VỀ CÁC ĐẠI SỐ NGUYÊN TỐ VÀ NỬA NGUYÊN TỐ THỎA MÃN ĐỒNG NHẤT THỨC ĐA THỨC Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết so

Lí do chọn đề tài: Posner – Rowen đã chứng minh rằng, một PI – đại số nguyên tố trên một trường có thể nhúng vào một đại số đơn hữu hạn chiều trên tâm của nó như là thứ tự phải và trái

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

-

TRƯƠNG HUY HOÀNG

VỀ CÁC ĐẠI SỐ NGUYÊN TỐ VÀ NỬA

NGUYÊN TỐ THỎA MÃN ĐỒNG NHẤT THỨC

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin gởi lòng biết ơn sâu sắc nhất đến PGS-TS Bùi Tường Trí, người thầy đã tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này

Xin chân thành cảm ơn các Thầy: TS Trần Huyên, TS Mỵ Vinh Quang,

PGS-TS Bùi Xuân Hải đã trang bị cho tôi những kiến thức vô cùng quí báo trong suốt quá trình học tập

Cuối cùng, xin cảm ơn các Thầy Cô khoa Toán – Tin của Trường ĐHSP đã cung cấp cho tôi những tài liệu cần thiết, cảm ơn các Thầy Cô của phòng Khoa Học

Công Nghệ Sau Đại Học, các bạn bè, đồng nghiệp đã chân tình động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và trong quá trình thực hiện luận văn này

Thành phố Hồ Chí Minh – năm 2007 Học viên Cao học khóa 15

Trương Huy Hoàng

MỤC LỤC

HỆ THỐNG KÍ HIỆU

Chương 1:

CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ MỘT SỐ ĐẠI SỐ ĐẶC BIỆT

1.1 Tóm tắt những kiến thức cơ sở……….….… … ……… 1

1.2 Một số đại số đặc biệt ……….…….……….8

1.2.1 Đại số nửa nguyên thủy ……….….….……….8

1.2.2 Đại số nguyên thủy ……… ………….……….8

1.2.3 Đại số nguyên tố ……….……….…….……… 12

1.2.4 Đại số nửa nguyên tố ……….…….……….………….14

1.2.5 Đại số thỏa mãn đồng nhất thức ….………… ……….…….18

Chương 2: CÁC PI – ĐẠI SỐ NỬA NGUYÊN TỐ THỎA MÃN ĐỒNG NHẤT THỨC ĐA THỨC 2.1 Đại số nguyên tố thỏa mãn đồng nhất thức thực sự……… ………26

2.2 Các kết quả của Posner ……….……… 39

2.3 Ví dụ ……….……… 41

KẾT LUẬN……….………43

TÀI LIỆU THAM KHẢO……….44

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài:

Posner – Rowen đã chứng minh rằng, một PI – đại số nguyên tố trên một

trường có thể nhúng vào một đại số đơn hữu hạn chiều trên tâm của nó như là thứ tự phải và trái trong đại số Amitsur đã khái quát điều này cho những đại số trên vành, ông đã sử dụng định lí Goldie để làm cơ sở cho những kết quả của mình Rowen là người có công không nhỏ trong việc làm sáng tỏ vấn đề trên Ông đã chỉ ra một hình ảnh rõ nét về vành thương, trong đó tâm của vành thương là

trường các thương của tâm của vành nguyên tố Vấn đề trên đã thu hút rất nhiều sự quan tâm của các nhà toán học trên thế giới, trong đó có Small, Martindale… Và tất cả đều sử dụng đa thức của Formanek

Mặc dù còn hạn chế nhiều về chuyên môn nên khà năng bao quát kiến thức chưa đủ lớn nhưng khi nghiên cứu vấn đề trên bản thân tôi cũng chịu một sức hấp dẫn nhất định Chọn đề này giúp chúng tôi tập làm quen với các phương pháp

nghiên cứu Toán học đương đại Trên hết là nhằm phát triển tư duy của bản thân

2 Mục đích nghiên cứu:

Chúng ta biết rằng, một đại số là nửa nguyên tố khi và chỉ khi nó là tích trực tiếp con của các đại số nguyên tố, một đại số là nửa nguyên thủy khi và chỉ khi nó là tích trực tiếp con của các đại số nguyên thủy (theo Kaplansky, nếu đại số

nguyên thủy là PI sẽ trở thành đại số đơn) Câu hỏi tự nhiên được đặt ra là, liệu kết quả của Posner – Rowen về các PI – đại số có thể mở rộng ra cho lớp các PI – đại số nửa nguyên tố hay không? Nói một cách chính xác hơn, liệu một PI – đại số nửa nguyên tố trên một trường có thể nhúng như thứ tự trái (phải) vào một PI – đại

số nửa nguyên thủy hay không? Trong quyển PI – Algebras An Introduction của

Nathan Jacobson (tài liệu tham khảo số 3 – tiếng Anh), tác giả nói rằng, có những thí dụ chứng minh rằng kết quả của Posner – Rowen không thể mở rộng ra cho lớp các PI – đại số nửa nguyên tố, tuy nhiên ông không chỉ ra thí dụ cụ thể nào Mục đích chính của luận văn của chúng tôi là đi xây dựng một thí dụ như vậy

3 Phương pháp nghiên cứu:

Trong luận văn này chúng tôi không trình bày cách xây dựng đa thức của

Formanek mà chỉ trình bày các kết quả của Posner và Rowen đối với các PI – đại số nguyên tố thỏa mãn đồng nhất thức thực sự Với lưu ý rằng, để đi đến những kết quả của mình Posner và Rowen cũng sử dụng đa thức của Formanek Hơn nữa, để hoàn thiện thí dụ mà chúng tôi đưa ra, chúng tôi đã bổ sung và chứng minh

mệnh đề 1.2.4 về tính đầy hữu tỉ của một đại số

4 Cấu trúc luận văn:

Luận văn bao gồm hai chương Chương 1 chúng tôi trình bày các kiến thức cơ bản về lí thuyết các vành không giao hoán và lí thuyết các PI – vành Chương 2 chúng tôi đi sâu vào nghiên cứu về đại số nguyên tố và nửa nguyên tố thỏa mãn đồng nhất thức thực sự, trong đó chúng tôi trình bày rất rõ các kết quả của Posner về các PI – đại số nguyên tố Cuối cùng, chúng tôi xây dựng một thí dụ chứng tỏ rằng kết quả của Posner – Rowen không thể mở rộng cho lớp các PI – đại số nửa nguyên tố

HỆ THỐNG KÍ HIỆU

ann A M: Tập những phần tử trong A linh hóa M

A(M): { a A Ma = 0,∈ M là A – modun bất khả qui}

( )

E M : Tập những tự đồng cấu trên M

C(M): Giao hoán tử của A trên M

rad(A) hoặc J(A): Radical Jacobson của vành A

sgnπ : Dấu của phép thế π

lnA: nil radical dưới của A

Un(A): upper nil radical của A

L(A): Levitzki nil radical của A

K{X}: Đại số các đa thức ấn x trên K

Degf: Bậc của đa thức f

: Bậc của đa thức f theo một biến x i

degx i f

ht(f): Chiều cao của đa thức f

i

j f

Δ : Toán tử sai phân của f

.: Tâm tập của F trong

M S : Địa phương hóa của M tại S

[ : ]A C : Số chiều của không gian A trên trường C

m

Δ Tập tất cả các ma trận vuông cấp m trên Δ

CHƯƠNG 1:

CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ MỘT SỐ VÀNH ĐẶC BIỆT

Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm và một số kết quả cơ bản được sử dụng đến trong luận văn Việc chứng minh các kết quả khá đơn giản nên hầu hết sẽ được tóm tắt hoặc được thông qua

1.1 TÓM TẮT NHỮNG KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trước tiên, chúng tôi nhắc lại các khái niệm và một số kết quả cơ bản, cần thiết để làm cơ sở xây dựng các đại số, như là: đại số nguyên thủy, đại số nửa nguyên thủy, đại số nguyên tố và đại số nửa nguyên tố Trong phần này, chúng tôi kí hiệu

A là vành không giao hoán, M là A – modun thay cho M là A – modun phải

¾ Định nghĩa 1.1.1:

• Nhóm cộng aben M được gọi là modun trên vành A (hay M là A – modun) nếu tồn tại ánh xạ: M A× →M ,( , m a) ma và ∀m n M a b A, ∈ ,∀ , ∈ các điều kiện sau luôn được thỏa mãn:

a) m(a + b) = ma + mb,

b) (m + n)a = ma + na,

c) m(ab) = (ma)b,

d) Nếu A có đơn vị thì m1 = m

• A là đại số trên vành giao hoán có đơn vị K khi và chỉ khi A là vành, A là modun trên K, và ∀a b A, ∈ ,∀ ∈k K thì k(ab) = (ka)b = a(kb)

• Cho M là một A –modun Khi đó, tập hợp các phần tử của A mà linh hoá

toàn bộ M được kí hiệu là ann A M = { a A Ma∈ / = } 0

¾ Định nghĩa 1.1.2:

• M được gọi là A – modun trung thành ⇔ (Ma = 0, a ∈A ⇒ a = 0)

• M được gọi là A – modun bất khả qui ⇔ MA ≠ 0 và M chỉ có đúng 2 modun con là 0 và chính M

¾ Mệnh đề 1.1.3:

Cho M là một A –modun Các khẳng định sau đây là tương đương:

i) M là A –modun bất khả qui

mT =ma.Khi đó T a là tự đồng cấu nhóm cộng trên M

Đặt E M( )= ϕ{ :M→M/ϕlà tự đồng cấu}

Gọi cái giao hoán tử của A trên M là C M( )= ϕ∈{ E M( )/ϕ = ϕ ∀ ∈T T a a , a A} Khi

trường hợp đặc biệt sau đây:

¾ Bổ đề 1.1.4 :(Bổ đề Schur)

Nếu M là A – modun bất khả qui thì C(M) là một thể

Chứng minh:

Để chứng minh bổ đề ta chỉ việc chứng minh mọi phần tử θ ≠0 trong C(M)

đều khả nghịch trong C(M) Thật vậy, lấy 0≠ θ∈C M( )

khả nghịch là θ ∈− 1 E M( ) nên từ đẳng thức θ = θT T a a ta suy ra T T , hay

• Một ideal (một phía hoặc hai phía) của A được gọi là tựa chính qui nếu mọi phần tử của nó đều tựa chính qui

¾ Bổ đề 1.1.7:

• A có đơn vị là 1 thì a là tựa chính qui phải ⇔1+ a khả nghịch trong A

• rad(A) = { z / az là tựa chính qui, a A ∀ ∈ } = { z / za là tựa chính qui, a A ∀ ∈ }

A ánh xạ σ: X → , từ tập các biến x 1 , x 2 , vào A thì luôn tồn tại đồng cấu

: { }K X A

η → sao cho η = σi

• Nếu ∈ f K X f K x{ }, ∈ { , , }1 x - đại số con sinh bởi tập con hữu hạn {x m 1 ,…,x m } với m nào đó thì ta viết f = f(x 1 ,…,x m ) Aûnh của đa thức này qua η: { }K X → A

biến x i a i (1 i ≤ < ∞) viết là f(a 1 ,…,a m ), gọi là giá trị của f tại (a 1 ,…,a m )

chạy khắp tất cả các hoán vị của {1, 2, …, m}

+ f là đa tuyến tính thì:

f(x 1 ,…,x j-1 ,x j + x m+1 , x j+1 ,…, x m ) = f(x 1 ,…, x j ,…, x m ) + f(x 1 ,…,x j-1 , x m+1 , x j+1, …, x m ), f(x 1 ,…,x j-1 ,βx j , x j+1 ,…, x m ) = βf(x 1 ,…, x j ,…, x m )

• f được gọi là thay phiên nếu f(x 1 ,,x i-1 ,x i ,x i+1 ,,x j-1 ,x i , x j+1 ,, x m ) = 0, ∀ <i j

Nhận xét:

Cho f là đa tuyến tính và thay phiên Khi đó: f là đồng nhất thức của A khi và chỉ khi f(u i1 ,…,u im ) = 0, với mọi sự lựa chọn u ij đôi một khác nhau trong tập các

phần tử sinh {u ij } của A trên K

• Đa thức chuẩn bậc k là: S k (x 1 , …, x k ) = (sgn x) π(1) xπ( )k

π

π

∑ , tổng này được chọn trên toàn nhóm đối xứng và có (k!) đơn thức

¾ Định nghĩa 1.1.11 :( Bậc và chiều cao của đa thức)

• Bậc của đơn thức ax x n1 n2 x n m,(a ≠0) là n 1 + n 2 + … + n m

• Bậc của f là bậc lớn nhất của các đơn thức có mặt trong f, kí hiệu là degf

• Bậc theo biến x i của f là bậc của f khi xem nó như là một đa thức theo một biến x i , kí hiệu là degx i f

• f được gọi là thuần nhất theo x i nếu tất cả các đơn thức của nó có cùng một bậc theo biến x i f là hoàn toàn thuần nhất nếu nó thuần nhất theo mọi biến x i

• f được gọi là trộn đều theo x i nếu x i có mặt trong mọi đơn thức của nó f được gọi là trộn đều nếu f được trộn đều theo mọi biến x i có mặt trong f

• Chiều cao của một đơn thức được tính bằng bậc của đơn thức đó trừ đi số các biến x i có mặt trong đơn thức đó

• Chiều cao của đa thức f là chiều cao lớn nhất của các đơn thức có mặt trong f,

kí hiệu là ht(f) Khi đó: f đa tuyến tính ⇔f trộn đều và ht(f) = 0

¾ Định nghĩa 1.1.12:

Cho A là đại số trên K, G là nhóm con cộng của nhóm A

• f∈ K{X} được gọi là G – giá trị ⇔ ∀ ∈ ⇒( a A i f a( , , )1 a m ∈G)

• f = f(x 1 ,…,x m ) ∈ K{X} được gọi là đồng nhất thức đối với A khi và chỉ khi

f(a 1 ,…,a m ) = 0, ∀ ∈a A i

Ví dụ:

1) Nếu A là vành giao hoán thì f(x 1 ,x 2 ) =[x 1 ,x 2 ] là một đồng nhất thức của A

2) * Đại số A được gọi là hầu hết nil, có bậc bị chặn ⇔ A có dạng K.1 + N , trong đó N là nil ideal và có bậc bị chặn, nghĩa là ∀ ∈z N n,∃ ∈ :z n =0

* Khi đó, ∀x y A , nếu A là hầu hết nil suy ra, ∈ [ , ]x y ∈N , N có bậc bị chặn

sao cho [ A thỏa mãn đồng nhất thức f = [ ,

n

3) * Nếu 2( ) và tr(a) = 0 thì a 2 là ma trận vô hướng :

Thật vậy, lấy a =

a M K∈

2 2

2

00

Vậy, ta luôn có tr[a,b] = 0 là ma trận vô hướng Do đó,

với a, b, c tuỳ ý

M K

∈ ta luôn có [a,b] 2 c = c[a,b] 2

Suy ra: f = f(x 1 ,x 2 ,x 3 ) = (x 1 x 2 – x 2 x 1 ) 2 x 3 – x 3 (x 1 x 2 – x 2 x 1 ) 2 là một đồng nhất thức

đối với M 2 (K) (đây là đồng nhất thức của Wagner)

j f (x 1 ,…, x m ) = f(x 1 ,…, x i-1 , x i + x j , x i+1 ,…, x m ) - f(x 1 ,…, x i-1 , x i , x i+1 ,…, x m )

- f(x 1 ,…, x i-1 , x j , x i+1 ,…, x m ), với 1 i m≤ ≤

chỉ khi f là đồng nhất thức của A và tồn tại hệ số của f không linh hoá A

Nhận xét:

+ Nếu K là một trường thì f là đồng nhất thức thực sự khi và chỉ khi f khác 0 + Đồng nhất thức f có hệ tử 1 thì f là đồng nhất thức thực sự cho mọi đại số

1.2 MỘT SỐ ĐẠI SỐ ĐẶC BIỆT

1.2.1 Đại số nửa nguyên thủy:

Mọi ideal 2 phía của đại số nửa nguyên thủy đều nửa nguyên thủy

1.2.2 Đại số nguyên thủy:

phía của A và A/A(M) là đại số nguyên thủy

¾ Mệnh đề 1.2.2.3:

Nếu A là đại số nguyên thủy thì J(A) = 0 Do đó, mọi đại số nguyên thủy đều là

nửa nguyên thủy

Nhận xét: Vành nguyên thủy có tính giao hoán là một trường

Trong quá trình nghiên cứu để thực hiện luận văn này, chúng tôi cảm nhận được tầm ảnh hưởng của định lí dày đặc đối với việc chứng minh các tính chất của vành các đa thức đồng nhất thức là khá lớn nên dưới đây chúng tôi sẽ phát biểu và

chứng minh lại định lí này theo cách mà chúng tôi cho là dễ tiếp nhận nhất Độc giả có thể tham khảo phép chứng minh định lí này trong các luận văn của những học viên cao học những năm trước đây thuộc ngành Đại số và lí thuyết số của Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh hoặc trong quyển

“Noncommutative rings” của I N Herstein Để đi đến định lí này chúng tôi nhắc lại một vài ý sau:

+ Giả sử R là vành nguyên thủy, M là R – modun bất khả qui trung thành Đặt Δ

= C(M) thì theo bổ đề Shur, Δ là một thể.Khi đó, chúng ta có thể xem M là không gian vectơ phải trên , trong đó, Δ m m Mα, ∈ ,α ∈Δ là tác động của phần tử thuộc

Định lí dày đặc:

Cho R là vành nguyên thủy, M là R – modun phải bất khả qui trung thành Nếu Δ

= C(M) thì R là vành dày đặc những phép biến đổi tuyến tính của M trên Δ

Chứng minh:

* Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau bằng qui nạp theo n: “ Nếu V là không gian

vectơ con của R –modun bất khả qui M, dimV = n hữu hạn thì ,

• dimV = n = 0: Khi đó V = (0) Vì vậy, ∀ ∈m M m V, ∉ thì m≠0 và ∃ ∈r R r, ≠0

sao cho mr 0 ( do ≠ MR ≠ ) và Vr = (0) (do V = (0)) 0

• Giả sử bổ đề luôn đúng khi dimV < n

• Ta chứng minh bổ đề đúng khi dimV = n Thật vậy, giả sử V = V0 + wΔ

( trong đó dimV 0 = dimV – 1 và w∉V0) Theo giả thiết qui nạp, ∀ ∉y V y M0, ∈ thì tồn tại r R∈ : V r =0 0 nhưng yr≠0 hay ∀ ∉y V y M0, ∈ , ∃ ∈r A( ) V0 (A V( )0 =ann V A 0)

sao cho yr 0 Điều này tương đương với: ≠ mA V = ⇒ ∈ ( do giả thiết qui ( ) 00 m V0

nạp), với A(V 0 ) = {x R V x∈ / 0 =0} Suy ra, nếu w V∉ ⇒0 wA V( ) (0)0 ≠ Khi đó:

Khi đó τ được định nghĩa tốt, vì nếu x = 0 ⇒wa=0 ⇒ a linh hóa w và a linh

hóa V 0⇒a linh hóa V hay Va = 0⇒ ma = 0

Mặt khác, τ∈E M( ) và hơn nữa, nếu x = wa với a∈A(V 0 ) thì ∀ ∈r R (vì

* Aùp dụng bổ đề để chứng minh định lí:

Ta chứng minh rằng: Nếu { }v i i n=1, là một họ độc lập tuyến tính trên M và

{ }w i i n=1, là một họ tùy ý trên M thì ∃ ∈r R v r w i: i = i,∀ =1, : n

Xét V i là không gian vectơ sinh bởi họ các vectơ độc lập tuyến tính { }j 1,n

i j i

v =≠

i i

Đặt t i = rs i , rõ ràng V i t i = (V i r)s i = 0 Gọi t = t 1 + t 2 + + t n Khi đó, v i t = v i (t 1 +

t 2 + .+ t n ) = v i t i hay w i = v i t, ∀ = n i 1, Suy ra R dày đặc trên M ª

1.2.3 Đại số nguyên tố:

¾ Định nghĩa 1.2.3.1:

• Một ideal P của đại số A được gọi là ideal nguyên tố nếu BC ⊂ P thì hoặc

B⊂ P hoặc C ⊂ P ( Với B, C là các ideal của A)

• Đại số A được gọi là nguyên tố ⇔ ideal (0) của A là ideal nguyên tố Nghĩa là:

BC = (0) ⇒ B = (0) hoặc C = (0) ( Với B, C là các ideal của A)

¾ Mệnh đề 1.2.3.2:

Nếu A là đại số nguyên thủy thì A là đại số nguyên tố

Chứng minh:

Vì A nguyên thủy nên tồn tại M là ideal bất khả qui trung thành của A Nếu lấy

B, C là các ideal khác 0 trong A thì (BC)M = B(CM) = BM = M Khi đó BC ≠0 hay

A là đại số nguyên tố ª

¾ Bổ đề 1.2.3.3:

Các mệnh đề sau đây tương đương:

i) A là đại số nguyên tố

=

⎡

⇒⎢ =⎣ ∀

iii) Linh hóa tử bên trái của một ideal trái bất kì khác không thì bằng 0

iv) Linh hóa tử bên phải của một ideal phải bất kì khác không thì bằng 0

Chứng minh:

i) ⇒ ii): Nếu bAc = 0⇒ AbAcA = 0⇒(AbA)(AcA) = 0⇒ AbA =0 hoặc AcA = 0 Lấy

B là ideal chính sinh bởi b Suy ra B ⊆ AbA3 , mà AbA =0 nên B =0 b = 0 ⇒

Tương tự, nếu AcA thì c = 0

ii) ⇒ iii): Giả sử 0≠I l A sao cho aI = 0 Ta chứng minh a = 0 Thật vậy, lấy

∏ cùng vói 2 phép toán trên lập thành một vành là một K – đại số

Đặt là phép chiếu πα

I

Aα

α∈

∏ → Aα Đại số A được gọi là tích trực tiếp con của họ

các đại số { }Aα α∈I nếu tồn tại đơn cấu :

I

A Aα

α∈

μ →∏ : Aμπ =α Aα,∀α∈ I Từ định nghĩa ta suy ra trực tiếp kết quả sau đây:

≅ và Ngược lại, nếu A

là một đại số bất kì, {

Cho đại số A:

• Phần tử a A∈ được gọi là lũy linh nếu ∃ ∈ m * sao cho a m = 0

• Một ideal của A được gọi là nil nếu mọi phần tử của nó đều lũy linh

• Ideal ρ của vành A được gọi là ideal lũy linh nếu ∃ ∈m *: a 1 a 2 …a m = 0

với a i∈ρ =, i 1,m Nghĩa là ∃ ∈m * sao cho ρ = m 0

• A được gọi là lũy linh địa phương nếu mọi tập con hữu hạn của nó đều sinh ra một đại số con lũy linh

• A được gọi là lũy linh nếu ∃ ∈m * sao cho A m = 0

• A được gọi là nửa nguyên tố nếu nó không có ideal lũy linh khác 0

• Ideal B của A được gọi là nửa nguyên tố nếu thương A/B là nửa nguyên tố.

Nhận xét:

+ Mọi đại số nguyên tố đều là đại số nửa nguyên tố

+ Mọi ideal lũy linh đều là lũy linh địa phương và mọi ideal lũy linh địa phương đều là nil ideal

¾ Định nghĩa 1.2.4.2:

Tổng các ideal lũy linh của đại số A không nhất thiết là một ideal lũy linh Gọi tổng này là N(0), ta định nghĩa một dãy siêu hạn các ideal như sau: Với N(0) được chỉ ra như thế, nếu là một bản số nào đó mà không là bản số giới hạn,α α = β+ 1,

ta định nghĩa N( ) là ideal của A sao cho N(α α)/N(β) là tổng của tất cả những ideal lũy linh của A/N( ) Nếu là bản số giới hạn, nghĩa là không có bản số đứng ngay trước nó, ta đặt N( ) =

τ sao cho N(τ) =N(τ + 1) Ta gọi N(τ) này là nil radical dưới của

A, kí hiệu là lnA

¾ Mệnh đề 1.2.4.3:

• Tồn tại duy nhất một nil ideal tối đại của đại số A chứa mọi nil ideal của A Nil ideal đó được gọi là upper nil radical của A, kí hiệu là Un(A)

• Tồn tại duy nhất một ideal lũy linh địa phương tối đại của đại số A, chứa mọi ideal một phía lũy linh địa phương của A Ideal lũy linh địa phương tối đại của đại số A được gọi là Levitzki nil radical của A, kí hiệu là L(A)

¾ Mệnh đề 1.2.4.4:

• A/Un(A) không chứa nil ideal khác 0 Suy ra Un(A/ Un(A)) = 0

• A/ln(A) không chứa ideal lũy linh khác 0

• L(A/L(A)) = 0

• Ln(A) ⊂ L(A) ⊂ Un(A) ⊂ rad(A)

• Ln(A) trùng với giao các ideal nguyên tố của A

Aùp dụng mệnh đề 1.2.3.4 ta suy ra hai mệnh đề sau đây:

đại số nguyên thủy

Ngược lại, cũng theo mệnh đề 1.2.3.4, nếu đại số A là tích trực tiếp con của họ các đại số Aα A B

α

= thì ∩Bα =0 Vì vậy tất cả các ánh xạ từ ( )J A vào trong Aα

đều là ánh xạ vào (0) Do đó ( )J A ⊂Bα,∀α, suy ra J A( )⊂ ∩Bα =(0) Chứng tỏ

rằng A là đại số nửa nguyên thủy ª

nguyên tố suy ra Aαnửa nguyên tố nên Nα =0 Điều này đúng ∀α ⇒N =0 Suy

ra A là nửa nguyên tố

⇒)Cho A là nửa nguyên tố, ta chứng minh A là tích trực tiếp con của các đại số nguyên tố

Theo mệnh đề 1.2.3.4 ta có: Nếu A là một đại số, { }Bα là họ các ideal trong A sao cho Bα 0 thì A đẳng cấu với tích trực tiếp con của họ

Bây giờ, lấy 0 B A≠ , chọn b 1≠ 0 trong B, do A có đơn vị ⇒ ≠0 Ab A A1

(được chứa trong B) 2

Tiếp tục như vậy ta có một dãy các b i : b 1 , b 2 = b 1 a 1 b 1 , b 3 =

b 2 a 2 b 2 , …, b i = b i-1 a i-1 b i-1 , … khác 0 nằm trong B Vì vậy suy ra, ∀k > i, j ta luôn có

D = +D P chứa thực sự P ⇒ ∃ ∈b C b D i 1, j ∈ 1 Nếu k > i, j thì b k = b i a ij b j ∈C D1 1 Suy ra C D1 1 ⊄P b( k ∉P)

0 ≠

Vì C 1 D 1 = (C + P)(D + P) = CD + CP + DP + P CD + P ⊂ ⇒CD P⊄ ⇒P là

nguyên tố

Tóm lại, với mọi B A , tồn tại ideal nguyên tố P không chứa B ⇒ P =

(P – nguyên tố) Suy ra A là tích trực tiếp con của các đại số nguyên tố A P Suy ra

A là nửa nguyên tố ª

1.2.5 Đại số thỏa mãn đồng nhất thức:

¾ Định nghĩa 1.2.5.1:

Một đại số A trên vành giao hoán K được gọi là đại số thỏa mãn đồng nhất thức

hay là một PI – đại số nếu tồn tại f K X∈ { } là đồng nhất thức thực sự của A

Dưới đây chúng tôi nêu ra một số bổ đề với mục đích kết hợp chúng với định lí dày đặc đã được chứng minh ở phần trước nhằm làm sáng tỏ định lí Kaplansky – Amitsur

¾ Các bổ đề

Bổ đề 1: Mọi đa thức f K X∈ { } đều là tổng của những đa thức được trộn đều f j

sao cho:

i) degf j ≤ degf,

ii) ht(f j ) ≤ ht(f),

iii) Nếu f tuyến tính theo x i thì f j cũng tuyến tính theo x i,

iv) Cho A là một đại số bất kì và G là nhóm con cộng của nhóm A Khi đó,

nếu f là G – giá trị thì các f j cũng là G – giá trị

Bổ đề 2: Nếu g là một đơn thức sao cho deg > 1

Δ được trộn đều,

ii) deg i deg

Δ là tập con của tập các hệ số của f

Bổ đề 4: Nếu A thỏa mãn đồng nhất thức thực sự f thì A thỏa mãn đồng nhất thức

đa tuyến tính thực sự g trong đó degg ≤ degf

Bổ đề 5: M n (K) không thỏa mãn đồng nhất thức thực sự nào có bậc nhỏ hơn 2n

Bổ đề 6: Giả sử F là một trường và V là không gian véctơ vô hạn chiều trên F Khi đó, đại số những phép biến đổi tuyến tính End F V không thỏa mãn bất kì đồng nhất thức thực sự nào

Bổ đề 7: Cho là một thể Khi đó Δ Δ chứa những trường con tối đại của F ( trên K) và với mọi trường con F như vậy thì tâm tập: C FΔ = ∈Δ{c /cf = fc f F, ∈ }= F

Bổ đề 8: Cho A là đại số con đơn của đại số E, B là tâm tập của A trong E,

là tâm của A Nếu

C B A= ∩ a a1, , ,2 a r ∈ là độc lập tuyến tính trên C thì A

độc lập tuyến tính trên B, nghĩa là:

1, , ,2 r

a a a