Trước khi đi đến kết quả chính, chúng tôi nhắc lại một số kết quả trong [2], [20] và [41], cần thiết cho việc chứng minh kết quả của chúng tôi. Đầu tiên là bổ đề sau đây trong [41], cho thấy mọi hàm đa điều hòa dưới âm có thể xấp xỉ ngưỡng chính tắc của nó bởi ngưỡng chính tắc của hàm trong lớp F bị chặn địa phương ngoài gốc 0.
Bổ đề 3.2.1. Giả sử u∈ PSH−(Ω). Khi đó
j→∞lim cmax(u,jlogkzk)(0) =cu(0).
Chứng minh. Xem [41].
Để giải quyết bài toán đặt ra, chúng tôi dựa vào một số kết quả đặc sắc gần đây của lý thuyết đa thế vị phức, đặc biệt là kết quả trong [2] về tính giải được của phương trình
Monge-Ampère đối với độ đo triệt tiêu trên các tập đa cực.
Từ đây về sau, chúng ta luôn giả sử Ωlà miền siêu lồi bị chặn trongCn, điều này đồng nghĩa với việc Ω là miền bị chặn trongCn sao cho tồn tại một hàm đa điều hòa dưới âm
% trên Ωthỏa mãn với mọi c <0 tập
Ωc={z ∈Ω :%(z)< c}bΩ.
Đồng thời, trênΩ, chúng ta xét các lớp hàm E0,F và Fa cần dùng tới như sau E0 ={ϕ∈ PSH−(Ω)∩L∞(Ω) : lim
z→ξ∈∂Ωϕ(z) = 0, Z
Ω
(ddcϕ)n<∞},
F =F(Ω) ={ϕ∈P SH−(Ω) : ∃ E0 3ϕj &ϕ, sup
j
Z
Ω
(ddcϕj)n<∞}.
Như trong [20], chúng ta kí hiệuFa(Ω) là lớp con các hàmu∈ F(Ω)sao cho(ddcu)n triệt tiêu trên tất cả các tập đa cực của Ω.
Chú ý 3.2.2. Một số kết quả quan trọng cần dùng sau đây được trích trong [20] và [40]:
(i) Nếu u∈ E và 0∈Ω thì
ν(u,0)6(ddcu)n({0}))1/n
ở đó ν(u,0) là số Lelong của u tại 0.
(2i) Nếu à là độ đo Borel khụng õm trờnΩ, triệt tiờu trờn tất cả cỏc tập con đa cực của Ωvới à(Ω) <+∞ thỡ tồn tại duy nhất hàmu∈ Fa(Ω) sao cho
(ddcu)n =à.
(3i) Giả sử u∈ Fa(Ω) và v ∈ E(Ω) với (ddcv)n≥(ddcu)n. Khi đóu≥v trên Ω.
(4i) Nếu u∈ F(Ω) thì (ddcu)n là một độ đo Radon không âm trên Ωvà Z
Ω
(ddcu)n<+∞.
(5i) Nếu u, v ∈ E(Ω) sao cho (ddcu)n(u=v =−∞) = 0 thì
(ddcmax{u, v})n≥1{v≥u}(ddcv)n+ 1{v<u}(ddcu)n.
Bây giờ, dựa vào một số kết quả phụ trợ về việc giải phương trình Monge-Ampère trong tài liệu [2] trên đây, chúng tôi đưa ra và chứng minh một nguyên lý so sánh đối với ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới. Để thu được kết quả này, chúng tôi chứng minh một số kết quả cần thiết sau đây. Trước hết, từ Định nghĩa 1.1.1 chúng ta thấy nếu một hàm đa điều hòa dưới ϕsao cho cϕ(0) = +∞ thì hàme−2cϕ khả tích địa phương với mọi c > 0. Từ đó cùng với Bất đẳng thức H¨older đối với tích phân ta nhận được bổ đề sau trong công trình [3] của luận án.
Bổ đề 3.2.3. Giả sử Ω là miền bị chặn trong Cn,0∈ Ω và u, v, ϕ ∈ PSH−(Ω) sao cho u>v >u+ϕ, cϕ(0) = +∞. Khi đó
cu(0) =cv(0).
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh rằng cu(0) ≤cu+ϕ(0).
Thật vậy, lấy c∈(0, cu(0)). Chọn q >1sao cho qc∈(0, cu(0)), khi đóe−2qcu khả tích địa phương tại 0vì qc < cu(0). Tiếp theo lấy p >1 sao cho 1q +1p = 1.
Khi đó docϕ(0) = +∞nên e−2pcϕ khả tích địa phương, từ đó có thể chọn chọnr >0sao
cho
Z
B(0,r)
e−2cqudV <+∞ và Z
B(0,r)
e−2pcϕdV <+∞.
Khi đó áp dụng bất đẳng thức H¨older ta được Z
B(0,r)
e−2c(u+ϕ)dV ≤
Z
B(0,r)
e−2cqudV
1/q
Z
B(0,r)
e−2cpϕdV
1/p
<+∞.
Như vậy nếu cóc∈(0, cu(0))tức làc < cu(0) bất kì ta suy rac≤cu+ϕ(0). Điều đó chứng tỏcu(0)≤cu+ϕ(0) như yêu cầu.
Mặt khác từ định nghĩa của ngưỡng chính tắc ta suy ra nếu f ≥g thì cf(0) ≥cg(0). Từ đó, dou≥v ≥u+ϕvà cu+ϕ(0) ≥cu(0) chứng minh trên ta thu được
cu(0) ≥cv(0)≥cu+ϕ(0)≥cu(0).
Do đócu(0) =cv(0) là điều phải chứng minh.
Kế đến, bằng cách dựa vào một số kết quả về việc giải phương trình Monge-Ampère phức đối với độ đo triệt tiêu trên tập đa cực trong [2], chúng tôi nhắc lại định nghĩa một hàm kĩ thuật và tính chất của nó, mà từ đó có thể xây dựng hàm uK thuộc lớpE(Ω) đặc biệt khi giá của τ là tập compact ta thu đượcuK thuộc lớp F(Ω) xác định như sau.
Định nghĩa 3.2.4. Giả sử u∈ E và 0 6 τ là hàm nửa liên tục dưới bị chặn. Khi đó ta đặt
uτ = sup{ϕ∈ PSH(Ω) : ϕ≤τ1/nu}.
Đặc biệt xétτ = 1V là hàm đặc trưng của tập V và K ⊂Ωlà tập đa cực compact, ta đặt
uK = (sup{u1V : K ⊂V ⊂Ω} )∗
ở đó lấy theo tất cả các tập con mở V ⊂Ω.
Chú ý 3.2.5. (i) Trong trường hợp chúng tôi xét sau đây thì K = {0} là tập đa cực, compact thỏa mãn điều kiện của Định nghĩa 3.2.4.
(2i) Từ các kết quả trong [2], chúng ta ta thấy
0≥uτ ≥ kτk1/nL∞(Ω)u∈ E(Ω).
Mặt khác vì u∈ E(Ω) nên từ tính đóng lấy maxtrong E(Ω) ta thu được uτ ∈ E(Ω).
(3i) Nếuu∈ E(Ω)thìsupp(ddcuτ)n ⊂suppτ và nếusuppτ là tập compact thìuτ ∈ F(Ω).
(4i) Cũng từ Bổ đề 4.3 trong [2], chúng ta có nếuu∈ E và K là tập đa cực, compact con của Ω thì uK ∈ E(Ω) và thỏa mãn phương trình Monge - Ampère
(ddcuK)n=χK(ddcu)n.
Tuy nhiên, thực tế hàm uK ∈ F(Ω). Thật vậy, theo (3i) thì u1V ∈ F(Ω), nhưng từ định nghĩa của uK thì uK ≥ u1V mà u1V ∈ F(Ω) nên theo tính chất đóng lấy max trên lớp F(Ω) suy ra uK ∈ F(Ω).
Từ đây và Bổ đề 3.2.3 cùng với Chú ý 3.2.2, chúng tôi thu được bổ đề sau trong công trình [3] của luận án. Kết quả này giúp ích cho việc xây dựng xấp xỉ một hàm đa điều hòa
dưới âm bởi các hàm thuộc lớp F(Ω) và Fa(Ω) phục vụ cho chứng minh định lý chính của Chương.
Bổ đề 3.2.6. Giả sửΩlà miền siêu lồi bị chặn trongCn,0∈Ωvàu∈ F(Ω)∩L∞loc(Ω\{0}).
Khi đó tồn tại ue∈ F(Ω) và φ∈ Fa(Ω) sao cho
u≤φ, ue+φ≤u≤ eu,(ddceu)n= 1{0}(ddcu)n
và thỏa mãn phương trình
(ddcφ)n = 1Ω\{0}(ddcu)n.
Chứng minh. Trước hết ta xét trường hợp
α= Z
{0}
(ddcu)n = 0.
Khi đó sự tồn tại củauethỏa mãn điều kiện đã cho là hiển nhiên, chẳng hạn lấyue=u. Vì vậy chúng ta có thể giả sử rằng α >0.
Bây giờ ta đặt
ue= (sup{ϕ∈ PSH−(Ω) : ϕ=u trên một lân cậnD của 0})∗. Khi đó bởi (4i) trong Chú ý 3.2.5 nêu trên ta được
eu∈ F(Ω), u≤uevà (ddcu)e n = 1{0}(ddcu)n.
Hơn nữa, từ giả thiết u ∈ L∞loc(Ω\{0}) nên theo Mệnh đề 4.2.4 trong [1] ta được độ đo à= 1Ω\{0}(ddcu)n triệt tiờu trờn tất cả cỏc cập đa cực của Ω.
Mặt khác dou∈ F(Ω) nên theo (4i) trong Chú ý 3.2.2 ta được
à(Ω)≤(ddcu)n(Ω) <+∞.
Từ đó, tiếp tục theo (2i) trong Chú ý 3.2.2, tồn tại φ∈ Fa(Ω) sao cho
(ddcφ)n = 1Ω\{0}(ddcu)n.
Như vậy (ddcφ)n ≤ (ddcu)n, từ đó theo Mệnh đề 6.3.2 trong [1] khẳng định nguyên lý so sánh đúng cho lớp hàm đa điều hòa dưới trong lớpF(Ω), suy ra rằng u≤φ.
Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh rằngue+φ≤u.
Thật vậy, từ định nghĩa củau, ta có thể chọne εj >0vàuj ∈ F(Ω) sao choεj &0,uj %eu và uj =u trên B(0, εj).
Lấy0< δj < εj. Đặt aj = infB(0,εj)\B(0,δj)u và
vj =
max(u, aj) trên B(0, εj), u trên Ω\B(0, εj)
.
Ta có vj ∈ Fa(Ω) và vj = u trên Ω\B(0, δj). Bây giờ áp dụng (5i) trong Chú ý 3.2.2 với v =vj và u =uj ∈ F, khi đó do vj ∈ Fa(Ω) nên (ddcvj)n(uj = vj =−∞) = 0 và ta thu được
(ddcmax{uj, vj})n ≥1{vj≥uj}(ddcvj)n+ 1{vj<uj}(ddcuj)n.
Mặt khác theo cách xây dựng của uj thì supp(ddcuj)n ⊂ B(0, εj), đồng thời uj ≤ vj trên
B(0, εj) nên {uj > vj} ⊂Ω\B(0, εj). Từ đó1{vj<uj}(ddcuj)n = 0 và ta có (ddcΦ)n+ (ddcmax{uj, vj})n ≥(ddcΦ)n+ 1{vj≥uj}(ddcvj)n
= 1Ω\{0}(ddcu)n+ 1{vj≥uj}(ddcvj)n
Nhưng từ cách xây dựng của vj ta có vj = u trên Ω\B(0, δj) ⊂ Ω\ {0} đồng thời do {uj > vj} ⊂Ω\B(0, εj)⊂Ω\ {0} nên ta được
(ddc(φ+ max(uj, vj)))n≥(ddcφ)n+ (ddcmax(uj, vj))n
≥1vj<uj(ddcu)n+ 1{vj≥uj}(ddcvj)n
= (ddcvj)n.
Tới đây, ta tiếp tục sử dụng nguyên lý so sánh cho các hàm đa điều hòa dưới ta thu được
φ+uj ≤φ+ max(uj, vj)≤vj.
Từ đó suy ra φ+uj ≤u trên Ω\B(0, εk) với mọij ≥k.
Cho j → ∞ sau đó chok → ∞ ta được
φ+eu≤utrên Ω,
và ta được điều phải chứng minh.
Chú ý 3.2.7. Các kết quả chúng tôi cần dùng tiếp theo sau đây được biết tới trong các công trình [2] và [20]:
(i) Giả sử u ∈ E, khi đó theo Định lý 5.11 trong [20], tồn tại các hàm Φu ∈ E0 và
fu ∈L1loc((ddcΦu)n), fu ≥0sao cho
(ddcu)n=fu(ddcΦu)n+βu.
Hơn nữa, độ đo βu có giá trên một tập đa cực của Ω.
Bây giờ ta kí hiệuαu =fu(ddcΦu)n. Khi đó ta được (ddcu)n=αu+βu.
(2i) Từ Bổ đề 4.11 trong [2], nếuu, v ∈ E sao cho tồn tại một hàmϕ∈ E mà(ddcϕ)n triệt tiêu trên các tập đa cực với|u−v| ≤ −ϕ thì βu =βv.
Tiếp theo, từ Chú ý 3.2.2 trên đây, ta suy ra nếu Z
{0}
(ddcu)n = 0
thì theo đánh giá trong Định lý 1.2.11 ta suy ra cu(0) = +∞.Từ đây dựa vào một số kết quả trong [2] và Bổ đề 3.2.3, với các hàmu, v ∈ PSH−(Ω) thỏa mãn giả thiết của Định lý 3.2.8 dưới đây, chúng tôi xây dựng các hàm eu,ev thuộc lớp F(Ω) lần lượt xấp xỉ các hàm u, v đã cho mà không thay đổi ngưỡng chính tắc của chúng. Từ đó bằng lý luận tương tự như trong Bổ đề 2.1 trong [41] chúng tôi thu được kết quả chính của mục này về nguyên lý so sánh đối với ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới như sau.
Định lý 3.2.8. Giả sử Ω là một miền trong Cn,0∈Ω và u, v ∈ PSH−(Ω) sao cho Z
{0}
(ddcmax(u, v, ϕ))n= Z
{0}
(ddcmax(u, ϕ))n,
với mọi ϕ∈ PSH−(Ω)∩L∞loc(Ω\{0}). Khi đó
cu(0) >cv(0).
Chứng minh. Xét hai trường hợp sau.
Trường hợp 1.Giả sửΩ là một miền siêu lồi bị chặn,0∈Ω vàu, v ∈ F(Ω)∩L∞loc(Ω\{0}).
Khi đó nếu ta đặt ϕ= u+v thì ϕ∈ PSH−(Ω)∩L∞loc(Ω\{0}). Từ đó theo giả thiết của định lý, thu được
Z
{0}
(ddcmax(u, v))n = Z
{0}
(ddcu)n.
Từ đây, áp dụng Bổ đề 3.2.6, tồn tại eu∈ F(Ω) vàφ ∈ Fa(Ω) sao cho
u≤φ,eu+φ≤u≤eu,(ddceu)n= 1{0}(ddcu)n và (ddcφ)n = 1Ω\{0}(ddcu)n.
Tiếp theo, do R
{0}
(ddcφ)n = 0 nên bởi (2i) trong Chú ý 3.2.2 trên đây, ta có cφ(0) = +∞.
Từ đó áp dụng Bổ đề 3.2.3 ta được
cu(0) =ceu(0).
Bây giờ, dễ dàng kiểm tra được
|max(u, v)e −max(u, v)| ≤ −φ.
Khi đó áp dụng (2i) trong Chú ý 3.2.7 trên đây ta được Z
{0}
(ddcmax(eu, v))n= Z
{0}
(ddcmax(u, v))n
= Z
{0}
(ddcu)n
= Z
{0}
(ddcu)e n.
Hơn nữa, tiếp tục áp dụng (2i) trong Chú ý 3.2.2 trên đây, tồn tạiev ∈ F(Ω)vàψ ∈ Fa(Ω) sao cho
v ≤ψ,ev+ψ ≤v ≤ev,(ddcev)n = 1{0}(ddcv)n và(ddcψ)n= 1Ω\{0}(ddcv)n.
Từ đây, áp dụng lý luận như trên, ta cũng có
cv(0) =c
ev(0).
Tiếp theo, tương tự như trên ta thấy
|max(u,e ev)−max(u, v)| ≤ −ψ.e
Khi đó, tiếp tiếp tục áp dụng (2i) trong Chú ý 3.2.7 trên đây, ta được Z
{0}
(ddcmax(eu,ev))n= Z
{0}
(ddcmax(eu, v))n
= Z
{0}
(ddcu)e n.
Từ đó kết hợp với supp(ddceu)n ⊂ {0}ta thu được các đánh giá Z
Ω
(ddcu)e n= Z
{0}
(ddcu)e n
= Z
{0}
(ddcmax(eu,ev))n
≤ Z
Ω
(ddcmax(u,e ev))n
≤ Z
Ω
(ddceu)n,
và (ddcu)e n≤(ddcmax(u,e ev))n. Từ đó suy ra (ddcu)e n= (ddcmax(eu,ev))n.
Từ đây, áp dụng Định lý 3.15 trong [21] ta cómax(u,e ev) =u. Vậye ev ≤uevà do đó ta có
cu(0) =c
eu(0)≥c
ev(0) =cv(0).
Trường hợp 2. Giả sử Ω là một miền trong Cn, 0 ∈ Ω và u, v ∈ PSH−(Ω). Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằngΩ = B(0,1).
Bây giờ, ta đặt
ϕj =jlogkzk ∈ F(Ω)∩L∞loc(Ω\{0}).
và
uj = max(u, ϕj), vj = max(v, ϕj).
Khi đó rõ ràng ta cóuj, vj ∈ F(Ω)∩L∞loc(Ω\{0}). Đồng thời từ giả thiết của định lý, ta có Z
{0}
(ddcmax(uj, vj, ϕ))n= Z
{0}
(ddcmax(uj, ϕ))n,
với mọiϕ∈ PSH−(Ω)∩L∞loc(Ω\{0}).
Từ đây, theo Trường hợp 1 chứng minh trên ta được cuj(0) ≥cvj(0).
Cuối cùng, nhờ áp dụng Bổ đề 3.2.1 trên đây trong [41] ta được
cu(0) = lim
j→∞cuj(0)≥ lim
j→∞cvj(0) =cv(0).
Đó là điều phải chứng minh.
Nhận xét 3.2.9. Giả sử các điều kiện của Định lý 3.1.1 được thỏa mãn, khi đó dùng
công thức Stokes, suy ra từ giả thiếtu≥v trên ∂Ωj thì Z
Ωj
(ddcmax(u, ϕ))n≤ Z
Ωj
(ddcmax(u, v, ϕ))n
với mọiϕ∈ PSH−(Ω)∩L∞loc(Ω\{0}).
Mặt khác, theo nguyên lý so sánh đối với hàm đa điều hòa dưới ta có Z
Ωj
(ddcmax(u, v, ϕ))n≤ Z
Ωj
(ddcmax(u, ϕ))n
với mọiϕ∈ PSH−(Ω)∩L∞loc(Ω\{0}).
Từ đó lấy giới hạn khi j → ∞ ta được Z
{0}
(ddcmax(u, v, ϕ))n= Z
{0}
(ddcmax(u, ϕ))n,
với mọiϕ∈ PSH−(Ω)∩L∞loc(Ω\{0}).
Điều đó có nghĩa là giả thiết của Định lý 3.2.8 đúng. Như vậy Định lý 3.2.8 của chúng tôi về nguyên lý so sánh cho ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới mạnh hơn kết quả (Định lý 3.1.1) của P. H. Hiệp trong [41].
Kết luận và kiến nghị
I. Kết luận
Luận án nghiên cứu ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình và hàm đa điều hòa dưới trong Cn và đã đạt được những kết chính sau đây:
1. Chứng minh một định nghĩa tương đương đối với ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình (Mệnh đề 1.1.6).
2. Thiết lập được mối quan hệ giữa ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình nhiều biếnf và tính chất hình học của tập không điểm {f = 0} của nó (Định lý 1.2.9).
3. Đưa ra một chứng minh mới cho Giả thuyết ACC trong trường hợp số chiềun = 2bằng phương pháp giải tích phức truyền thống (Định lý 1.2.13).
4. Chứng minh tính chất địa phương của lớpEm(Ω) (Định lý 2.3.5) từ đó cho một hệ quả về tính giảm của dãy Ej(Ω), j = 1, . . . , m (Hệ quả 2.3.7).
5. Chứng minh đánh giá chặn dưới của ngưỡng chính tắc tổng quát hơn đánh giá tương tự của J-P. Demailly và P. H. Hiệp cho hàmu∈ PSH(Ω)∩ Em(Ω) (Định lý 2.5.6) và hàm u ∈ PSH(Ω)∩L∞(Ω\E) với E là tập con đóng có độ đo Hausdorff H2(n−m)+2(E) = 0 (Định lý 2.5.7) với cùng một cận dưới.
6. Chứng minh một số đặc trưng giải tích cho lớp Em(Ω) (Định lý 2.4.1).
7. Chứng minh một mô tả hình học của tập mức trên đối với số Lelong E(u, c) = {z ∈ Ω :ν(u, z)≥ c} với u ∈ Em(Ω)∩ PSH−(Ω). Cụ thể chúng tôi chứng minhE(u, c) là tập
giải tích trongΩ với số chiều ≤n−m (Định lý 2.4.4).
8. Đưa ra và chứng minh một nguyên lý so sánh khác (mạnh hơn) nguyên lý so sánh tương tự của P. H. Hiệp đối với ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới (Định lý 3.2.8).
II. Kiến nghị
Từ những kết quả thu được của luận án trong quá trình nghiên cứu, chúng tôi đề xuất một số hướng nghiên cứu tiếp theo như sau:
1. Nghiên cứu, chứng minh và mở rộng các kết quả về ngưỡng chính tắc bằng phương pháp của giải tích phức truyền thống. Chẳng hạn, các tính chất của tập mức (chẳng hạn diện tích, thể tích, . . . ) của hàm chỉnh hình một biến cũng như nhiều biến; điều kiện dừng của ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình tương ứng với độ đo Borel hoặc tính toán cụ thể ngưỡng chính tắc đối với một số lớp hàm chỉnh hình; Chứng minh bằng công cụ giải tích phức Giả thuyết ACC trong một số trường hợp cụ thể của số chiều không giann >2, hoặc trong trường hoặc tổng quát vớin bất kì từ những phương pháp và kết quả ban đầu đạt được của luận án, . . .
2. Mở rộng các kết quả đã chứng minh của luận án; ngưỡng chính tắc của các lớp hàm khác, chẳng hạn các lớp hàm đa điều hòa dưới có trọng, . . .
3. Tiếp tục nghiên cứu các điều kiện khác nhau cho nguyên lý so sánh đối với ngưỡng chính tắc.
4. Các kết quả về nguyên lý so sánh trên đây có thể mở ra một vấn đề nghiên cứu tiếp theo, đó là mối quan hệ giữa tập hợp các tập conE mà trên đó từ sự so sánh của các hàm dẫn tới quan hệ so sánh về số Lelong, về ngưỡng chính tắc và về độ đo Monge - Ampére, . . .
Câu trả lời còn đòi hỏi chúng tôi tiếp tục nghiên cứu. Cuối cùng, chúng tôi cũng xin trân trọng tiếp thu và thảo luận những hướng nghiên cứu mới liên quan tới đề tài luận án.
Danh mục các công trình sử dụng trong luận án
A. Các công trình sử dụng trong luận án
[1] L. M. Hai, P. H. Hiep and V. V. Hung (2012), ”The log canonical threshold of holo- morphic functions”,Int. J. Math., 23, 1250115 [8 pages].
[2] L. M. Hai, N. X. Hong and V. V. Hung (2014), ”Some characterrizations of the class Em(Ω) and applications”, to appear in Ann. Polon. Math.
[3] L. M. Hai, N. X. Hong and V. V. Hung (2014), ”A result on the comparison principle for the log canonical threshold of plurisubharmonic functions”,Ann. Polon. Math., 112(2), pp. 109–114.
B. Các báo cáo kết quả của luận án trong các hội nghị, hội thảo
[1] V. V. Hung (2013),Ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình, Báo cáo Hội nghị khoa học Khoa Toán – Tin, Trường ĐHSPHN.
[2] V. V. Hung (2013), Tính chất địa phương của lớp hàm m-điều hòa dưới và áp dụng, Báo cáo tiểu ban Giải tích Toán học - Đại hội Toán học toàn quốc - Nha Trang.
[3] V. V. Hung (2014), Một nguyên lý so sánh đối với ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới, Báo cáo Hội nghị khoa học Khoa Toán - Tin, Trường ĐHSPHN.
90
Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Quang Diệu, Lê Mậu Hải (2009), Cơ sở lý thuyết đa thế vị, Nxb ĐHSP, Hà Nội.
[2] P. Ahag, U. Cegrell, R. Czyz and P. H. Hiep (2009), ”Monge-Ampère on pluripolar sets”, J. Math. Pures Appl., 92, pp. 613–627
[3] V. Alexeev (1993), ”Two two-dimensional terminations”, Duke Math. J., 69, pp. 527–
545.
[4] V. I. Arnold, S. M. Gusein-Zade and A. N. Varchenkol (1985), Singularities of Differ- entiable Maps, Progress in Math., Birkh¨auser.
[5] E. Bedford và B. A. Taylor (1976), ”The Dirichlet problem for a comlex Monge– Ampère equation”,Invent. Math., 37, pp. 1–44.
[6] E. Bedford and B. A.Taylor (1982), ”A new capacity for plurisubharmonic functions”, Acta Math., 149(1,2), pp. 1–40.
[7] E. Bedford and B. A.Taylor (1987), ”Fine topology, Silov boundary, and˘ (ddc)n”, J.
Funct. Anal, 72(2), pp. 225–251.
[8] E. Bedford and B. A.Taylor (1988), ”Plurisubharmonic functions with logarithmic sin- gularities”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble),38, pp. 133–171.
[9] S. Benelkourchi (2009), ”Weighted Pluricomplex Energy”, Potential Analysis, 31(1), pp. 1–20.
[10] S. Benelkourchi, V. Guedj and A. Zeriahi (2009), ”Plurisubharmonic functions with weak singularities”,Proceedings from the Kiselmanfest, Uppsala University, Vastra Aros, pp. 57–74.
[11] A. Benito, E. Faber, E. Smith (2013), ”Measuring Singularities with Frobenius: The Basics”, arXiv:1309.4814.
[12] B. Berndtsson (2013), ”The openness conjecture for plurisubharmonic functions”, arXiv:1305.5781.
91
[13] P. Boyer, K. Galicki and J. Kollár (2005), ”Einstein metrics on spheres”,Ann. of Math.
162(1), pp. 557–580.
[14] Z. B locki (1998),The complex Monge-Ampère Operator in Pluripotential Theory, Lec- tures notes, unpublish, Webside: www:/gamma.im.uj.edu.pl/ B locki.
[15] Z. B locki (2004), ”On the definition of the Monge-Ampère operator in C2”, Math.
Ann, 328, pp. 415–423.
[16] Z. B locki (2005), ”Weak solutions to the complex Hessian equation”,Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 55(5), pp. 1735–1756.
[17] Z. B locki (2006), ”The domain of definition of the complex Monge-Ampère operator”, Amer. J. Math., 128, pp. 519–530.
[18] Z. B locki (2009), ”A note on maximal plurisubharmonic functions”,Uzbek Math. J, 1, pp. 28–32.
[19] U. Cegrell (1998), ”Pluricomplex energy”, Acta Math., 180, pp. 187–217.
[20] U. Cegrell (2004), ”The general definition of the complex Monge-Ampère operator”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 54, pp. 159–179.
[21] U. Cegrell (2008), ”A general Dirichlet problem for the complex Monge-Ampère op- erator”,Ann. Polon. Math., 94, pp. 131–147.
[22] U. Cegrell, S. Kolodziej and A. Zeriahi (2005), ”Subextension of plurisubharmonic functions with weak singularities”, Math. Z, 250 (1), pp. 7–22.
[23] L. H. Chinh, ”On Cegrell’s classes of m-subharmonic functions”, arXiv 1301.6502v1.
(This paper is taken from his Ph.D Thesis defended on 30 November 2012).
[24] J.-P. Demailly (1985), ”Mesures de Monge - Ampère et mesures plurisoushar- moniques”, Math. Z., 194, pp. 519–564.
[25] J.-P. Demailly (1987), ”Nombres de Lelong généralisés, théorèmes d’intégralité et d’
analyticité”, Acta Math., 159, pp. 153–169.
[26] J.-P. Demailly (1990), ”Singular hermitian metrics on positive line bundles”, Proceed- ings of the Bayreuth conference “Complex algebraic varieties”, April 2-6, 1990, edited by K. Hulek, T. Peternell, M. Schneider, F. Schreyer, Lecture Notes in Math. no 1507, Springer-Verlag.
[27] J-P. Demailly (1993), Monge-Ampère operator, Lelong numbers and intersection the- ory, Complex Analysis and Geometry, Univ. Series in Math, edited by V. Ancona and A. Silva, Plenum Press, New-York.
[28] J-P. Demailly (2009), Estimates on Monge-Amp‘ere operators derived from a local algebra inequality, Complex Analysis and Digital geometry, Proceedings of the Kisel- manfest 2006, Acta Universitatis Upsaliensis.
[29] J.-P. Demailly and P. H. Hiep (2014), ”A sharp lower bound for the log canonical threshold”, Acta Math., 212, pp. 1–9.
[30] J-P. Demailly and J. Kollár (2001), ”Semi- continuity of complex singularity exponents and K¨ahler-Einstein metrics on Fano orbifolds”, Ann. Ec. Norm. Sup., 34, pp. 525–556.
[31] S. Dinew and S. Kolodziej (2014), ”A priori estimates for the complex Hessian equa- tions”, Analysis & PDE., 7(1), pp. 227–244.
[32] T. Fernex, L. Ein and M. Mustata (2003), ”Bounds for log canonical thresholds with applications to birational rigidity”, Math. Res. Lett., 10, pp. 219–236.
[33] T. Fernex, T, L. Ein and M. Mustata (2004), ”Multiplicities and log canonical thresh- olds”, J. Algebraic Geom., 13, pp. 603–615.
[34] T. Fernex, L. Ein and M. Mustata (2010), ”Shokurov’s ACC Conjecture for log canon- ical thresholds on smooth varieties”, Duke Math. J., 152, pp. 93–114.
[35] T. Fernex and M. Mustata (2009), ”Limits of log canonical thresholds”, arXiv.org:
0710.4978.
[36] J. Fornổss (1995), N. Sibony, ”Oka’s inequality for currents and applications”, Math.
Ann., 301, pp. 399–419.
[37] L. G˚arding (1959), ”An inequality for hyperbolic polynomials”,J. Math and Mec, 8(6), 957–965.
[38] L. M. Hai, P. H. Hiep (2011), ”Some Weighted Energy Classes of Plurisubharmonic Functions”, Potential Anal, 34(1), pp. 43–56.
[39] L. M. Hai, P. H. Hiep and H. N. Quy (2013), ”Local property of the class Eχ,loc”, J.
Math. Anal. Appl, 402, pp. 440–445.
[40] P. H. Hiep (2008), ”Pluripolar sets and the subextension in Cegrell’s classes”,Complex Variables and Elliptic Equations, 53(7), pp. 675–684
[41] P. H. Hiep (2013), ”A comparison principle for the log canonical threshold”,Comptes Rendus Mathematique, 351, pp. 441–443.
[42] V. V. Hung (2014), ”Local property of a class ofm-subharmonic functions”, to appear in Vietnam Journal of Mathematics.
[43] V. V. Hung, H. N. Quy (2012), ”Convergence in capacity on smooth hypersurfaces of compact K¨ahler manifolds”, Ann. Polon. Math. 103, pp. 175-187.