Nguyên lý cực tiểu đối với hàm đa điều hòa dưới

Nguyên lý cực tiểu đối với hàm đa điều hòa dưới

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÊ THỊ HỒNG

NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU

ĐỐI VỚI HÀM ĐA ĐIỀU HOÀ DƯỚI

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN – 2009 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÊ THỊ HỒNG

NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU

ĐỐI VỚI HÀM ĐA ĐIỀU HOÀ DƯỚI

Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS PHẠM HIẾN BẰNG

THÁI NGUYÊN – 2009

LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS-TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và

nghiên cứu khoa học

Xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - ĐHTN, Trường THPT Bắc Kạn cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này

Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Thái Nguyên, tháng 09 năm 2009

Tác giả Lê Thị Hồng

MỤC LỤC

Trang

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

1.4 Bổ đề Cartan –Boutroux và nguyên lý cực tiểu 19

Chương 2 NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU ĐỐI VỚI CÁC HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI

24

2.1 Nguyên lý cực tiểu đối với thế vị logarit 24

2.3 Nguyên lý cực tiểu đối với hàm đa điều hòa dưới 40 2.4 Nguyên lý cực tiểu đối với hàm tựa đa điều hoà dưới 45

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong giải tích phức một biến số, ngoài nguyên lý cực đại cổ điển, còn có nguyên lý khác, ít được biết đến nhưng khá là quan trọng Đó là việc tìm cận dưới đúng của môđun các hàm chỉnh hình trên một đĩa mở đã cho tại mọi điểm của một đĩa nhỏ hơn, trừ ra những điểm thuộc về một tập con đặc biệt chứa 0, theo nghĩa cực đại của nó trên đĩa đã cho Kích thước của những tập đặc biệt được ước lượng một cách chính xác theo nghĩa của dung lượng hoặc dung lượng Hausdorff một chiều Đó là nguyên lý môđun cực tiểu đối với hàm chỉnh hình Nguyên lý này đóng vai trò quan trọng trong nhiều bài toán bao gồm các hàm hữu tỷ hoặc các hàm phân hình, có thể có nhiều cực trong một miền đã cho và từ đó cần tìm cận trên của những hàm như thế Đã có nhiều người quan tâm nghiên cứu đến nguyên lý này như B.Ya.Levin,

A.Yger, A.Zeriahi, Ở đây chúng tôi chọn đề tài “Nguyên lý cực tiểu đối với hàm đa điều hoà dưới” , trình bày các kết quả của A Zeriahi về tổng quát

hóa nguyên lý mô đun cực tiểu cổ điển đối với các hàm chỉnh hình một biến phức cho các lớp khác nhau của hàm đa điều hòa dưới, dựa vào bổ đề nổi tiếng của Cartan-Boutroux

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

2.1 Mục đích nghiên cứu

Mục đích chính của Luận văn là trình bày việc tổng quát hoá các lớp

khác nhau các hàm đa điều hoà dưới đối với nguyên lý mô đun cực tiểu cổ điển các hàm chỉnh hình một biến phức, dựa vào bổ đề Cartan – Boutroux:

- Tổng quát hóa bổ đề Cartan-Boutroux về thế vị lôgarit trong £ncũng như trình bày nguyên lý cực tiểu các hàm đa điều hòa dưới trên hình cầu Euclid trong £n

- Từ nguyên lý cực tiểu về thế vị lôgarit trong £n suy ra bất đẳng thức so sánh giữa dung lượng Hausdorff thích hợp với dung lượng lôgarit cổ điển trong £n

- Đồng thời áp dụng các kết quả trên để tìm các ước lượng chính xác về cỡ của “Lemniscates đa điều hoà dưới” theo nghĩa xấp xỉ dung lưa Hausdorff (Ước lượng đều trên cỡ của tập mức con của lớp của các hàm đa

điều hòa dưới, được gọi là các lemniscat đa điều hòa dưới.)

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ trình bày:

- Tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, hàm cực trị tương đối

- Bổ đề Cartan –Boutroux và nguyên lý cực tiểu, khối lượng xạ ảnh và các số Lelong

- Nguyên lý cực tiểu đối với thế vị logarit, nguyên lý cực tiểu đối với hàm đa

điều hòa dưới, nguyên lý cực tiểu đối với hàm tựa đa điều hoà dưới

3 Phương pháp nghiên cứu

Để giải quyết các nhiệm vụ đặt ra, chúng tôi đã đọc tham khảo các tài

liệu trong và ngoài nước Sử dụng các phương pháp của lý thuyết đa thế vị phức Đồng thời kế thừa các kết quả và phương pháp của các tác giả đã nêu ở trên để giải quyết các bài toán đã nêu ra

Sử dụng phương pháp đã biết giống như phương pháp của “hình cầu loại trừ” trong lý thuyết thế vị thực khi ước lượng thế vị tích phân, phương pháp cho phép chúng ta đạt được ước lượng dưới tổng quát đối với các hàm đa điều hoà dưới trên hình cầu đơn vị, mà nó kéo theo “nguyên lý cực tiểu 3–vòng tròn” đối với các hàm đa điều hoà dưới, và có thể thấy nó giống như đối ngẫu của bất đẳng thức 3- vòng tròn Hadamard

4 Bố cục của luận văn

Nội dung luận văn gồm 52 trang, trong đó có phần mở đầu, hai ơng nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo

chư-Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại và hàm cực trị tương đối Bổ đề Cartan –Boutroux và nguyên lý cực tiểu, khối lượng xạ ảnh và các số Lelong

Chương 2: Trình bày nguyên lý cực tiểu đối với thế vị logarit, nguyên lý cực tiểu đối với hàm đa điều hòa dưới, nguyên lý cực tiểu đối với hàm tựa đa

điều hoà dưới

Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được

Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Hàm đa điều hoà dưới

1.1.1 Định nghĩa Cho W là một tập con mở của £n và u W® - ¥ ¥: [ , )

là một hàm nửa liên tục trên và không trùng với - ¥ trên bất kỳ thành phần liên thông nào của W Hàm u được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi a Î W và b Î £n, hàm l a u a( + lb) là điều hoà dưới hoặc trùng - ¥

trên mỗi thành phần của tập hợp {l Î £ : a+ lbÎ W} Trong trường hợp này, ta viết u Î P SH( )W ( ở đây P SH( )W là lớp hàm đa điều hoà dưới trong W)

1.1.2 Định lý Cho u W® - ¥ ¥: [ , ) là một hàm nửa liên tục trên và không trùng - ¥ trên bất kỳ thành phần liên thông của WÐ £n Khi đó

Một số tính chất quan trọng của những hàm đa điều hoà dưới có thể được suy ra từ kết quả tiếp theo Tương tự như trường hợp của những hàm điều

hoà dưới, ta gọi nó là định lý xấp xỉ chính cho những hàm đa điều hoà dưới

1.1.3 Định lý Cho W là một tập con mở của £n và u Î P SH( )W Nếu

điều hoà dưới trong W¢

Chứng minh Nếu u và - u là đa điều hoà dưới, thì do Hệ quả 1.2.6 và (3),

( )

u Î C W Bởi vậy Lu a b b =( ) , 0 với mọi a b, thích hợp, và như vậy

( )

u Î P H W Điều ngược lại là tầm thường

Vì hàm đa điều hoà dưới là điều hoà dưới nên ta có thể phát biểu vài tính chất khác:

1.1.6 Hệ quả Nếu u v Î, P SH( )W và u = v hầu khắp nơi trong W, thì

u º v

1.1.7 Hệ quả Hàm đa điều hoà dưới thoả mãn nguyên lý cực trị trong

miền bị chặn, tức là nếu W là một tập con mở liên thông bị chặn của £nvà

( )

u Î P SH W, thì hoặc u là hằng hoặc với mỗi z Î W

( ) sup lim sup ( )

wÎ ¶ W®w

Î W

<

1.1.8 Định nghĩa Tập hợp E Ð £nđược gọi là đa cực nếu với mỗi điểm

a Î E đều có một lân cận V của a và một hàm u Î P SH( )V sao cho

(u of) = (u of).

Chứng minh Đặt A = {z Î W: det¶zf = 0}

Vì z a det¶zf là một hàm chỉnh hình, A là đa cực nên A có độ đo

Lebesgue bằng không Hạn chế của ánh xạ f trên W\ A là mở (do định lý ánh xạ ngược) và liên tục nên ta có

là đa điều hoà dưới trong W Nếu u là đa điều hoà và bị chặn trong W\ F, thì u là đa điều hoà trong W Nếu W là liên thông, thì W\ Fcũng liên thông

1.1.13 Mệnh đề Nếu u Î P SH(£n) và u là bị chặn trên, thì u là hằng số

Cho WW, ¢ là những tập mở liên thông trong £n và f :W® W¢ là một

ánh xạ riêng Dễ kiểm tra rằng f là ánh xạ đóng Ngoài ra, nếu f là chỉnh hình thì :

( )if là mở và đặc biệt là ( )f W = W (vì ¢ f cũng đóng);

( )ii nếu A = {z Î W ¶: zf = 0}, thì với mỗi a Î W¢ có một hình cầu mở B ,

tâm tại a và chứa trong W¢, và một hàm g Î O( )B sao cho g º/ 0 và 1

f A ÇB = g- ;

(iii) các thớ của f , đó là các tập hợp f-1( )w trong đó wÎ W¢, là hữu hạn Chú ý rằng ( )ii là trường hợp đặc biệt của định lý ánh xạ riêng của Remmert

1.1.14 Mệnh đề Cho f :W® W¢ là một toàn ánh chỉnh hình riêng giữa

hai tập mở trong £n Nếu u Î P SH( )W, thì công thức

v z = uwwÎ f- zzÎ W ¢

xác định một hàm đa điều hoà dưới

Chứng minh Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết rằng W¢ là liên thông

Nếu G là một tập con mở compact tương đối trong W¢, thì tập mở f –1(G)

là compact tương đối trong W, vì f là ánh xạ riêng Bởi vậy, theo định lý xấp xỉ chính, chỉ cần chứng minh mệnh đề là đúng đối với các hàm đa điều hoà dưới liên tục

Giả sử rằng u Î £( )W ÇP SH( )W Nếu a và b là các số thực sao cho

là song chỉnh hình địa phương Bởi vậy tồn tại duy nhất một số k Î ¥ sao

cho với mỗi z Î W¢\ ( )f A tồn tại một lân cận V Ð W¢\ ( )f A của z và những lân cận rời nhau

1, , k

UU của w1, ,wk, trong đó {} 11, , kf ( )zww = - , sao cho

( )i :

fU ® V là ánh xạ song chỉnh hình,

( )iif-1( )V = U1 È ÈUk

Do đó v Î P SH(W¢\ f A( )) Vì v là liên tục và f A( ) là đa cực nên suy ra tính đa điều hoà dưới của v

1.2 Hàm đa điều hoà dưới cực đại

1.2.1.Định nghĩa Cho W là một tập con mở của £ n và u W® ¡: là hàm đa điều hoà dưới Ta nói rằng u là cực đại (hoặc cực trị) nếu với mỗi tập con mở compact tương đối G của W, và với mỗi hàm nửa liên tục trên v trên

G sao cho v Î P SH( )G và v £ u trên G¶ , đều có v £ u trong G

Ký hiệu M P SH( )Wlà họ tất cả các hàm đa điều hoà dưới cực đại trên W Sau đây chúng ta sẽ xem xét một số tính chất tương đương của tính cực đại

1.2.2 Mệnh đề Cho WÐ £n là mở và u W® ¡: là hàm đa điều hoà dưới Khi đó các điều kiện sau là tương đương:

( )i Với mỗi tập con mở compact tương đối G của W và với mỗi hàm

Chứng minh ( )i ị ( )ii : Cho v là một hàm đa điều hoà dưới cú tớnh chất: với mỗi e > 0 tồn tại một tập compact K é W sao cho u- v ³ - e trong

là tập con compact của W Bởi vậy cú thể tỡm được tập mở G chứa E và

compact tương đối trong G Theo ( )i ta cú

u ³ v + h trong G, điều đú mõu thuẫn với a ẻ E.

Phần cũn lại được suy ra từ khẳng định: hàm

max ( ), ( ) ( )( )

( ) ( \ )

u z v zzGz

u zzGw

ùùù= ỡù

ẻ Wùùợ

là đa điều hoà dưới trong W (xem Hệ quả 1.2.16) theo cỏc giả thiết (iii),

liờn tục trờn u Wđ Ă: sao cho uWẻ M P SH( )W và uả Wº f

Cho W là miền bị chặn trong Ê n và f ẻ C(ả W) Ta sẽ ký hiệu U( , )Wf là họ của tất cả cỏc hàm u ẻ P SH( )W sao cho u* Ê f trờn ả W, trong đú

* ( ) lim sup ( )

đẻ W

=

1.2.3 Định lý Cho f Î C(¶B), trong đóB = B a r( , )là một hình cầu mở trong £n Khi đó hàm y xác định bởi

, ( ) ( )( )

ïïï= ìï

Î ¶ïïî

là một nghiệm của bài toán Dirichlet suy rộng đối với tập B và hàm f

Hơn nữa, y là liên tục

Chứng minh Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết rằng a = 0 Giả sử h là nghiệm của bài toán Dirichlet cổ điển đối với B và f Vì hàm đa điều hoà dưới là điều hoà dưới, nên suy ra yB f, £ h trong B theo nguyên lý cực đại đối với những hàm điều hoà dưới Do h liên tục trong B , nên ta có

(yB f)* £ h trong B Đặc biệt, điều đó có nghĩa là (yB f, )* Î U B f( , ) và như vậy (yB f, )* º y trong B Þ y Î P SH( )B Để hoàn thành chứng minh kết luận thứ nhất của định lý, ta chỉ cần chứng minh (yB f, )* ³ f trên B¶ Ta sẽ chứng minh một tính chất mạnh hơn:

lim ( )( )

zzz B

= ,

tức là y liên tục tại mỗi điểm biên

Tính cực đại của y là hiển nhiên Thực vậy, nếu G là một tập con mở compact tương đối của B , v G ® - ¥ ¥: [ , ) là nửa liên tục trên,

ïïï= ìï

thuộc U B f( , ) Þ V £ y Đặc biệt, v£y trong G (đpcm)

Để chứng minh rằng y là liên tục, chỉ cần chứng tỏ nó nửa liên tục dưới Thật vậy, lấy e > 0 Khi B¶ là compact, yB = f là liên tục đều Điều đó

= suy ra tồn tại (0, )2

zzyzByBH z

Nếu z Î (B Ç - +( yB)) \ B(0,r - 2 )d , thì ta chọn z0 Î ¶B sao cho

z - z < d Ta có z + y- z0 < 3d và do đó theo (11),

( )( )2

y-y< và ( ) ( )02

zyzey + - y <

Như vậy y( )z ³ y(z + y)- e Þ H zy( )= y( )z Þ Hy Î P SH( )B và

H = f trên B¶ Þ Hy Î U B f( , ) Þ Hy £ y

Từ đó nếu ,zw ÎB và z- w < d, thì

( )zHwz( )z (zz) ( )

y ³ - ³ y + w- - e= y w - e Vậy y là nửa liên tục dưới (đpcm)

1.2.4 Hệ quả Cho W là một tập con mở của £n và u Î M P SH( )W Nếu

B là một hình cầu mở sao cho B  W thì u B là giới hạn của một dãy giảm những hàm đa điều hoà dưới cực đại liên tục trong B

Chứng minh Cho G là tập con mở compact tương đối của W chứa B Do Định lý 1.2.3, có thể tìm được một dãy giảm { }j ( ) ( )

jBB uj

1.3.1 Định nghĩa Giả sử W là một tập con mở của £ n và E là tập con của

W Hàm cực trị tương đối đối với E trong W được định nghĩa là :

, ( ) sup ( ) : ( ), E 1, 0

Hàm (uE,W)* là đa điều hoà dưới trong W

Xét trường hợp đặc biệt khi E là đóng trong W Ta sẽ chứng minh uE,W

trùng với hàm Perron - Bremermann \ ,

yW - ( ở đây cE là hàm đặc trưng

của E ) Thực vậy, giả sử u Î P SH( \W E) âm sao cho:

u z

đẻ W

Ê - với mỗi w ẻ ảE ầ W

Khi đú hàm

{ }

1( )

õm và nửa liờn tục trờn trong W Hơn nữa, nú là hàm đa điều hoà dưới trong

W do Định lý 1.2.2 ([7]) Như vậy uÊvÊuE,W trong W\ E Từ đú

\E, cE uE,

yW - Ê W trong W\ E Bất đẳng thức ngược lại là hiển nhiờn

Bõy giờ chỳng ta sẽ trỡnh bày một vài tớnh chất cơ bản của cỏc hàm cực trị tương đối

Chứng minh Nếu < 0 là một hàm vột cạn đối với W, thỡ với số M > 0

nào đú, M r < - 1 trờn E Như vậy Mr Ê uE,W trong W Rừ ràng,

lim ( ) 0

đ = và như vậy chỳng ta thu được kết quả cần tỡm

1.3.4 Mệnh đề Nếu Wé Ên là siờu lồi và K é W là một tập compact sao

cho K*, 1

u W = - thỡ uK,W là hàm liờn tục

Chứng minh Lấy u=uE,W và ký hiệu F  P SH( )W là họ cỏc hàm u Giả

sử  là hàm xỏc định của W sao cho <-1 trờn K Khi đú r Êu trong W Chỉ cần chứng minh rằng với mỗi e ẻ (0,1) tồn tại v ẻ C( )W ầ F Sao cho

u- e£ v £ u trong W Thật vậy, lấy e Î (0,1) Þ tồn tại h > 0 sao cho

Khi đó ve C() ∩ F và như vậy

u- e £ max{u - e r, }£ ve £ u

tại mỗi điểm trong W

1.3.5 Mệnh đề Cho WÐ £n là tập mở liên thông, và E Ð W Khi đó các điều kiện sau tương đương :

( )i uE*,W º0;

( )ii Tồn tại hàm v Î P SH( )W âm sao cho E Ð {z Î W: ( )v z = - ¥ }

Chứng minh ( )ii Þ ( )i là hiển nhiên Thật vậy, nếu v như ở trên ( )ii , thì ,

v < v < - và v aj( )> - 2- j Đặt

E = UE, trong đó E Ð Wj với j = 1, 2, Nếu * , 0

( )

¥=

Lấy e Î(0,1) sao cho r( )z0 < - e Khi đó tồn tại j Î ¥0 sao cho tập mở w = r-1((- ¥ -, e)) là tập compact tương đối trong

W Lấy

0( j )

u ÎP SHW sao cho u £0 trên

u zzzv z

Î Wïïî

xác định một hàm đa điều hoà dưới; hơn nữa v K £ -1 và v £0 Như vậy

e nhỏ tuỳ ý, suy ra điều phải chứng minh

1.4 Bổ đề Cartan –Boutroux và nguyên lý cực tiểu

Đầu tiên chúng ta nhắc lại bổ đề nổi tiếng của Cartan-Boutroux:

Cho p z là đa thức của một biến phức có bậc ( ) d ³ 1 Với bất kỳ e > 0, xét đa thức e-lemniscate của P được xác định bởi:

Từ ước lượng này ta có thể suy ra nguyên lý cực tiểu đối với hàm chỉnh hình Nếu f là một hàm chỉnh hình trên đĩa {z Î C;z £ 2eR} sao cho f ( )0 = 1 Khi đó, với bất kỳ số thực 0< h < 1

xảy ra với z £ R ngoài hợp của một số hữu hạn những đĩa có bán kính ( )rj với j 2

=£

p( ): inf ( )jp; j,( )j ( , )

là bán kính của hình cầu Bj với mỗi j Î ¥

Giống như trong bổ đề Cartan-Boutroux, ta có thể lấy d = + ¥ Số tương ứng ký hiệu là p( ) p ( )

hE = h¥ E và được gọi là dung lượng Hausdorff số chiều p của tập E

Độ đo Hausdorff số chiều p của tập E được định nghĩa bởi ( ): sup 0 ( ) lim 0 ( )

Cjjdd u

WW ' a ò

Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu u là đa điều hoà dưới bị chặn địa phương trên W thì tồn tại dãy  un n1P H S  C sao cho unu

và

dd u hội tụ yếu tới độ đo Radon  trên W tức là:

() 0( )lim cnn ,

và gọi là toán tử Monge-Ampe của u

1.6 Khối lượng xạ ảnh và các số Lelong

Chúng ta nhắc lại một vài định nghĩa đã biết và tính chất của những số Lelong ([4],[11]):

Cho W là một miền trong £ và n P SH( )W là nón các hàm đa điều hòa dưới u trên W sao cho u º/ - ¥ Khi đó P SH( )W Ð L1loc( )W là một tập con đóng đối với L - tô pô và nó là không gian metric đầy đủ 1loc

Xét những toán tử vi phân thường trên £ được định nghĩa bởi nd = ¶ + ¶

Khi đó, theo kết quả đã biết của Lelong ([11]), ta có công thức sau

b = ¶ ¶ b - = b - - và mV := (1/ 2p)DV là độ đo Riesz liên kết với V

Khối lượng xạ ảnh của dd V tại điểm ca được định nghĩa bởi công thức sau:

J = nếu V a > - ¥( ) Công thức này chỉ ra rằng số Lelong JV ( )a

có thể xem như là trọng số kỳ dị lôgarit của V tại điểm a

Chương 2

NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU

ĐỐI VỚI CÁC HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI

Nội dung chính của chương này là trình bày việc tổng quát hóa nguyên lý mô đun cực tiểu cổ điển đối với các hàm chỉnh hình một biến số phức cho các lớp khác nhau của hàm đa điều hòa dưới, dựa vào bổ đề nổi tiếng của Cartan-Boutroux, đã trình bày ở chương 1

2.1 Nguyên lý cực tiểu đối với thế vị logarit

Lớp Lelong trên £ , được định nghĩa như sau: n

® + ¥Î

Để hàm V Î L(£n) phải có một hàm Robin liên kết như sau (xem [2], [12], [17]) Với z Î £n \ 0{ }, đặt