k thuêt lĐy bao trản cừa hồ nhỳng h m a iãu hỏa dữợi khổng cỏn tĂc dửng Ơy chẵnh l hai cổng cử k thuêt ữủc coi l tiảu chuân cừa lỵ thuyát a thá v phực trản cĂc têp mð n C : Chóng tỉi chån nghi¶n cùu ã t i "H m a iãu hỏa dữợi trản têp giÊi tẵch n C " vẳ mởt phƯn nhỳng thĂch thực k trản v cụng mởt phƯn nhúng ùng döng v o c¡c b i to¡n trung tƠm cừa lỵ thuyát a thá v v giÊi tẵch phực nhữ: GiÊi phữỡng trẳnh Monge-Ampre trản têp giÊi tẵch, Ănh giĂ nh lữủng hởi tử cừa dÂy cĂc h m a iãu hỏa dữợi trản têp giÊi tẵch, II Mửc ẵch v nhiằm vử nghiản cựu theo dói, ta b-t Ưu bơng cĂch nh-c lÔi mët sè kh¡i ni»m cì b£n (xem [6]) n v· têp giÊi tẵch Cho D l têp m C Mởt têp õng V cừa D ữủc gồi l têp giÊi tẵch náu vợi mồi z V ta tẳm ữủc lƠn cên m U cừa z v mët hå c¡c h m ch¿nh h¼nh ffigi2I x¡c ành tr¶n U cho V \ U = fz U : f i(z) = 0; 8i Ig: Trản mởt têp giÊi tẵch cõ hai loÔi im l iºm ký dà v iºm ch½nh qui iºm a V ữủc gồi l im chẵnh qui náu tỗn tÔi mởt lƠn cên U cừa a V \ U l mởt a tÔp phực số chiãu k cừa U Nõi cĂch khĂc, tỗn tÔi cĂc h m chnh hẳnh f1; :::; fn k xĂc nh trản U cho cĂc iãu kiằn sau ữủc thọa mÂn: a: V \ U = fz U : fi(z) = 0; 81 i n kg; @fi b: rank ( )1 i n k;1 j n =n k: Trong trữớng hủp n y s viát dim aV = k Têp cĂc im chẵnh qui cừa V ữủc kỵ hiằu l Vr v Vs := V n Vr l tªp c¡c iºm ký dà cõa V Sè chiãu cừa têp giÊi tẵch V ữủc nh nghắa l dim V = max dimaV: a2Vr Chóng tỉi s³ tªp trung tẳm hiu cĂc vĐn ã sau Ơy xoay quanh cĂc h m a iãu hỏa dữợi xĂc n nh trản têp giÊi tẵch C n VĐn ã Cho V l têp giÊi tẵch cừa mi·n bà ch°n D C T¼m c¡c i·u ki»n tr¶n V º måi h m a i·u háa dữợi b chn trản xĂc nh trản V cõ th xĐp x bi cĂc h m a iãu hỏa dữợi tr¶n V v li¶n tưc tr¶n V Tø â tẳm ựng dửng v o viằc giÊi quyát b i toĂn Dirichlet vợi giĂ tr biản liản tửc (cõ th trứ mởt têp ký d nhọ) VĐn ã XƠy dỹng mởt cĂch nh lữủng nhỳng nguyản lỵ so s¡nh èi vỵi c¡c h m a i·u háa dữợi b chn Tứ õ tẳm Ăp dửng v o vi»c nghi¶n cùu c¡c i·u ki»n õ cho hëi tư cừa dÂy cĂc h m a iãu hỏa dữợi thổng qua hëi tư cõa gi¡ trà bi¶n cõa chóng còng vợi hởi tử cừa dÂy cĂc o Monge-Ampre tữỡng ựng hiu ró hỡn cĂc hữợng nghiản cựu n y, chúng tổi s bẳnh luên cĂc kát quÊ m nhỳng nh toĂn hồc trữợc õ  Ôt ữủc ối vợi nhỳng miãn m b chn n C thẳ vĐn ã  ữủc nghiản cựu bi F Wikstrom v sau â bði N Q Di»u v Wikstrom c¡ch Ơy khoÊng 15 nôm cĂc cổng trẳnh [18], [11], [8] iºm m§u chèt l c¡c t¡c gi£ n y sỷ dửng mởt nh lỵ ối ngău cờ in cừa Edwards [12] nhơm ữa b i toĂn xĐp x h m a iãu hỏa dữợi vã viằc so sĂnh c¡c lỵp ë o Jensen ùng vỵi nhúng nân h m a iãu hỏa dữợi khĂc Khi chuyn sang têp giÊi tẵch thẳ cõ mởt số kát quÊ ban Ưu Ôt ữủc [19] Nhỳng kát quÊ n y cõ hÔn chá l luổn giÊ thiát têp giÊi tẵch V  cõ mởt lƠn n cên m B chẵnh qui C : ối vợi vĐn ã 2, ngo i c¡c cỉng tr¼nh kinh iºn cõa Bedford v Taylor [2], [3], [4] hay Cegrell [5], chóng ta phÊi k án cĂc kát quÊ gƯn Ơy hỡn cừa Xing citeXi1 v nh§t l [21], ð nhúng cỉng trẳnh n y, nhỳng Ănh giĂ nh lữủng cừa nguyản lỵ so sĂnh  ữủc ữa Mởt lƯn nỳa, nghiản cựu b i toĂn xĐp x cho vĐn ã thự 2, chúng tổi  phÊi vữủt qua mởt khõ khôn Ăng k l thiát lêp cĂc cổng thực tẵch phƠn tứng phƯn cho cĂc dỏng dữỡng trản nhỳng têp giÊi tẵch cõ ký d Ngo i ra, mởt ỵ mợi cừa chúng tổi l  lƯn Ưu tiản ã cêp tợi viằc l m yáu iãu kiằn biản III PHìèNG PHP NGHIN CU Mởt khõ khôn l m viằc vợi cĂc têp giÊi tẵch l sỹ xuĐt hiằn nhỳng im ký d nản ngo i cĂc phữỡng ph¡p truy·n thèng cõa Nguy¹n Quang Di»u v Frank Wikstrom (sỷ dửng cĂc nh lỵ ối ngău Edwards) hay cừa Bedford (nguyản lỵ so n sĂnh ối vợi toĂn tỷ Monge-Amp±re) tr÷íng hđp C , chóng tỉi cán ph£i kát hủp vợi cĂc cổng cử mÔnh cừa lỵ thuyát a thá v phực trản têp giÊi tẵch nhữ nhỳng kát quÊ cừa Fornaess v Narasimhan vã c trững h m iãu hỏa dữợi, cổng thực tẵch phƠn tứng phƯn ối vợi cĂc dÔng vi phƠn trản têp giÊi tẵch, Chữỡng Tờng quan vã cĂc vĐn 1.1 Ta b-t Hm ã luên Ăn iãu hỏa dữợi Ưu bơng viằc trẳnh b y lÔi cĂc nh nghắa vợi mởt số kát quÊ vã n h m iãu hỏa dữợi trản C v sau õ l vã h m a iãu hỏa dữợi trản C Dửng ỵ cừa chúng tổi l cho bÔn ồc hiu ữủc khĂi niằm h m a iãu hỏa dữợi trản têp giÊi tẵch s ữủc trẳnh b y sau õ CĂc kát quÊ n y vợi nhỳng chựng minh chi tiát cõ th tẳm thĐy sĂch kinh in vã lỵ thuyát a thá v phực [16] nh ngh¾a 1.1.1 Gi£ sû X l khỉng gian tỉpỉ H m u : X ! [ 1; +1) gåi l nỷa liản tửc trản trản X náu vợi mội a R tªp Xa = fx X : u(x) < ag l tªp mð X H m nûa liản tửc trản cõ tẵnh chĐt thú v sau Ơy M»nh · 1.1.2 Gi£ sû u l h m nûa li¶n tưc tr¶n tr¶n khỉng gian tỉpỉ X v K b X l têp compact Khi õ u Ôt cỹc Ôi trản K nh nghắa 1.1.3 GiÊ sỷ l têp mð C H m u : ! [ 1; +1) gồi l iãu hỏa dữợi trản náu u nỷa liản tửc trản trản , u 1trản bĐt kẳ mởt th nh phƯn liản thổng cừa v thọa mÂn bĐt ng thực dữợi trung bẳnh trản , nghắa l vợi mồi ! tỗn tÔi % > cho vỵi måi r < % ta câ u(w) 1Z 2 it u(w + re )dt: 1.2 Hm a iãu hỏa dữợi n nh nghắa 1.2.1 Gi£ sû C l tªp mð v u : ! [ 1; +1) l h m nûa li¶n tưc trản, khổng ỗng nhĐt bơng trản mồi th nh phƯn liản thổng cừa H m u gồi l a iãu hỏa dữợi trản (viát u P SH( )) náu vợi mồi a v n b C , h m !u(a + b) l i·u hỏa dữợi hoc bơng trản mồi th nh phƯn liản thổng cừa têp f C : a + b g T÷ìng tü nh÷ h m i·u háa dữợi, ta cõ kát quÊ sau nh lỵ 1.2.2 GiÊ sû u : ! [ 1; +1) l h m nỷa liản tửc trản, khổng ỗng nhĐt n bơng trản mồi th nh phƯn liản thổng cừa C Khi â u P SH( ) v n ch¿ vỵi måi a ; b C cho fa + b : C; j j ta câ u(a) 1Z 1g i u(a + e b)d : B¥y gií ta ph¡t biu nh lẵ xĐp x chẵnh cho cĂc h m a iãu hỏa dữợi tữỡng tỹ nhữ cĂc h m iãu hỏa dữợi Trong Chữỡng 3, phÊi Ăp dửng mởt k thuêt tinh tá hỡn cừa Bedford vã xĐp x h m a iãu hỏa dữợi trản têp giÊi tẵch bi mởt dÂy cĂc h m trỡn, tỹa a iãu hỏa dữợi n nh lỵ 1.2.3 GiÊ sỷC l cho : = " fu " : " > 0g l lim u "!0 x£y vỵi måi z "(z) = u(z) Quay tr lÔi nởi dung chẵnh cừa luên Ăn Chúng ta nghiản cựu hai vĐn ã vã h m a iãu hỏa dữợi trản têp giÊi tẵch VĐn ã Ưu tiản l xĐp x h m a iãu hỏa dữợi trản cĂc têp giÊi tẵch v tiáp theo l nghiản cựu nguyản lỵ so sĂnh vợi cĂc h m a iãu hỏa dữợi b chn vợi ựng dửng v o nghiản cựu b i to¡n hëi tư cõa d¢y h m a i·u háa dữợi Sau Ơy s tẳm hiu lƯn lữủt hai nëi dung n y f 1.3 X§p x¿ h m C a iãu hỏa dữợi trản cĂc têp giÊi tẵch n H m a iãu hỏa dữợi l mởt ối tữủng quan trồng cừa giÊi tẵch phực Tuy nhiản n chúng mợi ch ữủc nghiản cựu nhiãu trản têp m cừa C v a tÔp phực Nởi dung cừa luên Ăn l nghiản cựu xĐp x cừa cĂc h m a iãu hỏa dữợi trản cĂc têp n gi£i t½ch C â l c¡c t½nh chĐt xĐp x cừa h m a iãu hỏa dữợi trản cĂc têp nhọ cừa mởt têp giÊi tẵch bi cĂc h m a iãu hỏa dữợi trản nhỳng têp lợn hỡn Ngo i chúng tổi cụng nghiản cựu toĂn tỷ Monge-Ampre v phữỡng trẳnh Monge-Ampre trản têp giÊi tẵch Ta nh-c lÔi mởt số khĂi niằm cỡ bÊn n nh nghắa 1.3.1 Cho D l têp m C v V l tªp âng cõa D Ta nõi V n l têp giÊi tẵch cừa D náu vợi mồi x V tỗn tÔi mởt lƠn cên m U x C cừa x cho Ux \ V l khæng iºm chung cõa mët sè cĂc h m chnh hẳnh trản Ux: Nhỳng khĂi niằm số chiãu cừa têp giÊi tẵch V , phƯn chẵnh qui V r v ph¦n ký dà Vs cõa V  ữủc trẳnh b y sỡ lữủc phƯn m Ưu cừa luên Ăn v khổng cƯn thiát nh-c lÔi Ơy Ta ch cƯn nhợ vẵ dử cỡ bÊn sau Ơy vã têp giÊi tẵch: Náu V := f(z1; z2) C : z1z2 = 0g th¼ Vr = V n f(0; 0)g v Vs = f(0; 0)g Hìn núa dim V = 1: G-n li·n vỵi kh¡i niằm têp giÊi tẵch l cĂc khĂi niằm h m chnh hẳnh v h m a iãu hỏa dữợi trản nhúng tªp n y Chóng ta câ c¡c kh¡i ni»m sau Ơy ữủc lĐy [13] n nh nghắa 1.3.2 Cho V l mởt têp giÊi tẵch miãn b ch°n D cõa C : Mët h m f : V ! C ữủc gồi l chnh hẳnh náu vã a phữỡng f l hÔn chá trản n V cừa cĂc h m chnh hẳnh trản nhỳng têp m cừa C : n ành ngh¾a 1.3.3 Cho V l mët têp giÊi tẵch miãn b chn D cừa C : H m nûa li¶n tưc tr¶n u : V ! [ 1; 1) gồi l a iãu hỏa dữợi náu vã a n phữỡng u l hÔn chá cừa cĂc h m a iãu hỏa dữợi trản nhỳng têp mð cõa C : Tªp c¡c h m a iãu hỏa dữợi trản têp giÊi tẵch V ữủc kỵ hi»u l P SH(V ) Mët v§n · truy·n thèng cừa giÊi tẵch l xĐp x cĂc h m trản mởt têp nhọ bi nhỳng h m cõ tẵnh chĐt tốt hỡn xĂc nh trản cĂc têp lợn hỡn Vợi ỵ tững n y, chúng tổi  chựng minh ữủc nhỳng kát quÊ sau Ơy cổng trẳnh [9] n nh lỵ 1.3.4 Cho V l têp giÊi tẵch mi·n D n¬m C Gi£ sû câ mởt h m a iãu hỏa dữợi liản tửc Ơm vt cÔn trản V Khi õ vợi mồi h m u a iãu hỏa dữợi Ơm, liản tửc trản V tỗn tÔi mởt dÂy cĂc h m a iãu hỏa dữợi hởi tử giÊm vã u trản V Hỡn nỳa fujg cõ giĂ tr biản bơng khổng vợi mồi j n Trong trữớng hủp V l têp m C thẳ kát quÊ trản  ữủc chựng minh bi Cegrell cổng trẳnh [5] Trong trữớng hủp cừa chúng tæi, chùng minh häi nhúng thay êi ¡ng kº vẳ php l m trỡn bơng lĐy tẵch chêp cụng nhữ chẵnh qui hõa nỷa liản tửc trản khổng ữủc thỹc hiằn trản têp giÊi tẵch PhĂt trin theo hữợng nghiản cựu trản, chúng tổi cõ kát quÊ sau Ơy vã xĐp x giĂ tr biản cừa h m a iãu hỏa dữợi trản nhỳng têp giÊi tẵch B chẵnh qui Nh-c lÔi nh nghắa sau Ơy [9] nh nghắa 1.3.5 Têp giÊi tẵch V gồi l B chẵnh qui náu vợi mồi h m liản tửc ' : @V ! R ta tẳm ữủc u P SH(V ) \ C(V ) cho u = ' tr¶n @V: nh lỵ 1.3.6 Cho V l têp giÊi tẵch nhữ nh lỵ trản GiÊ sỷ V l Bchẵnh qui Cho u l h m a iãu hỏa dữợi Ơm trản V Khi õ tỗn tÔi dÂy a iãu hỏa dữợi uj Ơm trản V , liản tửc trản V v hëi tư gi£m v· u tr¶n V Kát quÊ trản l m rởng cừa mởt nh lỵ cừa Wikstrom trữớng hủp têp m f g n B- chẵnh qui C : Cụng nhữ nh lỵ 1.3.4, chúng tổi cụng gp nhỳng khõ khôn l m vi»c vỵi c¡c h m a i·u háa dữợi trản V cĂc php l m trỡn a phữỡng cụng nhữ lĐy chẵnh qui hõa nỷa liản tửc trản khổng bÊo to n tẵnh a iãu hỏa dữợi nh lỵ 1.3.7 Cho V l mởt têp giÊi tẵch Stein, bĐt khÊ quy a phữỡng n miãn b chn D C : GiÊ sỷ tỗn tÔi v P SH (V ); v > tr¶n V v mởt têp compact K @V thọa mÂn cĂc tẵnh ch§t sau: (i) limv(z) = 1; K: z! (ii) Méi iºm (@V ) n K câ mët cÊn a phữỡng a iãu hỏa dữợi liản tửc Khi õ vợi mồi ' C(@V ) tỗn tÔi nhĐt mởt h m a iãu hỏa dữợi, b chn, liản tửc v cỹc Ôi u trản V cho lim u(z) = '( ); @V n K: z! ;z2V 1.4 Nguyản lỵ so sĂnh cho cĂc h m a iãu hỏa dữợi b chn trản cĂc têp gi£i t½ch C n Cho u PSH(V ), l mët h m bà ch°n àa ph÷ìng a i·u hỏa dữợi trản têp giÊi tẵch V GiÊ sỷ dim V = k Khi õ ta nh nghắa bơng qui nÔp biu thực sau trản Vr, phƯn chẵnh qui cõa V , c m c c m (dd u) := dd (u(dd u) c Ti¸p theo, ë o (dd u) k ) m k: ữủc xĂc nh trản to n th V theo c¡ch sau Z Z c k c k (dd u) := (dd u) ; Ơy: E E\Vr vợi mồi Borel E cừa V nh lỵ sau Ơy ữủc chựng minh bi Bedford v o Ưu nhỳng nôm 80 cừa thá k trữợc nh lỵ 1.4.1 Cho u; v l cĂc h m a iãu hỏa dữợi b chn tr¶n V Gi£ sû lim (u(z) v(z)) Khi â ta câ z!@V Z fu 1: z2V v(z)) (b) lim(u(z) vỵi måi (@V ) n E: Khi â vỵi måi h m m tông z! : (0; 1) ! (0; 1) v vợi måi ta câ Z c (v u)dd w1 ^ fu1 P SHc (V ) cho :Vuu j # 2.2 tr¶n Mët sè k¸t qu£ bê trđ º chùng minh c¡c kát quÊ cừa phƯn trữợc, chúng tổi cƯn mởt số kián thực chuân b vã h m a iãu hỏa dữợi trản têp giÊi tẵch cụng nhữ nh lỵ ối ngău cừa Edwards vã biu diạn bao trản cĂc h m a iãu hỏa dữợi n Cho V l têp gi£i t½ch mi·n D C (n > 2) Kỵ hiằu PSH(V ) l nõn cĂc h m a iãu hỏa dữợi trản V v PSH (V ) l nõn cừa cĂc h m Ơm, nỷa liản tửc trản xĂc nh trản V v a iãu hỏa dữợi trản V: Cỉng cư ch½nh cõa chóng ta l mët ành lỵ ối ngău cừa Edwards vã bao trản cừa h m a iãu hỏa dữợi 11 ữủc lĐy nõn lỗi cừa P SH(V ): Hữợng tiáp cên n y  ữủc sỷ dửng lƯn Ưu tiản cổng trẳnh [19], [11] v sau õ ữủc phĂt trin [8] n V = D l mi·n bà ch°n cừa C : Nguyản lỵ chung l phƯn tỷ mởt nõn A PSH (V ) ữủc xĐp x bi ph¦n tû mët nân nhä hìn B chóng ta câ ¯ng thùc cõa tªp ë o Jensen èi vợi A v B: Tuy nhiản, cõ hai vĐn ã kỵ thuêt phÊi kh-p phửc Thự nhĐt l cĂch lĐy tẵch chêp xĐp x h m a iãu hỏa dữợi trản V l khổng khÊ thi, thự hai l chẵnh qui hõa cừa bao trản mởt hồ h m a iãu hỏa dữợi b chn trản ãu a phữỡng khổng nhĐt thiát a iãu hỏa dữợi (xem Vẵ dử 1.4 [22]) Vẳ thá, phÊi tÔo thảm iãu kiằn vữủt qua nhỳng tr ngÔi n y ối vợi vĐn ã thự nhĐt ta giÊ sỷ tỗn tÔi mởt h m vt cÔn h m a iãu hỏa dữợi trản V; õ ta cõ th Ăp dửng mởt nh lỵ xĐp x cừa Fornaess v Narasimhan (xem nh lỵ 5.5 [13]), phƯn cỏn lÔi ữủc giÊi quyát bơng cĂch t mởt số hÔn chá trản phƯn khổng bĐt khÊ quy a phữỡng cừa V (xem nh lỵ 2.1.3) nh lỵ sau Ơy ữủc chựng minh bði Edwards [12] v sau â ÷đc ¡p dưng bði Wikstom cho tr÷íng hđp °t bi»t F l nõn nhỳng h m a iãu hỏa dữợi Ơm nh lỵ 2.2.1 Cho F ữủc nh nghắa nhữ trản, náu g l mởt liản tửc dữợi trản X: Khi õ Sg = Ig: Viằc sỷ dửng nh lỵ ối ngău cừa Edward lỵ thuyát a thá v  ữủc sỷ dửng lƯn Ưu tiản cổng trẳnh nãn tÊng [17] °c bi»t, [17], b i to¡n n Dirichlet ối vợi miãn b chn C  ữủc giÊi quyát triằt Trong trữớng hủp n y, bơng cĂch Ăp dửng nh lỵ nhữ trản án nõn lỗi F := P SH (V ) v F2 := P SHc (V ) chúng tổi thu ữủc kát quÊ sau nh lỵ 2.2.2 Cho ' : V ta cõ inf inf Z n n 'd ; Jz V Z c 'd ; Jz V Chóng ta cơng c¦n nhúng bê · sau v· d¡n c¡c h m a iãu hỏa dữợi trản têp giÊi tẵch Ơy l nhúng h» qu£ ìn gi£n cõa °c tr÷ng Fornaess-Narasimhan v· tẵnh a iãu hỏa dữợi trản têp giÊi tẵch Bờ ã 2.2.3 Cho V l mởt têp giÊi tẵch cõa mët mi·n D 12 n C ;U Vl tªp mð v u P SH(V ); v P SH(U): Gi£ sû r¬ng lim v( ) u(z) 8z @U: !z Khi â h m ( w := maxfu; vg u l tr¶n U tr¶n V n U a iãu hỏa dữợi trản V n Bờ ã 2.2.4 Cho V l têp giÊi tẵch cừa mởt miãn b chn D C : GiÊ sỷ tỗn tÔi PSH (V ); 1thäa m¢n theo i·u ki»n (i) v (ii) nh lỵ 2.1.3 Khi õ vợi h m nûa li¶n tưc tr¶n ' : V ! [ 1; 0) b§t ký ta câ v = v PSH (V n F ), ð ¥y v(z) := supfu(z) : u PSH (V ); u 2.3 ' tr¶n V g; z V: Kát luên cừa Chữỡng CĂc kát quÊ chẵnh cừa chúng tổi Chữỡng liản quan tợi xĐp x h m a iãu hỏa dữợi b chn trản têp giÊi tẵch V cõ số chi·u k mi·n bà ch°n D n C : Kát quÊ Ưu tiản l Mằnh ã 2.1.2 cho ta thĐy mối liản hằ giỳa cĂc lợp o Jensen v b i toĂn xĐp x Tiáp theo l nh lỵ 2.1.3 cho mởt iãu kiằn mồi h m a iãu hỏa dữợi Ơm u trản V l ữủc xĐp x bi mởt dÂy h m a iãu hỏa dữợi trản V v liản tửc trản V GiÊ thiát cốt yáu l sỹ tỗn tÔi cừa mởt c têp E V hai lợp o Jensen J z v Jz l tròng ngo i têp E im Ăng ỵ cừa nh lỵ n y l chóng ta x²t ¸n sü hëi tü cừa dÂy cĂc o Monge-Ampre tữỡng ựng CƯn lữu ỵ rơng giÊ thiát vã tẵnh bĐt khÊ qui a phữỡng ữủc t vẳ chúng tổi muốn xƠy dỹng h m xĐp x bơng cĂch lĐy bao trản cừa mởt hồ cĂc h m a iãu hỏa dữợi Náu ta câ mët c¡ch x¥y düng h m a i·u hỏa dữợi khổng cƯn sỷ dửng bao trản thẳ giÊ thiát n y l khổng cƯn thiát Tiáp sau nh lỵ trản, nh lỵ 2.1.4 ã cêp án mởt tẳnh m têp loÔi trứ E nh lỵ 2.1.3 cõ th xuĐt hiằn Ta cõ th hiu têp E lúc n y l bao a iãu hỏa dữợi cừa mởt têp ký d nhọ nơm trản biản cừa V im Ăng ỵ l ta cƯn mởt giÊ thiát k thuêt l têp giÊi tẵch V l Stein (tỗn tÔi mởt h m a iãu hỏa dữợi vt cÔn trản V ) Kát quÊ trản l mÔnh hỡn mởt nh lỵ  biát cừa Wikstrom [19] bi vẳ ta khổng cƯn giÊ thiát V cõ mởt lƠn cên B- chẵnh qui n C : Mởt kát quÊ khĂc cừa phƯn n y l nh lỵ 2.1.5 cho sỹ tỗn tÔi v nhĐt nghiằm cừa b i toĂn Dirichlet vợi giĂ tr biản liản tửc trản V CĂc kát quÊ cừa Chữỡng luên Ăn l ữủc viát dỹa trản cổng trẳnh [9] 13 Ta kát thúc mửc n y bơng cĂch nảu nhỳng vĐn ã m m khổng th kh-c phửc d ng bơng phữỡng phĂp cừa chúng tổi A Kát luên cừa nh lỵ 2.1.4 cỏn úng khổng náu V khổng l Stein? Trong n trữớng hủp V l têp m cừa C thẳ giÊ thiát n y l khổng cƯn thiát Ta cƯn giÊ thiát n y ch Ăp dửng nh lỵ xĐp x cừa Fornaess v Narasimhan B Chúng tổi cụng khổng biát nh lỵ 2.1.5 cỏn óng khỉng n¸u ta khỉng gi£ thi¸t v > kh-p nỡi trản V: n C Tữỡng tỹ vợi trữớng hđp V l tªp hđp mð cõa C (xem [17]), mởt têp giÊi n tẵch V D C ữủc gồi l B- chẵnh qui náu mồi h m gi¡ trà thüc li¶n tưc ' tr¶n @V câ thº m rởng án h m liản tửc trản V m a iãu hỏa dữợi trản V: Ró r ng, náu D l B- chẵnh qui thẳ mồi têp giÊi tẵch phực V cừa D cụng l B-chẵnh qui Mởt cƠu họi tỹ nhiản l náu V l B- chẵnh qui thẳ õ cõ tỗn tÔi hay khổng têp n mð D0 cõa D cho D0 l B ch½nh qui (trong C ) v V D0 ? C¥u häi n y ữủc lĐy cÊm hựng tứ mởt nh lỵ nời tiáng cừa Siu nõi rơng n n mồi a tÔp Stein mởt miãn cừa C cõ mởt lƠn cên m Stein (trong C ) 14 Chữỡng Nguyản lỵ so sĂnh cho h m a iãu hỏa dữợi trản têp giÊi tẵch 3.1 Nởi dung tõm t-t theo dói, s trẳnh b y tõm t-t cĂc kát quÊ chẵnh cừa chữỡng n y Nởi dung cừa chữỡng  ữủc ông cổng trẳnh [10] ị tững mợi cừa chữỡng n y l m rởng nguyản lỵ so sĂnh cờ in cừa Bedford-Taylor ( nh lỵ 4.1 [2]) v nguyản lỵ so sĂnh mÔnh cừa Xing [20] cho cĂc n h m a iãu hỏa dữợi b chn trản têp gi£i t½ch mi·n bà ch°n cõa C Hìn núa chóng ta mn gi£m nhµ c¡c i·u ki»n bi¶n cõa u v v Mët thay êi n núa l chóng ta mn thay th¸ c¡c biºu thùc (v u) nh lỵ 3.1.2 bơng hủp th nh cừa v u vợi nhỳng h m thỹc trỡn thẵch hủp m (j) Mët h m : (0; 1) ! (0; 1) ữủc gồi l m- tông, (m 1) náu C (0; 1); l tông v khổng Ơm trản (0; 1) vỵi måi j m Vỵi méi mët h m m- tông , thiát lêp (j) (0) := lim (j) (t); Pm( ) := t!0 Trong to n bở chữỡng n y s kẵ hiằu V l mởt têp giÊi tẵch n miãn bà ch°n D C vỵi dim V = k; k n Biản cừa V (kẵ hiằu @V ) ữủc hiu l @D \ V : Mởt têp E @V ữủc gồi l khỷ ữủc náu tỗn tÔi PSH (V ) \ Lloc (V ) cho lim (z) = z ! Kát quÊ chẵnh cừa chữỡng n y l nguyản lỵ so sĂnh sau Ơy nh lỵ 3.1.1 Cho u; v PSH(V ) \ L (V ) v E @V l mët têp khỷ ữủc loc 15 inf (u(z) v(z)) > 1: (a) z2V lim(u(z) v(z)) vỵi måi (@V ) n E: (b) z! Khi õ vợi mồi số nguyản m vỵi m k v måi m h m t«ng : (0; 1) ! (0; 1) chóng ta câ Z c (v fu