Tích phân Volkenborn Đại số và lý thuyết số

? Bộ giáo dục đào tạo Trờng Đại học s phạm Thành phố Hồ Chí Minh Phạm Thị Hoa Tiên Tích phân Volkenborn Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60.46.05 Luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học: PGS TS Mỵ Vinh Quang Tp Hồ Chí Minh - 2010 lời cảm ơn Luận văn đợc hoàn thành dới hớng dẫn nghiêm khắc đầy trách nhiệm PGS TS Mỵ Vinh Quang Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến với PGS TS Mỵ Vinh Quang Tác giả xin chân thành đợc tỏ lòng biết ơn đến quý thầy cô giáo giảng dạy lớp Cao học Toán Khóa 18 Trờng ĐHSP Tp Hồ Chí Minh giảng dạy tận tình quan tâm, động viên, khích lệ tác giả suốt trình học tập thực luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến BGH Trờng ĐHSP Tp Hồ Chí Minh, Phòng Khoa học Công nghệ - Sau Đại học Trờng ĐHSP Tp Hồ Chí Minh tạo điều kiện để tác giả hoàn thành công việc học tập, nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn lãnh đạo Sở Giáo dục Đào tạo Đắk Lắk; Ban Giám hiệu, quý thầy cô Trờng THPT Krông Ana, Đắk Lắk tạo điều kiện sở vật chất, thời gian thờng xuyên động viên tác giả học tập Trong trình học tập tác giả nhận đợc động viên, khích lệ bạn học viên lớp thạc sĩ khóa 18 chuyên ngành Đại số lý thuyết số Đại học s phạm Tp Hồ Chí Minh nh tất bạn bè thân hữu Tác giả xin chân thành cám ơn Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn đến Ba Mẹ, Em, Bà nội, Ông Bà ngoại, Bác, Chú Thím, Cậu Mợ, Anh Chị cổ vũ, động viên để tác giả an tâm học tập nghiên cứu Đặc biệt, luận văn hoàn thành sau trình miệt mài học tập nghiên cứu thiếu cảm thông sâu sắc, khích lệ tinh thần thờng xuyên Chồng, Con tác giả Tác giả i Danh mục kí hiệu N = {0, 1, 2, 3, } N = {1, 2, 3, } Z = {0, 1, 2, } Q: trờng số hữu tỉ Qp : trờng số padic Zp = {x Qp : |x|p 1}: vành số nguyên padic Tp = Zp \ pZp = {x Zp : |x|p = 1} B0 , B1 , , Bn : số Bernoulli B0 (x), B1 (x), , Bn (x): đa thức Bernoulli n exp t = et , với e = lim + n1 n expp t: hàm mũ padic logp t: hàm logarit padic x(x 1) (x n + 1) , n = x := n! n 1, n = với n N, x K, K trờng giá trị phi Archimede đầy đủ chứa Qp nh trờng ii Mục lục Trang phụ bìa i Lời cảm ơn i Danh mục kí hiệu ii Mục lục mở đầu Chơng Kiến thức 1.1 1.2 1.3 Chơng Các khái niệm Trờng số p-adic Một số khái niệm, kết giải tích siêu mêtric Xây dựng tích phân Volkenborn 16 2.1 2.2 2.3 2.4 Chơng Tổng bất định Định nghĩa số kết tích phân Volkenborn Tích phân Volkenborn số hàm đơn giản Tích phân tập Một số ứng dụng tích phân Volkenborn 16 21 33 35 38 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 Giới thiệu số Bernoulli đa thức Bernoulli 38 Xây dựng số Bernoulli tích phân Volkenborn 40 Dùng tích phân Volkenborn để chứng minh số tính chất số Bernoulli 42 Chứng minh định lý von Staudt - Clausen theo lý thuyết số 43 Chứng minh định lý von Staudt - Clausen giải tích padic 47 Định nghĩa đa thức Bernoulli tích phân Volkenborn 53 Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 57 Mở đầu Các số padic đợc Kurt Hensel mô tả năm 1897, trăm năm qua chúng dần thâm nhập vào lĩnh vực khác toán học nh lý thuyết số, hình học đại số, tôpô đại số, giải tích vật lý, đặc biệt vật lý lợng tử Vào năm 40 kỉ XX, giải tích padic phát triển mạnh mẽ thành chuyên ngành độc lập nhờ việc phát mối liên hệ sâu sắc giải tích padic với vấn đề lớn số học hình học đại số Trong giải tích padic có nhiều tơng tự padic khác khái nhiệm tích phân, chẳng hạn nh khái niệm tơng tự padic tích phân Riemann, tích phân Stieltjes, tích phân Shnirelman (tơng tự padic tích phân đờng) Bên cạnh đó, tích phân Volkenborn tích phân đặc biệt, có giải tích padic không tơng tự padic tích phân biết Hơn nữa, tích phân Volkenborn có nhiều ứng dụng nghiên cứu lý thuyết số Bởi lý đó, chọn đề tài nghiên cứu "Tích phân Volkenborn" Trong luận văn này, giới thiệu cách đầy đủ chi tiết cách xây dựng, tính chất tích phân Volkenborn, đồng thời giới thiệu số áp dụng lý thú nó, qua làm rõ ý nghĩa vai trò tích phân Volkenborn giải tích padic lý thuyết số Cụ thể nh sau Chơng Kiến thức bản: trình bày số kiến thức số padic, giải tích padic, khai triển Mahler hàm liên tục cần dùng cho chơng sau Chơng Xây dựng tích phân Volkenborn: giới thiệu khái niệm tổng bất định hàm số liên tục, tính tổng bất định số hàm liên tục Zp thờng gặp sau xây dựng tích phân Volkenborn hàm số liên tục Zp nh đạo hàm tổng bất định hàm số Chơng nghiên cứu số tính chất tích phân Volkenborn, chủ yếu hàm số khả vi liên tục Zp đồng thời tính toán tích phân Volkenborn cho số lớp hàm quan trọng giải tích padic Cuối chơng giới thiệu khái niệm tích phân tập Zp Chơng Xây dựng số ứng dụng tích phân Volkenborn: chơng ứng dụng tích phân Volkenborn để xây dựng nghiên cứu số tính chất quan trọng số Bernoulli - số có vai trò quan trọng lý thuyết số - đặc biệt đồng d thức tiếng von Staudt Clausen Song song với việc chứng minh kỹ thuật padic, giới thiệu cách chứng minh đồng d thức cách sử dụng kỹ thuật lý thuyết số để tiện đối chiếu Cuối chơng, giới thiệu cách xây dựng đa thức Bernoulli tích phân Volkenborn Mặc dù thân tác giả cố gắng nhng trình độ thời gian hạn chế nên luận văn thiếu sót Kính mong quý thầy, cô quý độc giả góp ý để luận văn đợc hoàn thiện Chơng Kiến thức 1.1 Các khái niệm Định nghĩa 1.1.1 Hàm giá trị (valuation) Cho K trờng Một hàm giá trị K (còn gọi chuẩn trờng K) ánh xạ || : K R thỏa mãn (i) x K, |x| 0, |x| = x = (ii) |x + y| |x| + |y|, x, y K (iii) |xy| = |x||y| Cặp (K, ||) gọi trờng giá trị Ví dụ 1.1.2 Hàm lấy giá trị tuyệt đối trờng số thực R hàm giá trị Hàm lấy môđun trờng số phức C hàm giá trị Trên trờng K bất kì, hàm || đợc định nghĩa |x| := x = 0, 1, x = hàm giá trị, gọi hàm giá trị tầm thờng Mệnh đề 1.1.3 Kí hiệu 1K phần tử đơn vị trờng giá trị (K, ||) Ta có |1K | = | x| = |x|, x K |x1 | = |x|1 , x K, x = |x y| ||x| |y||; x, y K Giả sử (K, ||) trờng giá trị ánh xạ d : K ì K R cho d(x, y) = |x y| metric, gọi metric cảm sinh || K, metric cảm sinh tôpô K, gọi tôpô cảm sinh || K với tôpô cảm sinh trở thành trờng tôpô, nghĩa phép cộng phép nhân hai phần tử K ánh xạ liên tục Hai hàm giá trị K gọi hai hàm giá trị tơng đơng chúng cảm sinh tôpô K Trong định nghĩa hàm giá trị (1.1.1) trên, thay điều kiện (ii) điều kiện (ii ): |x + y| max{|x|, |y|} (K, ||) gọi trờng giá trị phi Archimede, (ii ) gọi bất đẳng thức tam giác mạnh Khi mêtric cảm sinh hàm giá trị phi Archimede gọi siêu mêtric Mọi trờng K với hàm giá trị tầm thờng trờng giá trị phi Archimede Trong luận văn nghiên cứu trờng giá trị K phi Archimede Ví dụ 1.1.4 Lấy > 1, với f R[X], đặt |f | := 0, d(f ) , nếuf = f = d(f ) bậc f Với s R(X), đặt |s| := |f ||g|1 , (s = f g ; f, g R[X], g = 0) Thì (R(X), ||) trờng giá trị phi Archimede Ví dụ 1.1.5 Lấy p số nguyên tố, với n Z ta định nghĩa ordp n số i N cho pi chia hết n pi+1 không chia hết n Với x Q, x = a , a, b Z b ta định nghĩa ordp x=ordp a-ordp b Khi ||p đợc định nghĩa |x|p := pordp x , 0, x = x = hàm giá trị phi Archimede Q Mệnh đề 1.1.6 (Nguyên lý tam giác cân) Cho || hàm giá trị phi Archimede trờng K Với x, y K, |x| = |y| |x + y| = max{|x|, |y|} Mệnh đề 1.1.7 (Mọi hàm giá trị Q) Mọi hàm giá trị không tầm thờng Q tơng đơng với ||p với p số nguyên tố hàm giá trị tuyệt đối Định nghĩa 1.1.8 Trờng thặng d Giả sử (K, ||) trờng giá trị phi Archimede Kí hiệu B(0; 1) = {x K||x| 1} B (0; 1) = {x K||x| < 1} Khi k = B(0; 1)/B (0; 1) trờng, gọi trờng thặng d K Định nghĩa 1.1.9 Số pnguyên Cho số nguyên tố p Một số b Q đợc gọi pnguyên b = m k , (m, k) = p k Định nghĩa 1.1.10 Đồng d modulo n Cho n N ; m, k Q m gọi đồng d với k theo modudlo n n | (m k), kí hiệu m k(mod n) 1.2 Trờng số p-adic Bao đủ (completion) Q theo hàm giá trị tuyệt đối trờng số thực R Bao đủ Q theo ||p trờng Qp , gọi trờng số p-adic Ta kí hiệu ||p mở rộng ||p Qp Cụ thể nh sau Kí hiệu S tập tất dãy số hữu tỉ Cauchy theo ||p Trên S xác định quan hệ tơng đơng : {xn } {yn } lim (xn yn ) = n Phần tử Qp lớp tơng đơng theo quan hệ với phép cộng nhân Qp đợc định nghĩa bởi: {xn } + {yn } = {xn + yn } {xn }.{yn } = {xn yn } Q đợc xem trờng Qp nhờ ánh xạ nhúng a Q thành {a} Với Qp = {an }, giá trị đợc xác định ||p = lim |an |p n Nh thấy mệnh đề (1.3.6), = có N N cho với n > N ||p = |an |p Bao đóng đại số Qp Qp không đầy đủ Bao đủ Qp đầy đủ đóng đại số, kí hiệu Cp Định nghĩa 1.2.1 Số nguyên padic Một số x Qp gọi số nguyên p-adic |x|p Ta kí hiệu Zp = {x Qp , |x|p 1} Mệnh đề 1.2.2 i) Zp vành Qp mà chứa Z thực ii) Qp trờng thơng Zp iii) N trù mật Zp Trong (3.3), thay k m k ta có m (m + 1)Sm (n) = k=0 m+1 Bmk nk+1 mk Vì m+1 mk = m+1 m! m+1 m (m + 1)! = = (k + 1)!(m k)! k + k!(m k)! k+1 k nên m Sm (n) = k=0 m nk+1 Bmk k+1 k nm+1 m n2 = Bm n + Bm1 + + m+1 (3.7) (3.8) Mệnh đề 3.4.2 Cho p số nguyên tố số nguyên m 1.Khi pBm p-nguyên m chẵn pBm Sm (p)(mod p) (3.9) Chứng minh Ta chứng minh ý thứ định lý (3.3.3) sử dụng tích phân Volkenborn, trình bày chứng minh khác quy nạp với số Bernoulli đợc định nghĩa lý thuyết số p ta có pB1 = pnguyên với số nguyên tố p Với B1 = 2 Giả sử m > 1, k = 1, 2, , m ta có pBmk p-nguyên Trong (3.8), thay n = p ta có pm+1 m p2 Sm (p) = pBm + Bm1 + + m+1 m p2 pm+1 pBm = Sm (p) Bm1 m+1 m p pm pBm = Sm (p) pBm1 pB0 m+1 (3.10) (3.11) (3.12) m pk Z, pnguyên k + pk với k k+1 số nguyên tố p theo giả thiết quy nạp với k 1, pBmk pnguyên Ta thấy Sm (p) Z, 45 nên từ (3.12) ta có pBm pnguyên Để chứng minh đồng d thức (3.9), ta chứng minh điều kiện đủ m pk pBmk 0( mod p), k k k+1 Thật vậy, với k 2, k + < 2k pk nên m pk pBmk 0( mod p) k k+1 Với k = 1, m chẵn nên pk 0( mod p) suy k+1 m (pBm1 )p 0( mod p) Nh vậy, k N , m k k p pBmk k+1 0( mod p) nên từ (3.12) ta có (3.9) Bổ đề 3.4.3 Cho p số nguyên tố, ta có Sm (p) 0( mod p), 1( mod p), p m p | m Chứng minh Lấy g nguyên thủy (primitive root) modulo p, nghĩa g phần tử sinh nhóm nhân xiclic cấp p số nguyên modulo p (Z/pZ) Khi {1, 2, , p 1} {1, g, g , , g p2 } tập đại diện đầy đủ (Z/pZ) nên Sm (p) =1m + 2m + + (p 1)m 1m + g m + + g (p2)m ( mod p) (3.13) Nếu p | m 1m g m g (p2)m 1(mod p) nên Sm (p) p 1(mod p) Nếu p m g m 1(mod p) Từ (3.13) ta có (g m 1)Sm (p) g m(p1) 0(mod p) Do Sm (p) 0(mod p) g m 1(mod p) 46 Chứng minh định lý von Staudt - Clausen Giả sử n chẵn, p số nguyên tố theo mệnh đề (3.4.2), pBn pnguyên pBn Sn (p)(mod p) Khi theo bổ đề (3.4.3), p n Bn p-nguyên p | n pBn 1(mod p) Đặt An = Bn + , ta chứng minh An p-nguyên với số nguyên p1|n p tố p Thật vậy, giả sử q số nguyên tố q n Bn q-nguyên tổng không lấy q nên q-nguyên, An q-nguyên p1|n p Ngợc lại, số nguyên tố q mà q | n qBn 1(mod q) hay qBn + Z q Do An = Bn + = + q qBn + + q p1|n,p=q Hiển nhiên p1|n,p=q p1|n,p=q p p1|n,p=q p (mod Z) p q-nguyên nên An q-nguyên p Nh vậy, An p-nguyên với số nguyên tố p nên An Z hay Bn + Z p1|n p 3.5 Chứng minh định lý von Staudt - Clausen giải tích padic Tiếp theo ta chứng minh định lý von Staudt - Clausen cách sử dụng kĩ thuật giải tích p-adic Trớc hết ta có bổ đề sau 47 Bổ đề 3.5.1 Với k N , n N, đặt R0 (k) = với k, Rn (k) := n + 1n + + (pk 1)n , n > k p ta có lim Rn (k) = Bn k n n Rns (k)Rs (1)pks s Rn (k + 1) Rn (k) = s=1 Chứng minh Đặt f (x) = xn , ta thấy xn dx = Bn lim Rn (k) = (Sf ) (0) = k Zp Ta có Rn (k + 1) = pk+1 pk+1 zn s=0 Chia z cho pk đợc thơng j số d i, ta viết z = i + jpk Rn (k + 1) = = pk+1 pk+1 n = s=0 n = s=0 pk p1 (i + jpk )n i=0 j=0 pk p1 n n ns k s i (jp ) s i=0 j=0 s=0 pk p1 n ins j s pks k p i=0 p j=0 s n Rns (k)Rs (1)pks s n n Rns (k)Rs (1)pks s = Rn (k) + s=1 n Từ ta rút đợc Rn (k + 1) Rn (k) = s=1 48 n s Rns (k)Rs (1)pks (3.14) Bổ đề 3.5.2 Với số nguyên tố p = 2, n N ta có n (0 + 1n + + (p 1)n ) |p p Công thức p = với n N , n chẵn | Bn Chứng minh Ta cần chứng minh | Bn Rn (1) |p với Rn (k) đợc xác định nh bổ đề (3.5.1) Trớc hết ta có (p 1)p p R1 (1) = (0 + + + + (p 1)) = = p 2p Với s {2, 3, } ta có: n Rns (k)Rs (1)pks = s n k p Rns (k)pRs (1)pksk1 Z (3.15) s pt với s > 1, p ksk1 =p k(s1)1 t ij Z Z, p Rj (t) = i=0 Với s = p lẻ: p1 Z, pk Rn1 (k) Z, ta đợc n p1 Rn1 (k)R1 (1)pk = npk Rn1 (k) Z (3.16) Với s = 1, p = 2, n chẵn: R1 (1) = 21 , n2 Z, Rn1 (k)2k Z ta có n n Rn1 (k)R1 (1)2k = Rn1 (k)2k Z (3.16 ) Nh vậy, từ (3.15), (3.16) ((3.16) ) ta thấy với hai trờng hợp p lẻ p = 2, n chẵn ta có n Rn (k + 1) Rn (k) = s=1 n Rns (k)Rs (1)pks Z s Từ suy n | Rn (k + 1) Rn (k) |p =| s=1 n Rns (k)Rs (1)pks |p 1, (k N ) s 49 Ta có | Rn (k+2)Rn (k) |p =| (Rn (k + 2) Rn (k + 1))+(Rn (k + 1) Rn (k)) |p max {| Rn (k + 2) Rn (k + 1) |p , | Rn (k + 1) Rn (k) |p } Suy với k > m, (k, m N) | Rn (k) Rn (m) |p Cho k lấy m = ta đợc | Bn Rn (1) |p Vậy bổ đề đợc chứng minh xong Chứng minh định lý von Staudt - Clausen Gọi , , , p1 bậc p đơn vị Qp (mệnh đề 1.3.23) Khi hai tập {0, 1, , p 1} {0, , , , p1 } tập đại diện đầy đủ Zp /pZp Do đó, với n N : 0n + 1n + + (p 1)n n + 2n + + (p1)n (mod pZp ) Ta có p = nên n = np p1 nj n = ( 1) = (n 1)( j=0 n(p1) + n(p2) + + n + 1) Suy p1 n ( 1) p1 nj n nj = ( 1) j=0 =0 j=1 p1 n nj = Do n không chia hết cho p = nên n Nếu n chia hết cho p = 1, 2n = 1, , p1 nj = p j=1 50 j=1 (p1)n = dẫn tới (3.17) Từ (3.17) ta có (0n + 1n + + (p 1)n ) n + 2n + + (p1)n = xp, x Zp Nh p1 nj = nên Nếu n không chia hết cho p j=1 (0n + 1n + + (p 1)n ) (n + 2n + + (p1)n ) x = p n = (0 + 1n + + (p 1)n ) Zp p p1 nj = p nên Nếu n chia hết cho p j=1 (0n + 1n + + (p 1)n ) (n + 2n + + (p1)n ) x = p n n n p1 + + + (p 1) = p p n n n + + + (p 1) = + Zp p p 0n + 1n + + (p 1)n + = y Zp p p Theo bổ đề (3.5.2) n (0 + 1n + + (p 1)n ) |p p Nếu n chẵn, n không chia hết cho p ta có | Bn | Bn x |p 1, (x Zp ) suy | Bn |p Nếu n chẵn, n chia hết cho p | Bn + y |p 1, (y Zp ) p 51 suy | Bn + p1 |p Xét số nguyên tố q, ta có Nếu n không chia hết cho q | Bn |q với số nguyên tố p mà p | n (khi p = q), | p1 |q = nên | Bn + p1|n |q max{| Bn |q , 1} p Nếu n chia hết cho q | Bn + 1q |q suy với số nguyên tố p, ta có | Bn + p1|n 1 |q =| Bn + + p q p1|n,p=q 1 |q max{| Bn + |q , 1} p q Tóm lại, ta có với số nguyên tố q 1 | Bn + p |q hay Bn + p Zq với q nguyên tố p1|n p1|n Nh vậy, Bn + p1|n p = m (Zq Q), (m, k) = với số nguyên tố q k Nghĩa là, với số nguyên tố q k không chia hết cho q (vì | m |q 1) nên k {1, 1} hay k Bn + p1|n Z p Tiếp theo, ta dùng tích phân Volkenborn để định nghĩa đa thức Bernoulli đợc tơng đơng với định nghĩa biết 52 3.6 Định nghĩa đa thức Bernoulli tích phân Volkenborn Định nghĩa 3.6.1 Đa thức Bernoulli Đa thức Bernoulli Bn (x) đợc cho công thức (x + t)n dt, (n N, x Zp ) Bn (x) := Zp Ta có định nghĩa quen thuộc đa thức Bernoulli lý thuyết số nh giới thiệu đầu chơng qua mệnh đề sau Mệnh đề 3.6.2 Với x Zp , E, = 0, ta có n Bn (x) n! n=0 expp (x) = expp Chứng minh Ta có expp ((x + t))dt = Zp expp (x) expp (t)dt = expp (x) Zp expp (t)dt Zp áp dụng ví dụ (2.3.2) expp ((x + t))dt = expp (x) expp (3.18) Zp n (x + t)n nên n! n=0 Mặt khác, expp ((x + t)) = expp ((x + t))dt = Zp n=0 n n! n (x + t) dt = n=0 Zp Vậy từ (3.18) (3.19) ta có expp (x) = expp 53 Bn (x) n Bn (x) n! n=0 n n! (3.19) Mệnh đề sau mối liên hệ đa thức Bernoulli số Bernoulli Mệnh đề 3.6.3 Với x Zp , ta có n (i) Bn (x) = j=0 n j xnj Bj (ii) 0, n = 0, nxn1 , n N Bn (x + 1) Bn (x) = Chứng minh Ta có n n Bn (x) = (t + x) dt = Zp n = j=0 n = j=0 Zp j=0 n nj x j n nj j x t dt j tj dt Zp n nj x Bj j Vậy ta có (i) Với (ii) ta thấy Nếu n = B0 (x + 1) = B0 (x) = nên Bn (x + 1) Bn (x) = Nếu n > đặt f (t) = tn , áp dụng (2.10) ta có Bn (x + 1) Bn (x) = f (t + x)dt = f (x) = nxn1 f (t + x + 1)dt Zp Zp Một hàm padic có liên quan đến đa thức Bernoulli tổng bất định "hàm lũy thừa" 54 Mệnh đề 3.6.4 Xét hàm số f (x) = xn , x Zp Tổng bất định f hàm số x (Bn+1 (x) Bn+1 (0)) n+1 xn+1 Chứng minh Một nguyên hàm f P f với P f (x) = n+1 Theo (2.12), ta có P f (t + x)dt Sf (x) = Zp P f (t)dt Zp n+1 (t + x) n+1 = Zp = tn+1 dt n+1 dt Zp 1 Bn+1 (x) Bn+1 n+1 n+1 Với Bn+1 (0) = Bn+1 , ta có điều phải chứng minh 55 Kết luận Tóm lại, luận văn làm đợc số vấn đề sau đây: - Xây dựng định nghĩa, nêu chứng minh tính chất tích phân Volkenborn - Định nghĩa tích phân tập mở, compact Zp Nêu chứng minh vài tính chất tích phân tập đặc biệt Zp - Tính toán đợc tích phân Volkenborn số hàm quan trọng giải tích padic - Đặc biệt, tìm số ví dụ cụ thể minh họa cho hàm khả tích nhng không khả vi liên tục, hàm liên tục nhng không khả tích - Đa số ứng dụng tích phân Volkenborn: dùng tích phân Volkenborn để định nghĩa số Bernoulli đa thức Bernoulli, mối quan hệ số Bernoulli đa thức Bernoulli theo cách định nghĩa này; chứng minh số tính chất quan trọng số Bernoulli mà quan trọng đồng d thức von Staudt - Clausen Về ứng dụng tích phân Volkenborn giải tích padic lý thuyết số nhiều toán mở Nếu có điều kiện cho phép trở lại với vấn đề lần 56 Tài Liệu Tham Khảo Andrew Baker (2009), An introduction to padic number and padic analysis, Scotland Arnt Volkenborn (1974), On generalized padic integration, France Fernando Rodriguez Villegas (2006), The congruences of Clausen von Staudt and Kummer for half - intergral weight Eisenstein series, Princeton, USA, 2006 G H Hardy, E M Wright (1975), An introduction to the theory of numbers, Oxford university press Hu, D C and Yang, C.C (2000), Value distribution theory of padic meromorphic functions, Hong Kong K Mahler (1973), Introduction to padic numbers and their function, Cambridge university press Neal Koblitz (1996), padic Numbers, padic Analysis, and Zeta Functions, Springer N Koblitz (1980), padic analysis: a short course on recent work, Cambridge university press Serge Lang (1994), Algebraic number theory, Springer 57 10 Svetlanta Katok (2001), Real and padic analysis course notes for math 497C MASS program, USA 11 W H Schikhof (1984), Ultrametric calculus, Cambridge University Press 58 Danh mục từ khóa C n (X K), 12 X n , 14 x n , 14 n , 15 Cp , Qp , Zp , pnguyên, chuẩn, dãy nội suy, 13 giới hạn padic, hàm giải tích, 11 hàm giá trị tơng đơng, hàm liên tục, hàm logarit padic, 11 hàm mũ padic, 11 hệ số Mahler, 15 hệ số Mahler tổng bất định, 20 nguyên lý tam giác cân, phần tử dơng, K + , 10 số Bernoulli theo lý thuyết số, 38 số Bernoulli p-adic, 40 trờng thặng d, trờng thặng d Qp , tập lồi, 10 tích phân Volkenborn, 21 tính chất số học số Bernoulli, 39 tổng bất định, 16 đa thức Bernoulli theo lý thuyết số, 38 đa thức Bernoulli p-adic, 53 đạo hàm, nguyên hàm, 10 định lý von Staudt - Clausen, 43 đồng d modulo n Q, khai triển p-adic, khai triển Mahler, 15 không gian định chuẩn, khả vi liên tục,C , 12 khả vi a, 10 59 [...]... |an |n+1 |1 p Sf 1 p f 1 Theo bổ đề (1.3.34), ta có f 2.2 1 n0 Định nghĩa và một số kết quả về tích phân Volkenborn Định nghĩa 2.2.1 Tích phân Volkenborn Cho hàm f C(Zp K) f đợc gọi là khả tích (khả tích Volkenborn) nếu tồn tại hữu hạn giới hạn pn 1 lim pn n f (j) j=0 Khi đó, giới hạn này gọi là tích phân Volkenborn của f và kí hiệu: pn 1 f (x)dx := lim pn n Zp 21 f (j) j=0 Nhận xét 2.2.2 1 Do pn... n |n |p np , n > 0 (ii) p1 |n |p |n+1 |p |n |p , n N Định lý 1.3.35 (Đặc trng của các hàm C 1 bởi hệ số Mahler) Cho f C(Zp K) có khai triển Mahler là f = an n=0 X n Khi đó f C 1 (Zp K) nếu và chỉ nếu lim |an |n = 0 Hơn nữa nếu n f C 1 (Zp K) thì f 1 f = max{|an ||n |1 p : n N} với 1 := f 15 1 f Chơng 2 Xây dựng tích phân Volkenborn 2.1 Tổng bất định Định nghĩa 2.1.1 Tổng bất định n1... đợc Hàm số liên tục nội suy dãy n f (j), n N gọi j=0 là tổng bất định của f , kí hiệu là Sf n1 x1 f (j), n N f (j) = lim Sf (x) = nx j=0 j=0 Nhận xét 2.1.2 Từ định lý (1.3.25), ta có : Sf (x + 1) Sf (x) = f (x), (x Zp ), Sf (0) = 0 Ví dụ 2.1.3 Tổng bất định của một vài hàm số trên Zp 1 Hàm số f (x) = 1 Với n N , ta có n1 f (j) = n j=0 16 Suy ra n1 f (j) = x Sf (x) = lim nx j=0 2 Hàm số f (x)... = a1 Suy ra n1 f (j) = Sf (x) = lim nx j=0 ax 1 a1 Ta đã biết với một hàm số f C(Zp K) cho trớc, các hệ số Mahler trong khai triển Mahler hoàn toàn đợc xác định Định lý sau đây đa ra một công thức biểu diễn các hệ số Mahler qua các giá trị của f Định lý 2.1.4 Cho f C(Zp K) có khai triển Mahler là an n=0 X n thì các hệ số an sẽ đợc xác định là n (1)nj an = j=0 n f (j), n N j Chứng minh Gọi I... an+1 = X n+1 Định lý 2.1.6 Cho f C 1 (Zp K) Khi đó tổng bất định của f là Sf cũng thuộc C 1 (Zp K) và f 1 Sf 1 p f 1 Chứng minh: Vì f C 1 (Zp K) nên có các a0 , a1 , K sao cho f= an n=0 X n và theo định lý (1.3.35), f 1 = max |an ||n |1 p n0 lim |an |n = 0 n Khi đó theo mệnh đề (2.1.5), Sf = an1 n=1 X n Dễ thấy lim |an |n = 0 n nếu và chỉ nếu lim |an1 |n = 0 Theo định lý (1.3.35) n Sf ... cũng nội suy đợc Định lý 1.3.27 Với a K thì dãy 1, a, a2 nội suy đợc nếu và chỉ nếu a K + Đặt ax := lim an , x Zp , a K + nx Khi đó, x, y Zp , a K + ta có ax K 13 ax+y = ax ay ax = (ax )1 1 Định lý 1.3.28 Đặt E = {x K : |x| < p 1p } Các hàm mũ p-adic, hàm logarit p-adic và hàm ax có các tính chất sau 1 expp là khả vi trên E và expp = exp 2 logp là khả vi trên K + và (logp x) = x1 , x ... K và các tập gồm một phần tử {a}, a K Định nghĩa 1.3.12 Phần tử dơng trong K Một phần tử x K gọi là dơng nếu |1 x| < 1 Tập tất cả các phần tử dơng của K là một nhóm, kí hiệu là K + 10 Định nghĩa 1.3.13 Hàm giải tích Xét tập con D của K là tập lồi Một hàm f : D K gọi là giải tích trên D nếu có các phần tử u D và a0 , a1 , K sao cho an (x u)n , (x D) f (x) = n=0 Mệnh đề 1.3.14 Một hàm giải tích. .. 1)n! n+1 = lim Mặt khác an n=0 có X n an Zp n=0 hội tụ trong C 1 (Zp K) nên theo mệnh đề (2.2.7) ta x dx = n x dx = n an n=0 Zp 28 (1)n an n+1 n=0 Mệnh đề 2.2.9 (Tích phân Volkenborn của hàm giải tích) Cho f : Zp K là hàm giải tích, f (x) = an xn , (x Zp ) Khi đó n=0 f (x)dx = n=0 Zp xn dx an Zp n aj xj thì theo bổ đề (1.3.32), dãy Chứng minh: Xét dãy các hàm fn = j=0 fn hội tụ về f Bây giờ... K sao cho an (x u)n , (x D) f (x) = n=0 Mệnh đề 1.3.14 Một hàm giải tích là khả vi vô hạn lần Định lý 1.3.15 Cho D K là tập con lồi, mở và f giải tích trên D Khi đó với mỗi v D, tồn tại các phần tử b0 , b1 , K sao cho f (x) = bn (xv)n , x D n=0 Hệ quả 1.3.16 Nếu D chứa 0 thì hàm f giải tích trên D có thể biểu diễn dạng f (x) = an x n n=0 Định nghĩa 1.3.17 Hàm mũ p-adic Hàm mũ p-adic đợc... f (j) = j=0 Sf (pn )Sf (0) pn nên f (x)dx = (Sf ) (0) Zp 2 Theo định lý (2.1.6), nếu f C 1 (Zp K) thì Sf C 1 (Zp K) nên Sf (0) luôn tồn tại, vì vậy mọi hàm C 1 đều khả tích 3 Với , K; f, g khả tích, ta có: f (x) + g(x)dx = Zp f (x)dx + Zp g(x)dx Zp 4 Khác với hàm biến thực, tồn tại những hàm liên tục trên Zp mà không khả tích Ví dụ 2.2.3 Xét hàm f (x) := |x|p (i) f liên tục trên Zp vì Tại