Ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình và hàm đa điều hòa dưới trong Cn

Tóm tắt những đóng góp mới của luận án: 1- Hệ thống hóa và làm phong phú thêm cơ sở lý luận về an toàn giao thông, các giải pháp đồng bộ tăng cường an toàn giao thông, bao gồm các giải pháp trước khi tai nạn xảy ra, tại hiện trường và các giải pháp sau khi tai nạn xảy ra, trong đó tiến hành phân tích sâu về các khía cạnh cơ sở hạ tầng, phương tiện, người điều khiển phương tiện, môi trường. 2- Phân tích và đưa ra kết luận: Tai nạn giao thông thường xảy ra do sự kết hợp của nhiều yếu tố, bởi vậy cần phải có giải pháp đồng bộ mới có thể phát huy tối đa hiệu quả của từng giải pháp. Luận án đã đi sâu phân tích các giải pháp đồng bộ trong đảm bảo ATGT trên thế giới, đồng thời nghiên cứu các kinh nghiệm thành công và thất bại để làm cơ sở cho việc phân tích và đề xuất giải pháp cho Việt Nam. 3- Trên cơ sở các nghiên cứu lý luận và phân tích thực trạng, luận án đã đề xuất các giải pháp đồng bộ tăng cường an toàn giao thông đường bộ Việt Nam đến năm 2020 và định hướng đến 2030. Đặc biệt luận án đã phân tích phạm vi áp dụng của các giải pháp trên quan điểm an toàn giao thông để đề xuất các giải pháp đồng bộ nhằm tăng cường an toàn giao thông đối với từng loại đối tượng khu vực khác nhau trong điều kiện Việt Nam. 4- Luận án đã đề xuất một số kiến nghị với Quốc hội, Chính phủ, các Bộ Ban Ngành, UBND các Thành phố/Tỉnh về việc bổ sung những qui định trong Luật, Nghị định, Thông tư, cũng như phối hợp thực hiện.. nhằm triển khai thực hiện các giải pháp trên trong điều kiện Việt Nam.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI − − − − − − − − − VŨ VIỆT HÙNG NGƯỠNG CHÍNH TẮC CỦA HÀM CHỈNH HÌNH VÀ HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI TRONG C n Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Lê Mậu Hải PGS. TS. Phạm Hoàng Hiệp Hà Nội - 2015 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan Luận án này do chính tác giả thực hiện tại Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Lê Mậu Hải và PGS. TS. Phạm Hoàng Hiệp; kết quả của Luận án là mới, đề tài của Luận án không trùng lặp và chưa được công bố trong bất cứ công trình của ai khác. Tác giả Vũ Việt Hùng Lời cảm ơn Trước tiên, bằng tất cả sự kính trọng của mình, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới GS. TSKH. Lê Mậu Hải và PGS. TS. Phạm Hoàng Hiệp - những Người Thầy đã trực tiếp giảng dạy và hướng dẫn khoa học giúp tôi hoàn thành Luận án này tại Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. Tôi đã vô cùng may mắn thường xuyên nhận được sự chỉ dẫn khoa học nghiêm túc cùng với sự chia sẻ, động viên khích lệ để có được sự tự tin và lòng đam mê ngay từ chặng đường đầu tiên của sự nghiệp nghiên cứu khoa học của mình. Được sinh hoạt và làm việc thường xuyên cùng một tập thể khoa học nghiêm túc, tôi vô cùng cảm ơn các thầy cô, các bạn đồng nghiệp và toàn thể các thành viên của Seminar Lý thuyết hàm Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. Chính tại đây, ngoài sự chỉ dẫn, góp ý trực tiếp của các thành viên seminar đối với đề tài nghiên cứu, tôi còn có cơ hội trang bị cho mình về phương pháp nghiên cứu và những hiểu biết sâu sắc hơn về nhiều vấn đề toán học. Nhân dịp này, tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn tới GS. TSKH. Nguyễn Văn Khuê - một nhà khoa học, một Người Thầy lớn luôn tận tâm đào tạo các thế hệ khoa học chuyên ngành, trong đó có thế hệ khoa học trẻ chúng tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Xuân Hồng với những góp ý rất có ý nghĩa trong quá trình phát triển Luận án của mình. Tôi xin trân trọng cảm ơn Tập thể lãnh đạo và Hội đồng Khoa học Viện Nghiên cứu Cao cấp về Toán đã hai lần tài trợ và trưng dụng tôi làm việc tại Viện. Đó là những khoảng thời gian quý giá để từ đó tôi có cơ hội hoàn thành một trong những bài báo khoa học nằm trong danh mục công trình của Luận án. Đồng thời, một bài báo khác được sử dụng trong luận án cũng đã may mắn được Quý Viện tuyển chọn và trao giải thưởng công trình toán học năm 2013 nằm trong Chương trình trọng điểm quốc gia về phát triển toán học giai đoạn 2010 - 2020. Tôi xin cảm ơn Trường Đại học Tây Bắc, Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội và các đơn vị chức năng đã tạo cho tôi mọi điều kiện thuận lợi về mặt quản lý nhà nước trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Cuối cùng, tôi xin tỏ lòng tri ân đối với những người thầy, những đồng nghiệp, gia đình và bạn bè thân thích là những điểm tựa tinh thần vững chắc, đã giúp đỡ, động viên, khích lệ, chia sẻ những khó khăn và luôn đồng hành cùng sự tiến bộ trưởng thành để hình thành nên sự nghiệp của cá nhân tôi. Hà Nội, tháng 08 năm 2015 Vũ Việt Hùng Mục lục Mở đầu 3 Tổng quan 10 1 Ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình trong C n 20 1.1 Ngưỡng chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.1.1 Ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình và hàm đa điều hòa dưới . . 20 1.1.2 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.1.3 Một định nghĩa tương đương cho ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.2 Tập mức của hàm chỉnh hình nhiều biến và chứng minh giả thuyết ACC trong C 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.2.1 Diện tích của tập mức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.2.2 Ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình và thể tích của tập mức . . . 33 1.2.3 Chứng minh giả thuyết ACC trong C 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2 Một số đặc trưng của lớp E m (Ω) và áp dụng 41 2.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2 Hàm m-điều hòa dưới và toán tử m-Hessian phức . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2.1 Hàm m-điều hòa dưới và một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . 42 1 2 2.2.2 Toán tử m-Hessian phức trên lớp các hàm m-điều hòa dưới bị chặn địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3 Tính chất địa phương của lớp E m (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.4 Một số đặc trưng của lớp E m (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.5 Áp dụng cho mở rộng đánh giá tính bị chặn dưới cho ngưỡng chính tắc trong lớp E m (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3 Nguyên lý so sánh đối với ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới 73 3.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.2 Chứng minh một nguyên lý so sánh cho ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Kết luận và kiến nghị 88 Danh mục các công trình sử dụng trong luận án 90 Tài liệu tham khảo 91 Phụ lục 97 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Một trong những bài toán cổ điển đồng hành cùng quá trình phát triển của Giải tích toán học đó là bài toán liên quan đến tính khả tích. Các vấn đề liên quan đến tính khả tích đặt ra thường là để trả lời các câu hỏi: Hàm đã cho có khả tích hoặc khả tích địa phương hay không ? Với tham số liên quan như thế nào thì hàm phụ thuộc tham số ấy là khả tích ? Tính khả tích địa phương tại một điểm có mối liên hệ như thế nào đối với tính chất của hàm tại điểm đó ? v.v Trong lý thuyết Hình học Đại số và Giải tích phức, tính khả tích địa phương của hàm số có liên quan chặt chẽ tới tính kì dị của hàm tại điểm đã cho. Khi xét tính khả tích địa phương hàm 1 |f| 2c , c > 0 tại điểm 0, với f là hàm chỉnh hình trên C n sao cho f (0) = 0 thì rõ ràng chính giá trị c lại cung cấp cho ta nhiều thông tin hữu ích về tính chất của hàm f. Chúng ta có thể đặt ra vấn đề tổng quát là: Với những giá trị nào của t ∈ R thì hàm |f| t khả tích địa phương tại 0 ? Xuất phát từ thực tế hiển nhiên là nếu t 0 là số thực thỏa mãn yêu cầu trên thì với mọi t < t 0 hàm |f| t đều khả tích địa phương. Một cách tự nhiên, điều này lại dẫn tới bài toán nghiên cứu về giá trị tới hạn của t, là giá trị mà kể từ khi vượt qua nó hàm |f| t không còn khả tích địa phương nữa. Giá trị tới hạn nói trên của t được gọi là ngưỡng chính tắc của hàm f tại 0 và kí hiệu là c f (0). Khái niệm ngưỡng chính tắc được đưa ra và nghiên cứu đầu tiên trong lý thuyết Hình học Đại số. Kể từ đó, vấn đề này đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Giống như số LeLong, ngưỡng chính tắc có mối quan hệ mật thiết với mức độ kì dị của hàm tại một điểm nên việc nghiên cứu tính kì dị của một siêu mặt trong rất nhiều trường hợp khác nhau có thể thông qua nghiên cứu ngưỡng chính tắc của hàm. Hơn nữa ngưỡng chính tắc còn có nhiều tính chất và ứng dụng quan trọng trong lý thuyết Hình học Đại số, chẳng hạn ứng dụng trong chứng minh sự tồn tại của metric K¨ahler - Einstein trên các đối tượng hình học quan trọng. Đây cũng là vấn đề được nhiều nhà toán học trong nước và trên thế giới quan tâm và nghiên cứu như V. Shokurov, V. Alexeev, J-P. Demailly, J. Kollár, M. 4 Mustata, D. H. Phong, J. Sturm, J. McKernan, Y. Prokhorov, H. Skoda, L. M. Hải, P. H. Hiệp, . . . Có thể thấy, cùng với sự ra đời, phát triển và hoàn thiện của lý thuyết về ngưỡng chính tắc thì Giả thuyết ACC (xem trong mục Tổng quan) về dãy ngưỡng chính tắc đóng một vai trò trung tâm. Đây là giả thuyết được đưa ra và nghiên cứu trong Hình học Đại số dưới nhiều dạng và cách tiếp cận khác nhau. Từ năm 1992 đến năm 2000 Giả thuyết ACC đã được chứng minh cho một số trường hợp đặc biệt của số chiều không gian và được chứng minh trong trường hợp số chiều không gian tùy ý vào năm 2010. Tuy nhiên, tất cả những kết quả nêu trên đều chứng minh thuần túy bằng lý thuyết Hình học Đại số. Một vấn đề khác cũng được quan tâm nghiên cứu là tính bị chặn trên và chặn dưới của ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới và hàm chỉnh hình. Có thể nói tới một trong những kết quả quan trọng là của H. Skoda được cho trong tài liệu [76], trong đó tác giả đã đưa ra đánh giá về tính bị chặn trên và dưới đối với c ϕ (x) của hàm đa điều hòa dưới ϕ thông qua số Lelong ν(ϕ, x) của hàm này tại x. Việc thiết lập đánh giá chặt hơn của H. Skoda trên đây có thể nói tới kết quả của J-P. Demailly và P. H. Hiệp trong [29] mà ở đó các tác giả đã cải thiện và cho một đánh giá chặt hơn của H. Skoda trên lớp hàm  E(Ω)- một lớp con của lớp hàm đa điều hòa dưới. Mặt khác, trong thời gian gần đây, việc mở rộng lớp hàm đa điều hòa dưới đã được một số tác giả nghiên cứu như Z. Blocki, S. Dinew, S. Kolodziej, A. S. Sadullaev, B. I. Abullaev, L. H. Chinh, Đặc biệt năm 2012, trong công trình [23], L. H. Chinh dựa theo ý tưởng của U. Cegrell đã đưa ra lớp hàm E m (Ω). Một câu hỏi đặt ra là liệu đánh giá của J-P. Demailly và P. H. Hiệp còn đúng cho lớp hàm E m (Ω)- lớp mở rộng thực sự của lớp E(Ω) hay không? Hơn nữa, có thể thấy rằng lớp hàm E m (Ω) được đưa ra bởi L. H. Chinh cho đến nay mới chỉ dừng lại ở việc xây dựng và tồn tại, việc nghiên cứu các đặc trưng quan trọng của lớp hàm này cũng như việc mô tả rõ ràng hơn về lớp này vẫn là một vấn đề cần tiếp tục được quan tâm nghiên cứu. Cuối cùng, vì một số trở ngại về công cụ và kỹ thuật cho nên việc tính ngưỡng chính tắc của các hàm đa điều hòa dưới nói chung vẫn là một bài toán chưa được giải quyết triệt để hoặc chưa có một ý tưởng về phương pháp đánh giá hữu hiệu nào, thay vì tìm 5 cách tính ngưỡng chính tắc, để thu được những thông tin cần thiết. Chẳng hạn, có thể kể đến trong một số ít các công trình của T. Kuwata, J. Kollár, J. Igusa, . . . các tác giả mới chỉ hạn chế việc tính ngưỡng chính tắc cho một số lớp hàm cơ bản (xem [46], [54], [55], [59], [60], . . . ). Như vậy một câu hỏi tự nhiên tiếp theo được đặt ra đó là: Không nhất thiết phải tính ngưỡng chính tắc của hai hàm đã cho, chúng ta vẫn có thể so sánh ngưỡng chính tắc của chúng hay không ? Những hàm như vậy cần thỏa mãn giả thiết gì ? Đối với các hàm đa điều hòa dưới, với điều kiện nào chúng ta có thể so sánh ngưỡng chính tắc của chúng ? Những vấn đề nêu ra trên đây chính là nội dung nghiên cứu của đề tài Luận án: Ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình và hàm đa điều hòa dưới trong C n . Việc giải quyết các vấn đề nêu ra chắc chắn sẽ đóng góp những kết quả quan trọng và có ý nghĩa trong quá trình nghiên cứu hoàn thiện về ngưỡng chính tắc, đối với cả hai mặt định tính và định lượng, trong lý thuyết Giải tích hàm. 2. Mục đích nghiên cứu của Luận án Từ những kết quả quan trọng đã có về ngưỡng chính tắc cho các lớp hàm chỉnh hình và lớp hàm đa điều hòa dưới và những kết quả về lớp hàm m-điều hòa dưới được nghiên cứu gần đây, chúng tôi đã đặt ra một số mục đích nghiên cứu cho Luận án như sau: - Tìm ra mối quan hệ giữa ngưỡng chính tắc c f (0) và tính chất hình học của tập không điểm {f = 0} của hàm chỉnh hình f. - Tìm cách chứng minh Giả thuyết ACC của V. Shokurov, J-P. Demailly và J. Kollár bằng một phương pháp khác với phương pháp đã áp dụng chứng minh cho một số trường hợp về số chiều không gian. - Chỉ ra một số tính chất địa phương và một đánh giá ngưỡng chính tắc cho lớp hàm E m (Ω)- lớp hàm rộng hơn lớp hàm đa điều hòa dưới. - Tìm ra các đặc trưng quan trọng và các mô tả của lớp hàm E m (Ω). - Tìm các điều kiện khác nhau để có thể so sánh ngưỡng chính tắc của hai hàm đa điều hòa dưới. 6 - Tìm cách chứng minh hoặc mở rộng các kết quả đã có bằng kĩ thuật của Giải tích phức về ngưỡng chính tắc; Nghiên cứu các tính chất của tập mức (chẳng hạn diện tích, thể tích, . . . ) của hàm chỉnh hình một biến cũng như nhiều biến; nghiên cứu điều kiện dừng của ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình tương ứng với các độ đo khác nhau (chẳng hạn độ đo Lebesgue, độ đo Borel, . . . ). Tính toán cụ thể ngưỡng chính tắc đối với một số lớp hàm chỉnh hình, . . . - Cố gắng mở rộng hoặc nêu ra hướng mở rộng các kết quả nghiên cứu trong trường hợp có thể thực hiện được. 3. Đối tượng nghiên cứu - Các tính chất và kết quả cơ bản về ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình cũng như hàm đa điều hòa dưới, hàm m- điều hòa dưới. - Toán tử m-Hessian phức và sự xác định của nó trên E m (Ω)- lớp con của lớp hàm m- điều hòa dưới và các tính chất của các lớp hàm này. - Các lớp hàm chỉnh hình, hàm đa điều hòa dưới hay lớp hàm m- điều hòa dưới và các đánh giá cho ngưỡng chính tắc của chúng. - Các điều kiện có thể so sánh ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới. 4. Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng các phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong nghiên cứu toán học cơ bản với công cụ và kỹ thuật truyền thống của lý thuyết chuyên ngành Giải tích hàm và Giải tích phức. - Tổ chức seminar, trao đổi, thảo luận, công bố các kết quả nghiên cứu theo tiến trình thực hiện đề tài Luận án, nhằm thu nhận các xác nhận về ý nghĩa và tính chính xác khoa học của các kết quả nghiên cứu trong cộng đồng các nhà khoa học chuyên ngành trong và ngoài nước. 5. Những đóng góp của Luận án Luận án đã đạt được các mục đích nghiên cứu đề ra. Kết quả của Luận án đóng góp làm giàu thêm cho hệ thống các kết quả, phương pháp, công cụ và kỹ thuật nghiên cứu [...]... trưng của lớp này Từ đó áp dụng vào việc đánh giá ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới thuộc lớp này Một vấn đề khác cũng được quan tâm khi nghiên cứu ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới đó là nghiên cứu định tính và định lượng đối với con số này, đặc biệt là đánh giá về tính bị chặn trên và chặn dưới của ngưỡng chính tắc cho các hàm đa điều hòa dưới và hàm chỉnh hình Về mặt định tính, một trong. .. ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình và hàm đa điều hòa dưới trong Cn Chương 1 Ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình trong Cn Như đã nói trong mục Tổng quan vấn đề nghiên cứu, trong chương này, chúng tôi dành cho việc nghiên cứu ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình, kết quả chính của chương là chứng minh mối quan hệ giữa thể tích tập mức và ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình nhiều biến Cuối cùng, như một... chỉnh hình và hàm đa điều hòa dưới Trước hết, chúng tôi trình bày khái niệm tổng quát (trong [30]) về ngưỡng chính tắc cf (K) cho hàm đa điều hòa dưới ϕ trên tập compact K ⊂ Cn Mục tiêu của chúng tôi 20 21 trong chương này là nghiên cứu cf (K) thông qua công cụ của giải tích phức Định nghĩa 1.1.1 Giả sử ϕ là một hàm đa điều hòa dưới trên Cn Với mỗi tập compact K ⊂ Cn ta gọi ngưỡng chính tắc của ϕ... tích cho lớp hàm Em (Ω) - Chứng minh một mô tả hình học cho tập mức trên đối số Lelong của hàm đa điều hòa dưới trong lớp Em (Ω) - Mở rộng và chứng minh các đánh giá về tính bị chặn dưới của ngưỡng chính tắc của J-P Demailly và P H Hiệp đã chứng minh cho lớp hàm đa điều hòa dưới trong lớp hàm Em (Ω) cũng như các lớp hàm đa điều hòa dưới bị chặn ngoài một tập bỏ qua được với cùng một cận dưới - Chứng... lý so sánh đối với ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới Rõ ràng việc tính ngưỡng chính tắc của các hàm đa điều hòa dưới nói chung và ngay cả với các hàm chỉnh hình nói riêng từ định nghĩa là một bài toán khó Có thể thấy một khác biệt lớn so với số Lelong là ngưỡng chính tắc chỉ tính được tường minh khi f là hàm chỉnh hình một biến Trong trường hợp nhiều biến, ngay cả khi f là đa thức, cf (0) nói... cứu, Kết luận, Danh mục công trình trong luận án, Tài liệu tham khảo và Phụ lục Nội dung chính của Luận án gồm ba chương có tên và nội dung tóm tắt như sau: Chương 1 Ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình trong Cn Phần đầu của Chương này chúng tôi dành cho việc trình bày các khái niệm và các tính chất cơ bản về ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới, hàm chỉnh hình và một số kiến thức cơ bản thiết yếu... hợp những kết quả trong các công trình quan trọng nói trên, có thể nói cho đến trước những năm 2000, những kết quả về ngưỡng chính tắc được đưa ra chủ yếu cho các hàm chỉnh hình, tuy nhiên cần lưu ý rằng nếu f là hàm chỉnh hình trên Cn thì log |f | là hàm đa điều hòa dưới, từ đó vào năm 2000, J-P Demailly và J Kollár (trong [30]) đã đưa ra khái niệm ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới tổng quát... cf (0) với f là hàm chỉnh hình trong lân cận của 0 để từ đó có thể thuận tiện hơn cho quá trình nghiên cứu, đánh giá về ngưỡng chính tắc Từ đó chúng tôi cũng đặt ra bài toán nghiên cứu mối quan hệ giữa ngưỡng chính tắc cf (0) và tính chất hình học của tập không điểm {f = 0} 11 Mặt khác chúng ta đều biết rằng ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình nói riêng và hàm đa điều hòa dưới trên Cn nói chung có... quan đến ngưỡng chính tắc và hàm chỉnh hình, hàm đa điều hòa dưới trong Lý thuyết Giải tích phức thông qua các kết quả chính sau đây: - Chứng minh Giả thuyết ACC cho trường hợp n = 2 bằng công cụ giải tích phức - Đưa ra và chứng minh được mối quan hệ giữa ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình nhiều biến f và tập không điểm {f = 0} của nó - Chứng minh tính chất địa phương của lớp hàm Em (Ω) - Đưa ra và chứng... đã biết trong [30], J-P Demailly và J Kollár đã chứng minh tính nửa liên tục dưới của hàm x → cϕ (x) trong tôpô chỉnh hình Zariski Đồng thời chứng minh được nếu c < cϕ (K) và ψ hội tụ trong L1 tới ϕ thì e−2cψ hội tụ tới e−2cϕ trong L1 trong lân cận D của K Đây là kết quả chính trong công trình [30] và có thể coi là một trong những đánh giá quan trọng về ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới, mà . hàm m- điều hòa dưới và các tính chất của các lớp hàm này. - Các lớp hàm chỉnh hình, hàm đa điều hòa dưới hay lớp hàm m- điều hòa dưới và các đánh giá cho ngưỡng chính tắc của chúng. - Các điều. chất và kết quả cơ bản về ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình cũng như hàm đa điều hòa dưới, hàm m- điều hòa dưới. - Toán tử m-Hessian phức và sự xác định của nó trên E m (Ω)- lớp con của lớp hàm. chặn trên và chặn dưới của ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới và hàm chỉnh hình. Có thể nói tới một trong những kết quả quan trọng là của H. Skoda được cho trong tài liệu [76], trong đó