Trong mục trước, chúng tôi đã chứng minh tính chất địa phương của lớp Em(Ω). Có thể nói đó cũng là một số đặc trưng "địa phương" của lớp này. Đây là tính chất rất cần thiết cho việc chứng minh tính bị chặn dưới của ngưỡng chính tắc cho hàm đa điều hòa dưới trong lớp nói trên, kết quả được chúng tôi chứng minh trong mục cuối của Chương.
Trong mục này, chúng tôi sẽ chứng minh một số đặc trưng "giải tích" của lớp Em(Ω). Sau đó, cũng trong lớp này, chúng tôi cho một mô tả hình học của nó.
Trước hết, chúng tôi chứng minh một số đặc trưng giải tích của lớp Em(Ω). Như trước đó đã đề cập, lớp Em(Ω) được đưa ra và nghiên cứu đầu tiên bởi L. H. Chinh trong [23]
mới chỉ dừng lại ở mức xây dựng tính tồn tại, việc cần thiết đưa ra các đặc trưng quan trọng cho lớp này giúp chúng ta hình dung rõ ràng và cụ thể hơn, cũng là vấn đề chúng tôi đặt ra và nghiên cứu. Cùng với đặc trưng về tính chất địa phương trong Định lý 2.3.5 của lớpEm(Ω), bây giờ chúng tôi phát biểu và chứng minh một đặc trưng giải tích cho lớp hàm Em(Ω).
Định lý 2.4.1. Giả sử Ω là miền siêu lồi bị chặn trong Cn và u∈ SH−m(Ω),1≤m ≤n.
Khi đó các khẳng định sau tương đương:
a) u∈ Em(Ω).
b) Tồn tại một độ đo Radon dương à trờn Ω sao cho nếu ω b Ω là một miền siờu lồi và dãy {uj} ⊂ SH−m(ω)∩L∞(ω), uj & u trên ω, thì dãy độ đo m-Hessian Hm(uj) = (ddcuj)m∧βn−m hội tụ yếu tới à trờn ω.
c) Với mọi miền siêu lồi ωbΩ và với mọi dãy {uj} ⊂ SH−m(ω)∩L∞(ω), uj &u trên ω, dãy độ đo m-Hessian Hm(uj) = (ddcuj)m∧βn−m bị chặn yếu địa phương trong ω.
Chứng minh. a)=⇒b) Giả sử u ∈ Em(Ω), ta cần chứng minh tồn tại độ đo à thỏa món khẳng định trong b). Thật vậy, ta đặt à = Hm(u) = (ddcu)m ∧βn−m thỡ trước hết à là một độ đo Radon dương trên Ω. Mặt khác, do ω b Ω là miền siêu lồi nên theo Định lý 2.3.5, từ tính chất địa phương của lớp Em(Ω), ta có u ∈ Em(ω). Do đó, nếu {uj} ⊂ SH−m(ω)∩L∞(ω), uj &u trên ω thì theo [16] (trang 1736)Hm(uj) = (ddcuj)m∧βn−m là hội tụ yếu tới Hm(u) = àtrờn ω và ta cú điều phải chứng minh.
b)=⇒c) LấyK bω. Khi đó, theo giả thiết b), nếu{uj} ⊂ SH−m(ω)∩L∞(ω), uj &u trên ω thỡ Hm(uj) = (ddcuj)m∧βn−m hội tụ yếu tới à trờn ω. Từ đú suy ra
sup
j
Z
K
Hm(uj)≤à(K)<∞,
và ta có điều phải chứng minh.
c)=⇒a) Lấy dãy {uj} ⊂ Em0(Ω)∩ C(Ω), uj &u trên Ω. Nếu với mọi K bΩta có sup
j
Z
K
|uj|p(ddcuj)m−p∧βn−m+p <∞,
với p= 0,1, . . . , mthì bởi khẳng định b) của Định lý 2.3.5, u∈ Em(Ω) và ta có điều phải chứng minh. Nếu không, ta có thể tìm một hình cầu BbΩsao cho
sup
j
Z
B
|uj|p0(ddcuj)m−p0 ∧βn−m+p0 =∞, (2.5)
vớip0 nào đó,0≤p0 ≤m. Như trong phép chứng minh của Định lý 1.1 trong [17], ta chọn dãy số dương {λj} tăng tới 1và đặt vj =λjuj. Khi đó rõ ràng vj ∈ Em0(Ω)∩ C(Ω), vj &u trên Ωvà
sup
j
Z
B
|vj|p0(ddcvj)m−p0 ∧βn−m+p0 =∞. (2.6) Với k ≥j+ 1 ta có |vj−vk| ≥(1−λλj
j+1)|vk|. Dó đó ta có Z
B
|vj −vk|p0(ddcvk)m−p0 ∧βn−m+p0 ≥(1− λj λj+1)
Z
B
|vk|p0(ddcvk)m−p0 ∧βn−m+p0. (2.7) Bây giờ, từ (2.6) và (2.7), ta có thể chọn được một dãy tăngk =k(j)≥j+ 1 sao cho với mọi j ta có
Z
B
(vj −vk)p0(ddcvk)m−p0 ∧βn−m+p0 ≥j.
Bây giờ ta chọn các hình cầuBbB00 bB0 bΩvà đặt
uej = sup{w∈ SH−m(B0) :w≤vj trên B0, w ≤vk trên B}.
Khi đó euj ∈ SH−m(B0)∩ C(B0), euj =vj trên ∂B0, euj ≤ vj trên B0, uej = vk trên B, uej &u trên B0. Khi đó, theo giả thiết b), ta được
sup
j
Z
B00
Hm(euj) = sup
j
Z
B00
(ddcuej)m∧βn−m <∞. (2.8)
Tiếp theo, ta chọn φ ∈ Em0(B0) sao cho ddcφ =β trên B0. Khi đó sử dụng tích phân từng phần ta thu được dãy các bất đẳng thức sau
j ≤ Z
B
(vj−vk)p0(ddcvk)m−p0 ∧βn−m+p0
= Z
B
(vj −euj)p0(ddceuj)m−p0 ∧(ddcφ)p0 ∧βn−m
≤ Z
B0
(vj−uej)p0(ddcuej)m−p0 ∧(ddcφ)∧(ddcφ)p0−1 ∧βn−m
= Z
B0
φ(ddceuj)m−p0 ∧h
ddc((vj−uej)p0)i
∧(ddcφ)p0−1∧βn−m
≤p0 Z
B0
φ(vj−uej)p0−1(ddceuj)m−p0 ∧h
ddcvj−ddceuji
∧(ddcφ)p0−1∧βn−m
≤p0 Z
B0
−φ(vj−uej)p0−1(ddceuj)m−p0+1∧(ddcφ)p0−1∧βn−m
≤p0kφkB0 Z
B0
(vj −euj)p0−1(ddcuej)m−p0+1∧(ddcφ)p0−1∧βn−m
≤ ã ã ã ã
≤p0!kφkpB00
Z
B0
(ddceuj)m∧βn−m
=C hZ
B00
(ddceuj)m∧βn−m+ Z
B0\B00
(ddceuj)m∧βn−m i
.
(2.9)
Tuy nhiên, ta có (ddceuj)m ∧βn−m ≤ (ddcvj)m ∧βn−m trên B0 \ B00 bởi vì trên {euj <
vj} ∩B0\B00,(ddceuj)m∧βn−m = 0, còn trên tập {uej =vj} ∩B0\B00 thì bằng cách lặp lại lập luận như trong Bổ đề 2.3.4, ta được(ddcuej)m∧βn−m ≤(ddcvj)m∧βn−m. Do đó
Z
B00
(ddcuej)m∧βn−m+ Z
B0\B00
(ddceuj)m∧βn−m
≤ Z
B00
(ddcuej)m∧βn−m+ Z
B0\B00
(ddcvj)m∧βn−m.
Nhưng mặt khác, chúng ta chú ý rằng vj &u trên Ω, nên theo giả thiết ta có sup
j
Z
B0
(ddcvj)m∧βn−m <∞. (2.10) Từ đây, kết hợp (2.8) và (2.10) ta suy ra vế phải của (2.4) là hữu hạn. Tuy nhiên điều này mâu thuẫn do bất đẳng thức trong (2.4) đúng với mọi j ≥1. Như vậy đẳng thức (2.5) là không xảy ra, từ đó ta có điều phải chứng minh.
Tiếp theo, trong phần cuối của mục này, như đã nói trước đó, chúng tôi cho một mô tả hình học của hàm đa điều hòa dưới trong lớp Em(Ω). Để thu được kết quả này, trước hết chúng tôi nhắc lại về hàm Green phức và số Lelong của dòng dương đóng được nghiên
cứu bởi J-P. Demailly. Kết quả giúp chúng tôi có thể kết hợp với các kết quả được nghiên cứu gần đây bởi U. Cegrell để thu được một mô tả hình học thú vị về tập mức trên đối với số Lelong của hàm đa điều hòa dưới trong lớpEm(Ω).
Định nghĩa 2.4.2. Giả sử Ω là tập mở trong Cn và lấy a là một điểm trong Ω. Hàm Green phức với cực tại a kí hiệu làga được định nghĩa bởi
ga(z) = sup{u(z) :u∈ PSH−(Ω), u(z)≤logkz−ak+cu, khi z gần a}.
Chúng ta biết rằng, nếu Ω là miền bị chặn và B(a, r)⊂Ω⊂B(a, R)thì theo Mệnh đề 6.1.1 trong [48] ta có
log(kz−ak/R)≤ga(z)≤log(kz−ak/r),
với z ∈ Ω và z 7−→ ga(z) là hàm Green phức với cực tại a. Hơn nữa, từ kết quả trên, nếu Ω là miền siêu lồi bị chặn thì lim
z→∂Ωga(z) = 0. Đồng thời, theo Định lý (0.6) của J-P.
Demailly trong [24] thì độ đo Monge - Ampère (ddcga)n được xác định và(ddcga)n =δa ở đóδa là độ đo Dirac tại a. Cũng theo kết quả trên ta thấy rằng ga ∈ F(Ω).
Tiếp theo sau đây là định nghĩa của số Lelong liên kết với dòng dương đóng T và số Lelong của hàm đa điều hòa dưới được J-P. Demailly đưa ra và nghiên cứu trong [25] và [27].
Định nghĩa 2.4.3. Giả sử Ω⊂Cn là tập mở và T là dòng dương đóng song chiều (p, p) trên Ω và ϕlà hàm đa điều hòa dưới bị chặn gần biên ∂Ω của Ω. Theo Hệ quả 2.3 trong [27], độ đoT ∧(ddcϕ)p được xác định trên Ω. Khi đó số Lelong của T với trọng ϕkí hiệu làν(T, ϕ) và được định nghĩa bởi
ν(T, ϕ) = Z
{ϕ=−∞}
T ∧(ddcϕ)p = lim
r→−∞
Z
{ϕ<r}
T ∧(ddcϕ)p.
Nếua ∈Ωvà lấy ϕ(z) =logkz−ak thì ta có định nghĩa số Lelong của T tại a kí hiệu là ν(T, a). Vì vậy
ν(T, a) = Z
{a}
T ∧(ddclogkz−ak)p = lim
r→0
Z
{kz−ak<r}
T ∧(ddclogkz−ak)p.
Từ Định nghĩa 2.4.2 và sử dụng Nguyên lý so sánh 5.1 cho số Lelong trong [27] ta chú ý rằng số Lelongν(T, a)của T tại a có thể định nghĩa bởi
ν(T, a) = Z
{a}
T ∧(ddcga)p = lim
r→0
Z
{kz−ak<r}
T ∧(ddcga)p.
Bây giờ giả sử a ∈ Ω và ϕ ∈ PSH−(Ω). Nếu ta lấy T = ddcϕ thì ta có định nghĩa số Lelong của ϕ tại a kí hiệu làν(ϕ, a) và ta có
ν(ϕ, a) = Z
{a}
ddcϕ∧(ddclogkz−ak)n−1 = lim
r→0
Z
{kz−ak<r}
ddcϕ∧(ddclogkz−ak)n−1.
Tiếp tục sử dụng Nguyên lý so sánh 5.1 đối với số Lelong trong [27], ta thu được số Lelong của ϕtại a có thể cho bởi công thức
ν(ϕ, a) = Z
{a}
ddcϕ∧(ddcga)n−1 = lim
r→0
Z
{kz−ak<r}
ddcϕ∧(ddcga)n−1.
Bây giờ chúng ta đi đến một mô tả cho thấy tính đóng, giải tích với số chiều kiểm soát được của tập mức trên cho số Lelong của hàm đa điều hòa dưới trong lớp Em(Ω). Trước hết, lưu ý rằng theo kết quả của Y. Siu trong [74], thì tập mức trên đối với số Lelong E(u, c) của hàm đa điều hòa dưới là tập giải tích trong Ω, đồng thời theo kết quả tổng quát của J-P. Demailly trong [27], thì tập mức trên E(T, c) đối với số Lelong của dòng dương đóng T song chiều (n−m, n−m) là tập con giải tích với số chiều ≤ n−m. Áp dụng kết quả này, chúng tôi phát biểu và chứng minh kết quả sau cho một mô tả hình học của lớpEm(Ω).
Định lý 2.4.4. Giả sử Ω là miền siêu lồi bị chặn trong Cn và u ∈ Em(Ω)∩ PSH−(Ω).
Khi đó với mọi c >0, tập mức trên đối với số Lelong ν(u, z), E(u, c) = {z ∈Ω :ν(u, z)≥c}, là tập con đóng, giải tích trong Ω với số chiều ≤n−m.
Chứng minh. Với mọi c > 0, theo Y. Siu trong [74] ta biết rằng E(u, c) là tập giải tích trongΩ. Chúng ta xét T = (ddcu)m thì theo Mệnh đề 2.5.3 dưới đây thì T là dòng dương
đóng song chiều(n−m, n−m). Khi đó như trong Định nghĩa 2.4.2, số Lelongν(T, z)của T tại z ∈Ωcho bởi
ν(T, z) = Z
{z}
T ∧(ddcgz)n−m = Z
{z}
(ddcu)m∧(ddcgz)n−m,
ở đó gz kí hiệu là hàm Green phức với cực tại z. Mặt khác, từ Hệ quả 6.5 trong [27] suy ra với mọi c >0, tập mức trên
E(T, c) ={z ∈Ω :ν(T, z)≥c}
là tập con giải tích với số chiều≤ n−m. Do đó, Định lý được chứng minh nếu chúng ta chỉ ra được rằng E(u, c) ⊂ E(T, cm) với c > 0. Để làm điều đó, chúng ta chỉ cần chứng minh rằng
ν(u, z)≤ν(T, z)1/m, đúng cho mọi z∈Ω.
Thật vậy, theo Nhận xét 3.2.15 (xem Phụ lục A), chúng ta có thể giả sử rằngu∈ Fm(Ω).
Với ε > 0, lấy h = max(εgz,−1) ∈ E0(Ω). Trước hết ta giả sử rằng ϕ ∈ E0(Ω). Bằng lý luận tương tự như trong phép chứng minh Bổ đề 5.4 trong [20] ta được
Z
Ω
−h(ddcϕ)∧(ddcgz)m−1∧(ddcgz)n−m
≤Z
Ω
−h(ddcϕ)m∧(ddcgz)n−mm1Z
Ω
−h(ddcgz)nm−1m .
(2.11)
Bây giờ ta giả sử rằng u ∈ Fm(Ω), khi đó từ định nghĩa của Fm(Ω) ta chọn được dãy Em0(Ω) 3ϕj &u trên Ω. Từ đây, theo kết quả của Mệnh đề 5.1 trong [20] ta có
j→∞lim Z
Ω
−h(ddcϕj)m∧(ddcgz)n−m = Z
Ω
−h(ddcu)m∧(ddcgz)n−m,∀m ≥1. (2.12) Mặt khác, từ (2.11), ta thay thếϕ bởiϕj và cho m→+∞ ta được
Z
Ω
−h(ddcu)∧(ddcgz)m−1∧(ddcgz)n−m
≤Z
Ω
−h(ddcu)m∧(ddcgz)n−mm1Z
Ω
−h(ddcgz)nm−1m .
(2.13)
Ta viết lại (2.13) như sau:
Z
Ω\{z}
−h(ddcu)∧(ddcgz)m−1∧(ddcgz)n−m+ Z
{z}
−h(ddcu)∧(ddcgz)m−1∧(ddcgz)n−m
≤ Z
Ω\{z}
−h(ddcu)m∧(ddcgz)n−m+ Z
{z}
−h(ddcu)m∧(ddcgz)n−mm1
×Z
Ω
−h(ddcgz)nm−1m
,∀m≥1.
(2.14) Tới đây, ta lưu ý rằng supp(ddcgz)n ={z} và h =−1 tại z. Nên từ (2.14), cho ε→ 0, ta được
ν(u, z)≤ν(T, z)1/m và ta có điều phải chứng minh.