Dưới thác triển cực đại của hàm đa điều hòa dưới (LV thạc sĩ)

Dưới thác triển cực đại của hàm đa điều hòa dưới (LV thạc sĩ)Dưới thác triển cực đại của hàm đa điều hòa dưới (LV thạc sĩ)Dưới thác triển cực đại của hàm đa điều hòa dưới (LV thạc sĩ)Dưới thác triển cực đại của hàm đa điều hòa dưới (LV thạc sĩ)Dưới thác triển cực đại của hàm đa điều hòa dưới (LV thạc sĩ)Dưới thác triển cực đại của hàm đa điều hòa dưới (LV thạc sĩ)Dưới thác triển cực đại của hàm đa điều hòa dưới (LV thạc sĩ)Dưới thác triển cực đại của hàm đa điều hòa dưới (LV thạc sĩ)Dưới thác triển cực đại của hàm đa điều hòa dưới (LV thạc sĩ)Dưới thác triển cực đại của hàm đa điều hòa dưới (LV thạc sĩ)Dưới thác triển cực đại của hàm đa điều hòa dưới (LV thạc sĩ)Dưới thác triển cực đại của hàm đa điều hòa dưới (LV thạc sĩ)Dưới thác triển cực đại của hàm đa điều hòa dưới (LV thạc sĩ)Dưới thác triển cực đại của hàm đa điều hòa dưới (LV thạc sĩ)Dưới thác triển cực đại của hàm đa điều hòa dưới (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGẠC NGỌC KHÔI DƢỚI THÁC TRIỂN CỰC ĐẠI CỦA HÀM ĐA ĐIỀU HOÀ DƢỚI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN-2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGẠC NGỌC KHÔI DƢỚI THÁC TRIỂN CỰC ĐẠI CỦA HÀM ĐA ĐIỀU HOÀ DƢỚI Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng THÁI NGUYÊN-2016 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng Các tài liệu luận văn trung thực Luận văn chưa công bố công trình Tác giả Ngạc Ngọc Khôi ii LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp xin cám ơn Thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập nghiên cứu khoa học Xin chân thành cảm ơn Ban giám đốc TTGDTX Tỉnh Hà Giang đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ mặt trình học tập hoàn thành luận văn Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tháng 04 năm 2016 Tác giả iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục luận văn Chƣơng 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Dạng vi phân dòng lý thuyết đa vị 1.2 Hàm đa điều hoà 1.3 Hàm đa điều hoà cực đại 1.4 Toán tử Monge-Ampère phức 10 1.5 Nguyên lý so sánh Bedford-Taylor 13 1.6 Các lớp lượng lớp lượng có trọng n 17 Chƣơng 2: DƯỚI THÁC TRIỂN CỰC ĐẠI CỦA HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƯƠ .́ I19 2.1 Độ đo Monge - Ampère thác triển cực đại 19 2.2 Thế vị miền Kahler 21 2.3 Dưới thác triển hàm tựa đa điều hòa 30 KẾT LUẬN 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài n Cho hoà âm j j ( ) lớp hàm đa điều với giá trị biên độ đo Monge-Ampere hữu hạn trên ( ) lớp hàm đa điều hoà âm giảm sup miền giả lồi Ký hiệu hàm đa điều hoà (dd c j )n Nếu cho tồn dãy ( ) hội tụ đến miền siêu lồi với ( ) tồn hàm đa điều hòa cho thác triển tới (dd c )n thỏa mãn n ( ) (dd c )n Hàm gọi El Mir, năm 1980, cho ví dụ hàm đa điều hòa song đĩa đơn vị mà hạn chế lên song đĩa bé thác triển lên toàn không gian Đồng thời rằng, sau làm yếu tính kỳ dị hàm đa điều hòa cho hợp thành với hàm lồi tăng thích hợp, đạt thác triển toàn cục Kết tổng quát Alexander Taylor, năm 1984 U Cegrell A Zeriahi, năm 2003 chứng minh hàm đa điều hòa với độ đo Monge – Ampere bị chặn miền siêu lồi bị chặn có thác triển đa điều hòa đến miền siêu lồi lớn U Cegrell, S Kolodziej A Zeriahi, năm 2005 hàm đa điều hòa với độ đo Monge – Ampere miền siêu lồi bị chặn có thác triển đa điều hòa toàn cục với cấp tăng lôga vô Theo hướng nghiên cứu này, chọn đề tài “Dưới thác triển cực đại hàm đa điều hoà dưới” Đề tài có tính thời sự, nhiều nhà toán học nước quan tâm nghiên cứu Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn trình bày kết gần U Cegrell, S Kolodziej A Zeriahi thác triển cực đại hàm đa điều hoà 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau đây: + trình bày tổng quan hệ thống kết lý thuyết đa vị + Nghiên cứu độ đo Monge - Ampère dư ới thác triển cực đại , vị miền Kahler thác triển hàm tựa đa điều hòa Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp giải tích phức kết hợp với phương pháp lý thuyết đa vị phức Bố cục luận văn Nội dung luận văn gồm 46 trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày tổng quan hệ thống kết dạng vi phân dòng lý thuyết đa vị, tính chất hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà cực đại, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh BedfordTaylor, lớp lượng lượng có trọng n Chương 2: Là nội dung luận văn, trình bày kết gần U Cegrell, S Kolodziej A Zeriahi thác triển cực đại hàm đa điều hoà Trong đề cập đến toán thác triển địa phương toàn cục hàm (quasi-) đa điều hoà từ miền “chính qui” đa tạp Kahle compact Chứng minh c ận khối lư ợng Monge - Ampère phức hàm cho trước kéo theo sự tồn tại của một dư ới thác triển tới một miền chí nh quy lớn hoặc tới toàn bộ đa tạp compact Trong một vài trường hợp dư ới thác triển cực đại có một độ đo Monge - Ampère phức hoàn toàn xác định thu đánh giá xác độ đo Cuối cùng một ví dụ của hàm đa điều hòa dưới với độ đo Monge - Ampère phức hoàn toàn xác định cận phải khối lượng Monge - Ampère hình cầu đơn vị n mà thác triển cực đại tới không gian xạ ảnh phức có độ đo Monge - Ampère phức hoàn toàn xác định toàn cục Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt n không Chƣơng CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Dạng vi phân dòng lý thuyết đa vị n Giả sử ej không gian vectơ n chiều với sở tắc j (0, , 0,1, 0, , 0) , ở vị trí thứ j Giả sử với u j hàm tọa độ thứ j : u j (x ) n f : x j Một ánh xạ n kí hiệu n gọi p tuyến tính tuyến tính theo biến biến khác cố định p tuyến tính cho f (v1, , v p ) Một ánh xạ p gọi ánh xạ p từ n n v j tuyến tính thay dấu Tập ánh xạ p tới p kí hiệu n ( v j 1,1 j n tuyến tính thay dấu , ) p n Định nghĩa 1.1.1 Giả sử ánh xạ :U Nếu đặt dxk (x ) p ( n uk ,1 tập mở Một p k n, x ta viết p ' I hàm dạng vi phân dạng: (i1, , ip ),1 i1 , ) (x ) I dạng vi phân ip I (x )dx I n, dx I dxi dxi , p I (x ) ' Giả sử I i1 (p ip I dx I p ' dạng J n j1 q ) dạng cho công thức L ik k jl với l1 j1 j2 l1 lp lp l q n với q jq p,1 bậc n Cho (p ( 1) I J 1, ,n dx L L dxl dxl i2 p q , ip để tạo thành dãy tăng n q với p dạng dx L , L hoán vị dãy i1 Nếu f hàm f Mọi p dx L L tập hợp dạng, (x )dxJ q n tích jq J p f (f ) f( ) n Các dạng có bậc cực đại dạng dạng lớp C Vi phân (đạo hàm ngoài) 1) dạng cho bởi: d 'd I Nếu d ta nói Giả sử dx1 dx I I dạng đóng Mọi dạng có bậc cực đại đóng L1( ) Khi dxn , dx1 dV độ đo Lebesgue dxn dV , Định nghĩa 1.1.2 Một dòng bậc p hay có chiều (n dạng tuyến tính liên tục T : (n p ) ( ) , giá trị T (n p ) ( ) p) tập mở Nếu , kí hiệu T ( ) hay T , n dạng 32 Trong trường hợp hàm trọng lồi Từ công thức (IBP), ta suy bất đẳng thức (Xem [12]) Mệnh đề 2.3.1.3 , tùy ý, hàm trọng lồi Khi với : Cho (D, ) , ta có n ( ) 2n n ( ) D D Ta toán tử Monge-Ampère phức hoàn toàn xác định (D, ) , liên tục dãy giảm thuộc lớp : hàm lồi tăng (Xem [12], [11]) Mệnh đề 2.3.1.4 Toán tử Monge-Ampère phức hoàn toàn xác định lớp (D, ) Hơn nữa, ( j ) (D, ) dãy giảm hội tụ đến n dãy độ đo Monge-Ampère ( h j n ) hội tụ yếu đến (D, ) , D Hơn với PSH (D, ) L (D) , ta có h lim j n D h j n D Sử dụng công thức tích phân phần, bất đẳng thức lập luận tương tự [12] đây, ta có kết sau PSH (D, ) Giả sử tồn dãy Mệnh đề 2.3.1.5 Cho giảm đến PSH (D, ) thỏa mãn sup j Khi n ( j) j D (D, ) j lim ( j) D n j ( ) D n j (D, ) 33 2.3.2 Định lý thác triển tổng quát Định lý 2.3.2.1 Cho D miền tựa siêu lồi thỏa mãn điều kiện (2.3) Giả n (D, ) cho M D ( ) sử Khi tồn hàm X PSH (X, ) cho Chứng minh : Giả sử D j (D, ) dãy giảm hội tụ đến D Theo Bổ đề 2.3.1.2 ta có n dd c MD ( ) j D n Trước hết giả sử M D ( ) Khi đó, theo [12] tồn u j X, X với sup u j cho X dd cu j )n ( j dd c 1D ( j )n n j X , chọn cho khối lượng tổng cộng hai phía Cố định j Vì j uj x D; j uj D j bị chặn, nên suy usj j usj D với s uj j đủ lớn, sup u j , s Khi theo nguyên lý so sánh (Bổ đề 2.2.1.4) suy dd cu sj j Nhắc lại u j n usj s dd c n 1u j usj j dd cusj n j s dd cu j n (Xem [12]) 34 Do dd cu j u j , hàm u u j lim sup u j j uj j uj j n dd c uj j Suy Vol n D Do chuẩn hóa j PSH X , thỏa mãn u D j n (D, ) với M D ( ) Bây giờ, giả sử xét dãy giảm X ( j) (D, ) hội tụ đến Khi với t với khối lượng Monge-Ampère bị chặn tùy ý, ta có t ( dd ct j j )n (D, ) (t D j D p Theo Bổ đề 2.2.1.4 ta có M D (t j n p n j D (1 t ) )n j D ) ( dd ct j n Do đó, D )n n D triển j thỏa mãn max X t j đa điều hòa nên X X Theo phần thứ ta tìm thác triển t n Do hàm j lim sup j tới X với max X t j t j PSH X , t j thác Bây ý ( j ) dãy giảm hàm đa điều hòa X hội tụ đến hàm đa điều hòa X cho max X D 35 n (D, ) cho M D Từ định lý suy với , hàm X PSH (X, ); sup D D đa điều hòa xác định X gọi thác triển cực hàm đại từ D vào X Ví dụ nói chung thác triển cực đại không thuộc miền xác định toàn cục toán tử Monge-Ampère phức X có số Lelong dương dọc theo siêu mặt Tuy nhiên hàm cho có lượng Monge-Ampère có trọng hữu hạn theo nghĩa [12] ta chứng minh thác triển cực đại thỏa mãn tính chất tương tự Chúng ta cần bổ đề sau mà việc chứng minh sử dụng lập luận từ phần chứng minh Định lý 2.1.2 Bổ đề 2.3.2.2 Cho D n (D, ) cho D dd c )n PSH (X, ) L (X ) 1D ( D; (x ) Định lý 2.3.2.3 Cho D X dd c )n theo nghĩa 1D ( (x ) X miền tựa siêu lồi thỏa mãn điều kiện (2.3) n (D, ) cho n D , : hàm trọng lồi X Khi thác triển cực đại từ D vào X tồn có tính chất sau: i) (D, ) ( X ii ) 1D ( dd c )n Khi dd c )n mang tập Borel độ đo X Hơn độ đo ( x n 1D ( n dd c ) ( dd c )n D dd c )n xảy theo nghĩa độ đo X 36 dd c )n mang tập Borel iii ) độ đo ( Chứng minh Giả sử ( j ) (D, ) dãy giảm thác triển cực đại D j từ D vào X Khi theo Bổ đề 2.3.2.2 j dd c PSH (X, ) L (X ) ( x D D: j dd c j j )n có giá tập (x ) j (x ) Do ( j )( )n 1D ( j theo nghĩa độ đo X Do tồn C ( j dd c )( j )n Vì j j )n cho với j ( X dd c )( j dd c )( j )n C D (X , ) Hơn theo định lý X , nên từ [12] suy hội tụ ([12]) suy 1D dd c )n ( 1D ( dd c )n theo nghĩa độ đo X Phần thứ định lý chứng minh tương tự phần cuối chứng minh Định lý 2.1.2 sử dụng Bổ đề 2.3.2.2 Bổ đề 2.3.1.2 (D, ) Khi ( j ) Mệnh đề 2.3.2.4 Giả sử giảm hội tụ đến dãy ( j ) giảm tới X đa điều hòa dd c j tùy )n X thỏa mãn dd c )n theo nghĩa độ đo X 1D ( Chứng minh Chú ý với j j (D, ) dãy X Hơn độ đo Borel ý X điểm giới hạn dãy độ đo ( bất đẳng thức 1D j , thác triển toàn cục X Do rõ ràng dãy ( j ) giảm đến hàm X thỏa mãn bất đẳng thức X Suy 37 PSH (X, ) Mặt khác điều chứng tỏ j D , nên suy j thác triển D , tới X trên X Theo Bổ đề 2.3.2.2 ta có D Như dd c 1D ( j )n dd c )n theo nghĩa độ đo X , 1D ( điều suy phát biểu cuối mệnh đề n 2.3.3 Dưới thác triển Bây xét thác triển từ miền siêu lồi D vào n , xét tập mở n n Nhắc lại lớp Lelong định nghĩa L( Giả sử FS n ) u dd c log log z , dd c , j / j 1 log z n Như thông thường ta xét afin xác định z j n ); sup u(z ) Metric Fubini-Study chuẩn hóa theo tọa độ Afin | n PSH ( \ , , n n xác định tọa độ với tọa độ n Với ký hiệu ta có z Do với u L( n ) tùy ý, hàm xác định ( ) log u(z ) đa điều hòa \ cận siêu phẳng vô H hàm đa điều hòa n s , 0 bị chặn địa phương lân 0 Do thác triển đến mà ta ký hiệu Điều suy 38 dd c cho n song ánh L( phép tương ứng u n dd cu n Định lý 2.3.3.1 Cho D ) PSH , (D) cho (dd cu )n miền siêu lồi u (dd cu )n triệt tiêu tập đa cực D Khi thác triển D cực đại u từ D vào n thuộc L( n ) xác định độ đo Monge- Ampère toàn cục (dd cu )n mang tập u đẳng thức 1D (dd cu)n u D thỏa mãn bất 1D (dd cu)n Chứng minh Giả sử D BR hình cầu Euclid có tâm gốc bán kinh R log Khi hàm q u q ( n chuẩn hóa Fubini-Study z log R2 vị dạng triệt tiêu D Trong trường hợp (D, ) Từ giả thiết dd c )n (dd cu)n u Từ lập luận tiêu chuẩn lý thuyết độ đo suy tồn hàm lồi tăng : ,0 ( , cho )( dd c )n (Xem [12]) D Dễ dàng (D, ) ta áp dụng kết cuối ( n , ) để tìm thác triển thác triển cực đại u tới n tới n Khi u q Bây trường hợp tổng quát ta xét hình cầu Euclid B cho D B sử dụng Định lý 2.1.2 để thiết lập thác triển v u Khi theo trường hợp trước v có thác triển v cho hàm thuộc ( n , ) , thác triển u (B) v q từ D vào q n Do 39 thác triển cực đại ( n , ) Như u q tồn n L( nên suy ) thác triển cực đại u tới n Các tính chất khác suy tương tự chứng minh Bổ đề 2.3.2.2 Bây xét hàm u thỏa mãn (D) tuỳ ý số n D (dd cu)n Khi theo Định lý 2.3.2.1, tập hợp thác triển nguyên với độ tăng logarit v n PSH ( ); v |D u, v(z ) av log z khác rỗng Do đó, sử dụng ký hiệu ( n ) v n PSH ( ); v(z ) av log z ta chọn thác triển cực đại u với độ tăng logarit liên kết với u sup v n ( ); v |D u Như thấy độ đo Monge-Ampère thác triển không tồn Tuy nhiên tồn ta khẳng định số thông tin giá độ đo Đặt N u z n ;u , ta có kết sau: Mệnh đề 2.3.3.2 Giả sử u (u j ) , u j f (dd cu)n (D) n (D) C (D) giảm u , đo dương cho supp f D (dd cu)n Khi dãy điểm tụ (dd cu j , )n hàm triệt tiêu D độ Nu Chứng minh Trước tiên giả sử u (D) C (D) Khi u liên tục tập mức u N u siêu lồi Theo định nghĩa, D N u theo Định 40 lý 5.1 [8], D không tập compact tương đối N u Có hai trường hợp xảy ra: 1) D Nu 2) D Nu n Nếu 1) xảy u thác triển u đến hàm thuộc 1N (dd cu )n u n Nói riêng, D 1D (dd cu )n Lloc 1D (dd cu)n (dd cu)n (dd cu )n 1D (dd cu)n n Một cách tổng quát ta có 2) Khi N u , u u , thác triển cực đại địa phương u từ D vào N u Xét Dj Dj D dãy vét cạn D Tương ứng với N u ta ký hiệu u j thác triển cực đại địa phương nghiệm u j u (D) (dd cu j )n u j (dd cu j )n 1D (dd cu)n Khi j 1D (dd cu)n N u j theo Định lý 2.1.2 (dd cu)n 1D (dd cu)n N u Do (dd cu )n cho supp f f (dd cu)n , hàm triệt tiêu D Nu độ đo dương D Bây xét trường hợp tổng quát Chọn dãy (u j ) u Khi u j , giảm u (dd cu j , )n fj (ddcu j )n j , (D) C (D) , giảm 41 cho supp fj hàm triệt tiêu bên D (dd cu j , )n N u Ta có j j yếu tùy ý (dd cu j , )n f (dd cu)n n j độ đo dương Vì , giới hạn f hàm độ đo dương mang N u triệt tiêu bên D Hệ 2.3.3.3 Nếu với u (D) , tập hợp N u bị chặn thì độ đo Monge- Ampère u hoàn toàn xác định giới hạn (dd cu j , )n Nếu N u không tập siêu lồi bị chặn u không cần thuộc miền xác định toán tử Monge-Ampère Điều ví dụ Ví dụ 2.3.3.4 Dưới thác triển cực đại nguyên hàm thuộc lớp có độ đo Monge-Ampère toàn cục hoàn toàn xác định Xét hàm Green g (dd cg )2 / Khi B(0,2) (B) với hai cực ( 1, 0) (1, 0) có trọng B 0,2 Do tồn thác triển cực đại nguyên gˆ t Chú ý hàm Green, với R g(z ) g(z ) Lấy r log (0,1), A 2 R z 16 gˆt thuộc lớp Lelong t ( ), z2 thác triển Theo định nghĩa , ta có bất đẳng thức sau: log z1 1, z A log z1 1, z A ((1, 0), R) cố định với (( 1, 0), R) , r Xét gˆ : gˆ (z ) gˆ(z, ) 42 Nếu z z r z r z gˆ Nếu Vì gˆ(z, ) r (z, ) r Lt ( ) ta suy khối lượng toàn phần gˆ không vượt t Do tính đối xứng nên ta giả sử gˆ 12 (2.6) 1,R (trái lại, xét ( 1, R) thay cho (1, R) ) Nếu z ta có : gˆ (z ) gˆ(z, ) log z (1, r ) Khi 2 r Ký hiệu J 1 J biểu diễn Riesz, sử dụng gˆ 2 nên từ công thức (2.6), (2.7) ta max 1, log (z,2r) bị trội trung bình gˆ biên J (2.7) ta có gˆ z Vì J log (1, R) Nếu ký hiệu J K giá trị trung bình gˆ tập K A z Giả sử z điểm tùy ý A 1, gˆ x r A t log t log A log x gˆ 43 Do gˆ z, với v z, z 1, log t log A r Vì toán tử Monge-Ampère không xác định với nên suy tương tự với hàm gˆ 44 KẾT LUẬN Luận văn trình bày: - Tổng quan hệ thống kết lý thuyết đa vị như: dạng vi phân dòng lý thuyết đa vị, tính chất hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà cực đại, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh Bedford-Taylor, lớp lượng lượng có trọng - Các kết gần U Cegrell, S Kolodziej A Zeriahi thác triển cực đại hàm đa điều hoà Trong đề cập đến toán thác triển địa phương toàn cục hàm (quasi-) đa điều hoà từ miền “chính qui” đa tạp Kahle compact Chứng minh c ận khối lư ợng Monge - Ampère phức hàm cho trước kéo theo tồn dư ới thác triển tới một miền quy lớn tới toàn đa tạp compact Trong một vài trường hợp s ẽ dư ới thác triển cực đại có một độ đo Monge - Ampère phức hoàn toàn xác định Cuối cùng trình bày một ví dụ của hàm đa điều hòa dưới với độ đo Monge - Ampère phức hoàn toàn xác đị nh và cận phải khối lượng Monge Ampère hình cầu đơn vị không gian xạ ảnh phức xác định toàn cục n n mà thác triển cực đại tới không có độ đo Monge - Ampère phức hoàn to àn 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Quang Diệu Lê Mậu Hải (2009), Cơ sở lí thuyết đa vị, Nxb Đại học sư phạm Hà Nội Tiếng Anh [2] P ˚Ahag, U Cegrell, R Czyz, R and H H Pham (2009), “MongeAmp`ere measures on pluripolar sets” J Math Pures Appl 92, 613–627 [3] S.Benelkourchi, V Guedj, A Zeriahi (2009), “Plurisubharmonic functions with weak singularities”, Acta Universitatis Upsaliensis, Proceedings of the conference in honor of C.Kiselman (Kiselmanfest, Uppsala, May 2006) [4] E Bedford and B.A Taylor (1982), “A new capacity for plurisubharmonic functions”, Acta Math., 149, 1-40 [5] U Cegrell (1998), “Pluricomplex energy”, Acta Math., 180 (1998), 187-217 [6] U Cegrell (2004), “The general definition of the complex MongeAmpere operator”, Ann Inst Fourier 51, 159-179 [7] U Cegrell, L Hed (2008), “Subextension and approximation of negative plurisubharmonic functions”, Michigan Math J Vol 56:3, 593-601 [8] U Cegrell, S Kolodziej and A Zeriahi (2005), “Subextension of plurisubharmonic functions with weak singularities”, Math Z 250, 7-22 [9] U Cegrell, S Kolodziej and A Zeriahi (2010), “Maximal subextension of plurisubharmonic functions”, arXiv: 1009.4605vl [math CV], 1-20 [10] U Cegrell and A Zeriahi (2003), “Subextension of plurisubharmonic functions with bounded Monge-Amp`ere mass” C R Acad Sci Paris 336, no.4, 305-308 46 [11] D Coman, V Guedj, A Zeriahi (2008), “Domains of definition of Monge- Amp`ere operators on compact Kahler manifolds”, Math Z 259, 393-418 [12] V Guedj, A Zeriahi (2007), “The weighted Monge-Ampere energy of quasi- plurisubharmonic functions” J Funct Anal 250 (2007), 442-482 ... miền D X tùy ý, ký hiệu PSH (D, ) tập hàm - đa điều hòa D Theo định nghĩa, u đa điều hòa D hàm p hàm đa điều hòa địa phương D , p vị đa , nghĩa dd c p điều hòa địa phương dd c kết hợp với dòng... bị chặn có thác triển đa điều hòa đến miền siêu lồi lớn U Cegrell, S Kolodziej A Zeriahi, năm 2005 hàm đa điều hòa với độ đo Monge – Ampere miền siêu lồi bị chặn có thác triển đa điều hòa toàn... Cegrell, S Kolodziej A Zeriahi thác triển cực đại hàm đa điều hoà Trong đề cập đến toán thác triển địa phương toàn cục hàm (quasi-) đa điều hoà từ miền “chính qui” đa tạp Kahle compact Chứng minh