Tính duy nhất của hàm m điều hòa dưới trong các lớp cegrell

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - - NGUYỄN THỊ HÀ TÍNH DUY NHẤT CỦA HÀM m - ĐIỀU HÒA DƯỚI TRONG CÁC LỚP CEGRELL LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - - NGUYỄN THỊ HÀ TÍNH DUY NHẤT CỦA HÀM m - ĐIỀU HÒA DƯỚI TRONG CÁC LỚP CEGRELL Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS Phạm Hiến Bằng THÁI NGUYÊN-2019 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn PGS.TS Phạm Hiến Bằng Các tài liệu luận văn trung thực Các kết luận văn chưa công bố luận văn Thạc sĩ tác giả khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực Luận văn cảm ơn thông tin trích dẫn Luận văn rõ nguồn gốc Tác giả Nguyễn Thị Hà Xác nhận Xác nhận Khoa chuyên môn Người hướng dẫn khoa học TS Trần Nguyên An PGS.TS Phạm Hiến Bằng i LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp xin cám ơn Thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo bạn học viên để luận văn hồn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tháng 04 năm 2019 Tác giả ii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục luận văn Chương CÁC LỚP CEGRELL ĐỐI VỚI HÀM m- ĐIỀU HỊA DƯỚI 1.1 Hàm điều hịa 1.2 Hàm m - điều hịa tốn tử Hessian phức 1.3 Các lớp Cegrell hàm m - điều hòa Chương TÍNH DUY NHẤT CỦA HÀM m - ĐIỀU HỊA DƯỚI TRONG CÁC LỚP CEGRELL 14 2.1 Tính chất tốn tử Hessian phức 14 2.2 Tích phân phần 2.3 Nguyên 18 lý so sánh lớp Emp (W) 2.4 Tính hàm m- điều hịa lớp Cegrell 2.5 Một vài áp dụng KẾT LUẬN 22 28 34 37 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO iii MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Cho W miền C n , u hàm điều hòa xác định W, u ¹ ¥ m số nguyên: £ m £ n Ta nói u hàm ˆ , bất đẳng thức m - điều hịa với h1, , hm - G m dd cu Ù h1 Ù hm - Ù wn - m ³ xảy theo nghĩa dịng, ˆ = h Ỵ C : h Ù wn - m ³ 0, , hm Ù wn - m , G m (1,1) { } w = dd c | z |2 dạng Kahler C n C (1,1) không gian (1,1) - dạng với hệ số Lớp hàm m - điều hòa S.Y Li giới thiệu lần vào năm 2004 ([10]) Sau đó, năm 2005, Z Blocki ([2]) nghiên cứu miền xác định toán tử Hessian (dd cu )m Ù wn - m Blocki chứng minh tồn nghiệm liên tục tốn Dirchlet hình cầu đơn vị C n Gần đây, L.H Chinh ([6]) dựa theo lớp Cegrell mở rộng lớp lượng hữu hạn cho hàm m - điều hịa Mục đích luận văn chứng minh điều kiện đủ cho tính hàm m - điều hịa Vì hai hàm đa điều hịa tập mở miền mà không thiết trùng (chẳng hạn u º v(z ) = max(log | z |, 0) ), nên cách tự nhiên đặt thêm giả thiết độ đo Hessian u, v để đảm bảo u º v toàn W Kết theo hướng Định lý Bloom Levenbeng tính việc mở rộng hàm đa điều hòa cực đại Định lý tìm thấy áp dụng số tốn thuyết đa vị có trọng (xem [3]) Các kết tiếp theo, ý đến iv Định lý 0.1 ([4]) Giả sử K Ì C n tập compact lồi đa thức W miền bị chặn chứa K u, v hàm đa điều hòa bị chặn W, thỏa mãn u £ v W u = v lân cận liên thơng ¶ W , v liên tục thỏa mãn (dd cv )n = W\ K Khi u = v W\ K Định lý 0.2 ([7]) Giả sử W miền siêu lồi bị chặn C n K Ì W tập lồi chỉnh hình compact W u 1, u hàm đa điều hòa âm cho điều kiện sau xảy ra: a ) lim u1(z ) = lim u 2(z ) = 0; zđ ảW zđ ảW b) (dd cu1)n £ (dd cu )n W\ K ị (dd cu )n < ¥ ; K c) u1 < u W\ K ; d) ò (dd u ) c n K £ ò (dd u ) c n K Khi u = u W\ K Trong luận văn này, chúng tơi trình bày việc tổng quát hóa hai kết lớp hàm m - điều hịa Do chúng tơi chọn đề tài: “Tính hàm m - điều hịa lớp Cegrell” Đề tài có ý nghĩa thời sự, nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cứu Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số tính chất lớp lượng U.Cegrell hàm m - điều hồ tính hàm m - điều hoà lớp Cegrell Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp lý thuyết đa vị phức Bố cục luận văn Nội dung luận văn gồm 38 trang, viết dựa tài liệu [1], [6] [8], v có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày tổng quan số kết tính chất hàm điều hoà dưới, hàm m - điều hoà toán tử Hessian Một số kết lớp Cegrell hàm m - điều hoà Chương 2: Là nội dung luận văn, trình bày số kết tính hàm m - điều hoà lớp Cegrell áp dụng Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt vi CHƯƠNG CÁC LỚP CEGRELL ĐỐI VỚI HÀM m - ĐIỀU HÒA DƯỚI 1.1 Hàm điều hòa Định nghĩa 1.1.1 Giả sử W tập mở £ Hàm u : W® é- ¥ , + ¥ êë ) gọi điều hịa W nửa liên tục trên W thỏa mãn bất đẳng thức trung bình W, nghĩa với w Ỵ W tồn d > cho với £ r £ d ta có u ( w) £ 2p ò 2p u ( w + re it )dt Kí hiệu tập hợp hàm điều hòa W SH (W) Mệnh đề 1.1.2 Giả sử Wlà tập mở £ , u, v Ỵ SH (W) Khi đó: (i ) m ax(u, v ) hàm điều hòa W (ii ) Tập hàm điều hòa W nón, nghĩa u, v Ỵ SH (W) a , b > a u + b v thuộc SH (W) Định lý 1.1.3 Giả sử Wlà miền bị chặn £ , u Ỵ SH (W) Khi đó: (i ) Nếu u đạt cực đại toàn thể điểm W u số W (ii ) Nếu lim sup u (z ) £ " V ẻ ả W thỡ u Ê trờn W zđ V Định lý 1.1.4 Giả sử W tập mở £ u hàm nửa liên tục trên W Khi mệnh đề sau tương đương (i ) u hàm điều hòa W (ii ) Với w Ỵ W, tồn d > cho D ( w, d > 0) Ì W với £ r < d, £ t < 2p ta có u ( w + re it ) £ 2p ò 2p d2 - r u ( w + de i q )d q 2 d - 2drcos(q - t ) + r vii { } D( w, d > 0) = z Ỵ W: z - w £ d đĩa đóng tâm w bán kính d (iii ) Với miền D compact tương đối W h hàm điều hòa trên D, liên tục D thỏa mãn lim sup(u - h )(z ) Ê ( V ẻ ả D ) z® V ta có u £ h D Định lý 1.1.5 Giả sử {un } dãy giảm hàm điều hòa tập mở Wtrên £ u = lim un Khi u hm iu hũa di trờn W nđ Ơ 1.2 Hm m-điều hịa tốn tử Hessian phức Ký hiệu b dạng Kahler chuẩn £ n W miền m - siêu lồi bị chặn £ n , tức tồn hàm m - điều hịa liên tục f : W® ¡ - cho {f < c} Ð W,  với c < Ta kết hợp (1,1) - dạng thực a £ n với ma trận Hermitian [ a jk ] a = i p å a jk dz j dz k Khi ú dng Kăahler tắc b   kết j ,k hợp với ma trận đồng I Ta có ( )a n k k Ù b n - k = S±k (A )b n Định nghĩa 1.2.1 C ho a (1,1) - dạng thực W Ta nói a m dương điểm cho trước P Ỵ W điểm ta có: a j  Ù b n - j   ³ 0,  " j  = 1, , k a gọi m - dương m - dương điểm thuộc W Cho T dòng song bậc (n - k, n - k )(k £ m ) Khi T gọi m - dương a Ù Ù a k ÙT ³ , với (1,1) - dạng m - dương a , , a k Định nghĩa 1.2.2 Hàm u : W® ¡ È {- ¥ viii } gọi m - điều hòa ò (- h )H W m (max(u, v )) £ ò (- h )H m (u ) W Từ ta nhận ị{ ị{ (- h )H m (u ) = u > v} (- h )H m (ma x( u, v)) u > v} ò  £ £ (- h )H m (max( u, v)) + W ò (- h )H m (v ) + W ò{ ò{ hH m (max(u, v )) u < v} hH m (v) = u > v} ò{ (- h )H m (v) u > v} Cho h ¯ - ta điều phải chứng minh W Định lý 2.3.4 Cho  u, v Ỵ Emp (W) ( p > 0) cho H m (u ) ³ H m (v ) Khi u £ v W Chứng minh (Phản chứng) Giả sử tồn z Î W cho v(z ) < u (z ) Lấy h hàm vét cạn W chọn R > cho z - z £ R , " z Ỵ W Cố định e đủ bé cho h(z ) < - eR Hàm vét cạn { } P (z ) = max h(z ), e( z - z - R ) liên tục W thoả mãn H m (P ) ³ em b n gần z Lấy h > đủ nhỏ cho v(z ) < u (z ) + hP (z ) Độ đo Lebesgue tập T = {z Ỵ W/ v(z ) < u(z ) + hP (z )}Ç B (z 0, d) dương với d > Từ suy ò T ò T H m (u + hP ) £ H m (P ) > Định lý 2.3.3 cho ta ò T H m (v ) Hơn nữa, ò T H m (u + hP ) ³ ò T H m (u ) + hm ò H m (P ) Suy xxvii T òH T m ò (v ) ³ T H m (u ) + hm ò H m (P ) T Mâu thuẫn với giả thiết H m (u ) ³ H m (v ) Vậy u £ v W W Phiên nguyên lý so sánh hàm m - điều hịa Nó suy từ lập luận tương tự trường hợp m = n Bổ đề 2.3.5 Giả sử u, w1, wm - Ỵ F m (W) cho v Î SH - (W) Ç C (W) Đặt T = dd c w1 Ùdd c wm - Ù wn - m ị ị dd cu ÙT ³ {u < v } dd cv ÙT {u < v } Mệnh đề 2.3.6 Cho u Ỵ Em (W) Giả s v ẻ SH m (W) ầ LƠ (W) v {u j } è Em (W) ầ LƠ (W) , u j ] u j Z ¥ Khi v(dd cu j )m Ù wn - m ® v(dd cu )m Ù wn - m yếu Chứng minh Vì tốn địa phương, nên khơng tính tổng qt, ta giả sử u , v Ỵ F m (W) Theo Định lý 3.5 [6] ta có m (dd u ) c j ( Ù wn - m ® dd cu m ) Ù wn - m yếu Hơn nữa, v hàm nửa liên tục nên ta có limsup ị v(dd cu j )m wn - m < jđ Ơ W ũ v(dd u ) c m- Ù wn - m W Mặt khác, u j ³ u nên u j Ỵ Fm (W) Từ đó, áp dụng Định lí 2.2.1 ta ị v(dd u ) c m j Ù wn - m = W ò u (dd u ) c m- j j Ù dd cv Ù wn - m W ³ ò u(dd u ) c m- j Ù dd cv Ù wn - m W = ò u (dd u ) c j m- j W xxviii Ù dd cu Ù dd cv Ù wn - m ³ ò u(dd u ) c m- j Ù dd cu Ù dd cv Ù wn - m W ³ ³ ò u(dd u ) c m- Ù dd cv Ù wn - m W = ò v(dd u ) c m Ù wn - m W Vì v Ỵ SH (W) ầ LƠ (W) nờn lim inf ũ v(dd cu j )m wn - m jđ Ơ W ò v(dd u ) c m Ù wn - m > - ¥ W Từ ta v(dd cu j )m Ù wn - m ® v(dd cu )m Ù wn - m yếu Ta hoàn tất phép chứng minh Mệnh đề 2.3.7 Cho WÌ C n miền 1- siêu lồi Khi E1(W) = SH - (W) Chứng minh Cho u Ỵ SH - (W) U Ð W tập mở tùy ý Đặt ( { wj = sup j Ỵ SH (W) : j £ max (u, - j )trênU - * }) Vì W miền 1- siêu lồi, nên wj Ỵ E10(W), u £ wj + £ wj W wj hàm điều hòa W\ U Bằng cách ước lượng tiêu chuẩn sử dụng cơng thức tích phân phần, ta thấy độ đo Laplacian tổng cộng wj bị chặn W Bổ đề 2.3.8 Cho WÌ £ n , u ẻ SH (W) ầ LƠ (W) v v Î SH (W) Khi lim udd cva Ù wn - = udd cv Ù wn - , va = m ax(v, a ) ađ - Ơ Chng minh Vỡ bi toỏn l a phương, nên ta giả sử W hình cầu u, v < W Theo Mệnh đề 2.3.7 ta có v Ỵ E1(W) Do đó, theo Mệnh đề 2.3.6 ta có lim udd cva Ù wn - = udd cv Ù wn - ađ - Ơ xxix Ta cn kt qu sau, nói hàm m  điều hịa liên tục miền m  siêu lồi W điều chỉnh thành phần tử Em0 (W) B 2.3.9 Cho u ẻ SH m (W) ầ C (W) Khi với tập mở G Ð W, tồn y G Ỵ Em0 (W) cho u - y G = const G Chứng minh Cho  hàm vét cạn m – điều hòa liên tục, âm, bị chặn W Chọn < d1 < d2 cho G Ð G = {r < - d2 } Ð G = {r < - d1 }1 = Đặt a = infG u b = infG u Khi hàm số y := b- a m ax {r + d2, 0}+ a d2 - d1 nhỏ u G lớn u ¶ G Điều suy ra, hàm v = m ax (y , u ) G y W\ G m – điều hòa W Ta cú v ẻ SH m (W) ầ LƠ (W), v = u trờn G v v ổỡù ỗ y G = sup ỗỗùớ j ẻ SH m (W) : j Ê u ỗốùùợ Vỡ j G ảW = (b - a )d2 + a Đặt d2 - d1 ö ổ(b - a )d ữ ữ ỗỗ ữ ÷ + a tr ê n G }÷÷÷ ÷ ççè d - d ÷ ø ø * hàm m  điều hòa m cực đại W\ G nên theo [2] ta có ị (dd y c G )m Ù wn - m = W\ G ỉ(b - a )d ÷ + £ y G , nên Do y G ẻ Em0 (W) Vỡ v - ỗỗỗ ữ ữ çè d2 - d1 ø ỉ(b - a )d ç ÷ u - y G = çç + aữ trờn G ữ ữ ỗố d2 - d1 ø W xxx 2.4 Tính hàm m  điều hòa lớp Cegrell Định nghĩa 2.4.1 Cho W miền £ n K tập compact W Khi K gọi là: (a ) Lồi phân hình W với z Ỵ W\ K tồn hàm chỉnh hình f W cho f (z ) Ï f (K ) (b) Lồi chỉnh hình W với z Ỵ W\ K , tồn hàm chỉnh hình f W cho sup K f < f (z ) Bổ đề 2.4.2 Cho W miền bị chặn £ n K Ì W tập lồi chỉnh hình compact W Giả sử G Ð W tập mở W f hàm chỉnh hình W cho Ï f (K ) sup K f < Khi với e Ỵ (0,1) với lân cận mở U ca K cho G \ U ặ u tn ti j ẻ PSH (W) ầ C (W) thỏa mãn tính chất sau: a ) j º lân cận K b) j = log max(| f |, e) + y G \ U , ú y ẻ PSH (W) ầ C (W) c) j đa điều hòa chặt G \ U Để chứng minh kết ta cần bổ đề sau Bổ để 2.4.3 Cho WÌ D miền bị chặn £ n K Ì D tập lồi phân hình, compact D Giả sử u, v Ỵ SH (W) cho dd c log | f | Ùwn - = trờn Wầ {u v} vi mi hm chnh hình f D với Ï f (K ) Khi u = v W\ K Chứng minh Đặt X = {z Ỵ W\ K : u(z ) ¹ v(z )} Giả sử X ¹ f Khi u, v hàm điều hòa nên suy l 2n (X ) > Do tồn a Ỵ X cho l 2n (U Ç X ) > với lân cận U a Vì K lồi phân hình W, nên tồn hàm chỉnh hình hình cầu đủ bé chứa a thỏa mãn: (i ) f (B ) Ç f (K ) = f ; xxxi (ii ) l 2n (X Ç B ) > Do nhiễu f đủ nhỏ, ta cú th gi s ảf trờn B Do đó, ta ¶ z1 chọn hình cầu đủ bé B ¢ compact tương đối B (có thể chứa a) cho : (iii ) l 2n (X ầ B Â) > (iv ) ảf ¶ z1 khơng triệt tiêu B ¢ Xét ánh xạ: F : W® £ n xác định bởi: F (z ) = ( f (z ), z 2, , z n ) Như F vi phơi địa phương từ B ¢tới F (B ¢) Do theo (iii ) , suy l 2n ( X ¢) > , X ¢:= F (X ầ B Â) Bõy gi c nh x Ỵ B đặt S x := {z Ỵ B ¢: f (z ) = f (x)} Theo (iv ) S x siêu mặt phức trơn S x Ç K = f Đặt g = f - f ( x) Vì ¹ g(K ) , nên theo giả thiết ta có dd c log | g | Ùwn - = B Âầ {u v } Mt khỏc, theo cụng thức Lelong – Poincare, dd c log | g | dịng tích phân S x Do vậy, u = v độ đo mặt S x Cuối cùng, ta xét p : £ n ® £ p : £ n ® £ n - phép chiếu xác định p1 (z 1, , z n ) = z 1, p (z 1, , z n ) := (z 2, , z n ) Theo lập luận ta có: l 2n - 2(p2- 1(t ) Ç X Â) = 0, " t ẻ p1(X Â) Áp dụng Định lý Fubini ta có l 2n (X ¢) = Mâu thuẫn với l 2n ( X ¢) > Định lý 2.4.4 Cho W miền m – siêu lồi bị chặn £ n K Ì W tập lồi phân hình compact W Giả sử u , v Î F m (W) thỏa mãn: a) ò j (dd u ) c W m Ù wn - m ³ ò j (dd v ) c m Ù wn - m với j Ỵ Em0 (W) đa điều W hòa lân cận mở K W xxxii b) u £ v W\ K Khi u  v W\ K Chứng minh Theo Bổ đề 2.4.2, ta cần chứng minh f hàm chỉnh hình W cho Ï f (K ) dd c log | f | Ùwn - = {u < v } Lấy e Ỵ (0, infK | f |) Đặt fe = m ax (log | f |, log e) Giả sử G tập mở W cho K Ð G Ð W Vì fe ẻ PSH (W) ầ C (W) nờn theo B đề 2.3.9 tồn y G Ỵ Em0 (W) cho fe - y G = const G Ta chia phép chứng minh thành bước Bước 1: Ta chứng minh (v - u )dd c y G Ù (dd cu )m - Ù wn - m = W Đặt T = å m- j= (dd cu ) j Ù (dd cv )m - j - Ù wn - m Vì dd c y G = dd c f e = lân cận đủ bé K , nên theo giả thiết (b) ta nhận (v - u )dd c y G ÙT ³ W Từ suy 0£ ị (v - u )dd c y G ÙT = W = òy W òy G dd c (v - u ) ÙT W G é(dd cv )m Ù wn - m - (dd cu )m Ù wn - m ù£ ëê ûú Trong bất đẳng thức cuối suy từ giả thiết (a) Do (v - u )dd c y G ÙT = W Hơn ta có: dd c y G Ù (dd cu ) j Ù (dd cv )m - j - Ù wn - m ³ W với j = 0,1, , m - Từ (v - u )dd c y G (dd cu )m - Ù wn - m = W Bước 2: Ta chứng minh dd c fe Ù wn - = {u < v } xxxiii Lấy a > cho | z |2 - a < - W, {v j } Ì Em0 (W) Ç C (W) cho v j ] v j Z + ¥ Cố định d > Theo Bổ đề 2.3.5 ta có ị (v j - u ) dd c y G Ù (dd cu )m - Ù wn - m W ³ (v j - u ) dd c y G Ù (dd cu )m - Ù wn - m {u < v + d(|z | - a )} ò j c c m- n- m ³ d ò dd y G Ù (dd u ) Ù w {u < v + d(|z | - a )} j ³ d ( ò m- ) dd c y G Ù dd c (v j + d(| z |2 - a ) Ù wn - m {u < v + d(|z | - a ) j ³ dm dd c y G Ù wn - ò {u < v + d(|z | - a ) j ³ dm dd c y G Ù wn - ³ {u < v + d(|z | - a )} ò Hơn nữa, theo Định lý hội tụ trội Lebesgue ta cú ũ (v lim jđ + Ơ j - u ) dd c y G Ù (dd cu )m - Ù wn - m W = ò (v - u ) dd c y G Ù (dd cu )m - Ù wn - m = W Từ ta có dd c y G Ù wn - = {u < v + d(|z | - a )} ò Cho d ] ta dd c y G Ù wn - = {u < v } Chú ý dd c f e = dd c y G G, nên dd c f e wn - = G Ç {u < v } Cuối cùng, cho G Z W ta điều phải chứng minh bước Bước 3: Ta chứng minh dd c log | f | Ùwn - = trờn b ẻ Ô Vi mi e ẻ (0, infK | f |) Theo bước ta có xxxiv {u < v } Lấy dd c fe Ù wn - = WÇ {u < b < v } Suy max(v - b, 0) dd c fe Ù wn - = WÇ {u < b} Cho d ] , {u < b} tập mở nên theo Bổ đề 2.3.8 ta có max(v - b, 0) dd c log | f | Ùwn - = WÇ {u < b} Từ dd c log | f | Ùwn - = WÇ {u < b < v } Do dd c log | f | Ùwn - = WÇ {u < v }  Định lý 2.4.5 Cho D miền bị chặn £ n K tập lồi chỉnh hình compact D Giả sử WÌ D miền m  siêu lồi u , v Ỵ Em (W) cho: a) u = v lân cận mở (¶ W) \ K b) (dd cu )m Ù wn - m ³ (dd cv )m Ù wn - m W\ K c) u £ u W\ K Khi u = v W\ K Chứng minh Cho f hàm chỉnh hình D cho Ï f (K ) theo Bổ đề 2.4.2, ta cần dd c log | f | Ùwn - = {u < v } Khơng tính tổng qt, giả sử sup | f |< f Cố định e Ỵ (0, infK | f |) K Lấy V lân cận ¶ (W\ K ) cho u = v V Ç W, U Ð D lân cận K cho e < infU | f | Đặt W¢= W\ (V È U ) Ta có W¢Ð W Lấy G : W¢Ð G Ð W cho u = v W\ (G È K ) Theo Bổ đề 2.4.2, tồn xxxv j Ỵ PSH (W) ầ C (W) v y ẻ PSH (G \ U ) Ç C (G \ U ) : j ³ , j º lân cận K j = fe + y , fe = max {log | f |, log e} Đặt T = m- å (dd cu ) j Ù (dd cv )m - j - Ù wn - m j= Chn c ẻ C 0Ơ (W) cho £ c £ W c = G Vì u = v W\ G c j = lân cận ¶ (W\ K ) , sử dụng Định lý Stokes ta 0³ ò cj W\ K = é(dd cv )m Ù wn - m - (dd cu )m Ù wn - m ù ú ëê û ò c j dd (v c u ) ÙT = W\ K = ò (v W/ K ò (v - u ) dd c ( c j ) ÙT = ò (v - G/ K = u ) dd c ( c j ) ÙT u )dd cj ÙT G/ K ò (v - u )dd cj ÙT ³ W/ K Từ suy (v - u )dd cj ÙT = W Vì dd cj = dd c f e + dd c y ³ dd c f e ³ G \ U nên suy (v - u )dd c f e Ù (dd cu )m - Ù wn - m = G \ U Bây chọn u ¢Ỵ F m (W) cho u ³ u ¢ W u ¢= u G Đặt v ¢= max(v, u ¢) Theo giả thiết s la chn ca G ta cú v Âẻ F m (W), u ¢£ v ¢ u ¢= u W\ (G È U ) Từ suy m- (v ¢- u ¢)dd c fe Ù (dd cu ¢) Ù wn - m = W\ U Vì dd c f e = U nên ta (v ¢- u ¢)dd c fe Ù (dd cu ¢)m - Ù wn - m = W Do đó, theo phép chứng minh bước bước Định lý 2.4.4 ta có xxxvi dd c log | f | Ùwn - = {u ¢< v ¢} Suy dd c log | f | Ùwn - = {u < v } W 2.5 Một vài áp dụng Ta áp dụng kết tính điều kiện đủ hội tụ yếu dãy hàm m - điều hòa Mệnh đề 2.5.1 Cho W miền m - siêu lồi bị chặn £ n K Ì W tập compact lồi phân hình Cho u,{u j }j ³ hàm thuộc F m (W) thỏa mãn điều kiện sau: (a ) {u j }j ³ không hội tụ đến - ¥ tập compact W\ K (b) u j £ u W\ K với j ³ (c ) lim j (dd c u j )m Ù wn - m = jđ Ơ ũ W ũ j (dd u ) w c n- m với j Ỵ Em0 (W) đa W điều hòa lân cận mở K W m (d ) sup ò (dd cu j ) Ù wn - m < ¥ j³ W Khi u j ® u L1loc (W\ K ) Chứng minh Từ (a) suy dãy {u j }j ³ compact L1loc (W) Chỉ cần kiểm tra u = v W\ K với điểm tụ v tùy ý {u j }j ³ L1loc (W) Cho v điểm tụ Khi tồn dãy {u jk }k ³ cho æ trờn W v = ỗỗlim sup u ik ữ ữ ữ ố kđ Ơ ứ * t vk = (suph³ u jk + h )* , v k ] v k Z ¥ Hơn nữa, theo (b) ta có v £ u W\ K Ta v Ỵ F m (W) Chú ý rằng, v ik £ v k W ta có vk Ỵ F m (W) Theo Mệnh đề 2.2.3 (a) giả thiết (d) ta xxxvii m m lim sup ò (dd cvk ) Ù wn - m £ lim sup ò (dd cu jk ) Ù wn - m < ¥ kđ Ơ kđ Ơ W W T ú, theo Mnh đề 2.2.3 (c) ta v Ỵ F m (W) với j Ỵ em0 (W) đa điều hịa lân cận mở K , theo Mệnh đề 2.2.3 giả thiết (c) ta nhận m c m n- m c n- m ò j (dd v ) Ù w = lim ò (dd vk ) Ù w kđ Ơ W W m lim ũ j (dd cu jk ) Ù wn - m = k® ¥ W m c n- m ò j (dd u ) Ù w W Do đó, theo Định lý 2.4.4 ta nhận u = v W\ K W Mệnh đề 2.5.2 Cho W miền siêu lồi bị chặn £ n K tập lồi đa thức compact £ n Giả sử {u j }j ³ dãy F m (W) thỏa mãn điều kiện sau: (a ) Tồn j Ỵ SH m- (W) cho lim inf ò j (dd cu j )m Ù wn - m > - Ơ jđ Ơ W (b) Tn ti u ẻ SH m- (W) ầ LƠloc (W\ K ) cho lim sup u j(z ) Ê u (z ), " z ẻ W/ K jđ ¥ (dd cu )m Ù wn - m = W\ K (c ) u j ® u L1loc (U ) j đ Ơ , U lân cận mở ¶ (W\ K ) Khi u j ® u L1loc (W\ K ) j đ Ơ Chng minh Theo giả thiết (c) ta suy dãy {u j }j ³ khơng hội tụ đến - ¥ tập compact W Như dãy compact L1loc (W) Từ cần điểm tụ v {u j }j ³ trùng với u W\ K Cố định v thế, tồn dãy {u jk }k ³ cho v = (lim u jk )* T (c) kđ Ơ suy u = v U Tiếp theo ta v Ỵ Em (W) Thật vậy, đặt xxxviii vk = (sup u jk + h )* h³ Vì u jk £ vk W nên suy vk Ỵ F m (W) Từ đó, theo Mệnh đề 2.2.3 ta lim inf ò j (dd cvk )m Ù wn - m ³ lim inf ò j (dd cu jk )m Ù wn - m k® ¥ k® ¥ W W ³ lim inf ị j (dd cu j )m Ù wn - m > - ¥ k® ¥ W Hơn nữa, v k ] v k Z ¥ nên theo Mệnh đề 2.2.3 ta v Ỵ Em (W) Chú ý v £ u (W) , nên u Î Em (W) Hơn nữa, theo giả thiết (b) ta có (dd cu )m Ù wn - m = W\ K Như (dd cv )m Ù wn - m ³ (dd cu )m Ù wn - m W\ K Áp dụng Định lý 2.4.5 ta kết luận u = v W\ K xxxix  KẾT LUẬN Luận văn trình bày: + Tổng quan hệ thống số kết tính chất hàm điều hồ dưới, hàm m - điều hồ tốn tử Hessian + Một số tính chất lớp lượng U.Cegrell hàm m - điều hồ dưới, cơng thức tích phân phần, nguyên lí so sánh lớp Cegrell + Một số kết tính hàm m - điều hoà lớp Cegrell áp dụng xl TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Nguyễn Quang Diệu Lê Mậu Hải (2009), Cơ sở lí thuyết đa vị, Nxb Đại học sư phạm TIẾNG ANH [2] Blocki Z., (2005), “Weak solution to the complex Hessian equation”, Ann Inst Fourier (Grenoble) 55, no 5, 1735-1756 [3] Bloom T., Levenberg N., (2003), “Weighted pluripotential theory”, Amer J Math 125, 57–103 [4] Cegrell U., (1998), “Pluricomplex energy”, Acta Math 180, 187–217 [5] Cegrell U., (2004), “The general definition of the complex Monge– Ampère operator”, Ann Inst Fourier (Grenoble) 54, 159–179 [6] Chinh L H., (2013), “On Cegrell’s classes of m-subharmonic functions”, arXiv:1301.6502v1 [math.CV] [7] Dieu N Q., (2011), “A unicity theorem for plurisubharmonic functions”, Ann Polon Math 100(2), 159–165 [8] Dieu N.Q., Bang P.H., Hong N.X., (2014), “Uniqueness properties of m-subharmonic functions in Cegrell classes”, J Math Anal Appl 420, no1, 669-683 [9] Duval J., Sibony N., (1995), “Polynomial convexity and rational convexity”, Duke Math J 79, 478–513 [10] Li S.Y., (2004), “On the Dirichlet problems for symmetric function equations of the eigenvalues of the complex Hessian”, Asian J Math 8(1), 87–106 [11] Persson L., (1999), “ A Dirichlet principle for the complex Monge-Amp`ere operator”, Ark Mat 37, no 2, 345-356 xli ... ĐỐI VỚI H? ?M m- ĐIỀU HÒA DƯỚI 1.1 H? ?m điều hòa 1.2 H? ?m m - điều hòa toán tử Hessian phức 1.3 Các lớp Cegrell h? ?m m - điều hòa Chương TÍNH DUY NHẤT CỦA H? ?M m - ĐIỀU HỊA DƯỚI TRONG CÁC LỚP CEGRELL. .. ¼ Ù dd cj W m Ù b n- m £ từ suy kết cần chứng minh 4m max e (j 1£ i £ m c em éê1 - 2m e p ù ú ë û i ), W xvi CHƯƠNG TÍNH DUY NHẤT CỦA H? ?M m - ĐIỀU HỊA DƯỚI TRONG CÁC LỚP CEGRELL Trong chương... kết tính chất h? ?m điều hồ dưới, h? ?m m - điều hồ tốn tử Hessian + M? ??t số tính chất lớp lượng U .Cegrell h? ?m m - điều hồ dưới, cơng thức tích phân phần, nguyên lí so sánh lớp Cegrell + M? ??t số kết tính