TÍNH DUY NHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH P-ADIC Chuyên ngành : Đại số và lý thuyết số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Mỹ Dung TÍNH DUY NHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH P-ADIC Chuyên ngành : Đại số lý thuyết số Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 LỜI CẢM ƠN Lời luận văn xin gửi đến PGS.TS Mỵ Vinh Quang – người thầy tận tình hướng dẫn giúp đỡ suốt trình học tập làm luận văn lòng biết ơn chân thành sâu sắc Xin chân thành cảm ơn thầy: Trần Huyên, Bùi Tường Trí, Bùi Xuân Hải, Lê Hoàn Hóa, Đậu Thế Cấp với tất thầy cô khác trực tiếp tham gia giảng dạy , truyền đạt kiến thức cho suốt trình học tập Cuối xin cảm ơn anh chị phòng Khoa học công nghệ sau Đại học, đồng nghiệp, bạn bè động viên tạo điều kiện thuận lợi cho học tập suốt thời gian qua hoàn thành luận văn TP.Hồ Chí Minh 10 - 2008 Nguyễn Thị Mỹ Dung MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết Nevanlinna p-adic lần xây dựng Hà Huy Khoái, Mỵ Vinh Quang Boutabaa vào thập kỷ cuối kỷ trước ( xem [2], [5] ) sau lý thuyết Nevanlinna p-adic mở rộng tổng quát nhiều tác giả khác cho trường hợp nhiều chiều cho siêu mặt Những năm gần có nhiều tác giả ứng dụng thành công lý thuyết Nevanlinna p-adic để nghiên cứu hàm chỉnh hình, phân hình p-adic Vì lý đó, chọn đề tài: “ Tính hàm phân hình p-adic ” nhằm mục đích tiếp cận chuyên ngành toán học phát triển Mục đích nghiên cứu Ứng dụng hai định lý lý thuyết Nevanlinna p-adic để chứng minh định lý tính hàm phân hình p-adic; đồng thời giới thiệu số đa thức tập hàm phân hình p-adic Đối tượng phạm vi nghiên cứu Chúng nghiên cứu lý thuyết Nevanlinna p-adic ứng dụng để nghiên cứu hàm phân hình p-adic Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Luận văn trình bày nội dung lý thuyết Nevanlinna p-adic, chứng minh định lý tính hàm phân hình p-adic; đồng thời giới thiệu số đa thức tập hàm phân hình p-adic Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn gồm chương: Chương 1: Các trường số p-adic Trong chương trình bày số kiến thức để chuẩn bị cho chương sau bao gồm: chuẩn trường, xây dựng trường số p-adic p , , xây dựng trường số phức p-adic p vành số nguyên p-adic p Hầu hết chứng minh chương bỏ qua, tìm chứng minh phần tài liệu tham khảo Chương 2: Lý thuyết Nevanlinna p-adic Trong chương trình bày số hàm đặc trưng hai định lý Nevanlinna Chương 3: Ứng dụng lý thuyết Nevanlinna p-adic Trong chương đưa ứng dụng lý thuyết Nevanlinna để chứng minh định lý tính hàm phân hình p-adic; đồng thời giới thiệu số đa thức miền hàm phân hình p-adic Chương 1: CÁC TRƯỜNG SỐ P-ADIC Trong chương trình bày số kiến thức để chuẩn bị cho chương sau bao gồm: chuẩn trường, xây dựng trường số p-adic p , vành số nguyên p-adic p Hầu hết chứng minh chương bỏ qua, tìm p , xây dựng trường số phức p-adic chứng minh phần tài liệu tham khảo 1.1 Chuẩn trường 1.1.1 Định nghĩa chuẩn trường Cho F trường, ánh xạ :F  gọi chuẩn (giá trị tuyệt đối) trường F thỏa điều kiện sau: i/ x  F : x  x   x  ii/ x, y  F : xy  x y iii/ x, y  F : x  y  x  y Nếu trường F trường , , hàm giá trị tuyệt đối thông thường chuẩn F Ngoài F trường :F  1 neáu x  0 neáu x= x x   chuẩn trường F, chuẩn gọi chuẩn tầm thường Dễ thấy chuẩn F có tính chất sau: i/ x  F :  x  x ii/  ( đơn vị F) 1 iii/ x  F , x  : x  x Nhận xét Nếu F trường hữu hạn F có chuẩn chuẩn tầm thường Chứng minh: Giả sử F có q phần tử ( q  , q  ) có chuẩn Rõ ràng F* nhóm Aben có cấp q-1 Gọi đơn vị nhóm nhân F* Khi với x thuộc F* ta có : x q 1   x q 1    x q 1 1  x  (do x  0) Vậy chuẩn tầm thường ■ 1.1.2 Chuẩn tương đương Cho F trường chuẩn F Khi đó: d: FxF  (x,y)   d(x,y) = x  y mêtric F, gọi mêtric cảm sinh chuẩn Khái niệm chuẩn tương đương Cho F trường Ta nói , tương đương với 2 ( hai chuẩn F ) tôpô cảm sinh trùng Định lý điều kiện tương đương chuẩn Cho F trường tương đương: i/  ii/ x  F : x   x  1 , hai chuẩn F Các phát biểu sau iii/ x  F : x   x  c iv/ Tồn c  cho: x  x x  F v/  xn  dãy Cauchy   xn  dãy Cauchy 1.1.3 Chuẩn phi Archimedean 1.1.3.1 Định nghĩa Cho F trường chuẩn F, gọi chuẩn phi Acsimet thỏa điều kiện (III’) sau đây: x, y  F : x  y  max  x , y  Một chuẩn phi Acsimet gọi chuẩn Acsimet 1.1.3.2 Ví dụ Với m  p số nguyên tố cố định, m viết  dạng: m  p m1 với (m ,p)=1,   * Khi đó:  gọi số mũ p m, ký hiệu ord p ( m)   Với r  * :r  m , ta định nghĩa: ord p (r ) = ord p (m) - ord p (n) n  Nếu biểu diễn r = p m1 với   ;(n1 , p )  1;(m1 , p )  n1 ord p ( m)   Quy ước: ord p (0)   Dễ thấy: i/ ord p (rs )  ord p (r )  ord p ( s ) ii/ ord p (r  s )  ord p r ; ord p s ; r , s  Ta định nghĩa chuẩn p : sau:  0 , x = ord x x  x p   ord p x  p , x0  Khi : p chuẩn phi Acsimet ( với    ) 1.1.3.3 Định lý điều kiện tương đương chuẩn phi Acsimet chuẩn F Các khẳng định sau Cho F trường tương đương: i/ chuẩn phi-Acsimet ii/  iii/ n  1; n  iv/ Tập số tự nhiên bị chặn ( A  : n  ; n  A ) 1.1.3.4 Một vài tính chất đặc biệt chuẩn phi Acsimet i/ x  y p  max  x p , y p  x p  y p ii/ Mọi điểm thuộc hình tròn tâm hình tròn iii/ B(a,r)- vừa đóng vừa mở   B ( a, r )  x  F / x  a p  r - vừa đóng vừa mở Liên quan đến chuẩn , ta có định lý quan trọng sau đây: 1.1.3.5 Định lý Ostrowsky Mọi chuẩn không tầm thường trường số hữu tỷ đương với chuẩn thông thường Chứng minh p tương ( p nguyên tố) tương đương với giá trị tuyệt đối Ta xét hai trường hợp: Trường hợp : n  Gọi n0  n  : n 1 / n  1  Vì n0  nên n0  n0 ( =log n0 n0 >0) Ta viết n hệ đếm n0 sau: n  a0  a1n0  a2 n02   as n0s (a i  ,0  a i  n0 , as  0, s   log n0 n  ) Khi đó: n  a0  a1 n0  a2 n02   as n0s = a0  a1 n0  a2 n02   as n0s Do  n0 i nên  ( theo cách chọn n0 ) Suy ra:  1  n   n0  n02   n0s  n0s 1    2   s  n0   n0 n0 Đặt c   1  2   s  Rõ ràng, c cấp số nhân lùi vô  n0 n0 n0 hạn nên c số s  Vì thế: n  c.n0  c.n (do a s  0) k k    k Vậy với k ta có : n  c.(n )  c.n  n  c n  Cho k   n  n  n  n (n) Như ta có:    n0  n0  n0s 1  n  (n0s 1  n)  Suy  s 1  ( s 1)  n0  n0 (1) Vậy : n  n0s 1  n0s 1  n  n0 ( s 1)  (n0s 1  n)       n0 ( s 1)  ( n0s 1  n0s )  n0 ( s 1) 1        n0      1  ( s 1)  c.n Đặt c  1  1    n  c.n0   n0   k k    k Vậy với k ta có : n  c.( n )  c.n  n  c n  Cho k   n  n (2)  Từ (1) (2) ta có n  n Do đó:  m  ,m ,n  : n   n  n  n m m m      n n n  m  m Vậy: Trường hợp 2: n  1, n  Gọi n0 số tự nhiên lớn 0, bé thỏa n0  Giả sử n0 không số nguyên tố Khi đó: n0  n1.n2 (n1 , n2  n0 ) Do cách chọn n0 nên n1  n2 =1 Suy n0  (vô lý) Vậy n0 = p số nguyên tố Ta q  với số nguyên tố q khác p Thật : Ta có: Fn ,b ( z )  ( n  1)( n  2) n n( n  1) n  z  n( n  2) z n 1  z b 2 (b  * - 1 ) n(n  1)(n  2) n 1 n(n  1)(n  2) n 3 z  n(n  1)(n  2) z n   z 2 n(n  1)(n  2) n 3  z ( z  z  1) n(n  1)(n  2) n 3 = z ( z  1) 2 Fn',b ( z )  Do Fn ,b (1)   b nghiệm bội Fn',b ( z )  nên nghiệm bội Fn ,b ( z )   b  Vậy: Fn,b ( z )   b  ( z  1)3 Q1 ( z ); Q1 (1)  Do Fn ,b (0)  b nghiệm bội n-3 Fn',b ( z )  nên nghiệm bội n-2 Fn ,b ( z )  b  Vậy: Fn,b ( z )  b  z n2Q( z ); Q(0)  Ở đây: Q1 ( z ) đa thức bậc n-3, có 0-điểm đơn Với a    b, b  1 , Fn,b ( z )  a có 0-điểm đơn nên F n,b có xác n phần tử Do định lý 3.1.3.7 nên T (r , Fn ,b ( f ))  nT ( r , f )  O (1) Vì thế: T(r,F) = T (r , )  T (r , Fn,b ( f ))  O(1)  nT (r , f )  O(1) Fn,b ( f ) Theo định lý thứ ta có: N (r , 1 )  N (r , )  N (r , Fn ,b ( f ))  N (r , f ) F  a1 F  N (r , f )  2T (r , f ) N (r , )  N (r , F  a2 1  Fn ,b ( f ) b )  N (r , ) Fn ,b ( f )  b 1 1  2N(r , )  N (r , )  2N(r , )  N (r , ) f Q( f ) f Q( f ) 1  2T(r , )  T (r , )  2T(r , f )  T (r , Q( f ))  O(1) f Q( f )  2T (r , f )  2T (r , f )  O (1)  4T (r , f )  O(1) N (r , )  N (r , F  a3 1  Fn ,b ( f ) b  )  N (r , ) Fn ,b ( f )  b   2N(r , 1 1 )  N (r , )  2N(r , )  N (r , ) f 1 Q1 ( f ) f 1 Q1 ( f )  2T(r , 1 )  T (r , )  2T(r , f )  T (r , Q1 ( f ))  O (1) f 1 Q1 ( f )  2T (r , f )  (n  3)T (r , f )  O(1)  (n  1)T (r , f )  O(1) Do đó: N j 1 (r , )  (n  5)T (r , f )  O(1)=(1  )nT (r , f )  O(1) F  aj n =(1  )T (r , F )  O(1) n Tương tự: N j 1 (r , )  (1  )T (r , G )  O (1) n G  aj Vì thế:  {N j 1 (r , 1 )  N (r , )}  (1  ){T (r , F )  T (r , G )}  O (1) n F  aj G  aj (*) Theo giả thiết F G chia sẻ  tính số bội nên hai trường hợp i/ ii/ bổ đề 3.3.2 phải xảy Nếu trường hợp i/ bổ đề 3.3.2 xảy ta có:  3 1    ( , ) ( , ) )  N (r , )   log r  O (1) T r F T r G       N (r ,    2 F  aj G  a j   j 1   Do (*) nên: 3     T (r , F )  T (r , G )  (1  ){T ( r , F )  T (r , G )}  log r  O (1) 2 n  Vậy:     n  10 (trái giả thiết) n Do đó, trường hợp ii/ bổ đề 3.3.2 phải xảy ra, tức là: G=AF+B (A,B  p , A  )và số phần tử tập a1 , a2 , a3    Aa1  B, Aa2  B, Aa3  B lớn với 1 a1  0; a2  ; a3  b b 1 3.3.4 Định lý Với số nguyên n  10 , tập F n,b tập tính số bội M  p  Chứng minh Giả sử F n ,b  r1 , , rn  (ri  r j ,i  j) Đặt: Q( z )  ( n  1)(n  2) n( n  1) z  n(n  2) z  2 Cho f, g hai hàm phân hình khác hàm E f ( F n ,b )  E g ( F n ,b ) Theo định lý thứ hai ta có: n  n  1 T  r, g   N (r , g )   N (r , k 1 )  log r  O(1) g  rk p thỏa: n   n  1 T  r, g   T (r , g )   N (r , k 1 n   n   T  r, g    N (r , k 1 )  log r  O(1) g  rk )  log r  O(1) g  rk 1 ) (do E f ( F n ,b )  Eg ( F n,b ) ) ) = N (r , f  rk g  rk mà: N ( r , nên: n  n   T  r, g    N (r , k 1 n   N (r , k 1 n   T (r , k 1 )  log r  O(1) f  rk )  log r  O (1) f  rk )  log r  O (1) f  rk n =  T (r , f )  log r  O (1) (1) k 1 =nT(r,f)  log r  O (1) Tương tự:  n   T  r, f   nT(r,g)  log r  O(1) (2) Đặt:: h1   F (f) h n2 f Q( f ); h2  g n  2Q( g ); h  n,b b b Fn,b ( g ) Khi đó: h h1  h2  h3   ( Fn ,b ( f )  b)  ( Fn ,b ( g )  b)  h3 b b h 1   Fn ,b ( f )   Fn ,b ( g )=  Fn ,b ( f )   Fn ,b ( f ) = b b b b Do f, g hai hàm phân hình khác hàm f1 , f cặp hàm nguyên cho f  g f1 g  g2 f2 p p nên tồn g1 , g nhân tử chung Khi đó: n Fn ,b ( f ) f 2n  g2  h3  c   với c  Fn ,b ( g ).g 2n  f2  Rõ ràng c hàm nguyên p 0-điểm hiển nhiên c số Do đó: N (r , h3 )  N (r , )  N (r , f ) f2 (3) 1 N (r , )  N (r , )  N (r , g ) h3 g2 Ta chứng minh h  Đầu tiên ta chứng minh h biểu thị tuyến tính qua 1; h3  Thật vậy: Giả sử: h = a1h3  a2 (a1 , a2  p ) Do h không hàm nên a1  h3 không hàm Ta xét trường hợp: i/ a2  Định lý thứ hai cho ta: (2  1)T (r , h1 )  N (r , h1 )  N (r , 1 )  N (r , )  log r  O(1) h1  h1  a2  T (r , h1 )  O(1)  N (r , h1 )  N (r ,  nT (r , f )  N (r , h1 )  N (r , 1 )  N (r , )  log r  O(1) h1 h1  a2 1 )  N (r , )  log r  O(1) h1 h1  a2 mà: N (r , 1 )  N (r , )  N (r , )  N (r , g ) h1  a2 a1h3 h3 (do (3))  N (r , g )  T (r , g ) n  T (r , f )  log r  O (1) n2 n2 (do (1)) N (r , 1 ) = N (r , )  N (r , ) h1 f Q( f ) 1  N (r , )  N (r , ) f Q( f ) 1  T (r , )  T (r , ) f Q( f ) =T (r , f )  T (r , Q ( f ))  O (1) =T (r , f )  2T (r , f )  O (1) =3T (r , f )  O (1) N (r , h1 )  N (r , f )  N (r , f )  T (r , f ) (4) (5) nên: n n 1 T (r , f )  log r  O (1) n2 n2 n n 1 = (4  )T ( r , f )  log r  O (1) n2 n2 nT (r , f )  T (r , f )  3T (r , f )  Do đó: n  4 n  5 n2 n2 (vô lý n  10 ) ii/ a = 0: Giả sử: Q( z )  (n  1)(n  2) ( z  s1 )( z  s2 )  g2 Khi đó, h = a1h3  a1.c   f2 n N (r , )  N (r , ); f f Suy ra: N (r ,  f ( s j )   lim sup r  ) f  sj T (r , f ) n   nên:  N (r , 1 )  nN (r , ) f  sj f  sj ) f  sj   lim sup  1 r  n N (r , ) f  sj N (r , 1 N (r , ) N (r , ) f f  f (0)   lim sup   lim sup  1 r  r  T (r , f ) N (r , f ) n Định lý thứ hai cho ta: (j=1,2)  f (0) +   f ( s j )  j 1  2(1  )  n n  1  n n4  1 Điều vô lý n  10 Vậy h biểu thị tuyến tính qua 1; h3  Đặt: F ; Fn,b ( f ) G Fn ,b ( g ) Rõ ràng theo bổ đề 3.3.3 ta có: G=AF+B với A, B  p ;A0 Vậy: 1 =A B Fn ,b ( g ) Fn ,b ( f )  Fn ,b ( f ) Fn ,b ( g )  A  BFn ,b ( f )    h3  A  B f n  2Q ( f )  b  h3  A  Bf n  2Q( f )  Bb  h3  A  Bb   Bbh1 Mặt khác, h biểu thị tuyến tính qua 1; h3  Vì vậy, B=0 hiển nhiên h số Khi B = G = AF hay 1  A  Fn,b ( f )  A.Fn ,b ( g ) Fn,b ( g ) Fn ,b ( f ) Suy ra: T (r , Fn ,b ( f ))  T (r , Fn ,b ( g ))  O (1) Hơn nữa, theo định lý 2.1.3.7: T (r , Fn,b ( f ))  nT (r , f )  O(1) T (r , Fn ,b ( g ))  nT (r , g )  O(1) nên T(r,f) = T(r,g)+ O(1) (6) Nếu h  theo định lý thứ hai ta có: T (r , h1 )  O(1)  log r  N (r , h1 )  N (r , =N ( r , h1 )  N (r , 1 )  N (r , )  O(1) h1  h1   h3 1 )  N (r , )  O(1) h1 h2 mà: N ( r , h1 )  N (r , )  4T ( r , f )  O (1) h1 1 ) = N (r , )  N (r , ) h2 g Q( g ) N (r , (do (4) (5)) (do h =const) 1 1  N (r , )  N (r , )  T (r , )  T (r , ) g Q( g ) g Q( g ) =T (r , g )  T (r , Q( g ))  O(1)=T ( r , g )  2T ( r , g )  O(1)  3T ( r , g )  O (1) nên: T (r , h1 )  O(1)  log r  4T (r , f )  3T (r , g )  O (1)  7T (r , f )  O (1) (do (6)) Hơn nữa: T (r , h1 )  O(1)  nT (r , f ) nên: nT ( r , f )  log r  7T (r , f )  O (1) Suy ra: n < (vô lý) Vậy h =1 hay Fn ,b ( f )  Fn ,b ( g ) Mặt khác theo định lý 3.2.4, Fn ,b đa thức M ( p ) Vì f = g Do đó: tập F n ,b tập không tính số bội M ( n  10 p ) 3.3.5 Định lý Nếu n  tập F n,b tập tính số bội A( Nếu n  Fn ,b đa thức A( p ) thỏa b   F n ,b tập tính số bội A( p p tập ) Chứng minh Cho f, g  A( nguyên p p )- p thỏa E f ( F n ,b )  Eg ( F n,b ) Khi đó: 0-điểm.Do đó: Fn,b ( f ) Fn,b ( g ) = c  Fn ,b ( f )  cFn,b ( g ) Theo định lý 2.1.3.7: T (r , Fn,b ( f ))  nT (r , f )  O(1) T (r , Fn ,b ( g ))  nT (r , g )  O(1) mà: T (r , Fn ,b ( f )) = T (r , Fn ,b ( g ))  O(1) nên T(r,f) = T(r,g)+ O(1) Đặt: f1   với Q ( z )  n2 c f Q ( f ); f  g n  2Q ( g ) b b (n  1)(n  2) n(n  1) z  n(n  2) z  2 Ta có: f1  f    n2 c f Q ( f )  g n  2Q ( g ) b b c Fn ,b ( f )  b   Fn ,b ( g )  b  b b (*) Fn,b ( f ) Fn ,b ( g ) hàm ) c cFn ,b ( g )  b   Fn ,b ( g )  b  b b =1  c  ( **) Đầu tiên ta giả sử c  (n  2) f n 3 f '.Q( f )  f n  Q '( f ) b =  (n  2) f n 3 f '.Q( f )  f n 2  (n  1)(n  2) f f ' n(n  2) f ' b f1'       n(n  1)  (n  1)(n  2)  ' f  n(n  2) f   (n  1) f  nf  2   (n  1)n   (n  1)n   (n  2) f n 3 f '  f  n(n  1) f   b   n(n  1)(n  2) n 3 f f '( f  1)  2b   (n  2) f n 3 f b Tương tự: f 2'  n(n  1)(n  2)c n 3 g g '( g  1) 2b i/ Khi n  : Xét hai hệ sau:  f1 ( z )   c    f ( z) 1   f ( z)   c  (I ) ;   g ( z) 1  Nếu hai hệ giải z0   f1 ( z0 )   c    f ( z0 )   p (II ) cho:  f ( z0 )   c  (1) ;   g ( z0 )   (2) mà: f1 ( z0 ) =  ( f ( z0 )) n  Q(f( z0 )) b (n  1)(n  2) n(n  1)  =  ( f ( z0 )) n   ( f ( z0 ))  n( n  2)( f ( z0 ))   2  b  ( n  1)( n  2) n(n  1)  =    n(n  2)   2  b b  c f ( z0 ) = ( g ( z0 )) n  Q( g( z0 )) b c (n  1)(n  2) n(n  1)  ( g ( z0 ))  n(n  2)( g ( z0 ))   2  b  c ( n  1)( n  2) n(n  1)  =   n(n  2)   b  2  c = b = ( g ( z0 ))n   nên: b 1 b b (2)  c  b 1 c  (trái với giả thiết giả sử ta) Do đó: c     c  1  b    (1)  c  Vì ta giả sử hai hệ không giải được, giả sử hệ (I) Khi đó: N (r , 1 ; 0,1  c)  N (r , )  2T (r , f )  O(1) f1 ' ( f  1) Theo định lý thứ hai, ta có: T (r , f1 )  log r  O(1)  N ( r , f1 )  N (r , 1 )  N (r , )  N ( r , ;0,1  c)  O (1) f1 f1   c f1 mà: N (r , 1 ) = N (r , )  N (r , ) f1 f Q( f ) 1  N (r , )  N (r , ) f Q( f ) 1  T (r , )  T (r , ) f Q( f ) =T (r , f )  T (r , Q( f ))  O(1) (1) Theo định lý 2.1.3.7: T(r,Q(f)) = 2T(r,f) +O(1) (2) T(r,Q(g)) = 2T(r,g) +O(1) (3) f1 Từ (1) (2) ta có : N (r , ) =T (r , f )  2T (r , f )  O(1)  3T (r , f )  O(1) N (r , f1 )  N (r , 1 )  N (r , ) f1   c f2 (do (**) ) 1 = N (r , )  N (r , ) (do h =const) g Q( g ) 1  N (r , )  N (r , ) g Q( g )  T (r , g )  T (r , Q ( g ))  O (1) =T (r , g )  2T (r , g )  O(1) (do (3)) =3T (r , g )  O(1) N (r , ;0,1  c)  2T (r , f )  O (1) f1 ' nên: T (r , f1 )  O(1)  log r  3T (r , f )  3T ( r , g )  2T ( r , f )  O (1) (do (*))  4T (r , f )  O (1) Hơn nữa: T (r , f1 )  O(1)  nT (r , f ) nên: nT (r , f )  log r  4T (r , f )  O (1) Suy ra: n < (vô lý n  ) Do c =1 hay Fn,b ( f )  Fn,b ( g ) Mặt khác, theo giả thiết, Fn ,b đa thức A( p ) nên f =g ii/ Khi n  : Theo định lý thứ hai ta có: T (r , f1 )  log r  O (1)  N (r , f1 )  N (r , mà: N (r , 1 )  N (r , )  O(1) f1 f1   c1 )  3T (r , f )  O(1) f1 N (r , f1 )  N (r , )  3T (r , g )  O (1) f1   c T (r , f1 )  O(1)  nT (r , f ) ( định lý 2.1.3.7) nên: nT ( r , f ) + logr  3T ( r , f )  3T (r , g )  O (1)  6T ( r , f ) (do (*)) Suy ra: n < (vô lý n  ) Do c =1 hay Fn,b ( f )  Fn,b ( g ) hiển nhiên f =g Fn ,b đa thức A( p ) (theo định lý 3.2.4) KẾT LUẬN Vì thời gian khả thân hạn chế nên luận văn giới thiệu chưa đầy đủ ứng dụng lý thuyết Nevanlinna việc chứng minh định lý tính hàm phân hình padic; đồng thời giới thiệu số đa thức tập hàm phân hình p-adic Trong luận văn chắn không tránh khỏi có thiếu sót, kính mong quý thầy cô bạn đồng nghiệp bảo đóng góp ý kiến để luận văn đạt chất lượng cao Xin chân thành cảm ơn trân trọng TÀI LIỆU THAM KHẢO Boutabaa, A.,Theorie de Nevanlinna p-adique Manuscripta Math 67(1990), 251-269 Hà, Huy Khoái, On p-adic meromorphic, Duke Math J.50 (1983), 695-711 Hà, Huy Khoái, Théorie de Nevanlinna et problèmes Diophantiens, Vietnam J.Math 23(1995) 57-81 Hà, Huy Khoái & Mỵ, Vinh Quang, On p-adic Nevanlinna theory, Lecture Notes in Math 1351 (1988), 146-158, Springer-Verlag Hu, P.C & Yang, C.C Value distribution theory of p-adic meromorphic functions, Izvestiya Natsionalnoi Academii Nauk, Armenii (National Academy of Sciences of Armenia) 32 (3) (1997) 46-67 Hu, P.C & Yang, C.C , A unique range set of p-adic meromorphic functions with 10 elements, Acta Math Viet 24 (1) (1999), 95-108 My, Vinh Quang, Some applications of p-adic Nevanlinna theory, Acta Math Viet 14 (1) (1989) Neal Koblitz, p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions [...]... thành công lý thuyết Nevanlinna p-adic để nghiên cứu các hàm chỉnh hình, phân hình p-adic Trong chương này, chúng tôi sẽ giới thiệu một số các ứng dụng đó 3.1 Các định lý về tính duy nhất của hàm phân hình p-adic 3.1.1 Định lý Cho f và g là hai hàm phân hình khác hàm hằng trên là bốn điểm khác nhau trong p p và a1 ; a2 ; a3 ; a4   thỏa: E f (a j ) = E g (a j ) ; ( j=1; 2; 3; 4) Khi đ : f  g Chứng... Trường số phức p-adic p p p  p vừa xây dựng thì ta sẽ được trường các số phức pp  có hai tính chất cơ bản sau: đầy đủ và nó có vai trò tương tự như trường số phức phức p p đóng đại số, trong giải tích Chương 2: LÝ THUYẾT NEVANLINNA P-ADIC Trong chương này chúng tôi trình bày một số các hàm đặc trưng và hai định lý cơ bản của lý thuyết Nevanlinna p-adic 2.1 Các hàm đặc trưng 2.1.1 Các khái niệm cơ bản Vành... (1) và (2) ta c : 2logr  O(1) ( vô lý ) Vậy: f  g (2) (1) 3.1.2 Định lý Cho f và g là hai hàm nguyên khác hàm hằng trên hạn phân biệt a1 ; a2  p p và hai giá trị hữu thỏa: E f (a j ) = E g ( a j ) (j = 1; 2) Khi đ : f  g Chứng minh  Ta chứng minh bổ đề sau: Cho f là hàm phân hình khác hàm hằng trong p  0;   (0 0 ta có (r; f r Thật vậy: Nếu... compắc đối với chuẩn p là tập compắc nên với mọi a thuộc compắc của a trong p Vậy p 1.3 Trường các số phức p-adic Làm đầy đủ thực p p ,a+ trường số phức là tập compắc địa phương p không đóng đại số, bao đóng đại số của theo ta được trường các số p-adic p nhưng không đóng đại số Kí hiệu bao đóng đại số của Irr(  , p thì  là phần tử đại số trên ,x)= x n  an1 x n1   a1 x  a0 (a i  nghiệm Ta... Định nghĩa:  E f (a)  ( af ( z ); z ) / z  p  và ký hiệu nghịch ảnh của a bởi f bởi:  E f ( a )  f 1 ( a )  z  p  /  af ( z )  0 Nếu một cặp hai hàm phân hình f và g không là hàm hằng trên p thỏa: + E f (a) = Eg (a) thì ta nói f và g chia sẻ giá trị a tính cả số bội + E f (a) = E g (a) thì ta nói f và g chia sẻ giá trị a không tính số bội Với k  , định nghĩa: a f ,k  af ( z ) :  af (... j 0  2.2 Hai định lý cơ bản của lý thuyết Nevanlinna p-adic 2.2.1 Định lý (định lý cơ bản thứ nhất) Cho f là một hàm phân hình khác hàm hằng trong Khi đó với mọi a thuộc m(r, p p  0,   (0