Luận án tập trung nghiên cứu một số tính chất của các hàm F-đa điều hòa dưới; nghiên cứu mối quan hệ giữa tính chất địa phương và toàn cục của hàm F đa điều hòa dưới thông qua việc chỉ ra điều kiện cần và đủ;...
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI - - HOÀNG VIỆT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI - - HOÀNG VIỆT Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 9.46.01.02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Văn Trào GS TSKH Đỗ Đức Thái Hà Nội - Năm 2018 ▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ❚ỉ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ▲✉➟♥ →♥ ♥➔② ❞♦ ❝❤➼♥❤ t→❝ ❣✐↔ t❤ü❝ ❤✐➺♥ t↕✐ ❑❤♦❛ ❚♦→♥✲❚✐♥✱ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ữợ sỹ ữợ P ❚r➔♦ ✈➔ ●❙✳ ❚❙❑❍✳ ✣é ✣ù❝ ❚❤→✐❀ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ▲✉➟♥ →♥ ❧➔ ♠ỵ✐✱ ✤➲ t➔✐ ❝õ❛ ▲✉➟♥ →♥ ❦❤ỉ♥❣ trò♥❣ ❧➦♣ ✈➔ ❝❤÷❛ ✤÷đ❝ ❝ỉ♥❣ ❜è tr♦♥❣ ❜➜t ❝ù ❝ỉ♥❣ tr➻♥❤ ❝õ❛ ❛✐ ❦❤→❝✳ ❚→❝ ❣✐↔ ❍♦➔♥❣ ❱✐➺t ▲í✐ ỡ ữủ t ữợ sỹ ữợ ❞➝♥ ❝õ❛ P●❙✳ ❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ❚r➔♦ ✈➔ ●❙✳ ❚❙❑❍✳ ✣é ✣ù❝ ❚❤→✐✳ ❇➡♥❣ t➜t ❝↔ sü ❦➼♥❤ trå♥❣ ❝õ❛ ♠➻♥❤✱ tỉ✐ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ t tợ t t ữợ tổ tr➯♥ ❝♦♥ ✤÷í♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤♦❛ ❤å❝✳ ❚ỉ✐ ❝↔♠ t❤➜② r➜t ♠❛② ♠➢♥✱ ✈✐♥❤ ❞ü ✈➔ ❤↕♥❤ ♣❤ó❝ ❦❤✐ ✤÷đ❝ t ữợ ổ ụ ữủ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ s➙✉ s➢❝ tỵ✐ ❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❳✉➙♥ ỗ ữợ õ ỵ rt t tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ tæ✐ ❤å❝ t➟♣✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ s♦↕♥ t❤↔♦ ❧✉➟♥ →♥ ♥➔② t↕✐ ❑❤♦❛ ❚♦→♥✲❚✐♥✱ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐✳ ❚ỉ✐ ①✐♥ ✤÷đ❝ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ s➙✉ s➢❝ tỵ✐ ●❙✳ ❚❙❑❍✳ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ❑❤✉➯✱ ●❙✳ ❚❙❑❍✳ ▲➯ ▼➟✉ ❍↔✐✱ ●❙✳ ❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ◗✉❛♥❣ ❉✐➺✉✱ ●❙✳ ❚❙❑❍✳ P❤↕♠ ❍♦➔♥❣ ❍✐➺♣✱ P●❙✳ ❚❙✳ P❤ò♥❣ ❱➠♥ ▼↕♥❤ ✲ ♥❤ú♥❣ ♥❣÷í✐ ❚❤➛② ✤➣ ❣✐↔♥❣ ❞↕②✱ ❣✐ó♣ ✤ï tỉ✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤♦❛ ❤å❝✳ ❚ỉ✐ ✈ỉ ❝ò♥❣ ❝↔♠ ì♥ ❝→❝ t❤➛② ổ ỗ õ r tt ❤➔♠✱ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐✱ ✤â ❧➔ ♠ët t➟♣ t❤➸ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❧➔♠ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♠ tó❝✱ ✤➣ õ ỵ trỹ t ú tổ tr ❝❤♦ ♠➻♥❤ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ♥❤ú♥❣ ❤✐➸✉ ❜✐➳t s➙✉ s➢❝ ❤ì♥ ✈➲ ♥❤✐➲✉ ✈➜♥ ✤➲ t♦→♥ ❤å❝✳ ◆❤➙♥ ❞à♣ ♥➔②✱ tỉ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ❚❙✳ ❚➠♥❣ ❱➠♥ ▲♦♥❣✱ ❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ❑❤✐➯♠✱ ❚❙✳ P❤↕♠ ◆❣✉②➵♥ r õ ỳ õ ỵ rt õ þ ♥❣❤➽❛ ❝❤♦ tæ✐ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳ ❚ỉ✐ ①✐♥ ❝↔♠ ì♥ ✤➳♥ ❚ê ❜ë ♠ỉ♥ ▲➼ t❤✉②➳t ❤➔♠✱ ❑❤♦❛ ❚♦→♥✲❚✐♥✱ P❤á♥❣ s❛✉ ✤↕✐ ❤å❝✱ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐✱ ◆❤➔ ①✉➜t ❜↔♥ ●✐→♦ ❞ư❝ ❱✐➺t ◆❛♠ ✈➔ ❝→❝ ✤ì♥ ✈à ❝❤ù❝ ♥➠♥❣ ✤➣ t↕♦ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t❤✉➟♥ ❧đ✐ ❝❤♦ tỉ✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳ ❈✉è✐ ❝ò♥❣✱ tỉ✐ ①✐♥ tọ ỏ tr ố ợ ỳ ữớ t ỳ ỗ t t ✤➣ ❣✐ó♣ ✤ï✱ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥ tỉ✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳ ❍➔ ◆ë✐✱ ♥➠♠ ✷✵✶✽ ◆❈❙✳ ❍♦➔♥❣ ❱✐➺t ▼ö❝ ❧ö❝ ▼ð ✤➛✉ ✾ ❚ê♥❣ q✉❛♥ ✈➲ ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ tr♦♥❣ ▲✉➟♥ →♥ ✶ ❍➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ỏ ữợ F ỏ ữợ ỹ t♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲❆♠♣➧r❡ ♣❤ù❝ ✶✺ ✷✷ ✶✳✶ F ✲tæ♣æ ✈➔ F ữợ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✷ ✶✳✷ ❚♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲❆♠♣➧r❡ ♣❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✼ ✶✳✸ ❍➔♠ F ỏ ữợ ỹ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✵ ✷ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ỏ ữợ ỹ ỹ ữỡ F ỏ ữợ tử ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✷ ✸✼ ❚➼♥❤ ❝ü❝ ữỡ F ỏ ữợ ❜à ❝❤➦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸ F ữợ ✺✷ ✻ ✸✳✶ ▲ỵ♣ E0 ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ỏ ữợ ✳ ✺✷ ✸✳✷ ▲ỵ♣ Fp ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ỏ ữợ ✳ ✻✵ ✸✳✸ ❳➜♣ ①➾ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤♦➔ ữợ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✼ ❑➳t ❧✉➟♥ ✈➔ ❦✐➳♥ ♥❣❤à ✼✷ ❉❛♥❤ ♠ư❝ ❝→❝ ❝ỉ♥❣ tr➻♥❤ sû ❞ư♥❣ tr♦♥❣ ▲✉➟♥ →♥ ✼✹ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✼✺ ✼ ❑➑ ❍■➏❯ • N∗ ✿ ❚➟♣ ❝→❝ sæ tü ♥❤✐➯♥ ❦❤→❝ ✵✳ • Cn ✿ ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì ♣❤ù❝ ♥ ❝❤✐➲✉✳ • B(z0 , r) = {z ∈ Cn : z − z0 < r}✿ ❍➻♥❤ ❝➛✉ ♠ð t➙♠ z0 ❜→♥ ❦➼♥❤ r > 0✳ • QB(Cn )✿ σ ✲✤↕✐ sè tr➯♥ Cn ✤÷đ❝ s✐♥❤ ❜ð✐ ❝→❝ t➟♣ ❇♦r❡❧ ✈➔ ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ ✤❛ ❝ü❝ ❝õ❛ Cn ✳ F • G ✿ ❇❛♦ ✤â♥❣ ❝õ❛ ● tr♦♥❣ F ✲tỉ♣ỉ✳ • ∂F G ✿ ❇✐➯♥ ❝õ❛ G tr♦♥❣ F ✲tỉ♣ỉ✳ • χ ◦ u ✿ ❍ñ♣ t❤➔♥❤ ✭t➼❝❤✮ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ u ✈➔ SH() ỏ ữợ tr➯♥ Ω✳ • SH− (Ω) ✿ ❚➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ ✤✐➲✉ ỏ ữợ tr PSH() ỏ ữợ tr PSH () ỏ ữợ tr Ω✳ • F ✲PSH(Ω) ✿ ❚➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ỏ ữợ tr F PSH () F ỏ ữợ tr Ω✳ • F ✲MPSH✭Ω✿ ❚➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ỏ ữợ F ỹ tr L () ✿ ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ❜à ❝❤➦♥ tr➯♥ Ω✳ • L∞ loc (Ω) ✿ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ❜à ❝❤➦♥ ữỡ tr (ddc u)n = ddc u ∧ · · · ∧ ddc u ✿ ✣ë ✤♦ ▼♦♥❣❡✲❆♠♣➧r❡ ❝õ❛ u✳ • C(Ω) ✿ ❚➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tư❝ tr➯♥ Ω✳ • C ∞ (Ω) ✿ ❚➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ ❦❤↔ ✈✐ ✈ỉ ❤↕♥ tr➯♥ Ω✳ • uj u ✿ ❞➣② {uj } ❤ë✐ tư t➠♥❣ tỵ✐ u✳ • uj u ✿ ❞➣② {uj } ❤ë✐ tö ❣✐↔♠ tợ u 1A trữ t A✳ • ❤✳❦✳♥✳ ✿ ❤➛✉ ❦❤➢♣ ♥ì✐✳ ▼ð ✤➛✉ ✶✳ ▲➼ ❞♦ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ t♦➔♥ ❜ë ❧✉➟♥ →♥ ♥➔② ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠ët ❧ỵ♣ ✤➦❝ ❜✐➺t ❝→❝ ỏ ữợ õ ỏ ữợ r t s t F ỏ ữợ sỷ ữ r❛ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ①✉➜t ♣❤→t tø ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❍✳ ❈❛rt❛♥ ✈➔♦ ✤➛✉ ♥❤ú♥❣ ♥➠♠ ✹✵ ❝õ❛ t❤➳ ❦➾ trữợ õ t ổ tử ỏ ữợ tr C rt ✤÷❛ r❛ tỉ♣ỉ ✧❢✐♥❡✧ tr➯♥ C ♥❤÷ ❧➔ tỉ♣ỉ ②➳✉ ♥❤➜t tr➯♥ C ♠➔ ❧➔♠ ❝❤♦ ♠å✐ ❤➔♠ ✤✐➲✉ ❤á❛ ữợ tử tt ữủ ởt số t q ú ỵ ố ợ ợ ♥â✐ tr➯♥ ✭❬✶✹❪✮✳ ❙❛✉ ✤â ✈➔♦ ♥❤ú♥❣ ♥➠♠ ✼✵ ✭❝õ❛ t trữợ ữ r ❤á❛ ❢✐♥❡ ✈➔ ❤➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ❢✐♥❡ ✈➔ t❤✐➳t ❧➟♣ ♠è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❝❤ó♥❣ ♥❤÷ ♠è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❤➔♠ ✤✐➲✉ ❤á❛ ✈➔ ❤➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ tr♦♥❣ ❝→❝ ❣✐→♦ tr➻♥❤ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ♣❤ù❝✳ ❚ê♥❣ q✉→t ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ tr➯♥ ❧➯♥ Cn ✱ ❲✐❡❣❡r✐♥❝❦ ✈➔ ❝→❝ ❝ë♥❣ sü ✤➣ ①➙② ❞ü♥❣ tæ♣æ ♣❧✉r✐❢✐♥❡ ✭t❛ s➩ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ F ✲tæ♣æ✮ tr➯♥ Cn ✈➔ ①→❝ ✤à♥❤ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❤➔♠ F ✲✤❛ ỏ ữợ t tr t tt ✤❛ t❤➳ ✈à ♣❧✉r✐❢✐♥❡ ♠➔ t❛ ✈✐➳t ❧➔ F ✲✤❛ t❤➳ ✈à ✭❬✹✼❪✮✳ ▼ët ✈➜♥ ✤➲ tü ♥❤✐➯♥ ✤÷đ❝ ✤➦t r❛ tr♦♥❣ ▲➼ t❤✉②➳t F ✲✤❛ t❤➳ ✈à ❧➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥❤ú♥❣ ✈➜♥ ✤➲ t÷ì♥❣ tü ❝õ❛ ▲➼ t❤✉②➳t ✤❛ t tổ tữớ ợ F ỏ ữợ ữ t t tr số ỏ ữợ tr t tr Cn tỗ t ởt ợ ỳ trỏ r➜t q✉❛♥ trå♥❣✱ ❝â ♥❤✐➲✉ ù♥❣ ❞ö♥❣ tr♦♥❣ ▲➼ t❤✉②➳t ✤❛ t❤➳ ✈à✱ ✤➦❝ ❜✐➺t tr♦♥❣ ❣✐↔✐ ❜➔✐ ✻✹ ❍ì♥ ♥ú❛✱ t❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✾✱ t❛ ❝â −(−um )min(p,1) ∈ F ✲PSH− (Ω) ✈ỵ✐ ♠å✐ m ≥ 1✳ ❱➻ t❤➳✱ ❧➛♥ ♥ú❛ →♣ ❞ö♥❣ ▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✶✳✹✱ s✉② r❛ (−u)min(p,1) (ddc max(u, −k))n Ω (−um )min(p,1) (ddc max(u, −k))n = sup m≥1 Ω (−um )min(p,1) (ddc max(uj , −k))n = sup sup m≥1 j≥1 Ω (−um )min(p,1) (ddc uj )n ≤ sup sup m≥1 j≥1 Ω (−uj )min(p,1) (ddc uj )n = sup j≥1 Ω (1 + (−uj )p )(ddc uj )n ≤ sup j≥1 Ω ❙✉② r❛ (ddc max(u, −k))n ≤ k min(p,1) (1 + (−uj )p )(ddc uj )n sup j≥1 Ω {u≤−k} ❉♦ ✤â✱ t❤❡♦ ✣à♥❤ ❧➼ ✹✳✽ tr♦♥❣ ❬✷✷❪✱ t❛ ✤÷đ❝ (ddc u)n = lim {u>−∞} k→+∞ {u>−k} (ddc max(u, −k))n (ddc max(u, −k))n = lim k→+∞ Ω (ddc uj )n = sup j≥1 Ω ✻✺ ▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✷✳✸✳ ●✐↔ sû Ω ❧➔ ♠✐➲♥ F ✲s✐➯✉ ỗ tr Cn p > sû u ∈ Fp (Ω) ✈➔ v ∈ F ✲PSH(Ω) ✈ỵ✐ u ≤ v < 0✳ ❑❤✐ ✤â v ∈ Fmin(p,1) (Ω) ✈➔ (ddc v)n ≤ {v>−∞} (ddc u)n {u>−∞} ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû {uj } ⊂ E0 (Ω) s❛♦ ❝❤♦ uj u tr➯♥ Ω ✈➔ (1 + (−uj )p )(ddc uj )n < +∞ sup j≥1 Ω ✣➦t vj := max(uj , v)✳ ❚❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✶✳✹✱ t❛ ❝â vj ∈ E0 (Ω)✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ t❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✾✱ t❛ ❝â −(−vj )min(p,1) ∈ F ✲PSH− (Ω)✳ ❱➻ t❤➳✱ ❧➛♥ ♥ú❛ →♣ ❞ö♥❣ ▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✶✳✹✱ s✉② r❛ [1 + (−vj )min(p,1) ](ddc vj )n sup j≥1 Ω [1 + (−vj )min(p,1) ](ddc uj )n ≤ sup j≥1 Ω [2 + (−uj )p ](ddc uj )n < +∞ ≤ sup j≥1 Ω ❚ø vj v tr➯♥ Ω✱ s✉② r❛ v ∈ Fmin(p,1) (Ω)✳ ❉♦ ✤â✱ t❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✶✳✹ ✻✻ ✈➔ ▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✷✳✷✱ t❛ ❝â (ddc v)n = sup (ddc vj )n j≥1 Ω {v>−∞} (ddc uj )n ≤ sup j≥1 Ω (ddc u)n = {u>−∞} ▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✷✳✹✳ ●✐↔ sû Ω ❧➔ ♠✐➲♥ F ✲s✐➯✉ ỗ tr Cn p > sû u ∈ Fmin(p,1) (Ω) ✈➔ v ∈ F ✲PSH− (Ω) s❛♦ ❝❤♦ (1 + (−u)p )(ddc u)n ≤ (1 + (−v)p )(ddc v)n tr➯♥ Ω ∩ {u > −∞} ∩ {v > −∞}✳ ❑❤✐ ✤â u ≥ v tr➯♥ Ω✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû ϕ ❧➔ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ỏ ữợ trỡ t tr Cn s {ϕ < 0}✳ ✣➦t vj := max(u, v + 1j ) tr õ j N rữợ ❤➳t✱ t❛ ②➯✉ ❝➛✉ (ddc vj )n ≥ (ddc u)n tr➯♥ Ω ∩ {u > −∞} ∩ {v > −∞} ❚❤➟t ✈➟②✱ ❜ð✐ ❣✐↔ t❤✐➳t n + (−u)p c n (dd (v + ϕ)) ≥ (dd v) ≥ (ddc u)n ≥ 1{u≤v+ 1j ϕ} (ddc u)n p j + (−v) c tr➯♥ Ω ∩ {u > −∞} ∩ {v > −∞}✳ ❱➻ t❤➳✱ t❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✻✱ t❛ ✤÷đ❝ 1{u≤v+ 1j ϕ} (ddc vj )n ≥ 1{u≤v+ 1j ϕ} (ddc u)n tr➯♥ Ω∩{u > −∞}∩{v > −∞} ✻✼ ❍ì♥ ♥ú❛✱ t❤❡♦ ✣à♥❤ ❧➼ ✹✳✽ tr♦♥❣ ❬✷✷❪✱ t❛ ❝â (ddc vj )n = (ddc u)n tr➯♥ Ω ∩ {u > v + 1j ϕ} ∩ {u > −∞} ∩ {v > −∞}✳ ❉♦ ✤â (ddc vj )n ≥ (ddc u)n tr➯♥ Ω ∩ {u > −∞} ∩ {v > −∞} ✣✐➲✉ ♥➔② ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ②➯✉ ❝➛✉✳ ❚ø vj ≥ u tr➯♥ Ω✱ t❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✷✳✸✱ t❛ ❝â (ddc u)n ≤ {u>−∞} (ddc vj )n ≤ {vj >−∞} (ddc u)n < +∞ {u>−∞} ❙✉② r❛ 1{vj >−∞} (ddc vj )n = 1{u>−∞} (ddc u)n tr➯♥ Ω✳ ❉♦ ✤â✱ t❤❡♦ ✣à♥❤ ❧➼ ✹✳✽ tr♦♥❣ ❬✷✷❪✱ t❛ ✤÷đ❝ [(ddc (v + ϕ))n − (ddc v)n ] j (ddc ϕ)n ≤ j n {−∞ −∞} ❱➻ t❤➳✱ t❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✷✳✹ s✉② r❛ v ≥ u tr➯♥ Ω✱ ✈➔ ❞♦ ✤â✱ u = v tr➯♥ Ω✳ ❱➻ ✈➟②✱ uj → u ❤✳❦✳♥✳ tr➯♥ Ω✳ ✼✶ ❑➳t ❧✉➟♥ ❝õ❛ ❈❤÷ì♥❣ ✸ ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ✤÷❛ r❛ ❝→❝ F s ỗ ợ F ỏ ữợ E0 () Fp () ❝→❝ ♠➺♥❤ ✤➲✱ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ✤➣ sû ❞ư♥❣ t♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲❆♠♣➧r❡ ♣❤ù❝ ✈➔ ❝→❝ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✾✱ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✶✵✱ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✺✱ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✻ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✼✱ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✣à♥❤ ❧➼ ✸✳✸✳✶✱ tr♦♥❣ ✤â ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ r➡♥❣✱ ♠é✐ ❤➔♠ u ∈ Fp (Ω) ✭p > 0✮ ✤➲✉ ①➜♣ ①➾ ❜ð✐ ♠ët ❞➣② t➠♥❣ ❝→❝ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ỏ ữợ tr s ỗ rở ỡ t ❑➳t ❧✉➟♥ ▲✉➟♥ →♥ ✤➣ ❝❤➾ r❛ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤➸ ❝â sü t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ❝õ❛ t➼♥❤ ❝❤➜t F ✲❝ü❝ ✤↕✐ F ✲✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✈➔ F ✲❝ü❝ ✤↕✐ ❝õ❛ ❤➔♠ F ỏ ữợ r ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤➸ t❤✐➳t ❧➟♣ ✈➜♥ ✤➲ ①➜♣ ①➾ ❝õ❛ F ỏ ữợ ỏ ữợ t ❝❤➾ r❛ r➡♥❣✱ ✤è✐ ✈ỵ✐ ♠ët ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ỏ ữợ tử tr t õ F ✲❝ü❝ ✤↕✐ tr➯♥ Ω ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ♥â ❧➔ F ✲❝ü❝ ✤↕✐ F ✲✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➯♥ Ω ✭✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✶✳✷✮✳ ✷✳ ▲✉➟♥ →♥ ✤➣ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣✱ ✤è✐ ợ ởt F ỏ ữợ tr➯♥ Ω t❤➻ ❤➔♠ ✤â F ✲❝ü❝ ✤↕✐ tr➯♥ Ω ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ♥â ❧➔ F ✲❝ü❝ ✤↕✐ F ✲✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➯♥ Ω ✭✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✷✳✷✮✳ ✸✳ ▲✉➟♥ →♥ ✤➣ ❝❤➾ r❛ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤➸ t❤✐➳t ❧➟♣ ✈➜♥ ✤➲ ①➜♣ ①➾ ❝❤♦ ❝→❝ ❤➔♠ F ✲✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ữợ ởt t ỏ ữợ tr s ỗ rở ❤ì♥ ✭✣à♥❤ ❧➼ ✸✳✸✳✶✮✳ ■■✳ ❑✐➳♥ ♥❣❤à ❚ø ♥❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ t❤✉ ✤÷đ❝ ❝õ❛ ▲✉➟♥ →♥ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ự ú tổ t ởt số ữợ ự t✐➳♣ t❤❡♦ ♥❤÷ s❛✉✿ ✶✳ ▲✐➺✉ t❛ ❝â t❤➸ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✤÷đ❝ t♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲❆♠♣➧r❡ ♣❤ù❝ ❝❤♦ ✼✸ ❝→❝ ❤➔♠ F ỏ ữợ ổ ữ ❈❡❣r❡❧❧❄ ✷✳ ▲✐➺✉ t❛ ❝â t❤➸ ❣✐↔✐ ✤÷đ❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ r ự F ỏ ữợ tr➯♥ ❝→❝ ♠✐➲♥ F ✲♠ð❄ ▲✐➺✉ t❛ ❝â t❤➸ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t➼♥❤ ❝❤➜t ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤â ♥❤÷✿ ❚➼♥❤ ê♥ ✤à♥❤ ♥❣❤✐➺♠✱ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝✱ ❧✐➯♥ tö❝ ❍♦❧❞❡r✱ ✳✳✳❄ ✸✳ ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ✈➲ ❤➔♠ F ✲✤❛ ỏ ữợ ❝ü❝✳ ❉❛♥❤ ♠ư❝ ❝→❝ ❝ỉ♥❣ tr➻♥❤ sû ❞ư♥❣ tr♦♥❣ ▲✉➟♥ →♥ ❬✶❪ ◆✳ ❳✳ ❍♦♥❣✱ ▲✳ ▼✳ ❍❛✐ ❛♥❞ ❍✳ ❱✐❡t✱ ▲♦❝❛❧ ♠❛①✐♠❛❧✐t② ❢♦r ❜♦✉♥❞❡❞ ♣❧✉r✐❢✐♥❡❧② ♣❧✉r✐s✉❜❤❛r♠♦♥✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ P♦t❡♥t✐❛❧ ❆♥❛❧✳✱ ■❙❙◆ ✵✾✷✻ ✲ ✷✻✵✶✱ ✹✽ ✭✷✵✶✽✮✱ ✶✶✺✲✶✷✸✳ ❬✷❪ ◆✳ ❳✳ ❍♦♥❣ ❛♥❞ ❍✳ ❱✐❡t✱ ▲♦❝❛❧ ♣r♦♣❡rt② ♦❢ ♠❛①✐♠❛❧ ♣❧✉r✐❢✐♥❡❧② ♣❧✉r✐s✉❜❤❛r♠♦♥✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ❏✳ ▼❛t❤✳ ❆♥❛❧✳ ❆♣♣❧✳✱ ✹✹✶ ✭✷✵✶✻✮✱ ✺✽✻✕ ✺✾✷✳ ❬✸❪ ◆✳ ❱✳ ❚r❛♦✱ ❍✳ ❱✐❡t ❛♥❞ ◆✳ ❳✳ ❍♦♥❣✱ ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ♣❧✉r✐❢✐♥❡❧② ♣❧✉r✐s✉❜❤❛r♠♦♥✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ❏✳ ▼❛t❤✳ ❆♥❛❧✳ ❆♣♣❧✳✱ ✶✵✼✺✳ ✼✹ ✹✺✵ ✭✷✵✶✼✮✱ ✶✵✻✷✕ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❬✶❪ ◆❣✉②➵♥ ◗✉❛♥❣ ❉✐➺✉✱ ▲➯ ▼➟✉ ❍↔✐✱ ❈ì sð ❧➼ t❤✉②➳t ✤❛ t❤➳ ✈à✱ ◆❤➔ ①✉➜t ❜↔♥ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠✱ ❍➔ ◆ë✐✱ ✭✷✵✵✾✮✳ ❬✷❪ P✳ ✝ ❆❤❛❣✱ ❯✳ ❈❡❣r❡❧❧✱ ❘✳ ❈③②✡③ ❛♥❞ P✳ ❍✳ ❍✐❡♣✱ ▼♦♥❣❡✲❆♠♣➧r❡ ♠❡❛✲ s✉r❡s ♦♥ ♣❧✉r✐♣♦❧❛r s❡ts✱ ❏✳ ▼❛t❤✳ P✉r❡s ❆♣♣❧✳✱ ✭✷✵✵✾✮✱ ✻✶✸✕✻✷✼✳ ✾✷ ❬✸❪ P✳ ✝ ❆❤❛❣✱ ❯✳ ❈❡❣r❡❧❧ ❛♥❞ P✳ ❍✳ ❍✐❡♣✱ ▼♦♥❣❡✲❆♠♣➧r❡ ♠❡❛s✉r❡s ♦♥ s✉❜✈❛r✐❡t✐❡s✱ ❏✳ ▼❛t❤✳ ❆♥❛❧✳ ❆♣♣❧✳✱ ✭✷✵✶✺✮✱ ♥♦✳ ✶✱ ✾✹✕✶✵✺✳ ✹✷✸ ❬✹❪ P✳ ✝ ❆❤❛❣✱ ❘✳ ❈③②✡③ ❛♥❞ P✳ ❍✳ ❍✐❡♣✱ ❈♦♥❝❡r♥✐♥❣ t❤❡ ❡♥❡r❣② ❝❧❛ss Ep ❢♦r < p < 1✱ ❆♥♥✳ P♦❧♦♥✳ ▼❛t❤✳✱ ✭✷✵✵✼✮✱ ✶✶✾✕✶✸✵✳ ✾✶ ❬✺❪ ❇✳ ❆✈❡❧✐♥✱ ▲✳ ❍❡❞ ❛♥❞ ❍✳ P❡rss♦♥✱ ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ♣❧✉r✐s✉❜❤❛r✲ ♠♦♥✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ❈♦♠♣❧❡① ❱❛r✳ ❊❧❧✐♣t✐❝ ❊q✉✳✱ ✭✷✵✶✻✮✱ ♥♦✳ ✶✱ ✷✸✕✷✽✳ ✻✶ ❬✻❪ ❊✳ ❇❡❞❢♦r❞ ❛♥❞ ❇✳ ❆✳ ❚❛②❧♦r✱ ❚❤❡ ❉✐r✐❝❤❧❡t ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r ❛ ❝♦♠♣❧❡① ▼♦♥❣❡✲❆♠♣➧r❡ ❡q✉❛t✐♦♥✱ ■♥✈❡♥t✳ ▼❛t❤✳✱ ✭✶✾✼✻✮✱ ✶✕✹✹✳ ✸✼ ❬✼❪ ❊✳ ❇❡❞❢♦r❞ ❛♥❞ ❇✳ ❆✳ ❚❛②❧♦r✱ ❆ ♥❡✇ ❝❛♣❛❝✐t② ❢♦r ♣❧✉r✐s✉❜❤❛r♠♦♥✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ❆❝t❛ ▼❛t❤✳✱ ✭✶✾✽✷✮✱ ✶✕✹✵✳ ✶✹✾ ❬✽❪ ❊✳ ❇❡❞❢♦r❞ ❛♥❞ ❇✳ ❆✳ ❚❛②❧♦r✱ ❋✐♥❡ t♦♣♦❧♦❣②✱ ❙✐❧♦✈ ❜♦✉♥❞❛r② ❛♥❞ (ddc )n ✱ ❏✳ ❋✉♥❝t✳ ❆♥❛❧✳✱ ✼✷ ✭✶✾✽✼✮✱ ✷✷✺✕✷✺✶✳ ❬✾❪ ❙✳ ❇❡♥❡❧❦♦✉r❝❤✐✱ ❆ ♥♦t❡ ♦♥ t❤❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ♣❧✉r✐s✉❜❤❛r♠♦♥✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ❈✳ ❘✳ ❆❝❛❞✳ ❙❝✐✳ P❛r✐s✱ ✸✹✷ ✭✷✵✵✻✮✱ ✻✹✼✕✻✺✵✳ ❬✶✵❪ ❙✳ ❇❡♥❡❧❦♦✉r❝❤✐✱ ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ✇❡❛❦❧② s✐♥❣✉❧❛r ♣❧✉r✐s✉❜❤❛r✲ ♠♦♥✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ■♥t✳ ❏✳ ▼❛t❤✳✱ ✷✷ ✭✷✵✶✶✮✱ ✾✸✼✕✾✹✻✳ ❬✶✶❪ ❩✳ ❇l♦❝❦✐✱ ❖♥ t❤❡ ❞❡❢✐♥✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ▼♦♥❣❡✲❆♠♣➧r❡ ♦♣❡r❛t♦r ✐♥ C2 ✱ ▼❛t❤✳ ❆♥♥✳✱ ✭✷✵✵✹✮✱ ✹✶✺✕✹✷✸✳ ✸✷✽ ❬✶✷❪ ❩✳ ❇l♦❝❦✐✱ ❚❤❡ ❞♦♠❛✐♥ ♦❢ ❞❡❢✐♥✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦♠♣❧❡① ▼♦♥❣❡✲ ❆♠♣➧r❡ ♦♣❡r❛t♦r✱ ❆♠❡r✳ ❏✳ ▼❛t❤✳✱ ✭✷✵✵✻✮✱ ✺✶✾✕✺✸✵✳ ✶✷✽ ❬✶✸❪ ❩✳ ❇❧♦❝❦✐✱ ❆ ♥♦t❡ ♦♥ ♠❛①✐♠❛❧ ♣❧✉r✐s✉❜❤❛r♠♦♥✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ❯③❜❡❦✳ ▼❛t✳ ❩❤✳✱ ✭✷✵✵✾✮✱ ✷✽✕✸✷✳ ♥♦✳ ✶ ✼✺ ✼✻ ❬✶✹❪ ❍✳ ❈❛rt❛♥✱ ❚❤➨♦r✐❡ ❣➨♥➨r❛❧❡ ❞✉ ❜❛❧❛②❛❣❡ ❡♥ ♣♦t❡♥t✐❡❧ ♥❡✇t♦♥✐❡♥✱ ❆♥♥✳ ❯♥✐✈✳ ●r❡♥♦❜❧❡✱ ✭✶✾✹✻✮✱ ✷✷✶✲✷✽✵✳ ✷✷ ❬✶✺❪ ❯✳ ❈❡❣r❡❧❧✱ P❧✉r✐❝♦♠♣❧❡① ❡♥❡r❣②✱ ❆❝t❛ ▼❛t❤✳✱ ✶✽✵ ✭✶✾✾✽✮✱ ✶✽✼✕✷✶✼✳ ❬✶✻❪ ❯✳ ❈❡❣r❡❧❧✱ ❚❤❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❞❡❢✐♥✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦♠♣❧❡① ▼♦♥❣❡✲❆♠♣➧r❡ ♦♣❡r❛t♦r✱ ❆♥♥✳ ■♥st✳ ❋♦✉r✐❡r✳✱ ✭✷✵✵✹✮✱ ✶✺✾✕✶✼✾✳ ✺✹ ❬✶✼❪ ❯✳ ❈❡❣r❡❧❧ ❛♥❞ ▲✳ ❍❡❞✱ ❙✉❜❡①t❡♥s✐♦♥ ❛♥❞ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ♥❡❣❛✲ t✐✈❡ ♣❧✉r✐s✉❜❤❛r♠♦♥✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ▼✐❝❤✐❣❛♥ ▼❛t❤✳ ❏✳✱ ✭✷✵✵✽✮✱ ♥♦✳ ✸✱ ✺✾✸✕✻✵✶✳ ✺✻ ❬✶✽❪ ❯✳ ❈❡❣r❡❧❧✱ ▼❛①✐♠❛❧ ♣❧✉r✐s✉❜❤❛r♠♦♥✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ❯③❜❡❦✳ ▼❛t✳ ❩❤✳✱ ✭✷✵✵✾✮✱ ✶✵✕✶✻✳ ♥♦✳ ✶ ❬✶✾❪ ▼✳ ❊❧ ❑❛❞✐r✐✱ ❋♦♥❝t✐♦♥s ❢✐♥❡♠❡♥t ♣❧✉r✐s♦✉s❤❛r♠♦♥✐q✉❡s ❡t t♦♣♦❧♦❣✐❡ ♣❧✉r✐❢✐♥❡✱ ❘❡♥❞✳ ❆❝❝❛❞✳ ◆❛③✳ ❙❝✐✳ ❳▲ ▼❡♠✳ ▼❛t✳ ❆♣♣❧✳ ✭✺✮ ✭✷✵✵✸✮✱ ✼✼✕✽✽✳ ✷✼ ❬✷✵❪ ▼✳ ❊❧ ❑❛❞✐r✐✱ ❇✳ ❋✉❣❧❡❞❡ ❛♥❞ ❏✳ ❲✐❡❣❡r✐♥❝❦✱ P❧✉r✐s✉❜❤❛r♠♦♥✐❝ ❛♥❞ ❤♦❧♦♠♦r♣❤✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s r❡❧❛t✐✈❡ t♦ t❤❡ ♣❧✉r✐❢✐♥❡ t♦♣♦❧♦❣②✱ ❏✳ ▼❛t❤✳ ❆♥❛❧✳ ❆♣♣❧✳✱ ✭✷✵✶✶✮✱ ✼✵✻✕✼✷✸✳ ✸✽✶ ❬✷✶❪ ▼✳ ❊❧ ❑❛❞✐r✐ ❛♥❞ ■✳ ▼✳ ❙♠✐t✱ ▼❛①✐♠❛❧ ♣❧✉r✐❢✐♥❡❧② ♣❧✉r✐s✉❜❤❛r✲ ♠♦♥✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ P♦t❡♥t✐❛❧ ❆♥❛❧✳✱ ✭✷✵✶✹✮✱ ✶✸✷✾✕✶✸✹✺✳ ✹✶ ❬✷✷❪ ▼✳ ❊❧ ❑❛❞✐r✐ ❛♥❞ ❏✳ ❲✐❡❣❡r✐♥❝❦✱ P❧✉r✐❢✐♥❡❧② ♣❧✉r✐s✉❜❤❛r♠♦♥✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ t❤❡ ▼♦♥❣❡✲❆♠♣➧r❡ ♦♣❡r❛t♦r✱ P♦t❡♥t✐❛❧ ❆♥❛❧✳✱ ✭✷✵✶✹✮✱ ✹✻✾✕✹✽✺✳ ✹✶ ❬✷✸❪ ❙✳ ❊❧ ▼❛r③❣✉✐♦✉✐✱ ❋✐♥❡ ❆s♣❡❝ts ♦❢ P❧✉r✐♣♦t❡♥t✐❛❧ ❚❤❡♦r②✱ ❋◆❲■✿ ❑♦rt❡✇❡❣✲❞❡ ❱r✐❡s ■♥st✐t✉t❡ ❢♦r ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s ✭❑❞❱■✮✱ ✭✷✵✵✾✮✳ ❬✷✹❪ ❙✳ ❊❧ ▼❛r③❣✉✐♦✉✐ ❛♥❞ ❏✳ ❲✐❡❣❡r✐♥❝❦✱ ❚❤❡ ♣❧✉r✐❢✐♥❡ t♦♣♦❧♦❣② ✐s ❧❛❝❛❧❧② ❝♦♥♥❡❝t❡❞✱ P♦t❡♥t✐❛❧ ❆♥❛❧✳✱ ✭✸✮✭✷✵✵✻✮✱ ✷✽✸✕✷✽✽✳ ✷✺ ❬✷✺❪ ❙✳ ❊❧ ▼❛r③❣✉✐♦✉✐ ❛♥❞ ❏✳ ❲✐❡❣❡r✐♥❝❦✱ ❈♦♥♥❡❝t❡❞♥❡ss ✐♥ t❤❡ ♣❧✉✲ r✐❢✐♥❡ t♦♣♦❧♦❣②✳ ■♥✿ ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❆♥❛❧②s✐s ❛♥❞ ❈♦♠♣❧❡① ❆♥❛❧②s✐s✱ ❈♦♥✲ t❡♠♣✳ ▼❛t❤✳✱ ❆♠❡r✳ ▼❛t❤✳ ❙♦❝✳ Pr♦✈✐❞❡♥❝❡✱ ❘■✱ ✭✷✵✵✾✮✱ ✶✵✺✕✶✶✺✳ ✹✽✶ ❬✷✻❪ ❙✳ ❊❧ ▼❛r③❣✉✐♦✉✐ ❛♥❞ ❏✳ ❲✐❡❣❡r✐♥❝❦✱ ❈♦♥t✐♥✉✐t② ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❢✐♥❡❧② ♣❧✉r✐s✉❜❤❛r♠♦♥✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ■♥❞✐❛♥❛ ❯♥✐✈✳ ▼❛t❤✳ ❏✳✱ ✭✺✮ ✭✷✵✶✵✮ ✶✼✾✸✕✶✽✵✵✳ ✺✾ ❬✷✼❪ ❏✳ ❊✳ ❋♦r♥æss ❛♥❞ ❏✳ ❲✐❡❣❡r✐♥❝❦✱ ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ♣❧✉r✐s✉❜❤❛r✲ ♠♦♥✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ❆r❦✳ ▼❛t❤✳✱ ✭✶✾✽✾✮✱ ✷✺✼✕✷✼✷✳ ✷✼ ❬✷✽❪ ❇✳ ❋✉❣❧❡❞❡✱ ❋✐♥❡❧② ❤❛r♠♦♥✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ▲❡❝t✉r❡ ◆♦t❡s ✐♥ ▼❛t❤✳✱ ❙♣r✐♥❣❡r✱ ❇❡r❧✐♥✱ ✈♦❧✳ ✭✶✾✼✷✮✳ ✷✽✾ ✼✼ ❬✷✾❪ ❇✳ ❋✉❣❧❡❞❡✱ ❋♦♥❝t✐♦♥s ❢✐♥❡♠❡♥t ❤♦❧♦♠♦r♣❤❡s ❞❡ ♣❧✉s✐❡✉rs ✈❛r✐❛❜❧❡s✲ ✉♥ ❡ss❛✐✱ ■♥✿ ❙➨♠✐♥❛✐r❡ ❞✬❆♥❛❧②s❡ P✳ ▲❡❧♦♥❣✳ ▲❡❧♦♥❣ ✲ P✳ ❉♦❧❜❡❛✉❧t✲ ❍✳ ❙❦♦❞❛✱ ✶✾✽✸✴✽✺✱ ♣✳ ✶✸✸✕✶✸✺✳ ▲❡❝t✉r❡ ◆♦t❡s ✐♥ ▼❛t❤✳✱ ❙♣r✐♥❣❡r✱ ❇❡r❧✐♥✱ ✈♦❧ ✭✶✾✽✻✮✳ ✶✶✾✽ ❬✸✵❪ ▲✳ ▼✳ ❍❛✐ ❛♥❞ P✳ ❍✳ ❍✐❡♣✱ ❙♦♠❡ ✇❡✐❣❤t❡❞ ❡♥❡r❣② ❝❧❛ss❡s ♦❢ ♣❧✉r✐s✉❜❤❛r♠♦♥✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ P♦t❡♥t✐❛❧ ❆♥❛❧✳✱ ✭✶✮ ✭✷✵✶✶✮✱ ✹✸✕✺✻✳ ✸✹ ❬✸✶❪ ▲✳ ▼✳ ❍❛✐ ❛♥❞ ◆✳ ❳✳ ❍♦♥❣✱ ▼❛①✐♠❛❧ q ✲s✉❜❤❛r♠♦♥✐❝✐t② ✐♥ Cn ✱ ❱✐❡t♥❛♠ ❏✳ ▼❛t❤✳✱ ✭✷✵✶✸✮✱ ♥♦✳ ✷✱ ✶✕✶✵✳ ✹✶ ❬✸✷❪ ▲✳ ▼✳ ❍❛✐ ❛♥❞ ◆✳ ❳✳ ❍♦♥❣✱ ▼❛①✐♠❛❧ q ✲♣❧✉r✐s✉❜❤❛r♠♦♥✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐♥ Cn ✱ ❘❡s✉❧ts ✐♥ ▼❛t❤✳✱ ✭✷✵✶✸✮✱ ♥♦✳ ✶✲✷✱ ✻✸✕✼✼✳ ✻✸ ❬✸✸❪ ▲✳ ▼✳ ❍❛✐✱ ◆✳ ❱✳ ❚r❛♦ ❛♥❞ ◆✳ ❳✳ ❍♦♥❣✱ ❚❤❡ ❝♦♠♣❧❡① ▼♦♥❣❡✲ ❆♠♣➧r❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ✐♥ ✉♥❜♦✉♥❞❡❞ ❤②♣❡r❝♦♥✈❡① ❞♦♠❛✐♥s ✐♥ Cn ✱ ❈♦♠✲ ♣❧❡① ❱❛r✳ ❊❧❧✐♣t✐❝ ❊q✉✳✱ ✭✷✵✶✹✮✱ ♥♦✳ ✶✷✱ ✶✼✺✽✕✶✼✼✹✳ ✺✾ ❬✸✹❪ ▲✳ ❍❡❞✱ ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ♥❡❣❛t✐✈❡ ♣❧✉r✐s✉❜❤❛r♠♦♥✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✇✐t❤ ❣✐✈❡♥ ❜♦✉♥❞❛r② ✈❛❧✉❡s✱ ■♥t❡r♥❛t✳ ❏✳ ▼❛t❤✳✱ ✭✷✵✶✵✮✱ ♥♦✳ ✾✱ ✶✶✸✺✕✶✶✹✺✳ ✷✶ ❬✸✺❪ ▲✳ ❍❡❞ ❛♥❞ P✳ P❡rss♦♥✱ P❧✉r✐s✉❜❤❛r♠♦♥✐❝ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❜♦✉♥❞❛r② ✈❛❧✉❡s ♦❢ ♣❧✉r✐s✉❜❤❛r♠♦♥✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ❏✳ ▼❛t❤✳ ❆♥❛❧✳ ❆♣♣❧✳✱ ✭✷✵✶✹✮✱ ♥♦✳ ✷✱ ✼✵✵✕✼✶✹✳ ✹✶✸ ❬✸✻❪ ◆✳ ❳✳ ❍♦♥❣✱ ❚❤❡ ❧♦❝❛❧❧② F ✲❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♣r♦♣❡rt② ♦❢ ❜♦✉♥❞❡❞ ❤②♣❡r❝♦♥✈❡① ❞♦♠❛✐♥s✱ ❏✳ ▼❛t❤✳ ❆♥❛❧✳ ❆♣♣❧✳✱ ✭✷✵✶✺✮✱ ✶✷✵✷✕✶✷✵✽✳ ✹✷✽ ❬✸✼❪ ◆✳ ❳✳ ❍♦♥❣✱ ▼♦♥❣❡✲❆♠♣➧r❡ ♠❡❛s✉r❡s ♦❢ ♠❛①✐♠❛❧ s✉❜❡①t❡♥s✐♦♥s ♦❢ ♣❧✉r✐s✉❜❤❛r♠♦♥✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✇✐t❤ ❣✐✈❡♥ ❜♦✉♥❞❛r② ✈❛❧✉❡s✱ ❈♦♠✲ ♣❧❡① ❱❛r✳ ❊❧❧✐♣t✐❝ ❊q✉✳✱ ✭✸✮ ✭✷✵✶✺✮✱ ✹✷✾✕✹✸✺✳ ✻✵ ❬✸✽❪ ◆✳ ❳✳ ❍♦♥❣ ❛♥❞ ❍✳ ❱✳ ❈❛♥✱ ❖♥ t❤❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ✇❡❛❦❧② ♣❧✉r✐❢✐♥❡❧② ♣❧✉r✐s✉❜❤❛r♠♦♥✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ t♦ ❛♣♣❡❛r ✐♥ ■♥❞❛❣✳ ▼❛t❤✳✱ ✭✷✵✶✽✮✳ ❬✸✾❪ ◆✳ ❳✳ ❍♦♥❣✱ ▲✳ ▼✳ ❍❛✐ ❛♥❞ ❍✳ ❱✐❡t✱ ▲♦❝❛❧ ♠❛①✐♠❛❧✐t② ❢♦r ❜♦✉♥❞❡❞ ♣❧✉r✐❢✐♥❡❧② ♣❧✉r✐s✉❜❤❛r♠♦♥✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ P♦t❡♥t✐❛❧ ❆♥❛❧✳✱ ■❙❙◆ ✵✾✷✻ ✲ ✷✻✵✶✱ ✭✷✵✶✽✮✱ ✶✶✺✲✶✷✸✳ ✹✽ ❬✹✵❪ ◆✳ ❳✳ ❍♦♥❣ ❛♥❞ ❍✳ ❱✐❡t✱ ▲♦❝❛❧ ♣r♦♣❡rt② ♦❢ ♠❛①✐♠❛❧ ♣❧✉r✐❢✐♥❡❧② ♣❧✉r✐s✉❜❤❛r♠♦♥✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ❏✳ ▼❛t❤✳ ❆♥❛❧✳ ❆♣♣❧✳✱ ✭✷✵✶✻✮✱ ✺✽✻✕ ✺✾✷✳ ✹✹✶ ❬✹✶❪ ◆✳ ❱✳ ❑❤✉❡✱ ▲✳ ▼✳ ❍❛✐ ❛♥❞ ◆✳ ❳✳ ❍♦♥❣✱ q ✲s✉❜❤❛r♠♦♥✐❝✐t② ❛♥❞ q ✲ ❝♦♥✈❡① ❞♦♠❛✐♥s ✐♥ Cn ✱ ▼❛t❤✳ ❙❧♦✈❛❝❛✱ ✭✷✵✶✸✮✱ ♥♦✳ ✻✱ ✶✷✹✼✕✶✷✻✽✳ ✻✸ ✼✽ ❬✹✷❪ ◆✳ ❱✳ ❑❤✉❡ ❛♥❞ P✳ ❍✳ ❍✐❡♣✱ ❆ ❝♦♠♣❛r✐s♦♥ ♣r✐♥❝✐♣❧❡ ❢♦r t❤❡ ❝♦♠✲ ♣❧❡① ▼♦♥❣❡✲❆♠♣➧r❡ ♦♣❡r❛t♦r ✐♥ ❈❡❣r❡❧❧✬s ❝❧❛ss❡s ❛♥❞ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ ❚r❛♥s✳ ❆♠✳ ▼❛t❤✳ ❙♦❝✳✱ ✳ ✶✵ ✭✷✵✵✾✮✱ ✺✺✸✾✕✺✺✺✹✳ ✸✻✶ ❬✹✸❪ ▼✳ ❑❧✐♠❡❦✱ P❧✉r✐♣♦t❡♥t✐❛❧ ❚❤❡♦r②✱ ❚❤❡ ❈❧❛r❡♥❞♦♥ Pr❡ss ❖①❢♦r❞ ❯♥✐✈❡rs✐t② Pr❡ss✱ ◆❡✇ ❨♦r❦✱ ❖①❢♦r❞ ❙❝✐❡♥❝❡ P✉❜❧✐❝❛t✐♦♥s✱ ✶✾✾✶✳ ❬✹✹❪ P✳ ▲❡❧♦♥❣✱ ❉➨❢✐♥✐t✐♦♥ ❞❡s ❢♦♥❝t✐♦♥s ♣❧✉r✐s♦✉s❤❛r♠♦♥✐q✉❡s✱ ❈✳ ❘✳ ❆❝❛❞✳ ❙❝✐✳ P❛r✐s ✭✶✾✹✷✮✱ ✸✾✽✲✹✵✵✳ ✷✶✺ ❬✹✺❪ ❆✳ ❙❛❞✉❧❧❛❡✈✱ ❆ ❝❧❛ss ♦❢ ♠❛①✐♠❛❧ ♣❧✉r✐s✉❜❤❛r♠♦♥✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ❆♥♥✳ P♦❧♦♥✳ ▼❛t❤✳✱ ✶✵✻ ✭✷✵✶✷✮✱ ✷✻✺✕✷✼✹✳ ❬✹✻❪ ◆✳ ❱✳ ❚r❛♦✱ ❍✳ ❱✐❡t ❛♥❞ ◆✳ ❳✳ ❍♦♥❣✱ ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ♣❧✉r✐❢✐♥❡❧② ♣❧✉r✐s✉❜❤❛r♠♦♥✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ❏✳ ▼❛t❤✳ ❆♥❛❧✳ ❆♣♣❧✳ ✹✺✵ ✭✷✵✶✼✮✱ ✶✵✻✷✕ ✶✵✼✺✳ ❬✹✼❪ ❏✳ ❲✐❡❣❡r✐♥❝❦✱ P❧✉r✐❢✐♥❡ ♣♦t❡♥t✐❛❧ t❤❡♦r②✱ ❆♥♥✳ P♦❧♦♥✳ ▼❛t❤✳✱ ✶✵✻ ✭✷✵✶✷✮✱ ✷✼✺✲✷✾✷ ✳ ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI - - HOÀNG VIỆT Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 9.46.01.02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Văn