BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI - - HOÀNG VIỆT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI - - HOÀNG VIỆT Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 9.46.01.02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Văn Trào GS TSKH Đỗ Đức Thái Hà Nội - Năm 2018 ▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ❚ỉ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ▲✉➟♥ →♥ ♥➔② ❞♦ ❝❤➼♥❤ t→❝ ❣✐↔ t❤ü❝ ❤✐➺♥ t↕✐ ❑❤♦❛ ❚♦→♥✲❚✐♥✱ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ữợ sỹ ữợ P ❚r➔♦ ✈➔ ●❙✳ ❚❙❑❍✳ ✣é ✣ù❝ ❚❤→✐❀ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ▲✉➟♥ →♥ ❧➔ ♠ỵ✐✱ ✤➲ t➔✐ ❝õ❛ ▲✉➟♥ →♥ ❦❤ỉ♥❣ trò♥❣ ❧➦♣ ✈➔ ❝❤÷❛ ✤÷đ❝ ❝ỉ♥❣ ❜è tr♦♥❣ ❜➜t ❝ù ❝ỉ♥❣ tr➻♥❤ ❝õ❛ ❛✐ ❦❤→❝✳ ❚→❝ ❣✐↔ ❍♦➔♥❣ ❱✐➺t ▲í✐ ỡ ữủ t ữợ sỹ ữợ ❞➝♥ ❝õ❛ P●❙✳ ❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ❚r➔♦ ✈➔ ●❙✳ ❚❙❑❍✳ ✣é ✣ù❝ ❚❤→✐✳ ❇➡♥❣ t➜t ❝↔ sü ❦➼♥❤ trå♥❣ ❝õ❛ ♠➻♥❤✱ tỉ✐ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ t tợ t t ữợ tổ tr➯♥ ❝♦♥ ✤÷í♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤♦❛ ❤å❝✳ ❚ỉ✐ ❝↔♠ t❤➜② r➜t ♠❛② ♠➢♥✱ ✈✐♥❤ ❞ü ✈➔ ❤↕♥❤ ♣❤ó❝ ❦❤✐ ✤÷đ❝ t ữợ ổ ụ ữủ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ s➙✉ s➢❝ tỵ✐ ❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❳✉➙♥ ỗ ữợ õ ỵ rt t tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ tæ✐ ❤å❝ t➟♣✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ 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j≥1 Ω (−um )min(p,1) (ddc uj )n ≤ sup sup m≥1 j≥1 Ω (−uj )min(p,1) (ddc uj )n = sup j≥1 Ω (1 + (−uj )p )(ddc uj )n ≤ sup j≥1 Ω ❙✉② r❛ (ddc max(u, −k))n ≤ k min(p,1) (1 + (−uj )p )(ddc uj )n sup j≥1 Ω {u≤−k} ❉♦ ✤â✱ t❤❡♦ ✣à♥❤ ❧➼ ✹✳✽ tr♦♥❣ ❬✷✷❪✱ t❛ ✤÷đ❝ (ddc u)n = lim {u>−∞} k→+∞ {u>−k} (ddc max(u, −k))n (ddc max(u, −k))n = lim k→+∞ Ω (ddc uj )n = sup j≥1 Ω ✻✺ ▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✷✳✸✳ ●✐↔ sû Ω ❧➔ ♠✐➲♥ F ✲s✐➯✉ ỗ tr Cn p > sû u ∈ Fp (Ω) ✈➔ v ∈ F ✲PSH(Ω) ✈ỵ✐ u ≤ v < 0✳ ❑❤✐ ✤â v ∈ Fmin(p,1) (Ω) ✈➔ (ddc v)n ≤ {v>−∞} (ddc u)n {u>−∞} ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû {uj } ⊂ E0 (Ω) s❛♦ ❝❤♦ uj u tr➯♥ Ω ✈➔ (1 + (−uj )p )(ddc uj )n < +∞ sup j≥1 Ω ✣➦t vj := max(uj , v)✳ ❚❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✶✳✹✱ t❛ ❝â vj ∈ E0 (Ω)✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ t❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✾✱ t❛ ❝â −(−vj )min(p,1) ∈ F ✲PSH− (Ω)✳ ❱➻ t❤➳✱ ❧➛♥ ♥ú❛ →♣ ❞ö♥❣ ▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✶✳✹✱ s✉② r❛ [1 + (−vj )min(p,1) ](ddc vj )n sup j≥1 Ω [1 + (−vj )min(p,1) ](ddc uj )n ≤ sup j≥1 Ω [2 + (−uj )p ](ddc uj )n < +∞ ≤ sup j≥1 Ω ❚ø vj v tr➯♥ Ω✱ s✉② r❛ v ∈ Fmin(p,1) (Ω)✳ ❉♦ ✤â✱ t❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✶✳✹ ✻✻ ✈➔ ▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✷✳✷✱ t❛ ❝â (ddc v)n = sup (ddc vj )n j≥1 Ω {v>−∞} (ddc uj )n ≤ sup j≥1 Ω (ddc u)n = {u>−∞} ▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✷✳✹✳ ●✐↔ sû Ω ❧➔ ♠✐➲♥ F ✲s✐➯✉ ỗ tr Cn p > sû u ∈ Fmin(p,1) (Ω) ✈➔ v ∈ F ✲PSH− (Ω) s❛♦ ❝❤♦ (1 + (−u)p )(ddc u)n ≤ (1 + (−v)p )(ddc v)n tr➯♥ Ω ∩ {u > −∞} ∩ {v > −∞}✳ ❑❤✐ ✤â u ≥ v tr➯♥ Ω✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû ϕ ❧➔ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ỏ ữợ trỡ t tr Cn s {ϕ < 0}✳ ✣➦t vj := max(u, v + 1j ) tr õ j N rữợ ❤➳t✱ t❛ ②➯✉ ❝➛✉ (ddc vj )n ≥ (ddc u)n tr➯♥ Ω ∩ {u > −∞} ∩ {v > −∞} ❚❤➟t ✈➟②✱ ❜ð✐ ❣✐↔ t❤✐➳t n + (−u)p c n (dd (v + ϕ)) ≥ (dd v) ≥ (ddc u)n ≥ 1{u≤v+ 1j ϕ} (ddc u)n p j + (−v) c tr➯♥ Ω ∩ {u > −∞} ∩ {v > −∞}✳ ❱➻ t❤➳✱ t❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✻✱ t❛ ✤÷đ❝ 1{u≤v+ 1j ϕ} (ddc vj )n ≥ 1{u≤v+ 1j ϕ} (ddc u)n tr➯♥ Ω∩{u > −∞}∩{v > −∞} ✻✼ ❍ì♥ ♥ú❛✱ t❤❡♦ ✣à♥❤ ❧➼ ✹✳✽ tr♦♥❣ ❬✷✷❪✱ t❛ ❝â (ddc vj )n = (ddc u)n tr➯♥ Ω ∩ {u > v + 1j ϕ} ∩ {u > −∞} ∩ {v > −∞}✳ ❉♦ ✤â (ddc vj )n ≥ (ddc u)n tr➯♥ Ω ∩ {u > −∞} ∩ {v > −∞} ✣✐➲✉ ♥➔② ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ②➯✉ ❝➛✉✳ ❚ø vj ≥ u tr➯♥ Ω✱ t❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✷✳✸✱ t❛ ❝â (ddc u)n ≤ {u>−∞} (ddc vj )n ≤ {vj >−∞} (ddc u)n < +∞ {u>−∞} ❙✉② r❛ 1{vj >−∞} (ddc vj )n = 1{u>−∞} (ddc u)n tr➯♥ Ω✳ ❉♦ ✤â✱ t❤❡♦ ✣à♥❤ ❧➼ ✹✳✽ tr♦♥❣ ❬✷✷❪✱ t❛ ✤÷đ❝ [(ddc (v + ϕ))n − (ddc v)n ] j (ddc ϕ)n ≤ j n {−∞ −∞} ❱➻ t❤➳✱ t❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✷✳✹ s✉② r❛ v ≥ u tr➯♥ Ω✱ ✈➔ ❞♦ ✤â✱ u = v tr➯♥ Ω✳ ❱➻ ✈➟②✱ uj → u ❤✳❦✳♥✳ tr➯♥ Ω✳ ✼✶ ❑➳t ❧✉➟♥ ❝õ❛ ❈❤÷ì♥❣ ✸ ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ✤÷❛ r❛ ❝→❝ F s ỗ ợ F ỏ ữợ E0 () Fp () ❝→❝ ♠➺♥❤ ✤➲✱ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ✤➣ sû ❞ư♥❣ t♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲❆♠♣➧r❡ ♣❤ù❝ ✈➔ ❝→❝ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✾✱ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✶✵✱ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✺✱ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✻ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✼✱ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✣à♥❤ ❧➼ ✸✳✸✳✶✱ tr♦♥❣ ✤â ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ r➡♥❣✱ ♠é✐ ❤➔♠ u ∈ Fp (Ω) ✭p > 0✮ ✤➲✉ ①➜♣ ①➾ ❜ð✐ ♠ët ❞➣② t➠♥❣ ❝→❝ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ỏ ữợ tr s ỗ rở ỡ t ❑➳t ❧✉➟♥ ▲✉➟♥ →♥ ✤➣ ❝❤➾ r❛ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤➸ ❝â sü t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ❝õ❛ t➼♥❤ ❝❤➜t F ✲❝ü❝ ✤↕✐ F ✲✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✈➔ F ✲❝ü❝ ✤↕✐ ❝õ❛ ❤➔♠ F ỏ ữợ r ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤➸ t❤✐➳t ❧➟♣ ✈➜♥ ✤➲ ①➜♣ ①➾ ❝õ❛ F ỏ ữợ ỏ ữợ t ❝❤➾ r❛ r➡♥❣✱ ✤è✐ ✈ỵ✐ ♠ët ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ỏ ữợ tử tr t õ F ✲❝ü❝ ✤↕✐ tr➯♥ Ω ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ♥â ❧➔ F ✲❝ü❝ ✤↕✐ F ✲✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➯♥ Ω ✭✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✳✷✮✳ ✷✳ ▲✉➟♥ →♥ ✤➣ ❝❤➾ r❛ 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