1.2 Tập mức của hàm chỉnh hình nhiều biến và chứng minh giả thuyết ACC
1.2.3 Chứng minh giả thuyết ACC trong C 2
Trong mục này, chúng tôi sẽ chứng minh Giả thuyết ACC với n = 2 nhờ vào kết quả về mối quan hệ giữa ngưỡng chính tắc và thể tích tập mức của hàm chỉnh hình nhiều biến
trong mục trước đó. Tuy nhiên, trước khi đi đến kết quả chính này, chúng tôi nhắc lại kết quả quan trọng sau đây của H. Skoda (1972) trong [76] về ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới nói chung cũng như hàm chỉnh hình nói riêng.
Định lý 1.2.11. Giả sử ϕ là hàm đa điều hòa dưới trên Cn và ν(ϕ, x) là số Lelong của ϕ tại x. Khi đó
1
ν(ϕ, x) ≤cϕ(x)≤ n ν(ϕ, x).
Hơn nữa, nếu f là hàm chỉnh hình trên Cn sao cho f(0) = 0 và mult0f là bội của f tại 0 thì số Lelong của f tại 0 là mult0f và ta có đánh giá
1
mult0f ≤cf(0) ≤ n mult0f. Chứng minh. Xem [76].
Sau đây, chúng tôi nhắc lại Định lý Puiseux cần thiết cho phép chứng minh định lý chính dưới đây.
Định lý 1.2.12. Giả sử P(z, T) là một đa thức bất khả quy bậc n đối với T có hệ số là các hàm chỉnh hình trong đó hệ số bậc cao nhất bằng 1. Khi đó tồn tại hàm chỉnh hình g(z) sao cho
P(zn, T) =
n−1
Y
i=0
(T −g(εinz)), trong đó εn kí hiệu là căn bậc n của đơn vị.
Chứng minh. Xem [65].
Từ kết quả của Định lý 1.2.9 kết hợp Định lý Puiseux cùng đánh giá trên của H. Skoda, chúng tôi đi đến kết quả chính sau đây trong công trình [1] của luận án, về việc chứng minh Giả thuyết ACC của ngưỡng chính tắc trong C2.
Định lý 1.2.13. Giả sử {fj}∞j=1 là dãy các hàm chỉnh hình hai biến trong lân cận của 0∈C2. Khi đó tồn tại một dãy con {jk} sao cho dãy ngưỡng chính tắc cfjk(0) là giảm.
Chứng minh. Đặt mj =ν(log|fj|,0)là số Lelong của fj tại 0. Không làm mất tính tổng quát ta có thể giả sử
m1 ≤m2 ≤ ã ã ã ≤mj ≤ ã ã ã Chúng ta xét các trường hợp sau:
a) Trường hợp 1: Nếumj %+∞. Khi đó, theo Định lý 1.2.11 ta có 1
mj ≤cfj(0) ≤ 2 mj.
Do đó ta có cfj(0) →0. Từ đó có thể chọn một dãy con {jk} sao cho cfjk(0) giảm.
b) Trường hợp 2. Nếusup
j≥1
mj <+∞, khi đó có thể coi m1 =m2 =ã ã ã=m.
Bởi Định lý Puiseux 1.2.12, ta tìm được các hàm chỉnh hình (pj1, . . . , pjm) sao cho fj(z1m, z2) = (z2 −pj1(z1))ã ã ã(z2−pjm(z1)) = (z2−gj(ε0z1))ã ã ã(z2−gj(εm−1z1)).
Lại theo Định lý chuẩn bị Weierstrass 1.2.7 ta viết fj(z1, z2) = Pmj(z1, z2)gfj(z1, z2) với gfj(0,0) 6= 0. Vì vậy cfj(0) =cPj
m(0) và do đó có thể coi gfj = 1. Đồng thời chúng ta lưu ý rằng pij(z1) =gj(εiz1)là các hàm chỉnh hình, pij(0) = 0.
Tiếp theo đặt pj ={pji(z)}i=1,m. Ta có V4
{z ∈D(0, δj) :|fj|< r}
= Z
∆(0,δj)
V2
{z2 ∈∆(0, δj) :|fj(z1, z2)|< r}
dV2(z1)
=
Z
∆(0,m√
δj),0≤argz1≤2π/m
m2|z1|2(m−1)V2
{z2 ∈∆(0, δj) :|fj(z1m, z2)|< r}
dV2(z1)
≈ Z
∆(0,δj)
|z1|2(m−1)V2
{z2 ∈∆(0, δj) :|fj(z1m, z2)|< r}
dV2(z1)
= Z
∆(0,δj)
|z1|2(m−1)V2
{z2 ∈∆(0, δj) :|z2−pj1(z1)| ã ã ã |z2−pjm(z1)|< r}
dV2(z1)
= Z
∆(0,δj)
|z1|2(m−1)V2(E(pj(z), r))dV2(z1),
khi r đủ nhỏ.
Mặt khác từ Định lý Puiseux 1.2.12 ta biết rằng
pji(z1) = gj(εimz1),∀i= 0, . . . , m−1, ở đó gj(z1) =
∞
P
s=0
aνzν1. Suy ra
pji(z1) =
∞
X
s=0
asεismz1s; pjl(z1) =
∞
X
ν=0
asεlsmz1s.
Ta chú ý rằng do fj(0) = 0 nên pji(0) = 0. Từ đóa0 = 0, nên tồn tại sj ≥1 nhỏ nhất để asj 6= 0. Khi đó ta viết
|pji(z1)−pjl(z1)|=|
∞
X
s=0
asεismzs1−
∞
X
s=0
asεlsmz1s| ≈ |z1|sj, sj ∈N∗.
Từ đây ta chọn dãy tăng{sjk}:sjk ≤sjk+1. Khi đó ta có
|pjki(z1)−pjkl(z1)| ≈ |z1|sjk;{pjk} là dãy nghiệm của fjk,
|pjk+1i(z1)−pjk+1l(z1)| ≈ |z1|sjk+1;{pjk+1} là dãy nghiệm của fjk+1. Từ đó theo Định nghĩa 1.2.5, do với mọi i, l, i0, l0 và |z1| đủ nhỏ ta có
|pjki(z1)−pjkl(z1)| ≈ |z1|sjk ≥ |z1|sjk+1 ≈ |pjk+1i(z1)−pjk+1l(z1)|, nên ta có
pjk(z1)pjk+1(z1), trên ∆(0, δk),∀k ≥1.
Từ đây, áp dụng Định lý 1.2.9 ta có cfjk(0) ≥ cfjk+1(0) và ta được điều phải chứng minh.
Nhận xét 1.2.14. Từ Định lý 1.2.13, nếu {fj} là dãy các hàm chỉnh hình hai biến trong lân cận của 0 sao cho dãy tăng các ngưỡng chính tắc, khi đó tồn tại một dãy con {fjk} sao cho dãy ngưỡng chính tắc là giảm. Từ đó dãycfj(0)dừng, nói cách khác mọi dãy tăng các ngưỡng chính tắc các hàm chỉnh hình trong lân cận của 0 ∈ C2 đều dừng (từ một chỉ số nào đó). Như vậy, chúng tôi chứng minh được Giả thuyết ACC của J-P. Demailly, J. Kollár và V. Shokurov trong trường hợp n = 2 theo một cách mới, công cụ giải tích phức. Có thể thấy rằng, phép chứng minh của chúng tôi mang lại nhiều thông tin hơn về ngưỡng chính tắc. Hơn nữa, có thể thấy việc sử dụng cũng như khai thác triệt để kết quả của Định lý 1.2.3 (Định lý được chúng tôi chứng minh có tính chất độc lập với các kết quả khác) cũng là một vấn đề đặt ra cho chúng tôi trong những nghiên cứu tiếp theo.
Đồng thời, chúng tôi cũng đặt ra bài toán chứng minh Giả thuyết ACC với số chiềun tùy ý bằng công cụ giải tích phức cũng như phương pháp và các kết quả ban đầu của chúng tôi về giả thuyết này.
Chương 2
Một số đặc trưng của lớp E m (Ω) và áp dụng