Các lớp cegrell của hàm m điều hóa dưới và phương trình hessian trong các lớp cegrell

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM –––––––––––––––––––– PHÙNG THỊ KIM OANH CÁC LỚP CEGRELL CỦA HÀM m - ĐIỀU HỒ DƢỚI VÀ PHƢƠNG TRÌNH HESSIAN TRONG CÁC LỚP CEGRELL Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS PHẠM HIẾN BẰNG THÁI NGUYÊN - 2016 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi Các tài liệu luận văn trung thực Luận văn chưa cơng bố cơng trình Tác giả Phùng Thị Kim Oanh Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn ii LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp tơi xin cám ơn Thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phòng đào tạo, phận sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập nghiên cứu khoa học Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tháng 04 năm 2016 Tác giả Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục luận văn Chƣơng 1: HÀM ĐIỀU HÒA DƢỚI VÀ m - ĐIỀU HÒA DƢỚI 1.1 Hàm điều hòa 1.2 Hàm đối xứng sơ cấp 1.3 Hàm m-điều hòa tốn tử Hessian 1.4 m - dung lượng tương đối 1.5 Hàm m - cực trị tương đối 10 Chƣơng 2: CÁC LỚP NĂNG LƢỢNG HỮU HẠN KIỂU CEGRELL 13 2.1 Các định nghĩa tính chất 13 2.2 Toán tử Hessian phức 21 2.3 Tích phân phần 25 2.4 Nguyên lý so sánh 26 Chƣơng 3: PHƢƠNG TRÌNH HESSIAN TRONG CÁC LỚP CEGRELL 32 3.1 Các hàm lượng 32 3.2 Sự tồn nghiệm phương trình Hessian lớp Cegrell 37 KẾT LUẬN 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Cho WÌ Ā n miền bị chặn m số nguyên cho Ā m Ā n Xét phương trình m - Hesian phức có dạng (dd cj )m Ù b m - n = m b = dd c z (1.1) l dng Kăahler chun C n v µ độ đo Radon dương Phương trình m - Hessian phức nghiên cứu lần S.Y Li năm 2004 Ông sử dụng phương pháp liên tục để giải tốn Dirichlet khơng suy biến cho phương trình (1.1) miền m - giả lồi mạnh Một vấn đề suy biến tương tự nghiên cứu Blocki năm 2005 Ông giải phương trình với điều kiện biên liên tục trình bày bước lý thuyết vị phương trình Gần đây, Abdullaev Sadullaev quan tâm đến tập m - cực m - dung lượng hàm m - điều hòa Khi m trù mật Lp (w)( p > n / m ) , Dinew Kolodziej chứng minh với điều kiện biên liên tục cho, tốn Dirichlet phương trình (1.1) có nghiệm liên tục Theo hướng nghiên cứu chọn đề tài: “ Các lớp Cegrell hàm m - điều hoà Phương trình Hessian lớp Cegrell“ Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn nghiên cứu lớp lượng hữu hạn hàm m - điều hòa tổng quát hóa lớp Cegrell hàm đa điều hòa Nghiên cứu tồn nghiệm phương trình Hessian phức suy biến (dd cj )m Ù b n - m = m, µ độ đo Radon dương suy biến Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau đây: + Nghiên cứu số tính chất hàm điều hoà dưới, hàm m - điều hồ tốn tử Hessian, m - dung lượng tương đối hàm m - cực trị tương đối + Nghiên cứu trình bày kết gần L.H Chinh số tính chất lớp lượng U.Cegrell hàm m - điều hồ tồn nghiệm phương trình Hessian lớp kiểu Cegrell Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp lý thuyết đa vị phức Bố cục luận văn Nội dung luận văn gồm 49 trang, có phần mở đầu, ba chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày tổng quan hệ thống kết tính chất hàm điều hồ dưới, hàm m - điều hồ tốn tử Hessian, m - dung lượng tương đối hàm m - cực trị tương đối Chương 2: Trình bày số kết lớp Cegrell hàm m điều hoà Chương 3: Trình bày kết tồn nghiệm phương trình Hessian lớp Cegrell Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn Chƣơng HÀM ĐIỀU HÒA DƢỚI VÀ m - ĐIỀU HÒA DƢỚI 1.1 Hàm điều hòa dƣới Định nghĩa 1.1.1 Giả sử W tập mở Ā Hàm u : W® éêë- ¥ , + ¥ ) gọi điều hòa W nửa liên tục trên W thỏa mãn bất đẳng thức trung bình W, nghĩa với w Ỵ W tồn d > cho với Ā r Ā d ta có u( w) Ā 2p ò 2p u( w + re it )dt Kí hiệu tập hợp hàm điều hòa W SH (W) Mệnh đề 1.1.2 Giả sử W tập mở Ā , u, v Ỵ SH (W) Khi đó: (i ) m ax(u , v ) hàm điều hòa W (ii ) Tập hàm điều hòa W nón lồi, nghĩa u, v Ỵ SH (W) a , b > a u + b v thuộc SH (W) Định lý 1.1.3 Giả sử W miền bị chặn Ā , u Ỵ SH (W) Khi đó: (i ) Nếu u đạt cực đại toàn thể điểm W u số W (ii ) Nếu lim sup u (z ) Ā " V ẻ ả W thỡ u trờn W zđ V Định lý 1.1.4 Giả sử W tập mở Ā u hàm nửa liên tục trên W Khi mệnh đề sau tương đương (i ) u hàm điều hòa W (ii ) Với w Ỵ W, tồn d > cho D(w, d > 0) Ì W với Ā r < d, Ā t < 2p ta có u ( w + re ) Ā 2p it { ò 2p d2 - r u ( w + de i q )d q 2 d - 2drcos(q - t ) + r } D(w, d > 0) = z Ỵ W: z - w Ā d đĩa đóng tâm w bán kính d Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn (iii ) Với miền D compact tương đối W h hàm điều hòa trên D, liên tục D thỏa mãn lim sup(u - h )(z ) (V ẻ ả D ) zđ V ta có u Ā h D Định lý 1.1.5 Giả sử { u n } dãy giảm hàm điều hòa tập mở W Ā u = lim un Khi u hàm iu hũa di trờn W nđ Ơ Chng minh u tiên ta chứng minh u nửa liên tục trên W Với a Ỵ R, tập {z Ỵ W: u (z ) < a } = Ơ U{z ẻ W: u n (z ) < e} n Do tập mở Vậy u nửa liên tục trên W Do u n thỏa mãn bất đẳng thức trung bình nên dùng định lý hội tụ đơn điệu suy u thỏa mãn bất đẳng thức trung bình W Do u hàm điều hòa W W Hệ 1.1.6 Giả sử u hàm điều hòa miền WÌ Ā cho u khơng đồng - ¥ W Khi tập { E = z Ỵ W; u (z ) = - ¥ } có độ đo Lebesgue Tập E Ì Ā mà có hàm điều hòa dưới, khơng đồng - ¥ , nhận giá trị - ¥ gọi tập cực Sau trường hợp Ā n , tập gọi tập đa cực Đó tập kỳ dị lớp hàm điều hòa dưới( tương ứng đa điều hòa dưới) 1.2 Hàm đối xứng sơ cấp Cho Sk , k = 1, , n l = (l , , l n ) Ỵ R n , hàm k - đối xứng sơ cấp với S k (l ) = å 1Ā i1 < i2 < < ik Ā n l i l i l i Đặt S 0(l ) = k S k (l ) = k > n k < Ta có đồng thức Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn n å (l + t ) (l n + t ) = S k (l ) t n - k , t Ỵ ¡ k= Kí hiệu Gk bao đóng thành phần liên thơng tập hợp {S k (l ) > 0} chứa (1, ,1) Ta có { Gk = l Ỵ R n / S k (l + t , , l n + t ) ³ 0, " t > 0} Từ S m (l + t , , l n + t ) = m å ( ) S (l )t n- k m- k k m- k ,t Ỵ ¡ suy k= Gk := {l Î R n / S j (l ) ³ 0, " Ā j Ā k} Ký hiệu H không gian vectơ ¡ gồm ma trận Hermitian k phức cấp n ´ n Với A Ỵ H , ký hiệu l (A ) = (l , , l n ) giá trị riêng A Đặt S%k (A ) = S k (l (A )) Từ đẳngthức n det (A + tI ) = å S%k (A )t n - k , t Ỵ ¡ k= suy hàm S%k tổng tất định thức bậc k , S%k (A ) = å AI I Do đó, S%k đa thức bậc k H I =k mà hyperbolic ma trận đồng I Như [3], % = {A Ỵ H / S%(A + tI ) ³ 0, " t ³ Ta có ta địnhnghĩa G k k 1/ k % = {A Î H / l (A ) Î G } nún li v hm Sỵk G k k % lừm G k 1.3 Hàm m-điều hòa dƣới tốn tử Hessian Ký hiệu b dạng Kahler chuẩn C n W miền m - siêu lồi bị chặn Ā n , tức tồn hàm m - điều hòa liên tục f : W® ¡ - cho {f < c} Ð W, với c < Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn Ta kết hợp (1,1) - dạng thực a C n với ma trận Hermitian [a jk ] a = i p å a jk dz j Ù dz k Khi ú dng Kăahler chớnh tc b c kết j ,k hợp với ma trận đồng I Ta có ( )a n k k Ù b n - k = S±k (A )b n Định nghĩa 1.3.1 C ho a (1,1) - dạng thực W Ta nói a m dương điểm cho trước P Ỵ W điểm ta có: a j Ùb n - j ³ 0, " j = 1, , k a gọi k - dương k - dương điểm thuộc W Cho T dòng song bậc (n - k , n - k )(k Ā m ) Khi T gọi m - dương a Ù Ù a k ÙT ³ , với (1,1) - dạng m - dương a , , a k Định ngha 1.3.2 Hm u : Wđ Ă ẩ {- Ơ } gọi m - điều hòa hà m điều hòa ddcu Ù a Ù a m - Ù b n - m ³ 0, với (1,1) - dạng m - dương a 1, , a m - Lớp tất hàm m - điều hòa W ký hiệu SH m (W) Mệnh đề 1.3.3 [3] i ) Nếu u C tr n u m - điều hòa dd cu m - dương điểm thuộc W ii ) Nếu u, v Ỵ SH m (W) l u + mv Î SH m (W), " l , m > iii ) Nếu u m - điều hòa W u å c m - điều hòa We = {x Ỵ W/ d(x , ¶ W) > e} iv ) Nếu (ul ) Ì SH m (W) bị chặn địa phương (sup u l )* Ỵ SH m (W) t r o n g đ ó v å qui nửa liên tục v v ) PSH = Pn Ì Ì P1 = SH Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn 35 Bổ đề 3.1.6 Cho u, v Ỵ Em1 (W) giả sử v liên tục Cho t < 0, hàm P (u + tv ) thuộc Em1 (W) với s < 0, P (u + tv ) - P (u + sv ) Ā t - s (- v ) Chứng minh Chọn t < 0, Hàm P (u + tv ) nửa liên tục Mà u Ā P (u + tv ) Ā u + tv, kéo theo P (u + tv ) Ỵ Em1 (W) Với s < t ta có P (u + tv ) Ā P (u + sv ), P (u + sv ) + (t - s )v Ā P (u + tv ) Do đó, P (u + tv ) - P (u + sv ) Ā t - s (- v ) Bổ đề 3.1.7 Cho u : W® R hàm liên tục Giả sử tồn w Ỵ Em1 (W) cho w Ā u Khi ò{ ( ) P u 0, r > cho P (u )(x ) < u(x ) - e < u(x ), " x Ỵ B = B (x 0, r ) Với j cố định, cách xấp xỉ u j |¶ B dãy hàm liên tục ¶ B áp dụng Định lý 2.10 [7], ta tìm hàm j j Ỵ SH m (B ) cho j j = uj B H m (j j ) = B Nguyên lý so sánh cho ta j j ³ u j B , hàm y j xác định y j = j j B y j = u j W\ B thuộc vào Em1 (W) ầ LƠ (W) Vi mi x ẻ ả B ta có j j (x ) = u j (x ) Ā P (u )x Ā u (x ) - e Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn 36 Vậy j j Ā u (x ) - e B u (x ) - e số j j m - điều hồ Do u j Ā y j Ā u W Suy (lim j y j )* = P (u ) Từ Định lý 1.4.7 suy H m ( y j ) ® H m (P (u )) Do ta có H m (P (u ))(B ) Ā lim inf H m (y j )(B ) = W j® + ¥ Bổ đề 3.1.8 Giả sử u, v Ỵ Em1 (W) v hàm số liên tục Với t < , đặt ht = P (u + tv ) - tv - u Khi với Ā k Ā m , ta có t lim ò ht (dd cu )k Ù (dd cP (u + tv ) )m - k Ù b n - m = tZ (3.2) W Đặc biệt, lim ò tZ P (u + tv ) - u (dd cu )k Ù (dd cP (u + tv ))m - k Ù b n - m = W t ò vH W m (u ) (3.3) Chứng minh Dễ chứng minh ht hàm giảm theo t Ā ht Ā - v Với s < cố định ta có lim ò ht (dd cu )k Ù (dd cP (u + tv ))m - k Ù b n - m Ā tZ W Ā lim ò hs (dd cu )k Ù (dd cP (u + t v ) )m - k Ù b n - m tZ ò = W hs (dd cu )m Ù b n - m Ā W ò{ (- v ) (dd cu )m Ù b n - m P ( u + sv )- sv < u } Giả sử (uk ) Ì Em0 (W) Ç C (W) dãy giảm tới u cho ò{ (- v )(dd cu )m Ù b n - m Ā 2ò P ( u + sv )- sv < u } (- v )(dd cu )m Ù b n - m {P (uk + sv )- sv < u } Theo Bổ đề 3.1.7 ta kết luận ò{ (- s )(dd cu )m Ù b n - m Ā P ( uk + sv )- sv < u } ò{ (- v )(dd cP (u k + sv ) - sv ) )m Ù b n - m P ( uk + sv )- sv < uk } Ā - sM ® 0, s ® 0, Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn 37 M số dương phụ thuộc vào m , v , ò v(dd c (u + v ))m Ù b n - m W Bất đẳng thức (3.3) suy từ bất đẳng thức (3.2) W Bổ đề 3.1.9 Giả sử u, v Î Em1 (W) v hàm số liên tục Hàm g(t ) = e1(P (u + tv )) , t Ỵ R khả vi g ÿ(0) = (m + 1) ò (- v )H m (u ) W Chứng minh Nếu t > 0, P (u + tv ) = u + tv Dễ thấy g ÿ(0+ ) = (m + 1) ò (- v )H m (u ) W Lấy đạo hàm trái ta ( ò (- P (u + tv ))(dd cP (u + t v ))m Ù b n - m W t m = å ò k= ò (- u )(dd cu )m Ù b n - m ) W u - P (u + tv ) (dd cu )k Ù (dd cP (u + tv ))m - k Ù b n - m W t Áp dụng Bổ đề 3.1.8 ta có điều phải chứng minh W 3.2 Sự tồn nghiệm phƣơng trình Hessian lớp Cegrell Bổ đề 3.2.1 Giả sử m độ đo Radon dương cho m(W) < + ¥ Giả sử tồn A > cho ò (- j ) d m Ā A e1(j ) 2 m+1 W với j Ỵ Em1 (W) (3.4) Khi m Ỵ M Hơn nữa, (u j ) Ì Em1 (W) cho sup je1(v j ) < + ¥ trích dãy {v jk } cho ò v dm ® W jk ò vd m W Cuối cùng, tồn hàm u Ỵ Em1 (W) cho H m (u ) = m Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn ta 38 Chứng minh Cố định j Ỵ Em1 (W) Từ (3.4) ta tìm số A > cho ò (- j )d m Ā W (ò 1/ ) (- j )2d m W Ā A e1(j ) 1/ m+1 m(W)1/ m(W) 1/ = Ce1(j ) m+1 < +Ơ Suy m ẻ M Bõy giả sử (v j ) Ì Em1 (W) thỏa mãn sup je1(v j ) = C < + ¥ Tính compact Em1,C (W) (Bổ đề 3.1.1) cho phép ta lấy dãy (cũng kí hiệu (v j ) ) hội tụ theo nghĩa phân bố tới v Ỵ Em1 (W) Bất đẳng thức (3.4) cho ta sup j ò (- v j )2dm < + ¥ W Theo Bổ đề 3.1.2 ta có ò v dm ® W j ò vd m W Bây ta chứng minh phát biểu cuối Giả sử (u j ) Ì Em1 (W) cho lim j F m(u j ) = infv Ỵ E1 m F m(v ) Ā (Ω) Theo Bổ đề 3.1.5, ta có sup je1(u j ) < + ¥ Theo chứng minh suy tồn dãy (cũng kí hiệu (u j ) ) cho u j hội tụ tới u Ỵ L1loc (W) ò u dm ® W j ò ud m Từ Bổ đề 3.1.3 ta thấy e1 nửa liên tục Như W lim inf F m(u j ) = lim inf e1(u j ) + lim ò u jd m ³ e1(u ) - u1 = F m(u ) jđ Ơ jđ Ơ jđ Ơ W Khi ta kết luận u điểm cực tiểu F m Em1 (W) Bây ly v ẻ Em0 (W) ầ C(W) Hm g(t ) = e (P (u + t v ) ) + m+1 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN ò (u + t v )d m W http://www.ltc.tnu.edu.vn 39 khả vi g ÿ(0) = - ò vH m (u ) + W ò vd m W Vì P (u + tv ) Ā u + tv nên ta có g(t ) ³ F m(e1P (u + tv )) ³ F m(u ) = g(0), " t Ỵ R Do gÿ(0) = suy ò vH m (u ) = W ò W vdm W Định lý 3.2.2 Nếu m Î M tồn u Î Em1 (W) cho H m (u ) = m Chứng minh Tính suy từ nguyên lý so sánh Ta chứng minh tồn Trước tiên, giả sử m có giá compact K Ð W ký hiệu hK = hm* ,K ,W hàm m - cực trị K W Đặt ïíï ïü m+1 M = ì v ³ / supp n Ì K , ò (- j ) d n Ā Ce1(j ) , " j Ỵ Em1 (W)ùý , W ùù ùù ợ ỵ ú C số cố định cho C > 2e1(hK ) n- n+1 Với compact L Ì K , ta có hK Ā hL Suy e1(hL ) Ā e1(hK ) Do ò (- j )2 H m (hL ) Ā 2hL ò (- j ) (dd cj ) Ù (dd chL )m - Ù wn - m W W Ā (ò (- j )H W Ā Ce1(j ) m+1 m m+1 ) (ò (- h )H (j ) W L m m- m+1 ) (hL ) , với j Ỵ Em1 (W) Suy H m (hL ) Ỵ M với compact L Ì K { } Đặt T = sup n (W) n Ỵ M Ta chứng minh T < + ¥ (3.5) Thật vậy, W m - siêu lồi, nờn tn ti h ẻ SH m- (W) ầ C (W) cho K Ð {h < - 1} Ð W Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn 40 Với n Ỵ M , ta có n(K ) Ā ò K (- h )d n Ā C e1(h ) m+1 , Từ suy (3.5) Cố định n Ỵ M cho n0(W) > Đặt M ÿ= n ³ / n(W) = 1, supp n Ì K , { ổC ỗỗ + C ữ m+1 ữ ( j ) d n Ā e ( j ) , " j ẻ Em1 (W) ữ ũW ỗỗT ữ n ( W ) è ø } Khi n Ỵ M j Ỵ Em1 (W), ta có ò (- j )2 (T - n(W)d n + n (W)d n ) T n (W) W Ā T - n(W) (- j )2d n + ò W T n (W) T ò (- j )2d n W æ T - n(W) C ữ ỗ m ỗỗC + ữ e1(j ) + ữ ữ Tứ ốỗ T n (W) ổ Cữ ỗỗ C ữ ỗ + ữe1 (j ỗỗn (W) T ữ ữ ố ứ m+1 ) Từ ta kết luận (T - n(W)n + n (W)n ) T n (W) Ỵ M ÿ , với n Ỵ M Ta kết luận M ÿ (không rỗng) lồi, compact yếu không gian độ đo xác xuất Theo Định lý Radon-Nykodim tổng quát suy tồn độ đo dương n Ỵ M ÿ hàm dương f Ỵ L1(n ) cho m = fd n + ns , ns trực giao với M ÿ Chú ý độ đo trực giao với M ÿ có giá tập m - cực H m (hL ) Ỵ M với L Ð K Khi ta kết luận ns º m triệt tiêu tập m - cực Theo Bổ đề 3.2.1, với l Ỵ M ÿ, tồn hàm u Î Em1 (W) cho Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn 41 (dd cu )n = l Với j Ỵ N , đặt mj = (f , j )n Khi mj thỏa mãn (3.4) mj Ā j n Vì thế, tồn u j Ỵ Em1 (W) cho H m (u j ) = mj Rõ ràng {u } giảm tới hàm u Ỵ j Em1 (W) thoả mãn H m (u ) = m Trường hợp lại khơng có giá compact Giả sử {K j } dãy vét cạn tập compact W xét mj = c K jd m Chú ý ( mj ) giảm tới u Ỵ SH m- (W) Điều đủ để chứng minh sup je1(u j ) < + ¥ Vì m Î M , nên ta có e1(u j ) = ò (- u j )H m ( mj ) = W ò K (- u j )d m Ā ò (- u j )d m Ā A e1(u j ) W Điều kéo theo e1(u j ) bị chặn Điều phải chứng minh Bổ đề 3.2.3 m+1 W Cho m độ đo Radon dương có khối lượng hữu hạn m(W) < + ¥ Giả sử m Ā H m ( y ) , y hàm m - điều hồ bị chặn W Khi tồn hàm j Ỵ F m1(W) cho m = H m (j ) Chứng minh Khơng tính tổng qt ta giả sử - Ā y Ā Xét h j = max ( y , jh ) , h Ỵ Em0 (W) hàm vét cạn W Lấy A j := {z Ỵ W/ jh < - 1} Theo Định lý 3.2.2, tồn (j j ) j Ì Em0 (W) cho H m (j j ) = I A m, " j Như vậy, j ³ j j ³ hj ³ y j j ¯ j Ỵ F m1(W) W Bây ta chứng minh định lý phân tích kiểu Cegrell Định lý 3.2.4 Giả sử m độ đo dương W, triệt tiêu tập m -cực Khi $ j Ỵ Em0 (W) Ā f Ỵ L1loc (H m (j ) ) cho m = f H m (j ) Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn 42 Chứng minh Trước tiên giả sử m có giá compact Theo Định lý 3.2.2 ta tìm u Ỵ Em1 (W) Ā f Ỵ L1(H m (u ) ) cho m = f H m (u ) supp (H m (u )) Ð W Xét y = (- u )- Ỵ SH m (W) Ç L¥loc (W) Khi (- u )- 2m H m (u ) Ā H m ( y ) Vì H m (u ) có giá compact W, nên ta điều chỉnh y lân cn ca ả W cho y ẻ Em0 (W) Theo Bổ đề 3.2.3 ta có (- u )- 2m H m (u ) = H m (j ) , j Ỵ Em0 (W) Suy f (- u )2m H m (j ) Vấn đề lại xét trường hợp m khơng có giá compact Giả sử (K j ) dãy vét cạn gồm tập compact W Theo chứng minh tồn u j Ỵ Em0 (W) f j Î L1(H m (u j )) cho I K m = f j H m (u j ) Lấy dãy số j ¥ dương (a j ) thoả mãn j = å au j j Ỵ Em0 (W) Độ đo m liên tục tuyệt đối đối j=1 với H m (j ) Như m = gH m (j ) g Ỵ L1loc (H m (j )) W Mệnh đề 3.2.5 Cho m độ đo Radon dương W p > Khi Emp (W) Ì Lp ( m) tồn số C > cho ò (- u ) d m Ā Ce (u ) p p m+ p p W , " u Î Emp (W) Chứng minh Giả sử m thỏa mãn Emp (W) Ì Lp ( m) tồn dãy (u j ) Ì Emp (W) cho ò (- u ) d m ³ p W j jp ep (u j ) p m+ p Để đơn giản, giả sử e p (u j ) = 1, " j ¥ Theo Hệ 2.1.11, u = å 2- j u j Ỵ Emp (W) Nhưng j=1 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn 43 ò (- u ) d m ³ ò (- p - j W u j )p d m 2jp đ + Ơ , W suy Emp (W) Ë Lp ( m) Điều mâu thuẫn với giả thiết Điều ngược lại rõ ràng W Chú ý 3.2.6 Nếu u, v Ỵ Emp (W) (u j ),(v j ) Ì Em0 (W) giảm tới u , v tương ứng, theo Bổ đề 2.1.8 Mệnh đề 2.1.10, ta có ò (- u ) H p W m (v ) Ā lim j inf ò (- u j )pH m (v j ) < + ¥ W Như vậy, Emp (W) Ì Lp (H m (v )) theo Mệnh đề 3.2.5 tồn C v > cho ò (- u ) H p W m (v ) Ā C vep (u ) p m+ p , " u Ỵ Emp (W) Định lý 3.2.7 Giả sử m độ đo Radon dương W cho Emp (W) Ì Lp ( m), p > Khi tồn j Ỵ Emp (W) cho H m (j ) = m Chứng minh Tính suy từ nguyên lý so sánh Ta chứng minh tồn j thoả mãn định lý Vì m triệt tiêu tập m - cực, nên áp dụng định lý phân tích (Định lý 3.2.4) ta m = fH m (u ), u Î Em0 (W), Ā f Ā L1loc (H m (u )) Với j , sử dụng Bổ đề 3.2.3 ta tìm j j Ỵ Em0 (W) cho H m (j j ) = min( f , j )H m (u ) Theo Mệnh đề 3.2.5, ta có sup j e p (j j ) < + ¥ Theo nguyên lý so sánh ta j j ¯ j Ỵ Emp (W) j thoả mãn H m (j ) = m W Định lý 3.2.8 Giả sử m độ đo Radon dương W với khối lượng tổng cộng hữu hạn m(W) < + ¥ Nếu m triệt tiêu tập m - cực tồn j Ỵ F m (W) cho H m (j ) = m Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn 44 Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh tồn Vì m triệt tiêu tập m - cực nên theo định lý phân tích ta có m = fH m (u ) , u Ỵ Em0 (W) , Ā f Ā L1loc (H m (u )) Với j sử dụng Bổ đề 3.2.3 để tìm j j Ỵ Em0 (W) cho H m (j j ) = min( f , j )H m (u ) Bên cạnh đó, sup j ò H m (j j ) Ā m(W) < + ¥ Do vậy, j W j ¯ j Ỵ F m (W) theo nguyên lý so sánh Hàm giới hạn j thỏa mãn H m (j ) = m điều kiện đòi hỏi Để chứng minh tính tiến hành theo cách Bổ đề 5.14 [5] Giả sử y Ỵ Fm (W) thỏa mãn H m ( y ) = m Ta chứng minh j = y Giả sử (K j ) dãy vét tập compact W cho h j = hm ,K tục Với j , hàm y j = max ( y , j h j ) Ỵ Em0 (W) d j = (y j / j ) - h j = m ax ((y j / j ) - h j , 0) Khi d j Ā I j ,W liên Đặt yj ¯ y {y > j h j } - d j ¯ Với s > j , theo nguyên lý so sánh ta có Ā d j H m (max ( y , s.h j )) Ā I = I H (max ( y , s.h j )) {y > j hj } m H (m ax ( y , j h j ) ) {y > j hj } m = H m (max ( y , s.h j )) Cho s ® + ¥ sử dụng Hệ 2.2.4 ta nhận d j H m (y ) Ā I H (max ( y , j h j )) Ā H m ( y ) {y > j hj } m (3.6) Theo ta có m = fH m (u ) , u Ỵ Em0 (W) , Ā f Ā L1loc (H m (u ) ) H m (j p ) = min( f , p)H m (u ) với p Ỵ N Với p, j ta tìm v jp Ỵ Em0 (W) cho H m (v jp ) = (1 - d j ) H m (j p ) Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn 45 Sử dụng (3.6) ta nhận H m (j p ) = d j H m (j p ) + (1 - d j ) H m (j p ) Ā d j H m (y ) + (1 - d j ) H m (j p ) Ā I { y > j h j H m ( y j ) + H m (v jp ) } Ā H m ( y j ) + H m (v jp ) (3.7) Điều kết hợp với nguyên lý so sánh cho ta j p ³ v jp + y j Cho p đ + Ơ ta thu j ³ v j + y j v j Ỵ F m (W) thỏa mãn H m (v j ) = (1 - d j ) H m (j ) Vì H m (j ) triệt tiêu tập m - cực, nên theo định lý hội tụ đơn điệu khối lượng toàn phần H m (v j ) dần tới j đ + Ơ iu ny suy v j Z j ³ y Bây giờ, ta chứng minh j Ā y Giả sử y j , t j Ỵ Em0 (W) cho H m ( wj ) = d j H m ( y j ) H m (t j ) = (1 - d j )H m y j Vì H m (j p ) tăng đến H m (j ) , nên áp dụng nguyên lý so sánh cho j w j ta wj ³ j Nhưng áp dụng lại nguyên lý so sánh cho t j + y j y j ta t j + wj Ā y j Ngoài khối lượng toàn phần H m (t j ) đánh sau ò H m (t j ) = ò Ā ò W H m (y j ) - W H m (y ) - W ò dH W j ò m (y j ) W j d H m (y ) Ā 2ò (1 - d j )H m (y ) ® W Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn 46 Điều kéo theo t j ® theo m - dung lượng Thật vậy, với e > hàm m - điều hòa - Ā q Ā 0, , theo nguyên lý so sánh ta có em ò H (q) Ā {t j Ā - e} m ò{ H (t ) Ā } m j t j Ā - eq ò{ } t j Ā - eq ò H m ( eq) H m (t j ) ® W Như vậy, ta có j Ā y Suy j = y W Mệnh đề 3.2.9 Giả sử u, v Ỵ Emp (W) , p > Khi tồn hai dãy (u j ),(v j ) Ì Em0 (W) giảm tới u , v tương ứng cho lim jđ + Ơ ũ (- u j ) p H m (v j ) = W ò (- u )p H m (v ) W Nói riêng, j Ỵ Emp (W) tồn (j j ) Ì Em0 (W) giảm tới j cho e p (j j ) ® e p (j ) Chứng minh Giả sử dãy (u j ) Ì Em0 (W) giảm tới u cho sup j ò (- u j )p H m (u j ) < + ¥ W Vì H m (v ) triệt tiêu tập m - cực nên theo Định lý 3.2.4 ta có H m (v) = f H m (y ), y Ỵ Em0 (W), Ā f Ỵ L1loc (H m (y )) Với j , sử dụng Bổ đề 3.2.3 ta tìm v j Î Em0 (W) cho H m (v j ) = (f , j )H m ( y ) Theo nguyên lý so sánh v j ¯ j Î Emp (W) thỏa mãn H m (j ) = H m (v ) Điều kéo theo j º v Ta có ò (- u )p H m (v ) = lim j ò (- u j )p min( f , j ) H m ( y ) = lim j ò (- u j )p H m (v j ) W W Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN W http://www.ltc.tnu.edu.vn 47 KẾT LUẬN Luận văn trình bày: + Tổng quan hệ thống kết tính chất hàm điều hoà dưới, hàm m - điều hoà toán tử Hessian, m - dung lượng tương đối hàm m - cực trị tương đối + Các kết gần L.H Chinh số tính chất lớp lượng kiểu U Cegrell hàm m - điều hoà số kết nghiên cứu tồn nghiệm phương trình Hessian lớp kiểu Cegrell Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Nguyễn Quang Diệu Lê Mậu Hải (2009), Cơ sở lí thuyết đa vị, Nxb Đại học sư phạm Hà Nội TIẾNG ANH [2] Bedford.E, Taylor.B.A (1976), “ The Dirichlet problem for a complex Monge-Ampère equation”, Invent Math 37, no 1, 1-44 [3] Blocki.Z (2005), “Weak solutions to the complex Hessian equation”, Ann Inst Fourier (Grenoble) 55, no 5, 1735-1756 [4] Cegrell.U (1998), “Pluricomplex energy”, Acta Math 180, no 2,187-217 [5] Cegrell.U (2004), „The general definition of the complex Monge- Ampère operator”, Ann Inst Fourier (Grenoble) 54, no 1, 159-179 [6] Chinh L.H (2013),”On Cegrell‟s classes of m - subharmonic functions”, arXiv:1301.6502 [math.CV] [7] Dinew.S and Kolodziej.S (2014), “A priori estimates for complex Hessian equations”, arXiv:1112.3063 [math.CV], Anal Vol 7, No1, 227-244 [8] Guedj V, Zeriahi A (2007), “The weighted Monge-Amp`ere energy of quasiplurisubharmonic functions”, J Funct Anal 250, no 2, 442482 [9] Klimek M (1991), Pluripotential theory, The Clarendon Press, Oxford University Press, New York [10] Kolodziej S (2005), “The complex Monge-Amp`ere equation and pluripotential theory”, Memoirs Amer Math Soc 178, 64p [11] Li S.Y (2004), “ On the Dirichlet problems for symmetric function equations of the eigenvalues of the complex Hessian”, Asian J.Math 8, No.1, 87-106 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn 49 [12] Nguyen N C (2014), Hăolder continuous solutions to complex Hessian equations, Pot Anal 41, no 3, 887-902 [13] Persson L (1999), “ A Dirichlet principle for the complex Monge-Amp`ere operator”, Ark Mat 37, no 2, 345-356 [14] Sadullaev.A.S, Abdullaev B.I (2012), “ Potential theory in the class of m-subharmonic functions”, Trudy Matematicheskogo Instituta imeni V.A Steklova, Vol 279, pp 166-192 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn ... Phương trình Hessian lớp Cegrell M c đích nhi m vụ nghiên cứu 2.1 M c đích nghiên cứu M c đích luận văn nghiên cứu lớp lượng hữu hạn h m m - điều hòa tổng quát hóa lớp Cegrell h m đa điều hòa... tương đối h m m - cực trị tương đối Chương 2: Trình bày số kết lớp Cegrell h m m điều hoà Chương 3: Trình bày kết tồn nghi m phương trình Hessian lớp Cegrell Cuối phần kết luận trình bày t m tắt... văn tập trung vào nhi m vụ sau đây: + Nghiên cứu số tính chất h m điều hồ dưới, h m m - điều hồ tốn tử Hessian, m - dung lượng tương đối h m m - cực trị tương đối + Nghiên cứu trình bày kết gần