Trong mục này, dựa vào tính chất địa phương của lớp Em(Ω) trên đây (Định lý 2.3.5 và Hệ quả 2.3.7), chúng tôi cho một đánh giá về tính bị chặn dưới của ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới trong các lớp hàmEm(Ω) và L∞(Ω\E) với E là tập con có độ đo Hausdorff H2(n−m)+2(E) = 0. Chúng tôi chứng minh với cùng một cận dưới cho ngưỡng chính tắc cho cả hai lớp hàm nói trên. Hơn nữa, trong trường hợp m = n, chúng tôi thu được trường hợp đặc biệt đã được chứng minh bởi J-P. Demailly và P. H. Hiệp trong [29].
Đầu tiên, chúng tôi nhắc lại kết quả nói trên về một đánh giá cho tính bị chặn dưới của ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới trong lớp Ee(Ω).
Trước hết, chúng ta biết rằng với Định nghĩa 1.1.1 về ngưỡng chính tắc, một trong những đánh giá quan trọng đối với con số này được cho trong Định lý 1.2.11 của H. Skoda trong [76]
1
ν(ϕ, x) ≤cϕ(x)≤ n ν(ϕ, x).
ở đó ν(ϕ, x)là số Lelong của ϕtại x.
Cho đến nay, đây là một trong những đánh giá tổng quát nhất về tính bị chặn cho ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới. Việc nghiên cứu và cho một đánh giá tối ưu hơn được nhiều tác giả quan tâm, một trong những kết quả rất tốt trong thời gian gần đây của J-P. Demailly và P. H. Hiệp trong công trình “A sharp lower bound for the log canonical threshold” xuất bản tại tạp chíActa Mathematica (trong [29]). Các tác giả trên đã chứng minh được rằng:
Định lý 2.5.1. Nếu ϕ∈Ee(Ω),0∈Ω thì cϕ(0) ≥
n
X
j=1
ej−1(ϕ) ej(ϕ) ,
ở đó ej(ϕ) := ν((ddcϕ)j,0) là số Lelong của (ddcϕ)j tại 0 cho bởi ej(ϕ) =
Z
{0}
(ddcϕ)j∧(ddclogkzk)n−j, ϕ ∈ E(Ω),∀j = 1, . . . , n.
Chứng minh. Xem [29].
Điều chú ý là đánh giá trên đây đúng trên lớp hàm đa điều hòa dưới trong Ee(Ω) và trong trường hợp chúng tôi đang xét chính là lớp E(Ω). Đồng thời có thể thấy, đánh giá trên về tính bị chặn dưới của cϕ(x) là chặt và tốt nhất trên lớp hàm đã cho. Một câu hỏi được đặt ra một cách tự nhiên là: Đánh giá trên đây của J-P. Demailly và P. H. Hiệp có còn đúng không trên các lớp hàm m-điều hòa dưới - lớp hàm mở rộng của lớp hàm đa điều hòa dưới?
Trong phần cuối của mục này, như một áp dụng các kết quả về tính chất địa phương đã chứng minh trên (Định lý 2.3.5 và Hệ quả 2.3.7), chúng tôi cho một đánh giá tổng quát hơn đánh giá của các tác giả trên về tính chặn dưới cho ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới trong lớp Em(Ω)- lớp hàm tổng quát hơn đối với lớpE(Ω).
Trước hết, chúng tôi cho một đánh giá sau.
Bổ đề 2.5.2. Giả sử u∈ Em(Ω). Khi đó với mọi 1≤p≤m−1 và với mọi K bΩ ta có Z
K
u(ddcu)p∧βn−p >−∞.
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh Bổ đề cho trường hợp p=m−1. Chúng ta có thể coi K =B(0, r0)b Ω. Thật vậy, lấy r0 < r1 < r2 sao cho B(0, r2) bΩ, khi đó theo Định lý 2.3.5 ta có u ∈ Em(B(0, r2)). Bởi tính địa phương của Em(B(0, r2)) trong Fm(B(0, r2)) nên ta có thể chọn v ∈ Fm(B(0, r2))sao cho u=v trong B(0, r1). Khi đó ta có
Z
B(0,r0)
u(ddcu)m−1∧βn−m+1 ≥ Z
B(0,r2)
v(ddcv)m−1∧βn−m+1
= Z
B(0,r2)
(kzk2−r22)(ddcv)m∧βn−m
≥ −r22 Z
B(0,r2)
(ddcv)m∧βn−m >−∞
bởi vì v ∈ Fm(B(0, r2))thì độ đo m-Hessian tương ứng của v trên B(0, r2) hữu hạn.
Cuối cùng, từ Hệ quả 2.3.7 ta có Ep+1(Ω) ⊂ Ep(Ω) với 1 ≤ p ≤m−1. Áp dụng kết quả này cùng với lập luận như trên, ta có khẳng định của Bổ đề đúng cho p = m−2. Thật vậy, với các kí hiệu như trên, ta có
Z
B(0,r0)
u(ddcu)m−2∧βn−m+2 ≥ Z
B(0,r2)
v(ddcv)m−2∧βn−m+2
= Z
B(0,r2)
(kzk2 −r22)(ddcv)m−1∧βn−m+1
≥ −r22 Z
B(0,r2)
(ddcv)m−1∧βn−m+1.
Tuy nhiên ta cũng có v ∈ Em(B(0, r2))⊂ Em−1(B(0, r2)) và do vậy số hạng cuối cùng nói trên là hữu hạn. Từ đó ta có khẳng định đúng với p=m−2. Tiếp tục quá trình này, ta thu được khẳng định của Bổ đề.
Mệnh đề tiếp theo đây cho thấy nếu u∈ Em(Ω)∩ PSH−(Ω) thì (ddcu)p là dòng dương đóng trên Ωvới mọi p= 1,2, . . . , m.
Mệnh đề 2.5.3. Nếu u∈ Em(Ω)∩ PSH−(Ω) thì (ddcu)p là một dòng dương đóng trên Ω với mọi p= 1,2, . . . , m.
Chứng minh. Khẳng định đúng hiển nhiên vớip= 1. Ta giả sử2≤p≤m,(ddcu)p−1 được định nghĩa như một dòng dương đóng. Dou(ddcu)p−1 có trọng hữu hạn địa phương và hệ số của (ddcu)p−1 là các độ đo phức, vì vậy ulà khả tích địa phương đối với độ đo trên. Do đó, như trong [6], chúng ta có thể định nghĩa (ddcu)p :=ddc(u(ddcu)p−1).
Vậy(ddcu)p xác định như một dòng đóng. Hơn nữa, vìu∈ PSH(Ω) nên (ddcu)p là dương và ta có điều phải chứng minh.
Tới đây, muốn thu được đánh giá tương tự trong Định lý 2.5.1, trước hết cần phải trả lời câu hỏi: Các số Lelong tổng quát cho lớp hàm m-điều hòa dưới còn xác định nữa hay không. Câu trả lời của chúng tôi là khẳng định với các hàmϕthuộc lớpEm(Ω)∩ PSH(Ω).
Cụ thể, sau đây chúng tôi định nghĩa tổng quát và chứng minh sự tồn tại cho số Lelong của (ddcϕ)j tại 0 cho hàm đa điều hòa dưới ϕ∈ Em(Ω).
Định nghĩa 2.5.4. Giả sử u∈ PSH(Ω)∩ Em(Ω). Khi đó ta gọi ej(u) =
Z
{0}
(ddcu)j ∧(ddclogkzk)n−j, u∈ Em(Ω),∀j = 1, . . . , m.
làsố Lelong của (ddcu)j tại 0.
Dựa vào các kết quả của J-P. Demailly trong [27] và các kết quả đã đạt được trên đây, chúng tôi có mệnh đề sau khẳng định sự tồn tại và hữu hạn của các số Lelong ej(u) nói trên. Cụ thể ta có.
Mệnh đề 2.5.5. Nếu u∈ Em(Ω)∩ PSH(Ω) thì ej(u)<+∞,∀j = 1, . . . m.
Chứng minh. Trước hết ta đã biết rằng logkzk ∈ PSH(Ω). Từ đó, dou∈ Em(Ω) và Mệnh đề 2.5.3 ta suy ra (ddcu)j, j = 1, m là dòng dương đóng.
Mặt khác, do 0∈Ω và Ωlà một miền nên theo Mệnh đề 2.1 trong [27] ta xác định được uT = logkzk(ddcu)j có trọng hữu hạn địa phương (ở đây không mất tính tổng quát ta coi lân cận địa phương của 0 làB(0,1)), tức là
Z
B(0,1)
−logkzk(ddcu)j ∧βn−j <+∞.
Tiếp theo, dựa vào Hệ quả 2.3 trong [27] ta có thể xác định được dòng dương đóng ddclogkzk ∧(ddcu)j, j = 1, . . . , m.
Tới đây, tiếp tục áp dụng Mệnh đề 2.5.3 ta lại được logkzkddclogkzk ∧(ddcu)j có trọng hữu hạn địa phương, tức là
Z
B(0,1)
−logkzkddclogkzk ∧(ddcu)j ∧βn−j−1 <+∞.
Bây giờ, sử dụng công thức tích phân từng phần liên tiếp ta được +∞>
Z
B(0,1)
−logkzkddclogkzk ∧(ddcu)j ∧βn−j−1
= Z
B(0,1)
(1− kzk2)(ddclogkzk)2∧(ddcu)j∧βn−j−2
≥ Z
B(0,12)
(1− kzk2)(ddclogkzk)2∧(ddcu)j∧βn−j−2
≥ Z
B(0,12)
[1−(1
2)2](ddclogkzk)2∧(ddcu)j ∧βn−j−2
= 3/4 Z
B(0,12)
(ddclogkzk)2∧(ddcu)j∧βn−j−2.
Suy ra
Z
B(0,12)
(ddclogkzk)2∧(ddcu)j∧βn−j−2 <+∞.
Tức là(ddclogkzk)2(ddcu)j là dòng dương đóng, có trọng hữu hạn địa phương.
Lặp lại lý luận như trên khi xét −logkzk(ddclogkzk)2 ∧(ddcu)j ta thu được (ddcu)j ∧ (ddclogkzk)n−j, j = 1, . . . , m là dòng dương đóng, có trọng hữu hạn địa phương. Từ đó
ta có
+∞>
Z
B(0,1)
(ddcu)j∧(ddclogkzk)n−j ≥ Z
{0}
(ddcu)j ∧(ddclogkzk)n−j
=ej(u),∀j = 1, . . . , m.
Vậy ej(u)<+∞,∀j = 1, . . . , m.
Bằng cách áp dụng tính chất địa phương của lớpEm(Ω) đạt được ở trên (Định lý 2.3.5) và kết quả về đánh giá tính chặn dưới của ngưỡng chính tắc trong lớp E(Ω) của J-P.
Demailly và P. H. Hiệp (Định lý 2.5.1), chúng tôi đạt được một kết quả chính quan trọng sau trong công trình [2] của luận án, cho một đánh giá tổng quát hơn đánh giá của J-P.
Demailly và P. H. Hiệp.
Định lý 2.5.6. Giả sử Ω là miền siêu lồi bị chặn trong Cn, u ∈ PSH(Ω)∩ Em(Ω),1 ≤ m≤n và 0∈Ω. Khi đó
cu(0)≥
m
X
j=1
ej−1(u) ej(u) , ở đó e0(u) = 1.
Chứng minh. Với mỗi k∈N∗, ta đặt
uk = max{u, klogkzk}.
Theo Hệ quả 2.3 trong [27] thì (ddcuk)n được xác định, đồng thời từ tính đóng lấy max của E(Ω) ta có uk ∈ E(Ω) ⊂ Ee(Ω). Từ đó theo Định lý 1.2 trong [29], áp dụng cho hàm uk ta được
cuk(0)≥
n−1
X
j=1
ej−1(uk) ej(uk) ≥
m
X
j=1
ej−1(uk) ej(uk) , ở đó e0(uk) = 1.
Mặt khác, douk ≥u trên Ω nên theo Nguyên lý so sánh 5.1 trong [27], từuk ≥u trên Ω ta có ej(u)≥ej(uk) với j = 1, . . . , m. Tiếp theo ta đặt
D={(t1, . . . , tm)∈[0,+∞)m :t21 ≤t2, t2j ≤tj−1tj+1,∀j = 1, . . . , m−1}.
Khi đó rễ thấyD là một tập lồi trongRm.Bây giờ chúng ta xét hàm f : intD→[0,+∞) cho bởi
f(t1, . . . , tm) = 1 t1
+t1 t2
+ã ã ã+ tm−1
tm
. Khi đó ta có
∂f
∂tj
=−tj−1
t2j + 1 tj+1
≤0,∀t∈D.
Bây giờ lấya, b∈intD với aj ≥bj,∀j = 1, . . . , m thì khi đó df
dt(b+t(a−b)) = − a1−b1
(b1+t(a1−b1))2 − ã ã ã − am−bm
(bm+t(am−bm))2 ≤0,
nên hàm [0,1]3 λ →f(b+λ(a−b))là giảm. Do vậy, từ ej(u)≥ ej(uk), j = 1, . . . , m ta được
m
X
j=1
ej−1(uk)
ej(uk) =f(e1(uk), . . . , em(uk))≥f(e1(u), . . . , em(u)) =
m
X
j=1
ej−1(u) ej(u) . Từ đó với mọi k ≥1ta có
cuk(0)≥
m
X
j=1
ej−1(u) ej(u) . Tuy nhiên theo Bổ đề 3.2.1, ta có lim
k→∞cuk(0) = cu(0). Từ đây lấy giới hạn khi k →+∞
ta được
cu(0)≥
m
X
j=1
ej−1(u) ej(u) .
Như vậy, để có đánh giá tính bị chặn dưới cho ngưỡng chính tắc trong Định lý 2.5.6 cho hàm đa điều hòa dướiuthì việc trước tiên là kiểm tra hàm đã cho có thuộc lớpEm(Ω) hay không? Tuy nhiên có thể thấy, trong thực hành nói chung công việc kiểm tra này là khó khăn. Trong kết quả tiếp theo sau đây, chúng tôi cho một điều kiện đủ mà việc kiểm tra nó nhìn chung là dễ dàng hơn. Trước hết ta kí hiệuHα là độ đo Hausdorff với số chiều α trong Cn ∼=R2n. Sử dụng kết quả trong [36] chúng tôi chứng minh kết quả sau đây về đánh giá (với cùng một cận dưới như trong Định lý 2.5.6) ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới bị chặn bên ngoài một tập có độ đo Hausdorff bằng không.
Định lý 2.5.7. Giả sử Ω là tập mở trong Cn, 0∈ Ω và E ⊂Ω là tập con đóng trong Ω với H2(n−m)+2(E) = 0, ở đó 1≤m≤n. Khi đó, nếu u∈ PSH(Ω)∩L∞(Ω\E) thì
cu(0)≥
m
X
j=1
ej−1(u) ej(u) , với e0(u) = 1.
Chứng minh. Không mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả sử u∈ PSH−(Ω).
Từ giả thiết, H2(n−m)+2(E) = 0, áp dụng Định lý 2.4 trong [36], cho ta (ddcu)j là dòng dương đóng, có trọng hữu hạn địa phương với mọij = 1, . . . , m. Do đó, lặp lại phép chứng minh của Mệnh đề 2.5.5, ta xác định được các số Lelongej(u)củau với mọij = 1, . . . , m.
Tới đây, tiếp tục dùng lập luận như trong Định lý 2.5.6 nói trên chúng ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét 2.5.8. (i) Trong Định lý 2.5.6, nếu chom=n, chúng thôi thu được kết quả về tính bị chặn dưới cho ngưỡng chính tắc của J-P. Demailly và P. H. Hiệp (Định lý 2.5.1).
(ii) Trong bất đẳng thức đánh giá về tính bị chặn dưới trong các Định lý 2.5.6 và 2.5.7 trên đây, do các số Lelongej(u) là dương nên hiển nhiên chúng ta có đánh giá
cu(0) ≥ 1
e1(u) = 1 ν(u,0).
Đây chính là đánh giá tính chặn dưới của ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới quan trọng đã biết của H. Skoda (Định lý 1.2.11). Hơn nữa cũng từ các kết quả trên của chúng tôi, ta có
cu(0)≥ m
em(u)1/m;cu(0)≥ 1
e1(u) + (m−1)
e1(u) em(u)
m−11 .
Như chúng ta đã biết, chẳng hạn trong [29], [32], [33], và [34], các bất đẳng thức (mạnh) này (với trường hợp m=n) là đánh giá có nhiều ứng dụng quan trọng trong những năm gần đây trong lý thuyết Hình học Đại số.
Chương 3
Nguyên lý so sánh đối với ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới