V. Như lỏ một hệ quả, chỷng ta trớnh bỏy việc tổng qũt hõ nguyởn lý
2.4. Nguyởn lý cực tiểu đối với hỏm tựa đa điều hoỏ dướ
Số hụa bởi Trung tĩm Học liệu – Đại học Thõi Nguyởn 46 http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Giả sử C lỏ một đa tạp compact Kahler cụ số chiều n vỏ w lỏ một dúng dương đụng trởn C với thế vị bị chặn địa phương sao cho thể tợch
( ) : n 0
X
V olw C = úw > .
Kợ hiệu d lỏ Metric trắc địa trởn X vỏ hp lỏ dung lượng Hausdoff số chiều p trởn khừng gian Metric ( , )X d .
Hỏm j :X a â ẩ - ơ{ }được gọi lỏ w- đa điều hoỏ dưới trởn X nếu
j lỏ nửa liởn tục trởn trởnX vỏ thoả mọn điều kiện dd jc + w Ể 0 theo nghĩa của cõc dúng trởn X . Bởi vậy, với mỗi điểm của X cụ một lĩn cận đủ bờ
U è X mỏ lỏ song chỉnh hớnh đối với hớnh cầu Euclid trong ê sao cho n
:
U pU
n = j + lỏ hỏm đa điều hoỏ dưới trởn một lĩn cận của U trong đụ pU lỏ thế vị bị chặn địa phương đối với w trởn một lĩn cận của U nghĩa lỏ.
c U
dd p = w trởn một lĩn cận của U . Do tợnh compact, X cụ thể được phủ bởi một số hữu hạn của cõc miền như thế. Kợ hiệuN = N X( ) lỏ số nhỏ nhất của cõc miền như thế cần để phủ X .
Chỷ ý rằng cõc số Lelong của w- hỏm đa điều hoỏ dưới j được xõc định bởi cừng thức ( ) ( )
v
x x
j
J = J , trong đụ v := j + p lỏ hỏm đa điều hoỏ dưới trởn một lĩn cận của x vỏ p lỏ một thế vị bị chặn địa phương của w
trong một lĩn cận của x .
Chỷng ta định nghĩa số Lelong cực đại của (X w, ) bởi cừng thức
(X, ): sup{ j ( )x ; (X, ),x X } J w = J j ẽ P SH w ẽ . Rử rỏng ta cụ J(X,w):= sup{Jj ( )x ;j ẽ P0,x ẽ X}, trong đụ, ( ) { } 0 := j ẽ P SH X,w ;supX j = 0 P .
Số hụa bởi Trung tĩm Học liệu – Đại học Thõi Nguyởn 47 http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Ta nhắc lại định nghĩa dung lượng toỏn cục của tập hợp Borel trong (X w, ): Với tập con Borel K è X , ta định nghĩa w- dung lượng của K trong X bởi:
,
( ) : exp( sup K )
X
T Kw = - V w ,
trong đụ VK,w lỏ hỏm w- đa điều hoỏ dưới cực trị liởn kết với K vỏ xõc định như sau: ( ) ( ) { } , ( ) : sup ; , , K V w x = j x j ẽ P SH X w x ẽ X .
Khi đụ, với tập con khừng đa cực K è X tuỳ ý, Tw( )K > 0 lỏ hằng số tốt nhất sao cho
( ) sup log ( ), ( , ), .
K
x Tw K X x X
j ê j - " ẽj P SH w " ẽ
Bĩy giờ chỷng ta cụ thể phõt biểu nguyởn lý cực tiểu với cõc hỏm w- đa điều hoỏ dưới tương tự nguyởn lý cực tiểu của cõc hỏm đa điều hoỏ dưới. Cụ thể chỷng ta cụ kết quả sau:
2.4.1. Định lý. Với n > J(X,w) tồn tại một hằng số C = C X w n( , , )> 0 vỏ số thực h0 > 0 đủ bờ sao cho với 0 < a ê 2, 0< hê h0 vỏ hỏm w- đa số thực h0 > 0 đủ bờ sao cho với 0 < a ê 2, 0< hê h0 vỏ hỏm w- đa điều hoỏ dưới j trởn X bất đẳng thức sau
( ) sup log( / )
X
x C
j Ể j - n h
xảy ra với mọi z ẽ X ngoỏi hợp của họ đếm được cõc hớnh cầu cụ bõn kợnh
( )rj thỏa mọn điều kiện
ổ rj2n-2+a < N9n-1ha / a .
Chứng minh. Lấy một phủ của X bởi N = N X( ) cõc miền ( )Ui mỏ đối với nụ cụ cõc miền ( )Uiđ song chỉnh hớnh đối với hớnh cầu đơn vị của ê với n
Số hụa bởi Trung tĩm Học liệu – Đại học Thõi Nguyởn 48 http://www.Lrc-tnu.edu.vn i i
U ÐUđè X với 1ê êi N vỏ viết vi = j i + pi trong đụ pi lỏ một thế vị bị chặn địa phương đối với w trởn Uiđ.
Ta cụ thể õp dụng phương phõp giống như trong chứng minh của định lý 2.3.1. Khi đụ từ pi lỏ một hỏm đa điều hoỏ dưới bị chặn trởn Uiđ vỏ với mỗi
i ta nhận được hằng số ai > 0, ,b ci i > 0 sao cho bất đẳng thức
( ) ' ( ) ( ) ( )' ( ) 2 1 , log 3/ log / , i i n i i i U z a d j z s n b j U e s c j j s - q m ả Ể ú - - -
xảy ra với mọi z ẽ Ui \ Ei, trong đụ Ei è Ui lỏ tập Borel với 1 2 2 9 ( ) n n i h E a a h h a - - + < .
Do tợnh compact của P0 = {j ẽ P SH(X,w); maxX j = 0}, kờo theo
' j j Ui d j s ả ú i
vỏ mj ( )Uii lỏ bi chặn đều với j ẽ P . Bởi vậy, lấy 0
1 i i i N E E ê ê = U ,
ta nhận được bất đẳng thức sau với một hằng số C > 0 thợch hợp ( )z j (z s, )log 3 /( ) C log 3 /( ) C j Ể - q h - Ể - n h - với z ẽ X \ E vỏ j ẽ P0 bất kỳ. Vớ ( ) ( ) 1 2n 2 2n 2 9n i i N h E h E a a a h h h a - - + ê ổ - + < vỏ j - maxX j ẽ P0
với j ẽ P SH(X,w), nởn ta nhận được ước lượng của định lý với một hằng số gần đỷng.
Bĩy giờ chỷng ta sẽ chứng minh bất đẳng thức so sõnh sau:
2.4.2. Định lý. Với bất kỳ 0< e< 1/ J(X,w), tồn tại một hằng số C > 0
sao cho với mọi 0< a ê 2 bất đẳng thức so sõnh sau h2n 2 a ( )K C Tw( )K a e
a
- + ê
Số hụa bởi Trung tĩm Học liệu – Đại học Thõi Nguyởn 49 http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Chứng minh. Chỉ cần giả thiết K lỏ một tập compact vỏ Tw( )K > 0. Vớ
( )
1 / X,
e < J w nởn ta cụ n = 1/ e > J(X,w). Khi đụ õp dụng định lý 2.4.1 với h > 0 đủ bờ sao cho 0< h< CTw( )K a e. Từ đụ suy ra với mọi
(X, ) j ẽ P SH w , tập mức của j xõc định bởi ( ) ( ) { ; sup log / } X E = x ẽ X j x ê j + n h C
thoả mọn ước lượng sau:
( ) ( ) 1 2 2 9 1 9 n n N n h E N CT K a a e a w h a - - + ê ê - .
Bĩy giờ, để nhận được ước lượng của chỷng ta chỉ cần õp dụng ước lượng sau cỳng đối với hỏm j = VK*,w vỏ chỷ ý rằng K è E ẩA, trong đụ
{ *}
: K K
A = V <V lỏ tập con đa cực (theo [1]) vỏ do đụ 2 2 ( ) 0
n
h - +a A = (xem [10]).
Số hụa bởi Trung tĩm Học liệu – Đại học Thõi Nguyởn 50 http://www.Lrc-tnu.edu.vn
KẾT LUẬN
Luận văn đọ trớnh bỏy:
- Tổng quan vỏ hệ thống cõc kết quả về cõc tợnh chất của hỏm đa điều hoỏ dưới, hỏm đa điều hoỏ dưới cực đại, hỏm cực trị tương đối.
- Tổng qũt hõ cõc lớp khõc nhau cõc hỏm đa điều hoỏ dưới đối với nguyởn lý mừ đun cực tiểu cổ điển cõc hỏm chỉnh hớnh một biến phức, theo tinh thần của bổ đề Cartan – Boutroux:
+ Tổng qũt hụa bổ đề Cartan-Boutroux về thế vị lừgarit trong êncũng như trớnh bỏy nguyởn lý cực tiểu cõc hỏm đa điều húa dưới trởn hớnh cầu Euclid trong ên.
+ Từ nguyởn lý cực tiểu về thế vị lừgarit trong ên suy ra bất đẳng thức so sõnh giữa dung lượng Hausdorff thợch hợp với dung lượng lừgarit cổ điển trong ên.
+ ạp dụng cõc kết quả trởn để tớm cõc ước lượng chợnh xõc về cỡ của “lemniscates đa điều hoỏ dưới” theo nghĩa xấp xỉ dung lượng Hausdorff . - Bổ đề Cartan –Boutroux vỏ nguyởn lý cực tiểu, khối lượng xạ ảnh vỏ cõc số Lelong.
- Nguyởn lý cực tiểu đối với thế vị logarit, nguyởn lý cực tiểu đối với hỏm đa điều húa dưới, nguyởn lý cực tiểu đối với hỏm tựa đa điều hoỏ dưới.
Số hụa bởi Trung tĩm Học liệu – Đại học Thõi Nguyởn 51 http://www.Lrc-tnu.edu.vn
TáI LIỆU THAM KHẢO
[1] E. Bedford and B.A.Taylor, A new capacity for plurisubhanrmonic functions. Acta Math. 149 (1982), 1-4.
[2] E. Bedford and B.A.Taylor, plurisubhanrmonic functions with logarithmic singularities. Ann. Inst. Fourier, Grenoble 38-4 (1998), 133-171.
[3] J.P.Demailly, Potential theory in several complex variable, Summer School on Complex Analysis,ICMPA, Nice, France, (1989), 1-49.
[4] J.P.Demailly, Monge-Ampere operators, Lelong numbers and intersection theory, Proceedings of the Tenth Trento Conference on Complex Analysis and Geometry, Univ. Math. Ser., Plenum, New York, NY, 1993.
[5] G.A. Gonchar, A local condition of single-valuednessof analytic function, Mat. Sbornik 89 (1972), 151-167.
[6] C.O. Kiselman, densite des functions plurisubharmoniques, Bull. Soc. Math. De France 107 (1979), 295-304.
[7] M. Klimek, Pluripotential Theory, Oxford University Psess, London, (1991).
[8] S.Kolodziej, The logarithmic capacity ên, Ann. Polon. Math. 48 (1988), 253-267.
Số hụa bởi Trung tĩm Học liệu – Đại học Thõi Nguyởn 52 http://www.Lrc-tnu.edu.vn
[9] S.Kolodziej, The complex Monge-Ampere Equation and Pluripotential Theory, Memoirs of the American Mathematical Society, vol. 178, Amer. Math. Soc., 2005.
[10] N.S. Landkof, Foundations of Modern Potential Theory, Springer, Berlin,1972.
[11] P.Lelong, Fonctions Plurisousharmoniques et formes differentielle positives, Gordon-Breach and Dunod, New-York and Paris, 1969.
[12] N. Levenberg and B.A. Taylor, Comparison of capacities in n
C ,
Proceedings of the Complex Analysis Colloqium, Toulouse 1983, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1094, Springer, New York, 1984, pp. 162-172.
[13] J. Siciak, Extremal plurisubhanrmonic functions in êN , Ann. Plon. Math 39 (1981), 157-211.
[14] J. Siciak, Extremal plurisubhanrmonic functions Capacities in êN , Sophia Kokyuroku in math, vol. 14, sofia Unicersity, Tokyo, 1982. [15] M. Stoll, Invariant Potential Theory, London Math. Soc. Lecture
Notes, vol. 199. Cambridge University Press, 1994.
[16] V.P. Zahariuta, Extremal plurisubhanrmonic functions, orthogonal polynomials and Bernstein-Walsh theorem for analytic functions of several complex variables, ann. Polon. Math. 33 (1976), 137-148.
[17] A. Zeriahi, Capacite, constante de Chebysheff et polynụmes orthogonaux associộs ỏ in compact de ên, Bull. Sc. Math. 109 (1985), 325-335.
[18] A. Zeriahi, A criterion of algebraicity for Lelong classes and nnalytic sets, 184 (2000) 113-143.
[19] A. Zeriahi, Volume and capacity for sublevel sets of plurisubhanrmonic functions in a Lelong class, Indiana Univ. Math. J.
Số hụa bởi Trung tĩm Học liệu – Đại học Thõi Nguyởn 53 http://www.Lrc-tnu.edu.vn
[20] A. Zeriahi, The size of plurisubhanrmonic lemniscates in terms of Hausdorff-Riesz measures and capacities, proc. London Math. Soc. 89