Tính cực đại, tính cực đại địa phương và vấn đề xấp xỉ của các hàm F đa điều hòa dưới (Luận án tiến sĩ)

Tính cực đại, tính cực đại địa phương và vấn đề xấp xỉ của các hàm Fđa điều hòa dướiTính cực đại, tính cực đại địa phương và vấn đề xấp xỉ của các hàm Fđa điều hòa dướiTính cực đại, tính cực đại địa phương và vấn đề xấp xỉ của các hàm Fđa điều hòa dướiTính cực đại, tính cực đại địa phương và vấn đề xấp xỉ của các hàm Fđa điều hòa dướiTính cực đại, tính cực đại địa phương và vấn đề xấp xỉ của các hàm Fđa điều hòa dướiTính cực đại, tính cực đại địa phương và vấn đề xấp xỉ của các hàm Fđa điều hòa dướiTính cực đại, tính cực đại địa phương và vấn đề xấp xỉ của các hàm Fđa điều hòa dướiTính cực đại, tính cực đại địa phương và vấn đề xấp xỉ của các hàm Fđa điều hòa dướiTính cực đại, tính cực đại địa phương và vấn đề xấp xỉ của các hàm Fđa điều hòa dướiTính cực đại, tính cực đại địa phương và vấn đề xấp xỉ của các hàm Fđa điều hòa dướiTính cực đại, tính cực đại địa phương và vấn đề xấp xỉ của các hàm Fđa điều hòa dưới

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI - - HOÀNG VIỆT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI - - HOÀNG VIỆT Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 9.46.01.02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Văn Trào GS TSKH Đỗ Đức Thái Hà Nội - Năm 2018 ▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ❚ỉ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ▲✉➟♥ →♥ ♥➔② ❞♦ ❝❤➼♥❤ t→❝ ❣✐↔ t❤ü❝ ❤✐➺♥ t↕✐ ❑❤♦❛ ❚♦→♥✲❚✐♥✱ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ữợ sỹ ữợ P ❚r➔♦ ✈➔ ●❙✳ ❚❙❑❍✳ ✣é ✣ù❝ ❚❤→✐❀ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ▲✉➟♥ →♥ ❧➔ ♠ỵ✐✱ ✤➲ t➔✐ ❝õ❛ ▲✉➟♥ →♥ ❦❤ỉ♥❣ trò♥❣ ❧➦♣ ✈➔ ❝❤÷❛ ✤÷đ❝ ❝ỉ♥❣ ❜è tr♦♥❣ ❜➜t ❝ù ❝ỉ♥❣ tr➻♥❤ ❝õ❛ ❛✐ ❦❤→❝✳ ❚→❝ ❣✐↔ ❍♦➔♥❣ ❱✐➺t ▲í✐ ỡ ữủ t ữợ sỹ ữợ ❞➝♥ ❝õ❛ P●❙✳ ❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ❚r➔♦ ✈➔ ●❙✳ ❚❙❑❍✳ ✣é ✣ù❝ ❚❤→✐✳ ❇➡♥❣ t➜t ❝↔ sü ❦➼♥❤ trå♥❣ ❝õ❛ ♠➻♥❤✱ tỉ✐ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ t tợ t t ữợ tổ tr➯♥ ❝♦♥ ✤÷í♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤♦❛ ❤å❝✳ ❚ỉ✐ ❝↔♠ t❤➜② r➜t ♠❛② ♠➢♥✱ ✈✐♥❤ ❞ü ✈➔ ❤↕♥❤ ♣❤ó❝ ❦❤✐ ✤÷đ❝ t ữợ ổ ụ ữủ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ s➙✉ s➢❝ tỵ✐ ❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❳✉➙♥ ỗ ữợ õ ỵ rt t tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ tæ✐ ❤å❝ t➟♣✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ s♦↕♥ t❤↔♦ ❧✉➟♥ →♥ ♥➔② t↕✐ ❑❤♦❛ ❚♦→♥✲❚✐♥✱ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐✳ ❚ỉ✐ ①✐♥ ✤÷đ❝ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ s➙✉ s➢❝ tỵ✐ ●❙✳ ❚❙❑❍✳ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ❑❤✉➯✱ ●❙✳ ❚❙❑❍✳ ▲➯ ▼➟✉ ❍↔✐✱ ●❙✳ ❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ◗✉❛♥❣ ❉✐➺✉✱ ●❙✳ ❚❙❑❍✳ P❤↕♠ ❍♦➔♥❣ ❍✐➺♣✱ P●❙✳ ❚❙✳ P❤ò♥❣ ❱➠♥ ▼↕♥❤ ✲ ♥❤ú♥❣ ♥❣÷í✐ ❚❤➛② ✤➣ ❣✐↔♥❣ ❞↕②✱ ❣✐ó♣ ✤ï tỉ✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤♦❛ ❤å❝✳ ❚ỉ✐ ✈ỉ ❝ò♥❣ ❝↔♠ ì♥ ❝→❝ t❤➛② ổ ỗ õ r tt ❤➔♠✱ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐✱ ✤â ❧➔ ♠ët t➟♣ t❤➸ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❧➔♠ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♠ tó❝✱ ✤➣ õ ỵ trỹ t ú tổ tr ❝❤♦ ♠➻♥❤ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ♥❤ú♥❣ ❤✐➸✉ ❜✐➳t s➙✉ s➢❝ ❤ì♥ ✈➲ ♥❤✐➲✉ ✈➜♥ ✤➲ t♦→♥ ❤å❝✳ ◆❤➙♥ ❞à♣ ♥➔②✱ tỉ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ❚❙✳ ❚➠♥❣ ❱➠♥ ▲♦♥❣✱ ❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ❑❤✐➯♠✱ ❚❙✳ P❤↕♠ ◆❣✉②➵♥ r õ ỳ õ ỵ rt õ þ ♥❣❤➽❛ ❝❤♦ tæ✐ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳ ❚ỉ✐ ①✐♥ ❝↔♠ ì♥ ✤➳♥ ❚ê ❜ë ♠ỉ♥ ▲➼ t❤✉②➳t ❤➔♠✱ ❑❤♦❛ ❚♦→♥✲❚✐♥✱ P❤á♥❣ s❛✉ ✤↕✐ ❤å❝✱ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐✱ ◆❤➔ ①✉➜t ❜↔♥ ●✐→♦ ❞ư❝ ❱✐➺t ◆❛♠ ✈➔ ❝→❝ ✤ì♥ ✈à ❝❤ù❝ ♥➠♥❣ ✤➣ t↕♦ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t❤✉➟♥ ❧đ✐ ❝❤♦ tỉ✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳ ❈✉è✐ ❝ò♥❣✱ tỉ✐ ①✐♥ tọ ỏ tr ố ợ ỳ ữớ t ỳ ỗ t t ✤➣ ❣✐ó♣ ✤ï✱ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥ tỉ✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳ ❍➔ ◆ë✐✱ ♥➠♠ ✷✵✶✽ ◆❈❙✳ ❍♦➔♥❣ ❱✐➺t ▼ö❝ ❧ö❝ ▼ð ✤➛✉ ✾ ❚ê♥❣ q✉❛♥ ✈➲ ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ tr♦♥❣ ▲✉➟♥ →♥ ✶ ❍➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ỏ ữợ F ỏ ữợ ỹ t♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲❆♠♣➧r❡ ♣❤ù❝ ✶✺ ✷✷ ✶✳✶ F ✲tæ♣æ ✈➔ F ữợ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✷ ✶✳✷ ❚♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲❆♠♣➧r❡ ♣❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✼ ✶✳✸ ❍➔♠ F ỏ ữợ ỹ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✵ ✷ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ỏ ữợ ỹ ỹ ữỡ F ỏ ữợ tử ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✷ ✸✼ ❚➼♥❤ ❝ü❝ ữỡ F ỏ ữợ ❜à ❝❤➦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸ F ữợ ✺✷ ✻ ✸✳✶ ▲ỵ♣ E0 ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ỏ ữợ ✳ ✺✷ ✸✳✷ ▲ỵ♣ Fp ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ỏ ữợ ✳ ✻✵ ✸✳✸ ❳➜♣ ①➾ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤♦➔ ữợ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✼ ❑➳t ❧✉➟♥ ✈➔ ❦✐➳♥ ♥❣❤à ✼✷ ❉❛♥❤ ♠ư❝ ❝→❝ ❝ỉ♥❣ tr➻♥❤ sû ❞ư♥❣ tr♦♥❣ ▲✉➟♥ →♥ ✼✹ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✼✺ ✼ ❑➑ ❍■➏❯ • N∗ ✿ ❚➟♣ ❝→❝ sæ tü ♥❤✐➯♥ ❦❤→❝ ✵✳ • Cn ✿ ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì ♣❤ù❝ ♥ ❝❤✐➲✉✳ • B(z0 , r) = {z ∈ Cn : z − z0 < r}✿ ❍➻♥❤ ❝➛✉ ♠ð t➙♠ z0 ❜→♥ ❦➼♥❤ r > 0✳ • QB(Cn )✿ σ ✲✤↕✐ sè tr➯♥ Cn ✤÷đ❝ s✐♥❤ ❜ð✐ ❝→❝ t➟♣ ❇♦r❡❧ ✈➔ ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ ✤❛ ❝ü❝ ❝õ❛ Cn ✳ F • G ✿ ❇❛♦ ✤â♥❣ ❝õ❛ ● tr♦♥❣ F ✲tỉ♣ỉ✳ • ∂F G ✿ ❇✐➯♥ ❝õ❛ G tr♦♥❣ F ✲tỉ♣ỉ✳ • χ ◦ u ✿ ❍ñ♣ t❤➔♥❤ ✭t➼❝❤✮ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ u ✈➔ SH() ỏ ữợ tr➯♥ Ω✳ • SH− (Ω) ✿ ❚➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ ✤✐➲✉ ỏ ữợ tr PSH() ỏ ữợ tr PSH () ỏ ữợ tr Ω✳ • F ✲PSH(Ω) ✿ ❚➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ỏ ữợ tr F PSH () F ỏ ữợ tr Ω✳ • F ✲MPSH✭Ω✿ ❚➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ỏ ữợ F ỹ tr L () ✿ ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ❜à ❝❤➦♥ tr➯♥ Ω✳ • L∞ loc (Ω) ✿ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ❜à ❝❤➦♥ ữỡ tr (ddc u)n = ddc u ∧ · · · ∧ ddc u ✿ ✣ë ✤♦ ▼♦♥❣❡✲❆♠♣➧r❡ ❝õ❛ u✳ • C(Ω) ✿ ❚➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tư❝ tr➯♥ Ω✳ • C ∞ (Ω) ✿ ❚➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ ❦❤↔ ✈✐ ✈ỉ ❤↕♥ tr➯♥ Ω✳ • uj u ✿ ❞➣② {uj } ❤ë✐ tư t➠♥❣ tỵ✐ u✳ • uj u ✿ ❞➣② {uj } ❤ë✐ tö ❣✐↔♠ tợ u 1A trữ t A✳ • ❤✳❦✳♥✳ ✿ ❤➛✉ ❦❤➢♣ ♥ì✐✳ ▼ð ✤➛✉ ✶✳ ▲➼ ❞♦ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ t♦➔♥ ❜ë ❧✉➟♥ →♥ ♥➔② ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠ët ❧ỵ♣ ✤➦❝ ❜✐➺t ❝→❝ ỏ ữợ õ ỏ ữợ r t s t F ỏ ữợ sỷ ữ r❛ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ①✉➜t ♣❤→t tø ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❍✳ ❈❛rt❛♥ ✈➔♦ ✤➛✉ ♥❤ú♥❣ ♥➠♠ ✹✵ ❝õ❛ t❤➳ ❦➾ trữợ õ t ổ tử ỏ ữợ tr C rt ✤÷❛ r❛ tỉ♣ỉ ✧❢✐♥❡✧ tr➯♥ C ♥❤÷ ❧➔ tỉ♣ỉ ②➳✉ ♥❤➜t tr➯♥ C ♠➔ ❧➔♠ ❝❤♦ ♠å✐ ❤➔♠ ✤✐➲✉ ❤á❛ ữợ tử tt ữủ ởt số t q ú ỵ ố ợ ợ ♥â✐ tr➯♥ ✭❬✶✹❪✮✳ ❙❛✉ ✤â ✈➔♦ ♥❤ú♥❣ ♥➠♠ ✼✵ ✭❝õ❛ t trữợ ữ r ❤á❛ ❢✐♥❡ ✈➔ ❤➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ❢✐♥❡ ✈➔ t❤✐➳t ❧➟♣ ♠è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❝❤ó♥❣ ♥❤÷ ♠è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❤➔♠ ✤✐➲✉ ❤á❛ ✈➔ ❤➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ tr♦♥❣ ❝→❝ ❣✐→♦ tr➻♥❤ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ♣❤ù❝✳ ❚ê♥❣ q✉→t ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ tr➯♥ ❧➯♥ Cn ✱ ❲✐❡❣❡r✐♥❝❦ ✈➔ ❝→❝ ❝ë♥❣ sü ✤➣ ①➙② ❞ü♥❣ tæ♣æ ♣❧✉r✐❢✐♥❡ ✭t❛ s➩ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ F ✲tæ♣æ✮ tr➯♥ Cn ✈➔ ①→❝ ✤à♥❤ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❤➔♠ F ✲✤❛ ỏ ữợ t tr t tt ✤❛ t❤➳ ✈à ♣❧✉r✐❢✐♥❡ ♠➔ t❛ ✈✐➳t ❧➔ F ✲✤❛ t❤➳ ✈à ✭❬✹✼❪✮✳ ▼ët ✈➜♥ ✤➲ tü ♥❤✐➯♥ ✤÷đ❝ ✤➦t r❛ tr♦♥❣ ▲➼ t❤✉②➳t F ✲✤❛ t❤➳ ✈à ❧➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥❤ú♥❣ ✈➜♥ ✤➲ t÷ì♥❣ tü ❝õ❛ ▲➼ t❤✉②➳t ✤❛ t tổ tữớ ợ F ỏ ữợ ữ t t tr số ỏ ữợ tr t tr Cn tỗ t ởt ợ ỳ trỏ r➜t q✉❛♥ trå♥❣✱ ❝â ♥❤✐➲✉ ù♥❣ ❞ö♥❣ tr♦♥❣ ▲➼ t❤✉②➳t ✤❛ t❤➳ ✈à✱ ✤➦❝ ❜✐➺t tr♦♥❣ ❣✐↔✐ ❜➔✐ ... ỏ ữợ tr PSH () ỏ ữợ tr • F ✲PSH(Ω) ✿ ❚➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ỏ ữợ tr F PSH () F ỏ ữợ tr • F ✲MPSH✭Ω✿ ❚➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ữợ F ỹ tr L () ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ❜à... →♥ ✶ ❍➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ữợ F ỏ ữợ ỹ t tû ▼♦♥❣❡✲❆♠♣➧r❡ ♣❤ù❝ ✶✺ ✷✷ ✶✳✶ F ✲tæ♣æ ✈➔ ❤➔♠ F ữợ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✷ ✶✳✷ ❚♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲❆♠♣➧r❡ ♣❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✼ ✶✳✸ ❍➔♠ F ỏ ữợ... ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸ ❳➜♣ F ữợ ✻ ✸✳✶ ▲ỵ♣ E0 ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ỏ ữợ ✺✷ ✸✳✷ ▲ỵ♣ Fp ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ỏ ữợ F ữợ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✼ ❑➳t