Tính cực đại, tính cực đại địa phương và vấn đề xấp xỉ của các hàm f đa điều hòa dưới (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI - - HOÀNG VIỆT Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 9.46.01.02 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2018 Cơng trình hồn thành tại: Khoa Tốn - Tin Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Văn Trào GS TSKH Đỗ Đức Thái Phản biện 1: GS TSKH Phạm Hoàng Hiệp - Viện Toán học Phản biện 2: PGS TS Nguyễn Thạc Dũng - ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội Phản biện 3: GS TS Nguyễn Quang Diệu - Đại học Sư phạm Hà Nội Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường họp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, vào lúc … giờ…… ngày …… tháng … năm 2018 Có thể tìm hiểu Luận án thư viện: - Thư viện Quốc gia, Hà Nội - Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội ▼ð ✤➛✉ ✶✳ ▲➼ ❞♦ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ t♦➔♥ ❜ë ❧✉➟♥ →♥ ♥➔② ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠ët ợ t ỏ ữợ õ ỏ ữợ r t s t F ỏ ữợ sỷ ❝õ❛ ✈➜♥ ✤➲ ✤÷❛ r❛ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ①✉➜t ♣❤→t tø ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❍✳ ❈❛rt❛♥ ✈➔♦ ✤➛✉ ♥❤ú♥❣ ♥➠♠ t trữợ õ t ổ tử ỏ ữợ tr➯♥ C✱ ❈❛rt❛♥ ✤➣ ✤÷❛ r❛ tỉ♣ỉ ✧❢✐♥❡✧ tr➯♥ C ♥❤÷ ❧➔ tỉ♣ỉ ②➳✉ ♥❤➜t tr➯♥ C ♠➔ ❧➔♠ ❝❤♦ ỏ ữợ tử tt ữủ ởt số t q ú ỵ ✤è✐ ✈ỵ✐ ❧ỵ♣ ❤➔♠ ♥â✐ tr➯♥✳ ❙❛✉ ✤â ✈➔♦ ♥❤ú♥❣ t trữợ ữ r ❝→❝ ❤➔♠ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❢✐♥❡ ✈➔ ❤➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ❢✐♥❡ ✈➔ t❤✐➳t ❧➟♣ ♠è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❝❤ó♥❣ ♥❤÷ ♠è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❤➔♠ ✤✐➲✉ ❤á❛ ✈➔ ❤➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ tr♦♥❣ ❝→❝ ❣✐→♦ tr➻♥❤ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ♣❤ù❝✳ ❚ê♥❣ q✉→t ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ tr➯♥ ❧➯♥ Cn✱ ❲✐❡❣❡r✐♥❝❦ ✈➔ ❝→❝ ❝ë♥❣ sü ✤➣ ①➙② ❞ü♥❣ tæ♣æ ♣❧✉r✐❢✐♥❡ ✭t❛ s➩ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ F ✲tæ♣æ✮ tr➯♥ Cn ✈➔ ①→❝ ✤à♥❤ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❤➔♠ F ỏ ữợ t tr t ▲➼ t❤✉②➳t ✤❛ t❤➳ ✈à ♣❧✉r✐❢✐♥❡ ♠➔ t❛ ✈✐➳t ❧➔ F ✲✤❛ t❤➳ ✈à✳ ▼ët ✈➜♥ ✤➲ tü ♥❤✐➯♥ ✤÷đ❝ ✤➦t r❛ tr♦♥❣ ▲➼ t❤✉②➳t F ✲✤❛ t❤➳ ✈à ❧➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥❤ú♥❣ ✈➜♥ ✤➲ t÷ì♥❣ tü ❝õ❛ ▲➼ t❤✉②➳t t tổ tữớ ợ F ỏ ữợ ữ t t tr số ỏ ữợ tr t tr Cn tỗ t ởt ợ ỳ trỏ r➜t q✉❛♥ trå♥❣✱ ❝â ♥❤✐➲✉ ù♥❣ ❞ö♥❣ tr♦♥❣ ▲➼ t❤✉②➳t ✤❛ t❤➳ ✈à✱ ✤➦❝ ❜✐➺t tr♦♥❣ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t tê♥❣ q✉→t✱ ✤â ❧➔ ❧ỵ♣ ❝→❝ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ữợ ỹ t ự t ỹ ỏ ữợ tr t ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ tr♦♥❣ Cn ❧➔ ♠ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ✈➜♥ ✤➲ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ▲➼ t❤✉②➳t ✤❛ t❤➳ ✈à✳ ❉♦ t➼♥❤ ❝ü❝ ữỡ ỏ ữợ t ỡ tr trữớ ủ ởt ỵ t÷ð♥❣ tü ♥❤✐➯♥ ❧➔ ❝❤✉②➸♥ ✈✐➺❝ ①➨t t➼♥❤ ❝ü❝ ✤↕✐ t ỏ ữợ ①➨t t➼♥❤ ❝ü❝ ✤↕✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠ ✤â✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ❝❤♦ ✤➳♥ ♥❛②✱ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐ q✉②➳t tr✐➺t ✤➸ ❣✐ú❛ t➼♥❤ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ❝õ❛ ✷ t➼♥❤ ❝ü❝ ✤↕✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ởt ỏ ữợ tũ ỵ tr➯♥ t➟♣ ♠ð Ω ✈➔ t➼♥❤ ❝ü❝ ✤↕✐ ❝õ❛ ✉ tr➯♥ Ω ✈➝♥ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ ♠ð✳ ▼ët ✈➜♥ ✤➲ ❦❤→❝ ❝ơ♥❣ ✤÷đ❝ ♥❤✐➲✉ t→❝ ❣✐↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ tr♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❣➛♥ ✤➙② ❧➔ ①➜♣ ①➾ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ữợ t ỏ ữợ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ ♠ët ♠✐➲♥ rë♥❣ ❤ì♥✳ ❇❡♥❡❧❦♦✉r❝❤✐✱ ❈❡❣r❡❧❧✱ ❍❡❞✱ ❆❧❡✈✐♥✱ P❡rss♦♥✱ ✳✳✳ ✤➣ t❤✉ ✤÷đ❝ ♥❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ s➙✉ s➢❝ ✈➲ ✈➜♥ ✤➲ tr➯♥ tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣ ✶✵ ♥➠♠ trð ữợ t tr ❝❤ó♥❣ tỉ✐ t➟♣ tr✉♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❧ỵ♣ ❤➔♠ F ✲✤❛ ỏ ữợ ỹ F ỏ ữợ ✤➼❝❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ▲✉➟♥ →♥ ▲✉➟♥ →♥ t➟♣ tr✉♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ F ỏ ữợ t ự ố q ❤➺ ❣✐ú❛ t➼♥❤ ❝❤➜t ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✈➔ t♦➔♥ ❝ư❝ ❝õ❛ F ỏ ữợ ự tt ❧➟♣ ✈➜♥ ✤➲ ①➜♣ ①➾ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ỏ ữợ t ỏ ữợ tổ tữớ ố tữủ ự ỏ ữợ F ỏ ữợ F ỏ ữợ ỹ ◦ ❚♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲❆♠♣➧r❡ ♣❤ù❝ ❝❤♦ ❧ỵ♣ ❤➔♠ F ✲✤❛ ỏ ữợ ỳ ởt số ợ F ỏ ữợ tr E0 () , Fp (Ω)✳ ◦ ❱➜♥ ✤➲ ①➜♣ ①➾ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ F ỏ ữợ Pữỡ ự ◦ ❙û ❞ư♥❣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❧➼ t❤✉②➳t tr♦♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t♦→♥ ❤å❝ ❝ì ❜↔♥ ✈ỵ✐ ❝ỉ♥❣ ❝ư ✈➔ ❦➽ t❤✉➟t tr✉②➲♥ t❤è♥❣ ❝õ❛ ▲➼ t❤✉②➳t ✤❛ t❤➳ ✈à✱ F ✲✤❛ t❤➳ ✈à✱ ●✐↔✐ t➼❝❤ ❤➔♠ ✈➔ ●✐↔✐ t➼❝❤ ♣❤ù❝✳ ◦ ❚❤❛♠ ❣✐❛ s❡♠✐♥❛r ♥❤â♠✱ s❡♠✐♥❛r tê ❜ë ♠ỉ♥ ✤➸ t❤÷í♥❣ ①✉②➯♥ tr❛♦ ✤ê✐✱ t❤↔♦ ❧✉➟♥✱ ❝ỉ♥❣ ❜è ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✱ ♥❤➡♠ t❤✉ ♥❤➟♥ ❝→❝ t❤æ♥❣ ✸ t✐♥ ✈➲ t➼♥❤ ❝❤➼♥❤ ①→❝ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❝õ❛ ❝→❝ t q ự tr ỗ ❤å❝ ❝❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✳ ✺✳ ◆❤ú♥❣ ✤â♥❣ ❣â♣ ❝õ❛ ▲✉➟♥ →♥ ◦ ▲✉➟♥ →♥ ✤➣ ❝❤➾ r❛ sü t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ❣✐ú❛ t➼♥❤ ❝❤➜t F ✲❝ü❝ ✤↕✐ t♦➔♥ ❝ư❝ ✈ỵ✐ t➼♥❤ ❝❤➜t F ✲❝ü❝ ✤↕✐ F ✲✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ F ỏ ữợ tử tr t F ✲♠ð ❝õ❛ Cn ✭✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✳✷✮✳ ◦ ▼ð rë♥❣ ❦➳t q✉↔ tr➯♥ ✈➔ ❜➡♥❣ ❦➽ t❤✉➟t ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♠ỵ✐✱ ▲✉➟♥ →♥ ✤➣ ❝❤➾ r❛ sü t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ❣✐ú❛ t➼♥❤ ❝❤➜t F ✲❝ü❝ ✤↕✐ t♦➔♥ ❝ư❝ ✈ỵ✐ t➼♥❤ ❝❤➜t F ✲❝ü❝ ✤↕✐ F ✲✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ỏ ữợ tr t F Cn t q õ ỵ ❦❤♦❛ ❤å❝ ✈➻ ♥â ✤ó♥❣ ❝❤♦ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ỏ ữợ tr t F ữ r F s ỗ ữ r ợ Fp () ợ ỳ t❤➼❝❤ ❤đ♣ ♥❤÷ ✈➟②✱ ▲✉➟♥ →♥ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t➼♥❤ ❝❤➜t ①➜♣ ①➾ ✤÷đ❝ ❝õ❛ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ữợ t ỏ ữợ tr s ỗ rở ỡ ✭✣à♥❤ ❧➼ ✸✳✸✳✶✮✳ ✻✳ Þ ♥❣❤➽❛ ❦❤♦❛ ❤å❝ ✈➔ t❤ü❝ t✐➵♥ ❝õ❛ ▲✉➟♥ →♥ ◦ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ✤÷đ❝ ♥➯✉ r❛ tr♦♥❣ ▲✉➟♥ →♥ ❧➔ ♠ỵ✐✱ ❝â t➼♥❤ t❤í✐ sü✱ õ ỵ õ õ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ỏ ữợ t ữỡ ✤➣ ❣â♣ ♣❤➛♥ ❧➔♠ ♣❤♦♥❣ ♣❤ó t❤➯♠ ❝→❝ ❝ỉ♥❣ ❝ư ✈➔ ❦➽ t❤✉➟t ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ●✐↔✐ t➼❝❤ ♣❤ù❝ ✈➔ ▲➼ t❤✉②➳t ✤❛ t❤➳ ✈à✳ ✼✳ ❈➜✉ tró❝ ❝õ❛ ▲✉➟♥ →♥ ❈➜✉ tró❝ ❝õ❛ ▲✉➟♥ →♥ ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② t❤❡♦ ✤ó♥❣ q✉✐ ✤à♥❤ ❝ư t❤➸ ✤è✐ ✈ỵ✐ ❧✉➟♥ →♥ t✐➳♥ s➽ ❝õ❛ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐✳ ❈➜✉ tró❝ ỗ q ✈➲ ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ tr♦♥❣ ▲✉➟♥ →♥ ✭❚ê♥❣ ✹ q✉❛♥✮✱ ❝→❝ ❈❤÷ì♥❣✱ ❑➳t ❧✉➟♥✱ ❉❛♥❤ ♠ư❝ ❝ỉ♥❣ tr➻♥❤ tr♦♥❣ ▲✉➟♥ →♥✱ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ▲✉➟♥ ỗ ữỡ ữ s ữỡ F ỏ ữợ F ỏ ữợ ❝ü❝ ✤↕✐ ✈➔ t♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲❆♠♣➧r❡ ♣❤ù❝ ❈❤÷ì♥❣ ✶ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝➛♥ t❤✐➳t ✈➲ F ✲tæ♣æ✱ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➔ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ F ỏ ữợ t tỷ r ự F ỏ ữợ ỹ ụ ữ ởt sè ❦➳t q✉↔ s➩ sû ❞ư♥❣ tr♦♥❣ ❝→❝ ❝❤÷ì♥❣ s❛✉✳ ◦ ❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠ F ỏ ữợ ỹ ữỡ ữ r❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❧✐➯♥ tö❝ ❤♦➦❝ ❜à ❝❤➦♥ ✤➸ ✤↔♠ ❜↔♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ ✤➸ ♠ët ❤➔♠ F ỏ ữợ F ỹ F ♣❤÷ì♥❣ ❧➔ F ✲❝ü❝ ✤↕✐ t♦➔♥ t❤➸ tr➯♥ t➟♣ F ✲♠ð Ω tr♦♥❣ Cn ✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ❝❤➼♥❤ t❤✉ ✤÷đ❝ ❧➔ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✳✷ ✈➔ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✷✳✷✳ ◦ ữỡ F ữợ ❈❤÷ì♥❣ ✸ ✤➣ ❝❤➾ r❛ ❦❤✐ ♥➔♦ t❤➻ ❤➔♠ F ỏ ữợ u tr F ❝â t❤➸ ✤÷đ❝ ①➜♣ ①➾ ❜ð✐ ♠ët ❞➣② t➠♥❣ ❝õ❛ ỏ ữợ ữủ tr ❝→❝ ❧➙♥ ❝➟♥ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❝õ❛ Ω✳ ❑➳t q✉↔ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ❧➔ ✣à♥❤ ❧➼ ✸✳✸✳✶✳ P❤➛♥ ❝✉è✐✱ tr♦♥❣ ❑➳t ❧✉➟♥✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ✤✐➸♠ ❧↕✐ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝❤➼♥❤ ✤➣ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ▲✉➟♥ →♥✳ ❚r♦♥❣ ♣❤➛♥ ❑✐➳♥ ♥❣❤à✱ ú tổ ữ r ởt ỵ tữ ự t✐➳♣ t❤❡♦ ✤➸ ♣❤→t tr✐➸♥ ✤➲ t➔✐ ❝õ❛ ▲✉➟♥ →♥✳ ❈❤ó♥❣ tỉ✐ ❤✐ ✈å♥❣✱ s➩ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ♥❤✐➲✉ sü q✉❛♥ t➙♠ ✈➔ ❝❤✐❛ s➫ ❝õ❛ ❝→❝ ♥❤➔ ❦❤♦❛ ❤å❝ ✈➔ ỗ ú t t q ự ✺ ❚ê♥❣ q✉❛♥ ✈➲ ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ tr♦♥❣ ▲✉➟♥ →♥ ◆❤÷ ✤➣ tr➻♥❤ ❜➔② ð tr➯♥✱ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ữợ ởt tr ố tữủ tr t ▲➼ t❤✉②➳t ✤❛ t❤➳ ✈à✳ ❱✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ❤➔♠ ữợ trồ t õ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ t♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲❆♠♣➧r❡ ♣❤ù❝ ✤➣ t❤✉ ❤ót sü q✉❛♥ t➙♠ ❝õ❛ ♥❤✐➲✉ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ❧ỵ♥ tø t❤➟♣ ♥✐➯♥ ✸✵ ❝õ❛ t❤➳ ❦➾ ❳❳ ✈➔ ✤➣ t❤✉ ✤÷đ❝ ♥❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ s➙✉ s➢❝✳ ◆❤ú♥❣ ❝ỉ♥❣ tr➻♥❤ ❝õ❛ ❝→❝ t→❝ ❣✐↔ ❑✳ ❖❦❛✱ ❍✳ ❈❛rt❛♥✱ P✳ ▲❡❧♦♥❣✱ ❊✳ ❇❡❞❢♦r❞✱ ❇✳❆✳ ❚❛②❧♦r✱ ❯✳ ❈❡❣r❡❧❧✱ ❙✳ ❑♦❧♦❞③✐❡❥✱ ✳✳✳ ❦❤æ♥❣ ❝❤➾ ↔♥❤ ❤÷ð♥❣ s➙✉ s➢❝ ✤➳♥ sü ♣❤→t tr✐➸♥ ❝õ❛ ●✐↔✐ t➼❝❤ ♣❤ù❝ ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥ ♥â✐ r✐➯♥❣ ♠➔ ❝á♥ t❤ó❝ ✤➞② sü ♣❤→t tr✐➸♥ ❝õ❛ ♥❤✐➲✉ ❧➽♥❤ ✈ü❝ ❦❤→❝ tr♦♥❣ ❚♦→♥ ❤å❝ ❤✐➺♥ ✤↕✐✳ ❚❤❡♦ tỉ♣ỉ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ t❤ỉ♥❣ t❤÷í♥❣✱ ❝→❝ ❤➔♠ ữợ õ ổ tử tr♦♥❣ ❦❤✐ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝ ❧↕✐ ❣✐ú ✈❛✐ trá t❤❡♥ ❝❤èt tr♦♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ▲➼ t❤✉②➳t ❤➔♠✳ ❱➻ t❤➳✱ ✈✐➺❝ ữ r ỳ tổổ ợ ổ t tốt ỡ t tử ữợ ✤➣ ✤÷đ❝ q✉❛♥ t➙♠ tø t❤➟♣ ♥✐➯♥ ✸✵ ❝õ❛ t❤➳ trữợ r F ỏ ữợ tr ởt t➟♣ ❝♦♥ F ✲♠ð ❝õ❛ Cn ✈➔ ✤➣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ✤â✳ ❈→❝ ❤➔♠ ♥➔② ữủ ợ t ữ F ỷ ❧✐➯♥ tư❝ tr➯♥✱ ♠➔ ❤↕♥ ❝❤➳ tr➯♥ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ♣❤ù❝ F ỏ ữợ õ ởt F ỏ ữợ ữủ tr ởt F ✲♠✐➲♥ ❧➔ ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❣✐→ trà tr✉♥❣ ❜➻♥❤✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♥➔② ❧➔ rở tỹ ỏ ữợ F ỏ ữợ r ✈➔ ❲✐❡❣❡r✐♥❝❦ ✤➣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t➼♥❤ ❝❤➜t ❧✐➯♥ tö❝ ❝õ❛ F ỏ ữợ tr t F ✲♠ð✳ ❍å ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣✱ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ỏ ữợ F tử r ❋✉❣❧❡❞❡ ✈➔ ❲✐❡❣❡r✐♥❝❦ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♥❤✐➲✉ t➼♥❤ ❝❤➜t q✉❛♥ trồ F ỏ ữợ tr ởt s ỗ ✭t÷ì♥❣ ù♥❣ tr➯♥ ♠ët t➟♣ ♠ð✮ Ω ⊂ Cn ✱ ❈❡❣r❡❧❧✱ t÷ì♥❣ ù♥❣ ❇❧♦❝❦✐ ✤➣ ①➙② ❞ü♥❣ t♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲ ✻ ❆♠♣➧r❡ ♣❤ù❝ ✤è✐ ✈ỵ✐ ♠ët ❧ỵ♣ ❝→❝ ❤➔♠ ✤❛ ỏ ữợ ổ ỡ ỳ tr ũ ❞↕♥❣ ➜② ✤è✐ ✈ỵ✐ ❝→❝ ❧ỵ♣ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ữợ ữỡ ự r ỹ ữỡ ố ợ ợ ỏ ữợ ợ t❤✐➺✉ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳ ◆➠♠ ✷✵✶✹✱ ❊❧ ❑❛❞✐r✐ ✈➔ ❲✐❡❣❡r✐♥❝❦ ✤➣ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ t♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✕ ❆♠♣➧r❡ tr➯♥ ❝→❝ ❤➔♠ F ỏ ữợ ỳ tr t F ✲♠ð ✈➔ ✤➣ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ ♥â ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❧➔ ✤ë ✤♦ ❞÷ì♥❣✳ ❊❧ ❑❛❞✐r✐ ✈➔ ❙♠✐t ✤➣ ❣✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ F ỏ ữợ F ỹ F ỏ ữợ F ỹ F ✲✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✱ ✤â ❧➔ ♠ð rë♥❣ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝õ❛ ❝→❝ ữợ ỹ tr ởt tỵ✐ ♠ët F ✲♠✐➲♥ ❝õ❛ Cn t❤❡♦ ♠ët ❝→❝❤ tü ♥❤✐➯♥✳ ❍å ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ♠é✐ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ỏ ữợ F ỹ F ữỡ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ ♠ët t➟♣ ♠ð ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❧➔ F ✲❝ü❝ ✤↕✐ ✈➔ ❤å ✤➣ ✤÷❛ r❛ ✈➼ ❞ư✱ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ ❦➳t q✉↔ ♥➔② ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❦❤↔ t❤✐ ❦❤✐ ❤➔♠ ổ ỳ ữợ ự t →♥ ❧➔ ♠ð rë♥❣ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❝→❝ t→❝ ❣✐↔ tr ố ợ F ỏ ữợ ❈ư t❤➸✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ ✤➸ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ t➼♥❤ F ✲❝ü❝ ✤↕✐ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ F ỏ ữợ tr t F tứ t➼♥❤ ❝❤➜t ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ t÷ì♥❣ ù♥❣✳ ❚✐➳♣ ✤➳♥ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ①➨t ❜➔✐ t♦→♥ ①➜♣ ①➾ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ữợ t ỏ ữợ ▲à❝❤ sû ❝õ❛ ✈➜♥ ✤➲ ♥➔② ❧➔ ♥❤÷ s❛✉✿ ❑➳t q✉↔ ✤➛✉ t✐➯♥ t❤✉ë❝ ✈➲ ❋♦r♥ỉss ✈➔ ❲✐❡❣❡r✐♥❝❦✱ ✤➣ ✤÷❛ r❛ ✤à♥❤ ❧➼ ✭♥➠♠ ✶✾✽✾✮ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ r➡♥❣✱ ♥➳✉ Ω ❧➔ ♠✐➲♥ ❜à ❝❤➦♥ ✈ỵ✐ C ✲❜✐➯♥ ✈➔ u ❧➔ ❧✐➯♥ tư❝ tr➯♥ Ω t❤➻ u ❝â t❤➸ ✤÷đ❝ ①➜♣ ①➾ ✤➲✉ tr➯♥ Ω ❜ð✐ ♠ët ❞➣② ❝õ❛ ❝→❝ ỏ ữợ trỡ ữủ tr ❝→❝ ❧➙♥ ❝➟♥ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❝õ❛ Ω✳ ●➛♥ ✤➙② ❆✈❡❧✐♥✱ ❍❡❞ ❛♥❞ P❡rss♦♥ ✤➣ ♠ð rë♥❣ ❦➳t q✉↔ ♥➔② tỵ✐ ♠✐➲♥ ợ ữỡ ữủ ỗ t ❝→❝ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ t❤❡♦ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❙✳ ❇❡♥❡❧❦♦✉r❝❤✐ ✱ ❯✳ ❈❡❣r❡❧❧✱ ▲✳ ❍❡❞ ✈➔ ◆✳ ❳✳ ỗ ỏ ữợ u õ t ữủ ①➜♣ ①➾ ✤ì♥ ✤✐➺✉ tø ❜➯♥ ♥❣♦➔✐ ❜ð✐ ❞➣② t➠♥❣ ỏ ữợ õ t➼♥❤ ❝❤➜t F ✲①➜♣ ①➾ ✈➔ u t❤✉ë❝ ✈➲ ♠ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❧ỵ♣ ❈❡❣r❡❧❧ tr♦♥❣ Ω✳ ✼ ◆❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ ♥â✐ tr➯♥ ❞➝♥ ✤➳♥ ✈➜♥ ✤➲ s❛✉✿ ●✐↔ sû u ởt F ỏ ữợ tr F ✲♠✐➲♥ Ω✳ ❑❤✐ ♥➔♦ t❤➻ u ❝â t❤➸ ✤÷đ❝ ①➜♣ ①➾ ❜ð✐ ♠ët ❞➣② t➠♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ✤❛ ỏ ữợ ữủ tr ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❝õ❛ Ω❄ ❉♦ ✤â tr♦♥❣ ❧✉➟♥ →♥ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ❣✐↔✐ q✉②➳t ❤❛✐ ✈➜♥ ✤➲ s❛✉ ✤➙②✳ ❱➜♥ ✤➲ t❤ù ♥❤➜t✿ ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t➼♥❤ ❝❤➜t ✤à❛ ữỡ F ỏ ữợ ỹ ❑❧✐♠❡❦ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣✱ ♠ët ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ữợ ữỡ u tr ởt t➟♣ ♠ð ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❧➔ ❝ü❝ ✤↕✐ ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ (ddcu)n = 0✱ ✈➔ ✈➻ t❤➳✱ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ữợ tr ởt t ❧➔ ❝ü❝ ✤↕✐ ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ ♥â ❧➔ ❝ü❝ ✤↕✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳ ◆❤÷ t❤➳ t➼♥❤ ❝ü❝ ✤↕✐ ✈➔ t➼♥❤ ỹ ữỡ ố ợ ỏ ữợ ữỡ tr ởt t tữỡ ữỡ ũ ố ợ ởt F ỏ ữợ u ữủ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ ♠ët t➟♣ F ✲♠ð Ω t❤➻ t♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✕❆♠♣➧r❡ ♣❤ù❝ (ddc u)n ❝â t❤➸ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♠ët ❝→❝❤ F ✲✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ tr♦♥❣ Ω ♥❤÷♥❣ ♥❤ú♥❣ ❦➽ t❤✉➟t q✉❡♥ t❤✉ë❝ ❝õ❛ ❑❧✐♠❡❦ ✈➔ ❝→❝ t→❝ ❣✐↔ ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣ →♣ ❞ư♥❣ ✤÷đ❝ ❝❤♦ t➻♥❤ ❤✉è♥❣ u ❧➔ ❤➔♠ F ỏ ữợ tr t ♣❤↔✐ t➻♠ ♥❤ú♥❣ ❦➽ t❤✉➟t ❦❤→❝ ✤➸ tê♥❣ q✉→t ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❑❧✐♠❡❦ ❝❤♦ ❧ỵ♣ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ữợ ữ tr tr ú tổ ữ r❛ ♥❤ú♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ ✤➸ tø t➼♥❤ ❝❤➜t F ✲❝ü❝ ✤↕✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ♠ët ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ỏ ữợ tr ởt t F tr Cn ❝ơ♥❣ ❧➔ F ✲❝ü❝ ✤↕✐ tr➯♥ Ω✳ ❈ư t❤➸✿ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✳✷ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣✱ ✤è✐ ✈ỵ✐ ♠ët ❤➔♠ F ỏ ữợ tử tr t ✤â F ✲❝ü❝ ✤↕✐ tr➯♥ Ω ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ♥â ❧➔ F ✲❝ü❝ ✤↕✐ F ✲✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➯♥ Ω✳ ❚✐➳♣ t❤❡♦✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ♠ð rë♥❣ ❦➳t q✉↔ tr➯♥✱ t❤❛② t❤➳ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❧✐➯♥ tö❝ tr♦♥❣ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✳✷ ❜ð✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✧②➳✉✧ ❤ì♥ ❧➔ ❜à ❝❤➦♥ ❝õ❛ ❤➔♠ F ỏ ữợ tr ởt t F tr♦♥❣ Cn ✳ ❑➳t q✉↔ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❧➔ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✷✳✷✱ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t F ✲❝ü❝ ✤↕✐ ❧➔ tữỡ ữỡ ợ t t F ỹ F ✲✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳ ❱➜♥ ✤➲ t❤ù ❤❛✐✿ ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈✐➺❝ ①➜♣ F ỏ ữợ ỏ ữợ ú tổ ữ r ỳ ởt F ỏ ữợ u tr♦♥❣ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ♠ð ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ Ω ✤÷đ❝ ①➜♣ ①➾ ❜ð✐ ♠ët ❞➣② t➠♥❣ ❝→❝ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ữợ é u ữủ t❤❡♦ ♥❣❤➽❛✱ u ❝â t❤➸ ✤÷đ❝ ①➜♣ ①➾ ✤➲✉ tr➯♥ Ω ❜ð✐ ♠ët ❞➣② t➠♥❣ ❝→❝ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ữợ trỡ tr ❇➡♥❣ ❝→❝❤ ✤÷❛ r❛ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ♠✐➲♥ F ✲s✐➯✉ ỗ ợ F ỏ ữợ E0(Ω) ✈➔ Fp(Ω)✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✣à♥❤ ❧➼ ✸✳✸✳✶✱ tr♦♥❣ ✤â ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ r➡♥❣ ♠é✐ ❤➔♠ u ∈ Fp (Ω) ✭p > 0✮ ✤➲✉ ①➜♣ ①➾ ❜ð✐ ♠ët t ỏ ữợ tr ❝➟♥ Ω✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ▲✉➟♥ →♥ ✤➣ ✤÷đ❝ ❜→♦ ❝→♦ t↕✐ ❤ë✐ ♥❣❤à✱ ❤ë✐ t❤↔♦ s❛✉✿ ❬✶❪ ❍ë✐ ♥❣❤à ✭✵✶✴✷✵✶✼✮✱ ✧❳➜♣ ①➾ ❝õ❛ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ữợ ❚✐♥✱ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐✳ ❬✷❪ ❍ë✐ ♥❣❤à ✭✶✷✴✷✵✶✼✮✱ ✧❈ü❝ ✤↕✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠ F ✲✤❛ ỏ ữợ ❤å❝✱ ❑❤♦❛ ❚♦→♥ ✲ ❚✐♥✱ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐✳ ❬✸❪ ❍ë✐ ♥❣❤à ❑❤♦❛ ❤å❝ ✭✽✴✷✵✶✽✮✱ ✧❚➼♥❤ ❝❤➜t ữỡ F ỏ ữợ ❝ü❝ ✤↕✐✧✱ ❇→♦ ❝→♦ ❚✐➸✉ ❜❛♥ ●✐↔✐ t➼❝❤ ✲ ✣↕✐ ❤ë✐ ❚♦→♥ ❤å❝ ❱✐➺t ◆❛♠ ❧➛♥ t❤ù ■❳ ✲ ◆❤❛ ❚r❛♥❣✳ ✶✶ ✈➔ F ✲ lim sup v (z) u (ζ) ✈ỵ✐ ♠å✐ ζ ∈ ∂F G ∩ U ✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❤➔♠ G z→ζ ✇ (z) = max (u (z) , v (z)) ♥➳✉ z ∈ G, u (z) ♥➳✉ z ∈ U \G, t❤✉ë❝ F ✲PSH(U )✳ ❙❛✉ ✤➙②✱ t❛ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❝→❝ F ỏ ữợ ữủ ❊❧ ❑❛❞✐r✐✱ ❇✳ ❋✉❣❧❡❞❡ ✈➔ ❏✳ ❲✐❡❣❡r✐♥❝❦ ✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✽✳ ●✐↔ sû Ω ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ♠ð ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❝õ❛ Cn✳ ❱ỵ✐ ❤➔♠ f : Ω → [−∞; +∞)✱ ❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉ ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿ ✭✐✮ ❢ ❧➔ ❤➔♠ ỏ ữợ t tổ tữớ F ỏ ữợ tự ợ z tỗ t ởt ❝♦♠♣❛❝t ❑ ❝õ❛ ③ tr♦♥❣ Ω ✈➔ ♠ët ❞➣② {fj } ỏ ữợ tr ♠ð ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❝õ❛ ❑ s❛♦ ❝❤♦ {fj } ❤ë✐ tö tr ổ ỗ t −∞ tr➯♥ ❜➜t ❦➻ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❝õ❛ Ω✳ ✭✐✐✐✮ ❢ F ỏ ữợ ổ ỗ ♥❤➜t ❜➡♥❣ −∞ tr➯♥ ♠å✐ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❝õ❛ Ω✳ ❈❤ó♥❣ tæ✐ ♣❤→t ❜✐➸✉ ✈➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❤❛✐ ♠➺♥❤ ✤➲ s❛✉ ✤➙② ♠➔ ❝❤ó♥❣ ✤➣ ✤÷đ❝ ❞ò♥❣ tr♦♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✸✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✾✳ ❈❤♦ Ω ❧➔ t➟♣ F ✲♠ð tr♦♥❣ Cn ✈➔ u ∈ F ✲PSH−(Ω)✳ ●✐↔ sû χ : R− R ỗ t õ u ∈ F ✲PSH−(Ω)✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✶✵✳ ●✐↔ sû Ω ❧➔ t➟♣ F ✲♠ð tr♦♥❣ Cn ✈➔ ϕ ❧➔ ❤➔♠ ỏ ữợ t tr Cn tự ợ z Cn tỗ t ❯ ❝õ❛ ③ ✈➔ c > s❛♦ ❝❤♦ ❤➔♠ c|z|2 ỏ ữợ tr ●✐↔ sû u, v ∈ F ✲PSH−(Ω) s❛♦ ❝❤♦ (ddcϕ)n = Ω∩{−∞ 0✮ ✤➲✉ ①➜♣ ①➾ ❜ð✐ ♠ët ❞➣② t➠♥❣ ❝→❝ ❤➔♠ ỏ ữợ tr ợ E0 F ỏ ữợ rữợ ❤➳t✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ✤÷❛ r❛ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ♠✐➲♥ F ✲s✐➯✉ ỗ ợ E0() F ỏ ữợ tr ởt F ✲♠✐➲♥ ❜à ❝❤➦♥ Ω tr♦♥❣ Cn ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ F s ỗ tỗ t tr ởt s ỗ s Ω = Ω ∩ {γΩ > −1} ✈➔ −γΩ ❧➔ F ✲PSH tr➯♥ Ω✱ γΩ ∈ PSH−(Ω )✳ ❚❛ ♥â✐ r ởt F ỏ ữợ u tr ởt F s ỗ ❜à ❝❤➦♥ Ω t❤✉ë❝ ❧ỵ♣ E0 (Ω)✱ ♥➳✉ (ddc u)n < + ợ ộ > tỗ t↕✐ δ > s❛♦ ❝❤♦ Ω ∩ {u < −ε} ⊂ Ω ∩ {γΩ > −1 + δ}✳ ✷✵ ▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✶✳✷✳ ●✐↔ sû Ω ❧➔ ♠✐➲♥ F ✲s✐➯✉ ỗ tr Cn õ E0() = ú ỵ r ộ s ỗ F s ỗ t ữ r ởt r r tỗ t ởt F s ỗ ổ õ tr t tỉ♣ỉ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ t❤ỉ♥❣ t❤÷í♥❣✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ Ω t❤ä❛ ♠➣♥ ❣✐↔ t❤✐➳t ❝õ❛ ✣à♥❤ ❧➼ ✸✳✸✳✶✳ ❱➼ ❞ö ✸✳✶✳✸✳ ❙❛✉ ✤➙②✱ t❛ ❝â ♠➺♥❤ ✤➲✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✶✳✹✳ ●✐↔ sû Ω F s ỗ tr Cn sỷ r➡♥❣ u ∈ E0(Ω) ✈➔ v ∈ F ✲PSH(Ω) s❛♦ ❝❤♦ u ≤ v < tr➯♥ Ω✳ ❑❤✐ ✤â v ∈ E0(Ω) ✈➔ (−ρ)(ddcu)n, (−ρ)(ddcv)n ≤ Ω Ω − ✈ỵ✐ ♠é✐ ρ ∈ F ✲PSH (Ω) ∩ L∞(Ω)✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ ♥➳✉ u = v tr♦♥❣ {u > −ε0} ✈ỵ✐ ♠ët sè ε0 > 0✱ ❦❤✐ ✤â (ddcv)n = Ω (ddcu)n Ω ✸✳✷ ▲ỵ♣ Fp ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ỏ ữợ rữợ t ú tổ ữ r ♥❣❤➽❛ ❧ỵ♣ Fp (Ω) ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ỏ ữợ tr sỷ F s ỗ tr Cn p > 0✳ ❑➼ ❤✐➺✉ Fp (Ω) ❧➔ ❤å ❝õ❛ F ỏ ữợ u tr s tỗ t ởt {uj } ⊂ E0(Ω) ❤ë✐ tư ✤✐➸♠ tỵ✐ u tr➯♥ Ω✱ t❤ä❛ ♠➣♥ (1 + (−uj )p)(ddcuj )n < +∞ sup j1 ú ỵ r u Fp (Ω) t❤➻ u ∈ Fq (Ω) ✈ỵ✐ ♠å✐ q (0, p) ợ ỳ t ủ ữủ ✤÷❛ r❛✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦➳t q✉↔✱ t❤æ♥❣ q✉❛ ❝→❝ ♠➺♥❤ ✤➲ s❛✉✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✷✳✷✳ ●✐↔ sỷ F s ỗ tr Cn ✈➔ p > 0✳ ●✐↔ sû u ∈ Fp(Ω)✱ {uj } ⊂ E0(Ω) s❛♦ ❝❤♦ uj u tr➯♥ Ω ✈➔ (1 + (−uj )p)(ddcuj )n < +∞ sup j≥1 Ω ❑❤✐ ✤â (ddcu)n = sup (ddcuj )n j≥1 Ω {u>−∞} ❍ì♥ ♥ú❛✱ ♥➳✉ u ❜à ❝❤➦♥ t❤➻ (−v)(ddcuj )n, (−v)(ddcu)n = sup j≥1 Ω Ω ✈ỵ✐ ♠é✐ v ∈ F ✲PSH−(Ω) ∩ L∞(Ω)✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✷✳✸✳ ●✐↔ sû Ω F s ỗ tr Cn p > 0✳ ●✐↔ sû u ∈ Fp(Ω) ✈➔ v ∈ F ✲PSH(Ω) ✈ỵ✐ u ≤ v < 0✳ ❑❤✐ ✤â v ∈ Fmin(p,1)(Ω) ✈➔ (ddcv)n ≤ {v>−∞} (ddcu)n {u>−∞} ▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✷✳✹✳ ●✐↔ sû Ω ❧➔ ♠✐➲♥ F ✲s✐➯✉ ỗ tr Cn p > sû u ∈ Fmin(p,1)(Ω) ✈➔ v ∈ F ✲PSH−(Ω)✱ s❛♦ ❝❤♦ (1 + (−u)p)(ddcu)n ≤ (1 + (−v)p)(ddcv)n tr➯♥ Ω ∩ {u > −∞} ∩ {v > −∞}✳ ❑❤✐ ✤â u ≥ v tr➯♥ Ω✳ ✷✷ ✸✳✸ ❳➜♣ ①➾ ❤➔♠ F ữợ r ú tổ ♣❤→t ❜✐➸✉ ✈➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤à♥❤ ❧➼ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣✱ r r ộ F ỏ ữợ t❤✉ë❝ ❧ỵ♣ Fp (Ω) ❝â t❤➸ ①➜♣ ①➾ ❜ð✐ ❞➣② t ỏ ữợ tr s ỗ ự sỷ F s ỗ ❝❤➦♥ ✈➔ {Ωj } ❧➔ ❞➣② ❣✐↔♠ ❝õ❛ ❝→❝ ♠✐➲♥ s ỗ s j+1 j ợ j sỷ tỗ t↕✐ ρ ∈ E0(Ω)✱ ρj ∈ PSH−(Ωj ) ✈ỵ✐ ρj ρ ❤✳❦✳♥✳ tr➯♥ Ω✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈ỵ✐ ♠é✐ p > ợ ộ u Fp() tỗ t ởt ❞➣② t➠♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ uj ∈ PSH−(Ωj ) s❛♦ ❝❤♦ uj → u ❤✳❦✳♥✳ tr➯♥ Ω✳ ❑➳t ❧✉➟♥ ❝õ❛ ❈❤÷ì♥❣ ✸ ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ✤÷❛ r❛ ❝→❝ F s ỗ ợ F ỏ ữợ E0 () Fp () ❝→❝ ♠➺♥❤ ✤➲✱ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ✤➣ sû ❞ư♥❣ t♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲❆♠♣➧r❡ ♣❤ù❝ ✈➔ ❝→❝ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✾✱ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✶✵✱ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✺✱ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✻ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✼✱ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✣à♥❤ ❧➼ ✸✳✸✳✶✱ tr♦♥❣ ✤â ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ r➡♥❣✱ ♠é✐ ❤➔♠ u ∈ Fp (Ω) ✭p > 0✮ ✤➲✉ ①➜♣ ①➾ ❜ð✐ ♠ët ❞➣② t➠♥❣ ❝→❝ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ỏ ữợ tr s ỗ rở ỡ t ❑➳t ❧✉➟♥ ▲✉➟♥ →♥ ✤➣ ❝❤➾ r❛ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤➸ ❝â sü t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ❝õ❛ t➼♥❤ ❝❤➜t F ✲❝ü❝ ✤↕✐ F ✲✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✈➔ F ✲❝ü❝ ✤↕✐ ❝õ❛ ❤➔♠ F ỏ ữợ r ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤➸ t❤✐➳t ❧➟♣ ✈➜♥ ✤➲ ①➜♣ ①➾ ❝õ❛ F ỏ ữợ ỏ ữợ t ❝❤➾ r❛ r➡♥❣✱ ✤è✐ ✈ỵ✐ ♠ët ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ỏ ữợ tử tr t õ F ✲❝ü❝ ✤↕✐ tr➯♥ Ω ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ♥â ❧➔ F ✲❝ü❝ ✤↕✐ F ✲✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➯♥ Ω ✭✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✳✷✮✳ ✷✳ ▲✉➟♥ →♥ ✤➣ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣✱ ✤è✐ ợ ởt F ỏ ữợ tr➯♥ Ω t❤➻ ❤➔♠ ✤â F ✲❝ü❝ ✤↕✐ tr➯♥ Ω ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ♥â ❧➔ F ✲❝ü❝ ✤↕✐ F ✲✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➯♥ Ω ✭✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✷✳✷✮✳ ✸✳ ▲✉➟♥ →♥ ✤➣ ❝❤➾ r❛ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤➸ t❤✐➳t ❧➟♣ ✈➜♥ ✤➲ ①➜♣ ①➾ ❝❤♦ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ữợ t ỏ ữợ tr s ỗ rở ỡ ✭✣à♥❤ ❧➼ ✸✳✸✳✶✮✳ ■■✳ ❑✐➳♥ ♥❣❤à ❚ø ♥❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ t❤✉ ✤÷đ❝ ❝õ❛ ▲✉➟♥ →♥ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✱ ú tổ t ởt số ữợ ự t t❤❡♦ ♥❤÷ s❛✉✿ ✶✳ ▲✐➺✉ t❛ ❝â t❤➸ t➻♠ ✤÷đ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ t♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲❆♠♣➧r❡ ♣❤ù❝ ❝❤♦ ❝→❝ ❤➔♠ F ỏ ữợ ổ ữ r ✷✳ ▲✐➺✉ t❛ ❝â t❤➸ ❣✐↔✐ ✤÷đ❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ▼♦♥❣❡✲❆♠♣➧r❡ ự F ỏ ữợ tr ❝→❝ ♠✐➲♥ F ✲♠ð❄ ▲✐➺✉ t❛ ❝â t❤➸ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t➼♥❤ ✷✹ ❝❤➜t ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤â ♥❤÷✿ ❚➼♥❤ ê♥ ✤à♥❤ ♥❣❤✐➺♠✱ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝✱ ❧✐➯♥ tö❝ ❍♦❧❞❡r✱ ✳✳✳❄ ✸✳ ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ✈➲ ❤➔♠ F ✲✤❛ ỏ ữợ ❝ü❝✳ ❉❛♥❤ ♠ư❝ ❝→❝ ❝ỉ♥❣ tr➻♥❤ sû ❞ư♥❣ tr♦♥❣ ▲✉➟♥ →♥ ❬✶❪ ◆✳ ❳✳ ❍♦♥❣✱ ▲✳ ▼✳ ❍❛✐ ❛♥❞ ❍✳ ❱✐❡t✱ ▲♦❝❛❧ ♠❛①✐♠❛❧✐t② ❢♦r ❜♦✉♥❞❡❞ ♣❧✉r✐❢✐♥❡❧② ♣❧✉r✐s✉❜❤❛r♠♦♥✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ P♦t❡♥t✐❛❧ ❆♥❛❧✳✱ ■❙❙◆ ✵✾✷✻ ✲ ✷✻✵✶✱ ✹✽ ✭✷✵✶✽✮✱ ✶✶✺✲✶✷✸✳ ❬✷❪ ◆✳ ❳✳ ❍♦♥❣ ❛♥❞ ❍✳ ❱✐❡t✱ ▲♦❝❛❧ ♣r♦♣❡rt② ♦❢ ♠❛①✐♠❛❧ ♣❧✉r✐❢✐♥❡❧② ♣❧✉r✐s✉❜✲ ❤❛r♠♦♥✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ❏✳ ▼❛t❤✳ ❆♥❛❧✳ ❆♣♣❧✳✱ ✹✹✶ ✭✷✵✶✻✮✱ ✺✽✻✕✺✾✷✳ ❬✸❪ ◆✳ ❱✳ ❚r❛♦✱ ❍✳ ❱✐❡t ❛♥❞ ◆✳ ❳✳ ❍♦♥❣✱ ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ♣❧✉r✐❢✐♥❡❧② ♣❧✉r✐s✉❜❤❛r♠♦♥✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ❏✳ ▼❛t❤✳ ❆♥❛❧✳ ❆♣♣❧✳✱ ✹✺✵ ✭✷✵✶✼✮✱ ✶✵✻✷✕✶✵✼✺✳ ... ✶✳✶✳✺✳ ❍➔♠ f ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ t➟♣ F ✲♠ð U ⊂ Rn ữủ F ỏ ữợ (i) f ❧➔ F ✲♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥❀ U V (ii) f (z) f dδ ✈ỵ✐ ❱ tr♦♥❣ ♠ët ❝ì sð ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ F ✲tỉ♣ỉ z F V t↕✐ z ❀ (iii) f ≡ −∞ tr➯♥ ♠é✐ F ✲t❤➔♥❤... ♠ët t➟♣ ❝♦♥ F ✲♠ð ❝õ❛ Cn✳ ❍➔♠ f : Ω −→ [−∞, +∞) ✤✉ñ❝ ❣å✐ ❧➔ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ữợ f F ỷ tử tr ợ ộ ữớ t ự l tr Cn ❝õ❛ f tỵ✐ ❜➜t ❦➻ F ✲t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❝õ❛ t➟♣ ❝♦♥ F ✲♠ð l ∩ Ω ❝õ❛ l ❧➔ F ỏ ữợ ... ❝❤➜t F ✲❝ü❝ ✤↕✐ t♦➔♥ ❝ư❝ ✈ỵ✐ t➼♥❤ ❝❤➜t F ✲❝ü❝ ✤↕✐ F ✲✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ữợ tr t F Cn t q õ ỵ ❤å❝ ✈➻ ♥â ✤ó♥❣ ❝❤♦ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ỏ ữợ tr t F ữ r F s ỗ