Ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình và hàm đa điều hòa dưới trong Cn

Tóm tắt những đóng góp mới của luận án: 1- Hệ thống hóa và làm phong phú thêm cơ sở lý luận về an toàn giao thông, các giải pháp đồng bộ tăng cường an toàn giao thông, bao gồm các giải pháp trước khi tai nạn xảy ra, tại hiện trường và các giải pháp sau khi tai nạn xảy ra, trong đó tiến hành phân tích sâu về các khía cạnh cơ sở hạ tầng, phương tiện, người điều khiển phương tiện, môi trường. 2- Phân tích và đưa ra kết luận: Tai nạn giao thông thường xảy ra do sự kết hợp của nhiều yếu tố, bởi vậy cần phải có giải pháp đồng bộ mới có thể phát huy tối đa hiệu quả của từng giải pháp. Luận án đã đi sâu phân tích các giải pháp đồng bộ trong đảm bảo ATGT trên thế giới, đồng thời nghiên cứu các kinh nghiệm thành công và thất bại để làm cơ sở cho việc phân tích và đề xuất giải pháp cho Việt Nam. 3- Trên cơ sở các nghiên cứu lý luận và phân tích thực trạng, luận án đã đề xuất các giải pháp đồng bộ tăng cường an toàn giao thông đường bộ Việt Nam đến năm 2020 và định hướng đến 2030. Đặc biệt luận án đã phân tích phạm vi áp dụng của các giải pháp trên quan điểm an toàn giao thông để đề xuất các giải pháp đồng bộ nhằm tăng cường an toàn giao thông đối với từng loại đối tượng khu vực khác nhau trong điều kiện Việt Nam. 4- Luận án đã đề xuất một số kiến nghị với Quốc hội, Chính phủ, các Bộ Ban Ngành, UBND các Thành phố/Tỉnh về việc bổ sung những qui định trong Luật, Nghị định, Thông tư, cũng như phối hợp thực hiện.. nhằm triển khai thực hiện các giải pháp trên trong điều kiện Việt Nam.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

− − − − − − − − −

VŨ VIỆT HÙNG

NGƯỠNG CHÍNH TẮC CỦA HÀM CHỈNH HÌNH

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 62 46 01 02

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

GS TSKH Lê Mậu HảiPGS TS Phạm Hoàng Hiệp

Hà Nội - 2015

Tôi xin cam đoan Luận án này do chính tác giả thực hiện tại Khoa Toán Trường Đạihọc Sư phạm Hà Nội dưới sự hướng dẫn của GS TSKH Lê Mậu Hải và PGS TS PhạmHoàng Hiệp; kết quả của Luận án là mới, đề tài của Luận án không trùng lặp và chưađược công bố trong bất cứ công trình của ai khác.

Tác giả

Vũ Việt Hùng

Trước tiên, bằng tất cả sự kính trọng của mình, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhấttới GS TSKH Lê Mậu Hải và PGS TS Phạm Hoàng Hiệp - những Người Thầy đã trựctiếp giảng dạy và hướng dẫn khoa học giúp tôi hoàn thành Luận án này tại Khoa ToánTrường Đại học Sư phạm Hà Nội Tôi đã vô cùng may mắn thường xuyên nhận được sựchỉ dẫn khoa học nghiêm túc cùng với sự chia sẻ, động viên khích lệ để có được sự tự tin

và lòng đam mê ngay từ chặng đường đầu tiên của sự nghiệp nghiên cứu khoa học củamình

Được sinh hoạt và làm việc thường xuyên cùng một tập thể khoa học nghiêm túc, tôi

vô cùng cảm ơn các thầy cô, các bạn đồng nghiệp và toàn thể các thành viên của Seminar

Lý thuyết hàm Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Chính tại đây, ngoài sự chỉ dẫn, góp

ý trực tiếp của các thành viên seminar đối với đề tài nghiên cứu, tôi còn có cơ hội trang

bị cho mình về phương pháp nghiên cứu và những hiểu biết sâu sắc hơn về nhiều vấn đềtoán học Nhân dịp này, tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn tới GS TSKH NguyễnVăn Khuê - một nhà khoa học, một Người Thầy lớn luôn tận tâm đào tạo các thế hệ khoahọc chuyên ngành, trong đó có thế hệ khoa học trẻ chúng tôi Tôi xin chân thành cảm ơn

TS Nguyễn Xuân Hồng với những góp ý rất có ý nghĩa trong quá trình phát triển Luận

án của mình

Tôi xin trân trọng cảm ơn Tập thể lãnh đạo và Hội đồng Khoa học Viện Nghiên cứuCao cấp về Toán đã hai lần tài trợ và trưng dụng tôi làm việc tại Viện Đó là nhữngkhoảng thời gian quý giá để từ đó tôi có cơ hội hoàn thành một trong những bài báo khoahọc nằm trong danh mục công trình của Luận án Đồng thời, một bài báo khác được sửdụng trong luận án cũng đã may mắn được Quý Viện tuyển chọn và trao giải thưởng côngtrình toán học năm 2013 nằm trong Chương trình trọng điểm quốc gia về phát triển toánhọc giai đoạn 2010 - 2020

Tôi xin cảm ơn Trường Đại học Tây Bắc, Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội và các đơn

quá trình học tập và nghiên cứu.

Cuối cùng, tôi xin tỏ lòng tri ân đối với những người thầy, những đồng nghiệp, gia đình

và bạn bè thân thích là những điểm tựa tinh thần vững chắc, đã giúp đỡ, động viên, khích

lệ, chia sẻ những khó khăn và luôn đồng hành cùng sự tiến bộ trưởng thành để hình thànhnên sự nghiệp của cá nhân tôi

Hà Nội, tháng 08 năm 2015

Vũ Việt Hùng

Mở đầu 3

1.1 Ngưỡng chính tắc 201.1.1 Ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình và hàm đa điều hòa dưới 201.1.2 Một số ví dụ 221.1.3 Một định nghĩa tương đương cho ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh

hình 231.2 Tập mức của hàm chỉnh hình nhiều biến và chứng minh giả thuyết ACCtrong C2 261.2.1 Diện tích của tập mức 261.2.2 Ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình và thể tích của tập mức 331.2.3 Chứng minh giả thuyết ACC trong C2 36

2.1 Giới thiệu 412.2 Hàm m-điều hòa dưới và toán tử m-Hessian phức 412.2.1 Hàm m-điều hòa dưới và một số tính chất 42

1

2.2.2 Toán tử m-Hessian phức trên lớp các hàm m-điều hòa dưới bị chặn

địa phương 452.3 Tính chất địa phương của lớp Em(Ω) 462.4 Một số đặc trưng của lớp Em(Ω) 582.5 Áp dụng cho mở rộng đánh giá tính bị chặn dưới cho ngưỡng chính tắctrong lớp Em(Ω) 65

3 Nguyên lý so sánh đối với ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới 733.1 Giới thiệu 733.2 Chứng minh một nguyên lý so sánh cho ngưỡng chính tắc của hàm đa điềuhòa dưới 75

1 Lý do chọn đề tài

Một trong những bài toán cổ điển đồng hành cùng quá trình phát triển của Giải tíchtoán học đó là bài toán liên quan đến tính khả tích Các vấn đề liên quan đến tính khảtích đặt ra thường là để trả lời các câu hỏi: Hàm đã cho có khả tích hoặc khả tích địaphương hay không ? Với tham số liên quan như thế nào thì hàm phụ thuộc tham số ấy làkhả tích ? Tính khả tích địa phương tại một điểm có mối liên hệ như thế nào đối với tínhchất của hàm tại điểm đó ? v.v Trong lý thuyết Hình học Đại số và Giải tích phức, tínhkhả tích địa phương của hàm số có liên quan chặt chẽ tới tính kì dị của hàm tại điểm đãcho Khi xét tính khả tích địa phương hàm |f |12c, c > 0 tại điểm 0, với f là hàm chỉnh hìnhtrên Cn sao cho f (0) = 0 thì rõ ràng chính giá trị c lại cung cấp cho ta nhiều thông tinhữu ích về tính chất của hàm f Chúng ta có thể đặt ra vấn đề tổng quát là: Với nhữnggiá trị nào của t ∈ R thì hàm |f |t khả tích địa phương tại 0 ? Xuất phát từ thực tế hiểnnhiên là nếu t0 là số thực thỏa mãn yêu cầu trên thì với mọi t < t0 hàm |f |t đều khả tíchđịa phương Một cách tự nhiên, điều này lại dẫn tới bài toán nghiên cứu về giá trị tới hạncủa t, là giá trị mà kể từ khi vượt qua nó hàm |f |t không còn khả tích địa phương nữa.Giá trị tới hạn nói trên của t được gọi là ngưỡng chính tắc của hàm f tại 0 và kí hiệu là

cf(0)

Khái niệm ngưỡng chính tắc được đưa ra và nghiên cứu đầu tiên trong lý thuyết Hìnhhọc Đại số Kể từ đó, vấn đề này đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Giốngnhư số LeLong, ngưỡng chính tắc có mối quan hệ mật thiết với mức độ kì dị của hàm tạimột điểm nên việc nghiên cứu tính kì dị của một siêu mặt trong rất nhiều trường hợp khácnhau có thể thông qua nghiên cứu ngưỡng chính tắc của hàm Hơn nữa ngưỡng chính tắccòn có nhiều tính chất và ứng dụng quan trọng trong lý thuyết Hình học Đại số, chẳnghạn ứng dụng trong chứng minh sự tồn tại của metric K¨ahler - Einstein trên các đối tượnghình học quan trọng Đây cũng là vấn đề được nhiều nhà toán học trong nước và trên thếgiới quan tâm và nghiên cứu như V Shokurov, V Alexeev, J-P Demailly, J Kollár, M

Mustata, D H Phong, J Sturm, J McKernan, Y Prokhorov, H Skoda, L M Hải, P H.Hiệp,

Có thể thấy, cùng với sự ra đời, phát triển và hoàn thiện của lý thuyết về ngưỡng chínhtắc thì Giả thuyết ACC (xem trong mục Tổng quan) về dãy ngưỡng chính tắc đóng mộtvai trò trung tâm Đây là giả thuyết được đưa ra và nghiên cứu trong Hình học Đại sốdưới nhiều dạng và cách tiếp cận khác nhau Từ năm 1992 đến năm 2000 Giả thuyết ACC

đã được chứng minh cho một số trường hợp đặc biệt của số chiều không gian và đượcchứng minh trong trường hợp số chiều không gian tùy ý vào năm 2010 Tuy nhiên, tất cảnhững kết quả nêu trên đều chứng minh thuần túy bằng lý thuyết Hình học Đại số.Một vấn đề khác cũng được quan tâm nghiên cứu là tính bị chặn trên và chặn dưới củangưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới và hàm chỉnh hình Có thể nói tới một trongnhững kết quả quan trọng là của H Skoda được cho trong tài liệu [76], trong đó tác giả

đã đưa ra đánh giá về tính bị chặn trên và dưới đối với cϕ(x) của hàm đa điều hòa dưới

ϕ thông qua số Lelong ν(ϕ, x) của hàm này tại x Việc thiết lập đánh giá chặt hơn của

H Skoda trên đây có thể nói tới kết quả của J-P Demailly và P H Hiệp trong [29] mà

ở đó các tác giả đã cải thiện và cho một đánh giá chặt hơn của H Skoda trên lớp hàme

E(Ω)- một lớp con của lớp hàm đa điều hòa dưới Mặt khác, trong thời gian gần đây, việc

mở rộng lớp hàm đa điều hòa dưới đã được một số tác giả nghiên cứu như Z B locki, S.Dinew, S Ko lodziej, A S Sadullaev, B I Abullaev, L H Chinh, Đặc biệt năm 2012,trong công trình [23], L H Chinh dựa theo ý tưởng của U Cegrell đã đưa ra lớp hàm

Em(Ω) Một câu hỏi đặt ra là liệu đánh giá của J-P Demailly và P H Hiệp còn đúng cholớp hàm Em(Ω)- lớp mở rộng thực sự của lớp E (Ω) hay không? Hơn nữa, có thể thấy rằnglớp hàm Em(Ω) được đưa ra bởi L H Chinh cho đến nay mới chỉ dừng lại ở việc xây dựng

và tồn tại, việc nghiên cứu các đặc trưng quan trọng của lớp hàm này cũng như việc mô

tả rõ ràng hơn về lớp này vẫn là một vấn đề cần tiếp tục được quan tâm nghiên cứu.Cuối cùng, vì một số trở ngại về công cụ và kỹ thuật cho nên việc tính ngưỡng chínhtắc của các hàm đa điều hòa dưới nói chung vẫn là một bài toán chưa được giải quyếttriệt để hoặc chưa có một ý tưởng về phương pháp đánh giá hữu hiệu nào, thay vì tìm

cách tính ngưỡng chính tắc, để thu được những thông tin cần thiết Chẳng hạn, có thể kểđến trong một số ít các công trình của T Kuwata, J Kollár, J Igusa, các tác giả mớichỉ hạn chế việc tính ngưỡng chính tắc cho một số lớp hàm cơ bản (xem [46], [54], [55],[59], [60], ) Như vậy một câu hỏi tự nhiên tiếp theo được đặt ra đó là: Không nhấtthiết phải tính ngưỡng chính tắc của hai hàm đã cho, chúng ta vẫn có thể so sánh ngưỡngchính tắc của chúng hay không ? Những hàm như vậy cần thỏa mãn giả thiết gì ? Đối vớicác hàm đa điều hòa dưới, với điều kiện nào chúng ta có thể so sánh ngưỡng chính tắc củachúng ?

Những vấn đề nêu ra trên đây chính là nội dung nghiên cứu của đề tài Luận án: Ngưỡngchính tắc của hàm chỉnh hình và hàm đa điều hòa dưới trong Cn Việc giải quyết các vấn

đề nêu ra chắc chắn sẽ đóng góp những kết quả quan trọng và có ý nghĩa trong quá trìnhnghiên cứu hoàn thiện về ngưỡng chính tắc, đối với cả hai mặt định tính và định lượng,trong lý thuyết Giải tích hàm

2 Mục đích nghiên cứu của Luận án

Từ những kết quả quan trọng đã có về ngưỡng chính tắc cho các lớp hàm chỉnh hình

và lớp hàm đa điều hòa dưới và những kết quả về lớp hàm m-điều hòa dưới được nghiêncứu gần đây, chúng tôi đã đặt ra một số mục đích nghiên cứu cho Luận án như sau:

- Tìm ra mối quan hệ giữa ngưỡng chính tắc cf(0) và tính chất hình học của tập khôngđiểm {f = 0} của hàm chỉnh hình f

- Tìm cách chứng minh Giả thuyết ACC của V Shokurov, J-P Demailly và J Kollárbằng một phương pháp khác với phương pháp đã áp dụng chứng minh cho một số trườnghợp về số chiều không gian

- Chỉ ra một số tính chất địa phương và một đánh giá ngưỡng chính tắc cho lớp hàm

Em(Ω)- lớp hàm rộng hơn lớp hàm đa điều hòa dưới

- Tìm ra các đặc trưng quan trọng và các mô tả của lớp hàm Em(Ω)

- Tìm các điều kiện khác nhau để có thể so sánh ngưỡng chính tắc của hai hàm đa điềuhòa dưới

- Tìm cách chứng minh hoặc mở rộng các kết quả đã có bằng kĩ thuật của Giải tíchphức về ngưỡng chính tắc; Nghiên cứu các tính chất của tập mức (chẳng hạn diện tích,thể tích, ) của hàm chỉnh hình một biến cũng như nhiều biến; nghiên cứu điều kiệndừng của ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình tương ứng với các độ đo khác nhau (chẳnghạn độ đo Lebesgue, độ đo Borel, ) Tính toán cụ thể ngưỡng chính tắc đối với một sốlớp hàm chỉnh hình,

- Cố gắng mở rộng hoặc nêu ra hướng mở rộng các kết quả nghiên cứu trong trườnghợp có thể thực hiện được

3 Đối tượng nghiên cứu

- Các tính chất và kết quả cơ bản về ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình cũng nhưhàm đa điều hòa dưới, hàm m- điều hòa dưới

- Toán tử m-Hessian phức và sự xác định của nó trên Em(Ω)- lớp con của lớp hàm điều hòa dưới và các tính chất của các lớp hàm này

m Các lớp hàm chỉnh hình, hàm đa điều hòa dưới hay lớp hàm mm điều hòa dưới và cácđánh giá cho ngưỡng chính tắc của chúng

- Các điều kiện có thể so sánh ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới

4 Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng các phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong nghiên cứu toán học cơ bản vớicông cụ và kỹ thuật truyền thống của lý thuyết chuyên ngành Giải tích hàm và Giải tíchphức

- Tổ chức seminar, trao đổi, thảo luận, công bố các kết quả nghiên cứu theo tiến trìnhthực hiện đề tài Luận án, nhằm thu nhận các xác nhận về ý nghĩa và tính chính xác khoahọc của các kết quả nghiên cứu trong cộng đồng các nhà khoa học chuyên ngành trong vàngoài nước

5 Những đóng góp của Luận án

Luận án đã đạt được các mục đích nghiên cứu đề ra Kết quả của Luận án đóng góplàm giàu thêm cho hệ thống các kết quả, phương pháp, công cụ và kỹ thuật nghiên cứu

liên quan đến ngưỡng chính tắc và hàm chỉnh hình, hàm đa điều hòa dưới trong Lý thuyếtGiải tích phức thông qua các kết quả chính sau đây:

- Chứng minh Giả thuyết ACC cho trường hợp n = 2 bằng công cụ giải tích phức

- Đưa ra và chứng minh được mối quan hệ giữa ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hìnhnhiều biến f và tập không điểm {f = 0} của nó

- Chứng minh tính chất địa phương của lớp hàm Em(Ω)

- Đưa ra và chứng minh các đặc trưng giải tích cho lớp hàm Em(Ω)

- Chứng minh một mô tả hình học cho tập mức trên đối số Lelong của hàm đa điềuhòa dưới trong lớp Em(Ω)

- Mở rộng và chứng minh các đánh giá về tính bị chặn dưới của ngưỡng chính tắc củaJ-P Demailly và P H Hiệp đã chứng minh cho lớp hàm đa điều hòa dưới trong lớp hàm

Em(Ω) cũng như các lớp hàm đa điều hòa dưới bị chặn ngoài một tập bỏ qua được vớicùng một cận dưới

- Chứng minh một nguyên lý so sánh mạnh hơn của P H Hiệp đối với các hàm đa điềuhòa dưới thông qua giả thiết khác, cụ thể dưới giả thiết về độ đo Monge-Ampère

- Đưa ra được một số công cụ, kỹ thuật và phương pháp nghiên cứu để đạt được mụcđích nghiên cứu đã đề ra

- Đưa ra một số hướng nghiên cứu tiếp theo của đề tài Luận án

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của Luận án

Kết quả khoa học của Luận án góp phần hoàn thiện lý thuyết liên quan đến ngưỡngchính tắc và hàm chỉnh hình, hàm đa điều hòa dưới trong Lý thuyết Giải tích phức Vềmặt phương pháp, Luận án góp phần đa dạng hóa và làm giàu thêm hệ thống các công

cụ và kỹ thuật nghiên cứu chuyên ngành, áp dụng cụ thể trong đề tài của Luận án và cácchủ đề tương tự

7 Cấu trúc của luận án

Cấu trúc của Luận án được trình bày theo đúng quy định cụ thể đối với luận án tiến sỹcủa Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, bao gồm các phần: Mở đầu, Tổng quan, các chương

trình bày các kết quả nghiên cứu, Kết luận, Danh mục công trình trong luận án, Tài liệutham khảo và Phụ lục Nội dung chính của Luận án gồm ba chương có tên và nội dungtóm tắt như sau:

Chương 1 Ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình trong Cn

Phần đầu của Chương này chúng tôi dành cho việc trình bày các khái niệm và các tínhchất cơ bản về ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới, hàm chỉnh hình và một sốkiến thức cơ bản thiết yếu đối với các nội dung trình bày sau đó trong Luận án Phần lớnnội dung còn lại của Chương trình bày các kết quả nghiên cứu chính đã đạt được, cụ thểchúng tôi phát biểu và chứng minh mối quan hệ giữa ngưỡng chính tắc và tập mức củahàm chỉnh hình nhiều biến và chứng minh Giả thuyết ACC bằng một phương pháp mớivới các công cụ của giải tích phức nhiều biến trong trường hợp số chiều không gian n = 2.Chương 2 Một số đặc trưng của lớp Em(Ω) và áp dụng

Trong Chương 2 chúng tôi đi sâu vào các vấn đề sau đây: Chứng minh tính chất địaphương cho lớp hàm Em(Ω); Phát biểu và chứng minh về một số tính chất đặc trưng giảitích của lớp hàm này cũng như một số tính chất hình học của tập mức trên đối với hàmthuộc lớp đã cho; Cuối cùng như một hệ quả của tính chất địa phương, chúng tôi chứngminh và mở rộng bất đẳng thức về tính bị chặn dưới của ngưỡng chính tắc của hàm utrong hai lớp hàm Em(Ω) ∩ PSH(Ω) và PSH(Ω) ∩ L∞(Ω \ E) với cùng một cận dưới, ở

đó E là tập con đóng có độ đo Hausdorff bỏ qua được

Chương 3 Nguyên lý so sánh đối với ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòadưới

Toàn bộ Chương này dành cho việc trình bày kết quả nghiên cứu về nguyên lý so sánhngưỡng chính tắc Trong phần đầu của Chương chúng tôi trình bày một số kết quả liênquan phục vụ cho chứng minh nguyên lý so sánh đối với ngưỡng chính tắc của hàm đađiều hòa dưới Từ đó, với điều kiện cho dưới dạng độ đo Monge-Ampère, chúng tôi đichứng minh một nguyên lý so sánh khác đối với ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòadưới

Cuối cùng, trong phần Kết luận và kiến nghị, chúng tôi đã điểm lại các kết quả nghiêncứu chính trình bày trong Luận án Đây chính là sự khẳng định ý tưởng khoa học của đềtài Luận án đặt ra là đúng đắn và các kết quả nghiên cứu đạt được mục đích đề ra Do

đó, Luận án đã có những đóng góp cho khoa học chuyên ngành, có ý nghĩa khoa học vàthực tiễn như đã nêu trong phần Mở đầu là hoàn toàn xác đáng

Để tiếp nối, trong Phần Kiến nghị chúng tôi mạnh dạn nêu ra một vài ý tưởng nghiêncứu tiếp theo phát triển đề đề tài của Luận án này Chúng tôi hy vọng sẽ nhận được nhiều

sự quan tâm và chia sẻ của đồng nghiệp giúp hoàn thiện các kết quả nghiên cứu

Tổng quan

1 Vấn đề thứ nhất: Ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình và Giả thuyết ACCKhái niệm ngưỡng chính tắc được đưa ra và nghiên cứu đầu tiên trong lý thuyết Hìnhhọc Đại số, đây cũng là vấn đề được nhiều nhà toán học đã và đang tiếp tục nghiên cứu

và đã đạt được nhiều kết quả quan trọng Chẳng hạn như V Shokurov, V Alexeev, J-P.Demailly, J Kollár, M Mustata, D H Phong, J Sturm, J McKernan, Y Prokhorov, H.Skoda, L M Hải, P H Hiệp, (Xem [30], [35], [49], [51], [52], [53], [64], )

Tổng hợp những kết quả trong các công trình quan trọng nói trên, có thể nói cho đếntrước những năm 2000, những kết quả về ngưỡng chính tắc được đưa ra chủ yếu cho cáchàm chỉnh hình, tuy nhiên cần lưu ý rằng nếu f là hàm chỉnh hình trên Cn thì log |f | làhàm đa điều hòa dưới, từ đó vào năm 2000, J-P Demailly và J Kollár (trong [30]) đã đưa

ra khái niệm ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới tổng quát hơn, cụ thể như sau:Giả sử ϕ là một hàm đa điều hòa dưới trên Cn Với mỗi tập compact K ⊂ Cn ta gọingưỡng chính tắc của ϕ trên K là số không âm

cϕ(K) = sup{c ≥ 0 : e−2cϕ ∈ L1 trên một lân cận của K}

Từ định nghĩa trên, rõ ràng chúng ta chỉ cần quan tâm tới cực điểm ϕ = −∞ trên K.Đồng thời có thể thấy nếu f là hàm chỉnh hình, ta xét ϕ = log |f | thì ta thu được ngưỡngchính tắc cf(0) của f trên tập compact K = {0} như đã nêu trong phần Mở đầu của luận

án Hơn nữa, định nghĩa tổng quát trên đây cho ta một cách nhìn trực quan về con số

cϕ(K), nó cho thấy ”ngưỡng” của các số thực dương c mà khi vượt qua ngưỡng đó, hàm

e−2cϕ không khả tích trong bất kì lân cận nào của K, hay nói cách khác thể tích của hìnhtrụ vô hạn xung quanh lân cận của K là vô hạn Mục đích của chúng tôi đặt ra đó là đưa

ra một định nghĩa tương đương cho ngưỡng chính tắc cϕ(K), đặc biệt là cf(0) với f làhàm chỉnh hình trong lân cận của 0 để từ đó có thể thuận tiện hơn cho quá trình nghiêncứu, đánh giá về ngưỡng chính tắc Từ đó chúng tôi cũng đặt ra bài toán nghiên cứu mốiquan hệ giữa ngưỡng chính tắc cf(0) và tính chất hình học của tập không điểm {f = 0}

Mặt khác chúng ta đều biết rằng ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình nói riêng vàhàm đa điều hòa dưới trên Cn nói chung có nhiều tính chất thú vị, có thể nói tới mộttrong những kết quả sau đây của J-P Demailly và J Kollár được chứng minh trong [30],

mà từ đó gợi mở ra nhiều giả thuyết quan trọng về ngưỡng chính tắc, đặc biệt cho hàmchỉnh hình:

Giả thuyết về tính nửa liên tục dưới: Giả sử f là hàm chỉnh hình khác không bất kì và

K, L là các tập compact tùy ý cho trước sao cho L chứa K trong phần trong của nó Khi

đó với mọi ε > 0 đều tồn tại số thực δ = δ(f, ε, K, L) > 0 sao cho

Giả thuyết về tính nửa liên tục dưới mạnh: Giả sử f là hàm chỉnh hình khác không bất

kì và K, L là các tập compact tùy ý cho trước sao cho L chứa K trong phần trong của nó.Khi đó tồn tại số thực δ = δ(f, K, L) > 0 sao cho

Giả thuyết mạnh về tính mở: Giả sử U0 b U b X là các tập compact tương đối trong

đa tạp phức X và φ là hàm đa điều hòa dưới trên X sao cho e−φ khả tích trên U Khi đótồn tại ε = ε(φ, U, U0) sao cho với mọi hàm đa điều hòa dưới ψ trên X

Lưu ý rằng, Giả thuyết về tính nửa liên tục dưới mạnh có thể suy ra từ (trong [30]) Giảthuyết ACC - một trong những tính chất đặc sắc của ngưỡng chính tắc của hàm chỉnhhình trên Cn được phát biểu ngay sau đây Trước hết, chúng ta kí hiệu

HTn = {cf(0) : f chỉnh hình trong lân cận của điểm 0 ∈ Cn}

Một tính chất thú vị về HTn, chẳng hạn như trong [51], [54], [61], các tác giả đã chứngminh được HTn ⊂ Q ∩ [0, 1] Bây giờ ta phát biểu Giả thuyết ACC được V Shokurov,J-P Demailly và J Kollár đưa ra trong [54]:

Giả thuyết ACC: Mọi dãy tăng trong HTn đều là dãy dừng (từ một chỉ số nào đó) Nóicách khác mọi dãy {cf j(0)}∞j=1 ⊂ HTn thỏa mãn điều kiện cf 1(0) 6 cf 2(0) 6 · · · đều tồntại j0 sao cho cfj0(0) = cfj0+1(0) = · · ·

Giả thuyết ACC về dãy ngưỡng chính tắc được đưa ra và nghiên cứu đầu tiên trongHình học Đại số dưới nhiều dạng và cách tiếp cận khác nhau Giả thuyết này được chứngminh đầu tiên bởi V Shokurov năm 1992 trong [73] với số chiều không gian n = 2 và với

n = 3 bởi Alexeev trong [3] năm 1993, tiếp theo vào năm 2000, D H Phong và J Sturmtrong [70] chứng minh theo một cách khác trong trường hợp số chiều không gian n = 2.Cuối cùng, phải kể đến công trình [34] năm 2010 của ba tác giả T Fernex, L Ein và M.Mustata đã chứng minh kết quả trên cho trường hợp số chiều không gian là tùy ý Điềuđáng chú ý là tất cả những kết quả trên đều chứng minh bằng lý thuyết Hình học Đại số.Ngoài Giả thuyết ACC, có nhiều Giả thuyết thú vị khác về ngưỡng chính tắc, đặc biệt

là ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình, có thể nói tới đó là Giả thuyết Gap và Giả thuyết

AC sau đây Trước hết, bắt nguồn từ tính chất cf(0) ∈ [0, 1] nên 1 không thể là giới hạncủa một dãy giảm các phần tử của HTn, hơn thế nữa theo Giả thuyết ACC thì rõ ràng

1 không là giới hạn tăng của dãy các phần tử của HTn Điều đó có nghĩa là: Với mỗi sốchiều cố định n đều không tồn tại một phần tử nào của HTntrong khoảng (1 − εn, 1) với

εn cố định nào đó Khẳng định này chính là trường hợp đặc biệt của giả thuyết sau đượcgọi là Giả thuyết Gap mà phép chứng minh của giả thuyết này có thể xem trong [13], [52]

và [53]

Giả thuyết Gap: Với mọi n cố định, đều tồn tại số dương εn > 0 cố định sao cho

HTn⊂ (0, 1 − εn)

Điều chú ý là Giả thuyết Gap trên đây chỉ khẳng định sự tồn tại của εn, nhưng giá trị

cụ thể của εn đến nay chưa xác định rõ ràng Tuy nhiên chúng ta có kết quả định hướngsau đây trong [54] và [78]:

tử 1 thì ε1 = 12 bởi HT1 = {n1}n∈N∗, với n = 2 bởi các kết quả của T Kuwata trong [59]

và của J Kollár trong [54] ta có ε2 = 56 còn với n = 3 bởi các tính toán của J Kollár trong[50] ta có ε3 = 421 Chúng ta có thể thấy εn trên lớp hàm Gn trùng với các giá trị cần tìmtrên HTn với n = 1, 2, 3 Điều đó có thể dự đoán rằng giá trị εn nói trên là số tối ưu cho

HTn tổng quát - Điều mà cho đến nay chúng ta vẫn chưa biết chính xác

Chúng ta tiếp tục với tập HTn, một trong những quan tâm khác đó là mối quan hệgiữa HTn và HTn−1 Một lần nữa với tập Gn nói trên ta thấy rằng tập các điểm tụ của

Gn chính là Gn−1 Kết quả này cho ta thấy HTn có vô hạn điểm tụ trong tập Q ∩ [0, 1],hơn nữa nó cũng gợi ý cho ta giả thuyết sau gọi là Giả thuyết AC trong [54]:

Giả thuyết AC: Tập các điểm tụ của HTn là HTn−1\ 1

Có thể thấy Giả thuyết Gap trên đây là một dạng yếu hơn Giả thuyết ACC Ngược lại

có thể chứng minh rằng Giả thuyết Gap và Giả thuyết AC suy ra giả thuyết ACC Hơnnữa, có thể chứng minh từ Giả thiết ACC cùng với Giả thuyết về tính nửa liên tục dưới(đã được chứng minh) suy ra Giả thiết về tính nửa liên tục dưới mạnh Điều đó cho thấyGiả thuyết ACC mạnh hơn Giả thuyết về tính nửa liên tục dưới mạnh Như vậy có thểnói rằng Giả thuyết ACC là giả thuyết mạnh hơn hầu hết những giả thuyết quan trọng vềtập HTn Có thể thấy từ các kết quả về ngưỡng chính tắc, các tác giả như trong các tàiliệu [30], [34], [35], [51], [54], [70], [73], đều dành nhiều mối quan tâm cho việc nghiêncứu tập HTn, trong đó đặc biệt là Giả thuyết ACC

Cần nhấn mạnh lại rằng những kết quả đạt được cho tới nay về ngưỡng chính tắc đềuđược chứng minh bằng phương pháp Hình học Đại số Khác với các phương pháp và công

cụ đã chứng minh trước đó cho Giả thuyết ACC, mục đích tiếp theo của chúng tôi trongluận án đó là đưa ra một chứng minh mới cho Giả thuyết ACC bằng công cụ giải tíchphức, trong một số trường hợp đặc biệt của số chiều không gian n

2 Vấn đề thứ hai: Một số đặc trưng của lớp Em(Ω) và áp dụng cho việc đánhgiá tính bị chặn dưới cho ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới

Trong lý thuyết đa thế vị, toán tử Monge–Ampère là công cụ đóng vai trò trung tâm

và xuyên suốt trong sự phát triển của lý thuyết này Khái niệm về toán tử này được cácnhà toán học tập trung nghiên cứu mạnh mẽ bắt đầu từ nửa sau của thế kỷ thứ XX theohướng mô tả lớp con lớn nhất các hàm thuộc PSH(Ω) mà toán tử Monge–Ampère vẫncòn định nghĩa được như một độ đo Radon, không âm, liên tục trên dãy giảm Năm 1975,

Y Siu đã chỉ ra trong [75] rằng không thể định nghĩa được (ddcu)n như một độ đo Borelchính quy đối với hàm đa điều hòa dưới bất kỳ u Năm 1976 trong [5], E Bedford và B.Taylor đã định nghĩa được toán tử (ddc.)n trên lớp các hàm đa điều hòa dưới bị chặn địaphương PSH(Ω) ∩ L∞loc(Ω) Các kết quả cơ bản khác về lý thuyết đa thế vị liên quan đếnvấn đề này có thể tìm thấy trong các tài liệu [6], [48], [56] và [57] Tiếp tục theo hướng mởrộng miền xác định của toán tử Monge–Ampère phức nói trên, năm 1998, 2004 và 2008,trong các công trình [19], [20] và [21] U Cegrell đã mô tả nhiều lớp con của PSH(Ω),trong đó có lớp E (Ω), với Ω là miền siêu lồi bị chặn trong Cn là lớp lớn nhất mà trên đótoán tử Monge–Ampère vẫn còn định nghĩa được như là một độ đo Radon đồng thời toán

tử này vẫn liên tục trên dãy giảm

Trong thời gian gần đây, việc mở rộng lớp hàm đa điều hòa dưới cũng như nghiên cứucác toán tử vi phân trên các lớp hàm mở rộng này đã được một số tác giả nghiên cứu như

Z B locki, S Dinew, S Ko lodziej, A S Sadullaev, B I Abullaev, L H Chinh, Cụ thể

họ đã đưa ra và nghiên cứu lớp hàm m-điều hòa dưới và nghiên cứu toán tử m-Hessianphức trên lớp hàm này Đồng thời họ cũng nghiên cứu toán tử này trên Cn và trên đatạp K¨ahler compact Các kết quả đạt được của Z B locki, S Dinew, S Ko lodziej, A S

Sadullaev và B I Abullaev chủ yếu trên lớp hàm m-điều hòa dưới bị chặn địa phương.Các kết quả cơ bản về hàm m-điều hòa dưới và toán tử m-Hessian có thể xem trong [16],[31] và [72] Việc mở rộng nghiên cứu toán tử m-Hessian phức trên lớp hàm không nhấtthiết bị chặn địa phương được đưa ra và nghiên cứu trong thời gian gần đây đặc biệt phải

kể tới kết quả của L H Chinh trong [23] Dựa theo ý tưởng của U Cegrell, L H Chinh

đã đưa ra lớp hàm Em(Ω) mở rộng của lớp hàm m-điều hòa dưới bị chặn địa phương Qua

đó tác giả đã chứng minh sự tồn tại của toán tử m-Hessian phức Hm(u) = (ddcu)m∧ βn−m

trên lớp hàm Em(Ω) (xem Định nghĩa 2.2.8) hơn nữa toán tử này xác định như một độ đoRadon trên Ω

Tiếp tục vấn đề nghiên cứu cụ thể hơn về lớp Em(Ω), có thể thấy rằng lớp hàm Em(Ω)được đưa ra bởi L H Chinh cho đến nay mới chỉ dừng lại ở việc xây dựng và tồn tại, việcnghiên cứu các đặc trưng quan trọng của lớp hàm này cũng như việc hình dung rõ rànghơn về lớp này vẫn là một vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu Từ thực tiễn nói trên, trongluận án này, chúng tôi quan tâm nghiên cứu những tính chất cụ thể hơn của lớp Em(Ω)nhằm mục đích cho việc mô tả cũng như đưa ra các đặc trưng của lớp này Từ đó áp dụngvào việc đánh giá ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới thuộc lớp này

Một vấn đề khác cũng được quan tâm khi nghiên cứu ngưỡng chính tắc của hàm đađiều hòa dưới đó là nghiên cứu định tính và định lượng đối với con số này, đặc biệt làđánh giá về tính bị chặn trên và chặn dưới của ngưỡng chính tắc cho các hàm đa điềuhòa dưới và hàm chỉnh hình Về mặt định tính, một trong những kết quả cơ bản như đãbiết trong [30], J-P Demailly và J Kollár đã chứng minh tính nửa liên tục dưới của hàm

x 7→ cϕ(x) trong tôpô chỉnh hình Zariski Đồng thời chứng minh được nếu c < cϕ(K) và

ψ hội tụ trong L1 tới ϕ thì e−2cψ hội tụ tới e−2cϕ trong L1 trong lân cận D của K Đây làkết quả chính trong công trình [30] và có thể coi là một trong những đánh giá quan trọng

về ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới, mà từ đó dẫn tới nhiều tính chất quantrọng về con số này Về đánh giá định lượng, cụ thể là tính bị chặn trên và bị chặn dướicho ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới có thể nói tới một trong những kết quảquan trọng của H Skoda được cho trong các tài liệu [76], trong đó tác giả đã đưa ra các

các đánh giá về tính bị chặn trên và dưới đối với cϕ(x) của hàm đa điều hòa dưới ϕ thôngqua số Lelong ν(ϕ, x) của hàm này tại x, cụ thể H Skoda đã chứng minh

1ν(ϕ, x) ≤ cϕ(x) ≤ n

ν(ϕ, x).Cho đến nay, có thể nói đây là một trong những đánh giá định lượng quan trọng nhất của

cϕ(x), tuy nhiên bằng những ví dụ đơn giản có thể thấy đánh giá trên đây của H Skoda

là không chặt, vì thế việc tìm một đánh giá tốt hơn cho cϕ(x) là một bài toán định lượngquan trọng Liên quan tới hướng nghiên cứu này phải kể tới kết quả của J-P Demailly và

P H Hiệp năm 2013 trong công trình [29] trên tạp chí danh tiếng Acta Math., các tácgiả đã chứng minh và cải tiến tính bị chặn dưới của ngưỡng chính tắc cho hàm đa điềuhòa dưới ϕ trong lớp eE(Ω) thông qua các số Lelong của (ddcϕ)j tại 0 tốt hơn rất nhiều sovới đánh giá của H Skoda Kết quả cho thấy đó là đánh giá chặt và tốt nhất cho tính bịchặn dưới của ngưỡng chính tắc trên lớp eE(Ω) Hơn nữa, đánh giá của J-P Demailly và

P H Hiệp còn có thể suy ra một số kết quả quan trọng được chứng minh trong [26], [32]

Mặt khác, chúng ta cũng thường xuyên đặt câu hỏi tự nhiên rằng: Một hàm ϕ ∈ J (Ω)lớp các hàm nào đó trên miền Ω thì liệu mỗi miền D b Ω ta có ϕ ∈ J (D) hay không?Tính chất quan trọng này, có thể hiểu đơn giản là tính chất địa phương của lớp J (Ω) Rõ

ràng, theo kết quả của Z B locki trong công trình [16] thì lớp Cegrell E (Ω) là một lớp địaphương và lớp Eχ,loc(Ω) được đưa ra và chứng minh cũng là lớp có tính chất địa phươngbởi ba tác giả L M Hải, P H Hiệp và H N Quy trong [39] Tuy nhiên lớp Eχ(Ω) đượcđưa ra và nghiên cứu bởi các tác giả S Benelkourchi, V Guedj và A Zeriahi trong [10]không là lớp có tính chất địa phương Câu hỏi đặt ra cho chúng tôi là, lớp hàm Em(Ω) -lớp hàm mở rộng thực sự cho lớp hàm đa điều hòa dưới được đưa ra bởi L H Chinh có

là lớp có tính chất địa phương hay không? Luận án sẽ lần lượt đưa ra các câu trả lời chocác câu hỏi nêu trên

3 Vấn đề thứ ba: Nguyên lý so sánh đối với ngưỡng chính tắc của hàm đađiều hòa dưới

Rõ ràng việc tính ngưỡng chính tắc của các hàm đa điều hòa dưới nói chung và ngay

cả với các hàm chỉnh hình nói riêng từ định nghĩa là một bài toán khó Có thể thấy mộtkhác biệt lớn so với số Lelong là ngưỡng chính tắc chỉ tính được tường minh khi f là hàmchỉnh hình một biến Trong trường hợp nhiều biến, ngay cả khi f là đa thức, cf(0) nóichung là không tính được, người ta chỉ biết đó là một số hữu tỷ nằm giữa 0 và 1 Nhưchúng ta đã biết cho tới nay mới chỉ tính được ngưỡng chính tắc của một số hạn chế cáclớp hàm Như vậy các câu hỏi tự nhiên được đặt ra là: Không nhất thiết phải tính ngưỡngchính tắc của hai hàm đã cho, chúng ta vẫn có thể đánh giá hoặc so sánh ngưỡng chínhtắc của chúng hay không? Có thể so sánh cu(x) và cv(x) với nhau thông các điều kiện vềhàm u, v cho trước hay không? Những hàm như vậy cần thỏa mãn những các giả thiết gì?Tìm những tập con E ⊂ Ω sao cho từ u ≥ v trên E ta chúng ta có thể so sánh ngưỡngchính tắc của chúng, cụ thể cu(0) ≥ cv(0)?

Như vậy, việc tìm ra những điều kiện đủ và hơn nữa là tối thiểu cho các hàm đã cho

mà từ đó có thể so sánh ngưỡng chính tắc của chúng, qua đó trả lời cho những câu hỏitrên là một vấn đề cấp thiết cần nghiên cứu Đồng thời có thể thấy rằng cho tới nay việcgiải quyết những vấn đề này, nói chung còn hạn chế và mới chỉ thỏa mãn cho một số lớphàm đơn giản

Thật vậy, giả sử u, v là các hàm đa điều hòa dưới Trước hết rõ ràng từ Định nghĩa1.1.1 ta suy ra nếu u ≥ v thì cu(x) ≥ cv(x) Tuy nhiên đây là một giả thiết rất mạnh về

u và v

Tiếp theo, từ kết quả trong [30] và [54], nếu u(x, y) = v(x) + ω(y) thì cu(x, y) =

cv(x) + cω(y) Như vậy, trong trường hợp này ta có cu ≥ cv tại điểm đã cho Tuy nhiênđây cũng là giả thiết tương đối mạnh và thỏa mãn cho một lớp hẹp các hàm chỉnh hình

u, v

Tiếp đó, trong chương 1, chúng tôi đã chứng minh rằng nếu u, v là các hàm chỉnh hìnhtrong Cn sao cho u  v (xem Định nghĩa 1.2.8) thì ta có thể so sánh cu(x) và cv(x), cụthể ta có cu(x) ≥ cv(x) (khẳng định (ii) của Định lý 1.2.9) Đây cũng là một kết quả chophép chúng ta so sánh ngưỡng chính tắc của hai hàm trong trường hợp chúng là các hàmchỉnh hình

Hơn nữa, như trên chúng ta biết rằng, Giả thuyết về tính nửa liên tục dưới mạnhđược phát biểu bởi J-P Demailly và J Kollár trong [30] là yếu hơn Giả thuyết ACC đãđược chứng minh trong lý thuyết Hình học Đại số trong [34] bởi T Fernex, L Ein và M.Mustata năm 2010, cũng cho phép kết luận về sự so sánh ngưỡng chính tắc của hai hàmchỉnh hình Cụ thể theo Giả thuyết về tính nửa liên tục dưới mạnh: Nếu K là tập compact

cố định thì với mọi hàm chỉnh hình khác không f và với mọi tập compact L chứa K trongphần trong của nó đều tồn tại số thực α = α(f, K, L) > 0 sao cho

Định lý 1.1 Giả sử Ω là một miền trong Cn và {Ωj}{j≥1} là dãy các miền trơn sao cho

mọi j ≥ 1 thì cu(0) ≥ cv(0).

Định lý 1.1 hay còn gọi là một nguyên lý so sánh đối với ngưỡng chính tắc của hàm đađiều hòa dưới, cho phép chúng ta có thể so sánh ngưỡng chính tắc của các hàm đã chonhờ vào các điều kiện trên biên Kết quả này đã đặt ra hướng nghiên cứu tiếp theo choluận án đó là tìm các điều kiện khác mà từ đó có thể so sánh ngưỡng chính tắc, hay tìmnhững điều kiện tổng quát hơn của P H Hiệp mà từ đó vẫn có thể so sánh ngưỡng chínhtắc của hai hàm đã cho

Việc nghiên cứu các vấn đề đặt ra của toán học không những yêu cầu chúng ta nghiêncứu và giải quyết vấn đề đó mà còn yêu cầu chúng ta nghiên cứu chúng theo những phươngpháp, công cụ khác nhau cũng như đưa ra những cách giải quyết hợp lý và đẹp đẽ hơn.Luận án đặt ra vấn đề sử dụng kĩ thuật truyền thống của giải tích phức để nghiên cứungưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới cũng như hàm chỉnh hình, từ đó và góp phầnxây dựng về mặt định tính, định lượng cũng như góp phần hoàn thiện lý thuyết hàm biếnphức nhiều biến nói chung Đồng thời, chúng tôi cũng đặt ra hướng nghiên cứu đó là ápdụng những kết quả đẹp đẽ gần đây của lý thuyết đa thế vị phức để nghiên cứu nhữngvấn đề liên quan đến ngưỡng chính tắc, chẳng hạn tính bị chặn cũng như các giả thiết chophép so sánh hai ngưỡng chính tắc của hai hàm đã cho,

Các vấn đề đặt ra trên đây sẽ được chúng tôi giải quyết và trình bày lần lượt trong bachương, với sự ý thức được rằng các kết quả và nội dung chính của luận án xoay quanhvấn đề về ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình và hàm đa điều hòa dưới trong Cn

Ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh

hình trong C n

Như đã nói trong mục Tổng quan vấn đề nghiên cứu, trong chương này, chúng tôi dànhcho việc nghiên cứu ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình, kết quả chính của chương làchứng minh mối quan hệ giữa thể tích tập mức và ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hìnhnhiều biến Cuối cùng, như một áp dụng, chúng tôi cho một phép chứng minh mới choGiả thuyết ACC bằng công cụ giải tích phức nhiều biến trong trường hợp số chiều khônggian n = 2 Để thực hiện mục đích đó, chúng tôi đưa ra và chứng minh một định nghĩatương đương cho ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình thông qua thể tích của tập mức

và kết quả về diện tích của tập mức Kết quả chính của chương này được công bố trongbài báo ”The log canonical threshold of holomorphic functions”

1.1.1 Ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình và hàm đa điều hòa dưới

Trước hết, chúng tôi trình bày khái niệm tổng quát (trong [30]) về ngưỡng chính tắc

cf(K) cho hàm đa điều hòa dưới ϕ trên tập compact K ⊂ Cn Mục tiêu của chúng tôi

20

trong chương này là nghiên cứu cf(K) thông qua công cụ của giải tích phức.

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử ϕ là một hàm đa điều hòa dưới trên Cn Với mỗi tập compact

K ⊂ Cn ta gọi ngưỡng chính tắc của ϕ trên K là số không âm

cϕ(K) = sup{c ≥ 0 : e−2cϕ ∈ L1 trên một lân cận của K}

Nếu ϕ ≡ −∞ trên một số thành phần liên thông của K ta đặt cϕ(K) = 0

Ta thấy rằng ngưỡng chính tắc cϕ(K) chỉ phụ thuộc vào tính kì dị của ϕ, cụ thể là tại cựcđiểm −∞ của nó

Trong trường hợp f là hàm chỉnh hình, log |f | là đa điều hòa dưới, khi đó thay cho

clog |f |(K) ta viết ngắn gọn là cf(K) Như vậy trong trường hợp này

|f |2c < +∞, V là một lân cận nào đó của K},

ở đó dV2n kí hiệu là độ đo Lebesgue trên Cn

Ta kí hiệu cf(x) thay cho cf({x}) khi K = {x} Như vậy, để thuận tiện cho việc nghiêncứu sau đó, ngưỡng chính tắc cf(0) của hàm f tại 0, tức là khi K = {0} có thể phát biểu

cụ thể hơn như sau:

Định nghĩa 1.1.2 Giả sử f : Ω → Cn là hàm chỉnh hình trong một lân cận của 0 ∈ Ω.Khi đó ta gọi

z → 0 ∈ Cn Hơn thế, con số này có nhiều áp dụng quan trọng trong lý thuyết Hình học

Đại số, chẳng hạn, chứng minh sự tồn tại của metric K¨ahler - Einstein trên một số đốitượng hình học quan trọng (xem [30]) Bởi một trong những lý do trên, ngưỡng chính tắccũng được dùng để nghiên cứu tính kì dị của hàm.

b Nếu có thể viết f (z) = f1(z)f2(z) trong đó f2(z0) 6= 0 thì cf(z0) = cf1(z0)

c Nếu ϕ là hàm đa điều hòa dưới thì

ta gặp nhiều khó khăn vì việc đổi biến liên tiếp nhiều lần là khá dài dòng và không biếttrước được khi nào quá trình đổi biến dừng lại Việc tính cf(0), có thể dùng những phươngpháp khác thông qua kĩ thuật khá phức tạp như: Đa giác Newton (xem [55]); Đa thứcthuần nhất có trọng (xem [51] hoặc [59]); Cặp Puiseux thứ nhất (xem [60]),

1.1.3 Một định nghĩa tương đương cho ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hìnhBây giờ dựa vào [30] chúng tôi cho kết quả sau đây cho một điều kiện tương đương vớiđịnh nghĩa của ngưỡng chính tắc trong công trình [1] của luận án Trước hết, chúng tôi

có Mệnh đề sau đây về một kết quả cơ bản trong lý thuyết tích phân Lebesgue cần dùngtới nhiều lần sau này

Mệnh đề 1.1.5 Giả sử X là một tập hợp, µ là độ đo trên X và f : X → [0, +∞) là hàm

số khả tích Lebesgue trên X Khi đó ta có

Chứng minh Đầu tiên chứng minh công thức trên cho hàm bậc thang không âm f , nghĩa

là f = a1 trên X1, , f = ak trên Xk, ở đây X1, , Xk rời nhau đôi một và

k

S

i=1

Xi = X.Thật vậy, sử dụng định nghĩa của tích phân Lebesgue, đẳng thức (1.1) đúng vì hai vế đềubằng a1µ(X1) + · · · + akµ(Xk)

Trong trường hợp f đo được không âm, lấy dãy tăng của hàm bậc thang không âm

f1, f2, sao cho fj % f Do (1.1) đúng cho fj nên theo định lý hội tụ đơn điệu Lebesgue

Suy ra I < +∞ và ta được c < c2 hay ta có c1 ≤ c2.

Ngược lại nếu c < c2 thì theo định nghĩa của c0

1.2.1 Diện tích của tập mức

Trong mục này, dựa vào các kết quả trong công trình [1] của luận án, chúng tôi sẽ đưa

ra mối liên hệ giữa ngưỡng chính tắc cf(0) và tính chất hình học của tập {f = 0} cũngnhư là tập mức của hàm chỉnh hình f Đồng thời dựa vào đó, chúng tôi chứng minh Giảthuyết ACC của J-P Demailly, J Kollár và V Shokurov trong trường hợp số chiều không

gian n = 2 Kết quả cần thiết đầu tiên chúng tôi đạt được về diện tích và thể tích của tậpmức trong C2 Trước hết chúng tôi cho định nghĩa sau đây.

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử a = (a1, , am) ∈ Cm Khi đó với mỗi r > 0, ta đặt

(ii) ∃j0 sao cho ∆(aj 0, α(m)t) ⊂ E(a, r), ở đó ∆(w, r) = {z ∈ C : |z − w| < r}

Chứng minh Giả sử β(m) và α(m) đã được chọn phù hợp

(i) Lấy tùy ý z /∈

m

S

j=1

∆(aj, β(m)t) Ta sẽ chứng minh rằng z /∈ E(a, r)

Không làm mất tính tổng quát, ta có thể giả sử

|z − a1| ≥ |z − a2| ≥ · · · ≥ |z − am| ≥ β(m)t

Mặt khác, ta có |z − ai| + |z − aj| ≥ |ai− aj| từ đó suy ra

|z − ai| ≥ |ai− aj|

2 , ∀ 1 ≤ i < j ≤ m.

i>2 |a2− ai| ≥ |am− a2| = |am− ai2| .

max

i>k |ak− ai| ≥ |am− ak| = |am− aik|

Suy ra |z − a1| · · · |z − am| ≥ 1

2 k|am− ai1| · · · |am− aik|(β(m)t)m−k.Tương tự khi 1 ≤ i1 < i2 < · · · < ik ≤ m bất kì ta cũng có

(ii) Chọn j0 ∈ {1, , m} sao cho

t = minrm1, r

Φj ,1

m−11, , r

Φj ,m−1



Tiếp theo ta lấy z ∈ ∆(aj0, α(m)t) Khi đó ta có

tm = min{r; [ r

Φj0,1]

m m−1; ; [ r

Φj0,1]Φj0 ,m−1} ≤ r

Vì vậy nếu chọn α(m) < 1 sao cho α(m)[α(m) + 1]m−1 < 1, thì ta được

|z − a1| · · · |z − am|

≤ C0 m−1[α(m)]mr + Cm−11 [α(m)]m−1r + · · · + Cm−1m−1α(m)r

Như vậy với z ∈ ∆(aj0, α(m)t) thì z ∈ E(a, r) và do đó ta có điều phải chứng minh

Từ Định lý 1.2.3, ta thu được hệ quả sau

V2(∆(aj0, α(m)t)) ≤ V2(E(a, r)) ⇔ πα2(m)t2 ≤ V2(E(a, r)).

Hay V2(E(a, r)) ∈ [α(m)2πt2, mβ(m)2πt2]

Để thu được kết quả về mối liên hệ giữa ngưỡng chính tắc và tập mức của hàm chỉnhhình trong Cn chúng tôi đưa ra định nghĩa sau

Định nghĩa 1.2.5 Cho hai dãy hàm {ai(z)}i=1,m và {bi(z)}i=1,m định nghĩa trên miền

D ⊂ Cn Ta nói rằng {ai(z)}i=1,m  {bi(z)}i=1,m trên D nếu tồn tại một hằng số λ > 0sao cho mỗi z ∈ D ta có thể tìm được một phép thế τ : {1, , m} → {1, , m} sao cho

Chứng minh Trước hết, ta sẽ chứng minh

Φi,k(a(z)) ≥ λkΦτ (i),k(b(z)), ∀i = 1, m và ∀k = 1, m − 1

Thật vậy, với mọi z ∈ D ta có

Φτ (j),1(b))

1 m−1; ; ( 1

Φj,1(b))

1 m−1; ; ( 1

t(a(z), r) ≤ max

j [min{γrm1; γ( r

Φj,1(b))

1 m−1; ; γ r

Tiếp theo để đạt được điều chứng minh, ta chỉ cần tìm hằng số M sao cho

m(β(m))2πt2a ≤ M (α(m))2πt2b.Khi đó ta có ngay V2(E(a(z), r)) ≤ M V2(E(b(z), r))

Thật vậy, ta có

m(β(m))2πt2a ≤ M (α(m))2πt2b ⇔ m(β(m))

2πt2 a

và ta có điều phải chứng minh

1.2.2 Ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình và thể tích của tập mức

Trong mục này, chúng tôi cho một đánh giá quan trọng giữa thể tích của tập mứccủa hàm chỉnh hình nhiều biến với ngưỡng chính tắc của chúng Kết quả này giúp chúngtôi chứng minh Giả thuyết ACC cho trường hợp số chiều n = 2 trong mục kế tiếp bằngphương pháp của giải tích phức Đầu tiên, chúng tôi nhắc lại Định lý chuẩn bị Weierstrasstrong [44] cần dùng tới trong mục này Chúng ta kí hiệu

D(0, δ) = {(z0, zn) ∈ Cn: max(|z0|, |zn|) < δ},

B0(0, δ) = {z0 ∈ Cn−1 : |z0| < δ}, |z0| =p|z1|2+ · · · + |zn−1|}

Định lý 1.2.7 Giả sử f chỉnh hình trong lân cận V của a = (a1, , an) ∈ Cn với

f (a) = 0 sao cho f (a0, zn) không đồng nhất bằng không Khi đó trong lân cận của a ta cóbiểu diễn

f (z) = [(zn− an)k+ c1(z0)(zn− an)k−1+ · · · + ck(z0)]ϕ(z),

ở đó k là cấp của không điểm của f (a0, zn) tại an, ck là các hàm chỉnh hình trong lân cậncủa a0 = (a1, , an−1) và ϕ là hàm chỉnh và không triệt tiêu trong lân cận của a

Chứng minh Xem [44].

Gợi ý từ Định lý chuẩn bị Weierstrass cũng như các kết quả đạt được trước đó về diệntích của tập E(a, r), chúng tôi cho định nghĩa sau đây đóng vai trò quan trọng cho việcchứng minh các kết quả chính của Chương

Định nghĩa 1.2.8 Giả sử f và g là hai hàm chỉnh hình trong lân cận của 0 ∈ Cn,{ai(z0)}i=1,m, {bi(z0)}i=1,m lần lượt là hai dãy nghiệm của f (z0, ) và g(z0, ) tương ứng Khi

đó ta viết f  g nếu {ai(z0)}i=1,m  {bi(z0)}i=1,m

Bây giờ, cho f là hàm chỉnh hình trong lân cận của 0 ∈ Cn Từ kết quả của Định lýchuẩn bị Weierstrass 1.2.7 ta có thể viết

f (z) = (zn− a1(z0)) · · · (zn− am(z0))g(z),

ở đó g(z) là hàm chỉnh hình trong lân cận của 0 với g(0) 6= 0, z0 = (z1, , zn−1) và m là

số Lelong của log|f | tại 0

Tiếp theo chúng tôi có đánh giá sau đây về thể tích của tập mức của đa thức Weierstrass

P (z) = (zn− a1(z0)) · · · (zn− am(z0)) Để có điều đó, trước hết bởi Định lý Fubini ta có

V2n({z ∈ D(0, δ) : |P (z)| < r})

=Z

B0(0,δ)

V2n−2{zn ∈ ∆(0, δ) : |P (z0, zn)| < r}dV2n−2(z0)

=Z

B0(0,δ)

V2n−2E(a(z0), r)dV2n−2(z0)

Từ đây, kết hợp với Mệnh đề 1.1.6, chúng tôi cho một đánh giá thể tích của tập mứccủa hàm chỉnh hình nhiều biến hay nói cách khác, chúng tôi cho một mối quan hệ giữangưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình f và tính chất hình học của tập không điểm của

f Từ đó như một hệ quả, chúng tôi chứng minh tính dừng của một dãy tăng các ngưỡngchính tắc của dãy hàm chỉnh hình cfj(0) (Định lý 1.2.13) Trước hết, ta viết A ≈ B nếutồn tại hằng số C > 0 sao cho A = CB

Định lý 1.2.9 Giả sử f  g Khi đó ta có

(i) V2n({z ∈ D(0, δ) : |f | < r}) ≤ const V2n({z ∈ D(0, δ) : |g| < r}), ∀ r > 0;

(ii) cf(0) ≥ cg(0)

Chứng minh (i) Trước hết, bởi Định lý chuẩn bị Weierstrass 1.2.7 ta có thể viết f (z) =

Pf(z0, zn)f1(z), ở đó Pf là đa thức Weierstrass, f1 chỉnh hình trong lân cận của 0 và

f1(0) 6= 0 Khi đó bởi Định lý Fubini, ta có thể viết

Từ đây, áp dụng Mệnh đề 1.1.6 ta được c < cf(0) Vậy cf(0) ≥ cg(0).

Nhận xét 1.2.10 Khẳng định (ii) của Định lý 1.2.9 cho ta một trong những điều kiện

đủ để có thể so sánh ngưỡng chính tắc của hai hàm chỉnh hình Cụ thể hơn, từ giả thiết

f  g ta thu được quan hệ so sánh cf(0) ≥ cg(0) Một điều kiện đủ khác cho hai hàm đađiều hòa dưới mà từ đó cho phép chúng ta so sánh ngưỡng chính tắc của chúng tiếp tụcđược chúng tôi nghiên cứu trong Chương 3

1.2.3 Chứng minh giả thuyết ACC trong C2

Trong mục này, chúng tôi sẽ chứng minh Giả thuyết ACC với n = 2 nhờ vào kết quả

về mối quan hệ giữa ngưỡng chính tắc và thể tích tập mức của hàm chỉnh hình nhiều biến