MỤC LỤC
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11 http://www.Lrc-tnu.edu.vn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12 http://www.Lrc-tnu.edu.vn. Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng yW,f( )z nghiệm của bài toán Dirichlet suy rộng khi W là một hình cầu Euclid.
Vì hàm đa điều hoà dưới là điều hoà dưới, nên suy ra yB f, £ h trong B theo nguyên lý cực đại đối với những hàm điều hoà dưới. Để hoàn thành chứng minh kết luận thứ nhất của định lý, ta chỉ cần chứng minh (yB f, )* ³ f trờn ả. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13 http://www.Lrc-tnu.edu.vn.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14 http://www.Lrc-tnu.edu.vn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 15 http://www.Lrc-tnu.edu.vn.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 17 http://www.Lrc-tnu.edu.vn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18 http://www.Lrc-tnu.edu.vn. Đồng thời v là giới hạn của dãy giảm của các tổng riêng của các hàm đa điều hoà dưới.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 19 http://www.Lrc-tnu.edu.vn.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 20 http://www.Lrc-tnu.edu.vn. Từ ước lượng này ta có thể suy ra nguyên lý cực tiểu đối với hàm chỉnh hình. Chúng ta kết thúc phần này bằng cách nhắc lại định nghĩa của dung lượng Hausdorff trong một tập hợp tổng quát hơn, sẽ được sử dụng về sau.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 21 http://www.Lrc-tnu.edu.vn. Toán tử này có thể xem như độ đo Radon trên W, tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian các hàm liên tục với giá compact C0( )W trên W. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 22 http://www.Lrc-tnu.edu.vn.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 23 http://www.Lrc-tnu.edu.vn. Theo một kết quả cổ điển của V.Avanissian (xem[6]), số Lelong cũng có thể được biểu thị bởi công thức sau. Công thức này chỉ ra rằng số Lelong JV ( )a có thể xem như là trọng số kỳ dị lôgarit của V tại điểm a.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 24 http://www.Lrc-tnu.edu.vn.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 25 http://www.Lrc-tnu.edu.vn. Do hàm này là hằng số trên đường thẳng phức tuỳ ý của £ đi qua gốc n toạ độ, suy ra rằng rV là hàm được xác định tốt trên không gian xạ ảnh Pn-1 mà có thể xem như siêu phẳng tại vô cực trong £. Một kết quả thú vị liên quan tới lớp L*(£n) là công thức biểu diễn Riesz, đã biết trong trường hợp một biến số, nhưng dường như không được biết trong £.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 26 http://www.Lrc-tnu.edu.vn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 27 http://www.Lrc-tnu.edu.vn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 28 http://www.Lrc-tnu.edu.vn.
Hơn nữa, sử dụng một kết quả liên quan đến sự hội tụ của hàm Robin (xem [2]), có thể chứng minh rằng dung lượng logarit là dung lượng Choquet trên £n. Nhận xét rằng dung lượng này liên quan tới lớp thế vị logarit bởi công thức sau,. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 29 http://www.Lrc-tnu.edu.vn.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 30 http://www.Lrc-tnu.edu.vn. Bởi vậy chúng ta sẽ nhận được bất đẳng thức cần tìm, nếu chúng ta có thể thực sự ước lượng được kích thước của tập hợp E := £n \ G. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 31 http://www.Lrc-tnu.edu.vn.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 32 http://www.Lrc-tnu.edu.vn. Nhận xét rằng kết quả trên đã trực tiếp cho một ước lượng chính xác về dung lượng Hausdorff số chiều 2n 2 của các lemniscate đa điều hoà dưới liên kết với các hàm trong lớp Llog(£n). Bây giờ nếu K Ì B là tập con bất kỳ, thì áp dụng bất đẳng thức cuối cho tập rK Ì rB ta được bất đẳng thức cần tìm.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 33 http://www.Lrc-tnu.edu.vn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 34 http://www.Lrc-tnu.edu.vn. Ta đã biết công thức dB(z z, ):= FZ ( )z xác định một khoảng cách trên hình cầu đơn vị B, liên quan với khoảng cách Bergman r.
Giả sử V là một hàm đa điều hoà dưới trên hình cầu đơn vị Euclid mở BÌ £n với khối lượng Riesz bị chặn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 35 http://www.Lrc-tnu.edu.vn. Do đó ta sẽ có bất đẳng thức cần tìm nếu có thể ước lượng được kích thước của tập hợp E = B/U.
Như là hệ quả của bổ đề trước, ta có nguyên lý cực tiểu đối với lớp Cegrell F( )B trên hình cầu đơn vị theo nghĩa của giả khoảng cách trên hình cầu đơn vị. Núi riờng, tập hợp ngoại lệ E ẻ B , trong đú bất đẳng thức (2.9) khụng xảy ra là tập hợp Borel, mà dung lượng h- Hausdoff bất biến có số chiều. Nói riêng, tập E Ì Br mà trong đó (2.10) không xảy ra là tập Borel, mà dung lượng Hausdorff bất biến của nó thoả mãn ước lượng.
Ở phần này sẽ trình bày nguyên lý cực tiểu đối với các lớp compắc các hàm đa điều hoà dưới và thu được kết quả tương tự như nguyên lý cực tiểu 3- vòng tròn đối với các hàm đa điều hòa dưới tuỳ ý. Sau đó áp dụng phương pháp tương tự như trong chứng minh của định lý trước đối với lớp compact UB và chỳ ý rằng với mọi n ẻ (Ên),u = n- supn ẻ. Bây giờ ta sẽ áp dụng nguyên lý cực tiểu đối với lớp compact để chứng minh kết quả tổng quát sau, là kết quả mở rộng nguyên lý cực tiểu cổ điển đã được trình bày trong mục 1.4.
Ở đây, chúng ta sẽ thiết lập “nguyên lý cực tiểu 3 – vòng tròn” có thể xem là đối ngẫu của nguyên lí trước. (2.11) xảy ra với mọi z ẻ BtR ngoài hợp của một họ đếm được cỏc hỡnh cầu Euclid có bán kính ( )rj nhỏ hơn hoặc bằng Rh và thoả mãn ước lượng. Để áp dụng định lý 2.3.1, chúng ta cần đến ước lượng các số Lelong của lớp U trên hình cầu compact Bt.
Bây giờ cho V là hàm đa điều hoà dưới tuỳ ý khác hằng số trên B sao cho supBV > supBsV. Như là một hệ quả, chúng ta trình bày việc tổng quát hoá nguyên lý cực tiểu trong trường hợp một biến số đã được phát biểu trong mục 1.4.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 45 http://www.Lrc-tnu.edu.vn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 46 http://www.Lrc-tnu.edu.vn. Giả sử C là một đa tạp compact Kahler có số chiều n và w là một dòng dương đóng trên C với thế vị bị chặn địa phương sao cho thể tích.
Bởi vậy, với mỗi điểm của X có một lân cận đủ bé U Ì X mà là song chỉnh hình đối với hình cầu Euclid trong £ sao cho n. Do tính compact, X có thể được phủ bởi một số hữu hạn của các miền như thế. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 47 http://www.Lrc-tnu.edu.vn.
Bây giờ chúng ta có thể phát biểu nguyên lý cực tiểu với các hàm w- đa điều hoà dưới tương tự nguyên lý cực tiểu của các hàm đa điều hoà dưới. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 48 http://www.Lrc-tnu.edu.vn. Ta có thể áp dụng phương pháp giống như trong chứng minh của định lý 2.3.1.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 49 http://www.Lrc-tnu.edu.vn. Bây giờ, để nhận được ước lượng của chúng ta chỉ cần áp dụng ước lượng sau cùng đối với hàm j = VK*,w và chú ý rằng K Ì E ÈA, trong đó. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 50 http://www.Lrc-tnu.edu.vn.