lí thuyết tập hợp, ánh xạ, quan hệ và kiến thức môn toán phổ thông

Lý thuyết tập hợp, ánh xạ, quan hệ là mảng kiến thức toán học hiện đại, được xem là cơ sở để hiểu được các nội dung môn Toán phổ thông theo xu hướng phát triển của chương trình.. Việc hệ

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận tốt nghiệp: “Lí thuyết tập hợp, ánh xạ, quan hệ và kiến thức môn Toán phổ thông” đã được hoàn thành Em xin chân thành cảm ơn Ban

chủ nhiệm khoa Toán – Lý – Tin Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc

đến giảng viên – T.S Hoàng Ngọc Anh, khoa Toán – Lý – Tin, trường đại học

Tây Bắc, người đã trực tiếp hướng dẫn em trong suốt thời gian thực hiện khóa luận tốt nghiệp này

Em xin chân thành cảm ơn các Thầy giáo, Cô giáo trong khoa Toán – Lý – Tin; các Thầy giáo, Cô giáo trường Đại học Tây Bắc; các ban ngành chức năng Thư viện trường Đại học Tây Bắc cùng sự ủng hộ nhiệt tình của các bạn sinh viên lớp K51 Đại học sư phạm Toán đã tạo điều kiện giúp đỡ em trong quá trình thực hiện và hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này

Em rất mong nhận được ý kiến đóng góp của Thầy giáo, Cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận tốt nghiệp của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Sơn La, tháng 5 năm 2014

Tác giả Đinh Thị Hương

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

4 Giả thuyết khoa học 1

5 Đối tượng nghiên cứu 2

6 Phương pháp nghiên cứu 2

7 Đóng góp của khoá luận 2

8 Cấu trúc của khoá luận 2

Chương 1 TẬP HỢP VÀ KIẾN THỨC MÔN TOÁN PHỔ THÔNG 3

1.1 Tập hợp 3

1.1.1 Giới thiệu sơ lược về lí thuyết tập hợp được xây dựng theo tiên đề (Tiên đề Decmelo-Phơranken) 3

1.1.2 Tập hợp, phần tử, tập hợp con của một tập hợp, số phần tử của một tập hợp, tập hợp các tập con của một tập hợp 5

1.1.3 Phép toán tập hợp Tích Đềcác 9

1.2 Kiến thức tập hợp trong môn Toán phổ thông 11

1.2.1 Quan điểm tập hợp trong trình bày kiến thức môn Toán Tiểu học 11

1.2.2 Kiến thức tập hợp trong môn Toán Trung học cơ sở 14

1.2.3 Kiến thức tập hợp trong môn Toán Trung học phổ thông 18

Chương 2: ÁNH XẠ VÀ KIẾN THỨC MÔN TOÁN PHỔ THÔNG 19

2.1 Kiến thức cơ sở về ánh xạ 19

2.1.1 Định nghĩa ánh xạ, các khái niệm liên quan và tính chất 19

2.1.2 Một số loa ̣i ánh xa ̣ thường gă ̣p trong toán học 22

2.2 Các ánh xạ trong môn Toán phổ thông 26

2.2.1 Các dãy số 26

2.2.2 Hàm số trong môn Toán phổ thông 30

2.2.3 Các phép toán nhìn theo quan điểm ánh xạ 35

2.2.4 Các phép biến hình nhìn theo quan điểm ánh xạ 36

2.2.5 Một số loại ánh xạ khác 37

CHƯƠNG 3: QUAN HỆ VÀ KIẾN THỨC MÔN TOÁN PHỔ THÔNG 41 3.1 Kiến thức cơ sở về quan hệ 39

3.1.1 Định nghĩa quan hệ và các phép toán về quan hệ 39

3.1.2 Một số tính chất 40

3.1.3 Quan hệ tương đương và sự chia lớp 41

3.1.4 Bản số của tập hợp, tập hợp số tự nhiên 42

3.1.5 Quan hệ thứ tự 45

3.2 Các quan hệ trong môn Toán phổ thông 46

3.2.1 Kiến thức về quan hệ tương đương trong môn Toán phổ thông 46

3.2.2 Quan hệ thứ tự trên các tập hợp trong môn Toán phổ thông 50

3.2.3 Phương pháp quy nạp toán học 49

KẾT LUẬN 51

TÀI LIỆU THAM KHẢO 52

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Toán học là môn khoa học tự nhiên đóng vai trò quan trọng trong các lĩnh vực khoa học và đời sống Những nội dung kiến thức môn Toán ở phổ thông bao gồm các tri thức toán học được trình bày dưới sự soi sáng của toán học hiện đại Để gắn kết các nội dung toán đã học ở trường Đại học với các nội dung môn Toán trong nhà trường phổ thông, đòi hỏi giáo viên phải có những hiểu biết nhất định về toán học hiện đại để nhìn nhận nội dung dạy học môn Toán phổ thông một cách thống nhất

Lý thuyết tập hợp, ánh xạ, quan hệ là mảng kiến thức toán học hiện đại, được xem là cơ sở để hiểu được các nội dung môn Toán phổ thông theo xu hướng phát triển của chương trình Việc hệ thống hoá kiến thức lý thuyết tập hợp, ánh xạ, quan hệ, và chỉ ra mối liên hệ của nó với nội dung môn Toán ở trường phổ thông như: Tập số, phương trình, hệ phương trình, hàm số và đồ thị, đại số tổ hợp, hình học, xác suất và thống kê…, giúp chúng tôi những sinh viên ngành toán sắp rời ghế giảng đường đại học hiếu sâu sắc và biết vận dụng các kiến thức đã học, tạo cơ sở lí luận và phương pháp dạy bộ môn Toán ở trường

phổ thông

Với lòng yêu thích bộ môn, chúng tôi muốn bạn đọc hiểu và nắm vững các kiến thức về tập hợp, ánh xạ, quan hệ và mối liên hệ của chúng với môn Toán phổ thông, để hình thành cho bản thân cơ sở lí luận vững vàng và phương pháp dạy học hiệu quả

Xuất phát từ lí do đó đã thôi thúc chúng tôi làm khoá luận này với đề tài:

“Lí thuyết tập hợp, ánh xạ, quan hệ và kiến thức môn Toán phổ thông”

2 Mục đích nghiên cứu

- Xây dựng tài liệu tham khảo về: Lí thuyết tập hợp, ánh xạ, quan hệ và mối liên hệ của chúng với nội dung môn Toán ở phổ thông

- Nâng cao sự hiểu biết và hiệu quả học tập của bản thân

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu về các kiến thức lí thuyết tập hợp, ánh xạ, quan hệ, mối liên

hệ của chúng với nội dung môn Toán ở phổ thông

4 Giả thuyết khoa học

- Có thể sử dụng các kiến thức lí thuyết tập hợp, ánh xạ, quan hệ và mối liên hệ của chúng với môn Toán phổ thông, tạo cơ sở hình thành lí luận và

phương pháp giải toán phổ thông của giáo viên nhằm tăng hiệu quả giảng dạy và nâng cao khả năng tiếp nhận kiến thức sách giáo khoa của học sinh

5 Đối tượng nghiên cứu

- Nghiên cứu nội dung một số kiến thức về lí thuyết tâp hợp, ánh xạ, quan

hệ đã được dạy ở trường Đại Học Tây Bắc

- Nghiên cứu sự liên hệ của kiến thức lí thuyết tập hợp, ánh xạ, quan hệ với nội dung môn Toán ở phổ thông

6 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tài liệu

- Phân tích, tổng hợp các kiến thức

- Kinh nghiệm bản thân, trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn

7 Đóng góp của khoá luận

Khoá luận sau khi hoàn thành sẽ làm tài liệu tham khảo cho sinh viên chuyên ngành toán và giáo viên phổ thông

8 Cấu trúc của khoá luận

Khoá luận gồm phần mở đầu, phần nội dung gồm 3 chương và phần kết luận Phần nội dung bao gồm các chương:

Chương 1: Tập hợp và kiến thức môn Toán phổ thông

Chương 2: Ánh xạ và kiến thức môn Toán phổ thông

Chương 3: Quan hệ và kiến thức môn Toán phổ thông

Chương 1 TẬP HỢP VÀ KIẾN THỨC MÔN TOÁN PHỔ THÔNG

1.1 Tập hợp

Thuật ngữ “tập hợp” ngày càng được sử dụng nhiều trong toán học và đời sống Người có công lớn trong việc xây dựng một lí thuyết toán học chặt chẽ về tập hợp là nhà toán học G.Cantor

Có hai cách trình bày và sử dụng lí thuyết tập hợp phổ biến trong toán học: + Sử dụng kiến thức lí thuyết tập hợp được xây dựng bằng phương pháp tiên đề để nghiên cứu những vấn đề toán học phức tạp và sâu sắc

+ Trình bày theo lối ngây thơ (trình bày thông qua sự mô tả) Lối trình bày này được sử dụng nhiều ở trường phổ thông và trong nhiều giáo trình ở bậc đại học

1.1.1 Giới thiệu sơ lược về lí thuyết tập hợp được xây dựng theo tiên đề (Tiên đề Decmelo-Phơranken)

Cách trình bày lí thuyết tập hợp theo phương pháp tiên đề có ưu điểm ở tính chặt chẽ, tránh việc gây ra các nghịch lí Tuy nhiên, cách trình bày khá trừu tượng và khó hiểu Tiên đề Decmelo-Phơranken gồm chín tiên đề:

1.1.1.1 Tiên đề E (Tiên đề về ngoại diên)

Tiên đề P khẳng định với x, y cho trước tồn tại một tập hợp chỉ bao gồm x

và y, kí hiệu là {x, y} không kể thứ tự liệt kê x, y Ta gọi tập z trong tiên đề là cặp không kể thứ tự xác định bởi x, y

Từ tiên đề này ta có thể định nghĩa được các khái niệm đơn tử {x} và khái niệm cặp có kể đến thứ tự

+ Cặp {a, a} (với x = a, y = a) được gọi là cặp đơn tử và kí hiệu là: {a}

+ Cặp {a, {a, b}} (với x = a, y = {a, b}) được gọi là cặp có kể thứ tự (a, b)

(a viết trước, b viết sau)

Ta có thể mở rộng định nghĩa các bộ nhiều tập hợp có thứ tự

Giả sử f là một tập hợp gồm các cặp có thứ tự Nếu f thỏa mãn điều kiện:

Từ x, yf và x, zf suy ra được y = z thì ta gọi f là một hàm

+ Tập xác định của f được định nghĩa bởi tập tất cả các x sao cho

Tập hợp y trong tiên đề U được gọi là hợp của các tập hợp thuộc x

1.1.1.5 Tiên đề I (Tiên đề vô hạn)

 

Tiền đề I khẳng định rằng, tồn tại tập hợp mà có thể thêm vào một tập hợp

thuộc nó một tập hợp mới có một phần tử vẫn được một tập hợp thuộc nó Vì

x; { { }} x; {{ { }} { { }}} x;

Người ta đã sử dụng tiên đề này để xây dựng tập hợp số tự nhiên

1.1.1.6 Tiên đề W (Tiên đề lũy thừa hay tiên đề về tập hợp tất cả các tập

con của một tập hợp)

x y z((z y) t((t z) (t x)))

Điều kiện t((t z)   (t x)) diễn đạt zx Tiên đề khẳng định, với

một tập hợp x cho trước, tồn tại một tập hợp gồm tất cả các tập con của x và

được viết dưới dạng: x y z((z y)     (z x))

Tập hợp y trong tiên đề được kí hiệu là: P(x)

1.1.1.7 Tiên đề R (Tiên đề chính quy)

x y((x     ) ((yx ) z((z  x) (z y))

Tiên đề chính quy tránh việc dẫn đến nghịch lí vì đã không chấp nhận tập

hợp x thỏa mãn x x

- Người ta viết tập hợp bằng các chữ cái in hoa: A, B, C …

Ví dụ 1: Tất cả các sinh viên lớp k51 ĐHSP toán tạo thành tập hợp sinh

viên lớp k51 ĐHSP toán Mỗi sinh viên lớp k51 ĐHSP toán là một phần tử của tập hợp đó

Ví dụ 2: Tất cả các đường thẳng trong không gian tạo thành tập hợp các

đường thẳng trong không gian Mỗi đường thẳng là một phần tử của tập hợp đó

* Khái niệm thuộc và kí hiệu

- Nếu x là một phần tử của tập hợp A ta nói “x thuộc A” và kí hiệu là:

xA

- Nếu x không là phần tử của tập hợp A ta nói “x không thuộc A” và kí hiệu là: xA

* Cách mô tả tập hợp

Để khai báo về một tập hợp nào đó ta có thể sử dụng các cách sau:

- Liệt kê các phần tử của tập hợp gồm:

+ Liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp khi số phần tử của tập hợp không quá nhiều

+ Liệt kê một số lượng vừa đủ các phần tử của tập hợp sao cho quy luật tạo nên tất cả các phần tử của tập hợp đó hoàn toàn xác định đối với tập hợp có nhiều phần tử

Các phần tử được liệt kê đặt ở khoảng giữa hai dấu {}

Ví dụ 3: Tập hợp A = {3; 1; 5} là tập gồm 3 phần tử

Tập hợp B = {0; 2; 4; …} là tập gồm tất cả các số tự nhiên chẵn

- Cho tập hợp thông qua mô tả các dấu hiệu đặc trưng của các phần tử thuộc tập hợp đó Ta có thể viết tập hợp B thông qua mô tả dấu hiệu đặc trưng như sau: B = {n  N | n là các số tự nhiên chẵn}

Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập rỗng và kí hiệu là: 

1.1.2.2 Tập hợp con

* Định nghĩa: Cho hai tập A, B ta nói A là một tập con của tập hợp B và kí

hiệu là AB nếu mọi phần tử thuộc tập hợp A đều là phần tử thuộc tập hợp B Khi đó ta cũng nói tập hợp B chứa tập hợp A và kí hiệu là B A

Tập rỗng được xem là tập hợp con của mọi tập hợp Tức là A , A

1.1.2.3 Sự bằng nhau của hai tập hợp

* Định nghĩa: Cho hai tập hợp A, B ta nói tập hợp A bằng tập hợp B và kí

hiệu A = B nếu có cả AB và BA

Để chứng minh tập hợp A bằng tập hợp B ta thực hiện hai bước:

+ Bước 1: Chứng minh AB bằng cách lập luận: Lấy một phần tử tuỳ ý

x  A và chứng tỏ x  B

+ Bước 2: Chứng minh BAbằng cách lập luận: Lấy một phần tử tuỳ ý

y  B và chứng tỏ y  A

1.1.2.4 Số phần tử của một tập hợp

Giả sử A là một tập hợp cho trước Nếu ta đếm số phần tử của A và đến một lúc nào đó không còn phần tử nào để đếm thì ta nói A là một tập hữu hạn (hay A có lực lượng hay bản số hữu hạn) Việc đếm như vậy sẽ cho tương ứng mỗi phần tử của A với một số nguyên dương (hay số tự nhiên) Nếu phần tử cuối cùng của A ứng với số nguyên dương n thì ta nói A có n phần tử

Hai tập hợp hữu hạn có số phần tử bằng nhau khi và chỉ khi thiết lập được

sự tương ứng giữa chúng sao cho mỗi phần tử của tập hợp này ứng với một phần

tử của tập hợp kia

1.1.2.5 Tập hợp tất cả các tập con của một tập hợp cho trước

Cho trước tập hợp A Ta lập ra một tập hợp mới bằng cách lấy mỗi tập hợp con của tập của A làm phần tử cho tập hợp này Khi đó ta được một tập hợp kí hiệu là (A)

Ví dụ 5: Khi A =  ta có (A) = {}

Khi A = {a} ta có (A) = {, {a}}

Khi A = {a, b} ta có (A) = {, {a}, {b}, {a, b}}

Khi A là tập hợp có n phần tử thì (A) là một tập hợp có n

2 phần tử

nhất một phần tử là tập hợp con  của tập hợp A) Số phần tử của (A) luôn lớn hơn số phần tử của A Tập hợp (A) còn được kí hiệu là A

2 1.1.3 Phép toán tập hợp Tích Đềcác

1.1.3.1 Các phép toán tập hợp

a) Phép giao

* Định nghĩa: Giả sử A, B là các tập đã cho Tập hợp gồm tất cả các phần

tử vừa thuộc A, vừa thuộc B được gọi là giao của A với B và kí hiệu là A  B Như vậy, x A   B x A và xB

* Định nghĩa phép giao của một số hữu hạn tập hợp: Giả sử A ,A , A 1 2 n

là những tập hợp cho trước Ta gọi tập hợp tạo bởi tất cả các phần tử chung của các tập hợp A ,A , A là giao của 1 2 n A ,A , A và kí hiệu là 1 2 n A1 A2 A n

* Tổng quát: Giả sử {A ,ii I} là một họ các tập hợp cho trước Ta gọi tập hợp {x|xA , ii  I} là giao của họ {A , ii I} và kí hiệu là i

* Tính chất: Cho A, B, C là các tập hợp cho trước ta có:

+ Tính chất giao hoán: A  B  B  A, với A, B

+ Tính chất kết hợp: A  B   C  A  B   C , với A, B, C + Mọi tập hợp đều lũy đẳng: A  A  A, với A

+ A   , với A

+ A  B  A A B, với A, B là các tập cho trước

+ Với hai tập hợp A, B cho trước, ta nói A và B rời nhau nếu A  B  

Ta nói họ tập hợp {A ,ii I} không giao nhau nếu i

Nếu J ={A ,ii I} là một phân hoạch trên tập hợp A thì ta cũng gọi mỗi A i

là một lớp các phần tử của A theo phân hoạch J

Ví dụ 6: Lấy A là tập hợp các số nguyên , giả sử n là một số nguyên

dương Ta có các tập hợp con sau đây của tạo thành một phân hoạch trên :

[1] là tập hợp tất cả các số nguyên khi chia cho 3 dư 1

[2] là tập hợp tất cả các số nguyên khi chia cho 3 dư 2

Các phần tử [0], [1], [2] của J được gọi là những lớp các số nguyên đồng

dư theo môdun 3

b) phép hợp

* Định nghĩa: Giả sử A, B là các tập hợp đã cho Tập hợp gồm tất cả các

phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp A, B được gọi là hợp của A với B và

kí hiệu là A B Như vậy, x A B   x A hoặc xB

* Định nghĩa phép hợp của một họ tuỳ ý: Giả sử A ,ii I là một họ các tập cho trước Ta gọi tập hợp x | i I, xAi là hợp của họ A ,ii I và được

A B  C  (AB)  (AC)

c) Phép lấy hiệu, phần bù

* Định nghĩa: Giả sử A, B là các tập hợp đã cho Tập hợp gồm tất cả các

phần tử thuộc A nhưng không thuộc B được gọi là hiệu của A với B và kí hiệu là

A \ B hay A – B Phép lấy hiệu của tập hợp A với tập B được gọi là A trừ B

Như vậy: x A \ B  x A và xB

Khi BA, hiệu A \ B được gọi là phần bù của tập hợp B trong tập hợp A

và được kí hiệu là C B hoặc A C (B) A

+ X \ A   B   X \ A   X \ B, với A, B, X là các tập cho trước

Đặc biệt, khi A, B là tập hợp con của tập hợp X thì ta có :

* Định nghĩa: Giả sử A, B là các tập hợp cho trước Ta gọi tập hợp tất cả

các cặp có thứ tự (a, b) (phần tử thuộc A viết trước, phần tử thuộc B viết sau), là

tích Đềcác của A với B và kí hiệu là A × B

* Định nghĩa trên có thể mở rộng cho một số hữu hạn tập hợp:

Giả sử A ,A , ,A là những tập hợp cho trước Ta gọi tập hợp gồm tất cả 1 2 n

các bộ n phần tử có thứ tự (a ,a , ,a )1 2 n , trong đó aiAi, với mọi i = 1, 2, …,n

là tích Đềcác của A ,A , ,A và kí hiệu là 1 2 n A1A2  An hay

n i

i 1

A





Nếu tích Đềcác A1A2  An có A1 A2   An A ta dùng thuật ngữ lũy thừa Đềcác bậc n của tập hợp A và kí hiệu là n

A

* Một số tích chất:

+ A × B ≠ B × A nếu A, B là các tập hợp phân biệt

+ A × B =  nếu ít nhất một trong hai tập A, B là tập hợp rỗng

1.2 Kiến thức tập hợp trong môn Toán phổ thông

1.2.1 Quan điểm tập hợp trong trình bày kiến thức môn Toán Tiểu học

Trong môn Toán tiểu học kiến thức tập hợp không được trình bày tường minh Tuy nhiên, việc trình bày các kiến thức toán học đều lấy kiến thức tập hợp làm ngôn ngữ thể hiện và nó được thể hiện trong các tuyến kiến thức làm nên nội dung môn Toán Tiểu học

1.2.1.1 Tuyến kiến thức thứ nhất – Các yếu tố số học

Ở Tiểu học, kiến thức toán học sinh được tiếp xúc đầu tiên là những biểu tượng so sánh và số tự nhiên Tư tưởng lí thuyết tập hợp được thể hiện ngay từ

sự so sánh để hình thành các biểu tượng nhiều hơn, ít hơn Thiết lập sự tương ứng giữa các phần tử của các tập hợp là căn cứ được dùng khi đưa ra biểu tượng nhiều hơn, ít hơn và bằng nhau (về mặt số lượng phần tử) Ngay điểm xuất phát này, biểu tượng về phần tử thuộc tập hợp được hình thành ở học sinh một cách ngầm

ẩn Trên cơ sở đó, việc hình thành các số tự nhiên đầu tiên được thực hiện theo quan điểm bản số Từ những số tự nhiên riêng lẻ đó, một biểu tượng về tập hợp số

tự nhiên bước đầu cũng đã được hình thành ở học sinh Tuy nhiên lúc này học sinh chưa thể hình dung được một cách trọn vẹn về tập hợp số tự nhiên

Ví dụ: Sách giáo khoa lớp 1 đã mô hình hóa các phần tử của tập hợp bằng

các chấm tròn, hay một dấu hiệu đặc chưng nào đó như hình ảnh chiếc que tính, con chim, quả cam…:

+ Lớp thứ nhất gồm các tập hợp đều có số lượng phần tử bằng nhau và cùng bằng một Viết số 1 để chỉ số lượng của lớp thứ nhất 1 là số tự nhiên

+ Lớp thứ hai gồm các tập hợp đều có số lượng phần tử bằng nhau và cùng bằng hai Viết số 2 để chỉ số lượng của lớp thứ hai 2 là số tự nhiên

…

Từ đó học sinh bước đầu hình dung về số tự nhiên

- Việc nhận ra một số nào đó là số tự nhiên là một bước trong quá trình nhận thức một đối tượng đang dần xuất hiện, đó là tập hợp số tự nhiên

- Việc đưa các phép toán vào tập hợp số tự nhiên cũng dựa vào bản số của tập hợp và phép hợp của hai tập rời nhau

- Việc so sánh các số tự nhiên cũng làm xuất hiện biểu hiện tập hợp con của một tập hợp

- Việc mở rộng các tập hợp số cũng làm cho nhận thức của học sinh về các biểu tượng tập hợp, về quan hệ bao hàm, về phần bù, …từng bước được hình thành và củng cố

Như vậy kiến thức số học ở bậc Tiểu học được xây dựng trên quan điểm lí thuyết tập hợp và thông qua dạy học các kiến thức số học những hiểu biết ban đầu của học sinh về tập hợp cũng bước đầu được hình thành dưới dạng các biểu thức toán học

1.2.1.2 Tuyến kiến thức thứ hai - Các yếu tố Đại số

- Các yếu tố đại số ở môn Toán Tiểu học trước hết thể hiện ở việc trình bày các phép toán trên các tập hợp số theo quan điểm xem mỗi phép toán là quy tắc xác định một số ứng với một cặp số cho trước

Ví dụ: Giáo viên cho học sinh thực hiện “gộp” hai nhóm đồ vật: nhóm một

gồm 3 dấu chấm tròn, nhóm hai gồm 2 dấu chấm tròn được 5 dấu chấm tròn Ghi lại hoạt động bằng phép cộng 3 + 2 = 5 Như vậy phép cộng hai số tự nhiên được hiểu như là hợp của hai tập hợp rời nhau (không có phần tử chung)

Ví dụ: Giáo viên cho học sinh thực hiện “tách” một nhóm đồ vật rồi đếm

số đồ vật còn lại, chẳng hạn: trên cành cây có 5 quả táo, rơi xuống đất 2 quả, trên cây còn 3 quả Ghi lại hoạt động bằng phép trừ 5 – 2 = 3 Như vậy phép trừ

hai số tự nhiên được hiểu là phép hiệu của hai tập hợp rời nhau

- Các yếu tố đại số thể hiện ở việc trình bày các tính chất của các phép toán; ở việc dùng chữ thay số trong những bài toán có đại lượng thay đổi; ở bài toán tìm số; …

Như vậy, quan điểm tập hợp là xuất phát điểm được lựa chọn để xây dựng nội dung dạy học các yếu tố đại số Đồng thời những hiểu biết sơ đẳng về tập hợp cũng được hình thành ở học sinh trong suốt quá trình học tập, nhận thức các kiến thức đại số

1.2.1.3 Tuyến kiến thức thứ ba – Các yếu tố hình học

- Việc quan niệm mỗi hình được cấu tạo nên bởi các điểm đã thể hiện quan điểm tập hợp trong tuyến kiến thức hình học ở môn Toán Tiểu học

- Việc phát hiện những điểm đặc biệt của một hình như trung điểm của đoạn thẳng, đỉnh của tam giác thể hiện quan hệ thuộc (phần tử thuộc tập hợp)

- Vấn đề phân tích, nhận dạng hình, tính chu vi các hình, diện tích của các khối đơn giản, …thể hiện các tập hợp con của một tập hợp; giao, hợp, sự chia lớp của một hình

Như vậy, việc dạy học những kiến thức hình học ở Tiểu học mặc dù không trực tiếp trình bày những kiến thức về tập hợp nhưng đã từng bước hình thành, củng cố các biểu tượng, các hiểu biết sơ đẳng về tập hợp và hình thành thói quen sử dụng những hiểu biết này như một ngôn ngữ để diễn đạt các kiến thức hình học

1.2.1.4 Tuyến kiến thức thứ tƣ – Đo đại lƣợng

- Việc đo đại lượng xác lập một tương ứng giữa các tập hợp với tập hợp số (số đo)

- Các dạng toán liên quan đến đại lượng cũng phản ánh sự phân chia các tập hợp thành các tập hợp con, sự kết hợp các tập hợp lại được một tập hợp mới dựa trên cơ sở phép hợp các tập hợp

- Cùng với bốn phép toán trên, hoạt động giải toán đóng vai trò quan trọng trong việc củng cố kiến thức, rèn luyện kĩ năng, phát triển tư duy và giáo dục các phẩm chất cần thiết đối với học sinh thông qua dạy học nội dung các kiến thức đó Hoạt động giải toán cũng có tác dụng gắn kết các tuyến kiến thức trên thành một hệ thống thống nhất, trong đó kiến thức số học là trung tâm

- Ngôn ngữ sơ đồ, biểu đồ, các kí hiệu tập hợp được sử dụng một cách trực quan, phổ biến trong dạy học làm cho việc trình bày nội dung toán dễ hiểu hơn

- Việc phân chia các trường hợp khi giải toán có liên hệ với việc tạo ra một phân hoạch trên một tập hợp

1.2.2 Kiến thức tập hợp trong môn Toán Trung học cơ sở

Trong chương trình môn Toán Trung học cơ sở, kiến thức về tập hợp dưới dạng tường minh được đưa vào ngay từ lớp 6 Những kiến thức này phục vụ cho việc trình bày kiến thức về số tự nhiên và vận dụng vào trình bày các nội dung thuộc một số chủ đề khác

Các nội dung và yêu cầu đối với việc dạy học các nội dung:

1.2.2.1 Khái niệm về tập hợp và phần tử của tập hợp

- Về mặt nội dung đã có những kiến thức tập hợp được trình bày một cách tường minh

- Mức độ cần đạt đối với nội dung này là:

+ Làm cho học sinh biết được các thuật ngữ tập hợp, phần tử của tập hợp thông qua các ví dụ cụ thể

kê phần tử của nó hoặc cho qua dấu hiệu đặc trưng của phần tử của tập hợp

- Trong dạy học không nên đặt câu hỏi “Tập hợp là gì ?”, “Thế nào là một tập hợp ?” không đi sâu vào khái niệm tập hợp rỗng, không yêu cầu phát biểu định nghĩa tập hợp con, không đưa ra quy ước tập hợp rỗng là tập hợp con của bất cứ tập nào, không ra các bài tập “tìm tất cả các tập hợp con của một tập hợp”

1.2.2.2 Kiến thức tập hợp liên quan đến tập hợp số

- Sử dụng kí hiệu tập hợp để diễn đạt các nội dung về các số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ và số thực

- Ở cấp Trung học cơ sở các nội dung liên quan đến lý thuyết chia hết, nhân

tử hoá trên tập hợp số nguyên liên quan nhiều đến kiến thức về tập hợp và phép toán tập hợp

+ Những vấn đề về bội số chung (BSC), ước số chung (USC) được trình bày qua phép giao của hai tập hợp

+ Thuật toán tìm bội số chung nhỏ nhất của hai số liên quan đến phép hợp của hai tập hợp, thuật toán tìm ước chung lớn nhất của hai số liên quan đến phép giao của hai tập hợp

+ Việc mở rộng các tập hợp số chứa đựng nhiều yếu tố lí thuyết tập hợp Chẳng hạn, khi mở rộng hệ thống số tự nhiên để có hệ thống số nguyên người ta đã đưa ra một tập số mới (số nguyên âm ) và lấy hợp của hai tập hợp





1.2.2.3 Kiến thức tập hợp liên quan đến các chủ đề kiến thức Đại số

- Tập hợp được dùng như một ngôn ngữ để đưa ra định nghĩa một số khái niệm, diễn đạt một số kiến thức, ghi chép, biểu diễn một số dạng tập hợp trong chủ đề phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hàm số và đồ thị của hàm số…

- Một số tình huống đã sử dụng kiến thức tập hợp để định nghĩa hay trình bày kiến thức môn Toán:

+ Trình bày điều kiện thực hiện của một số phép tính trong các biểu thức + Giải thích nghĩa của thuật ngữ “Giải phương trình”: Giải một phương trình là tìm tập hợp nghiệm của phương trình đó

+ Định nghĩa hai phương trình tương đương: Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm

+ Giải hệ phương trình hay bất phương trình trong nhiều trường hợp được quy về tìm giao của các tập hợp nghiệm của mỗi phương trình hay bất phương trình riêng lẻ: Giải phương trình tích được quy về tìm hợp của các tập nghiệm của các phương trình xác định bởi các nhân tử

1.2.2.4 Kiến thức tập hợp liên quan đến các chủ đề kiến thức hình học

- Khái niệm điểm thuộc đường thẳng, điểm không thuộc đường thẳng được hiểu theo nghĩa của lí thuyết tập hợp và hình thành thông qua các hình ảnh thực

tế, biết sử dụng dấu , , 

- Các hình hình học được quan niệm như những tập hợp điểm

- Giao tuyến, giao điểm, thiết diện là những vấn đề được hiểu theo quan điểm giao của các tập hợp xác định bởi các hình

- Bài toán dựng hình được hiểu theo quan điểm giao của các tập hợp xác định bởi các hình (tập hợp) thoả mãn điều kiện cho trước Cách dựng hình phổ biến là quy về dựng điểm tạo bởi giao điểm các hình

- Giải bài toán tìm tập hợp điểm cho biết bởi một tính chất (bài toán quỹ tích) thường đưa về đoán nhận hình và chứng minh hai tập hợp bằng nhau Lập luận chứng minh các bao hàm thức tập hợp được trình bày thành phần thuận và phần đảo

- Giải bài toán dựng hình thường quy về xác định điểm bằng cách lấy giao của các quỹ tích

1.2.3 Kiến thức tập hợp trong môn Toán Trung học phổ thông

Ở môn Toán Trung học phổ thông, một số kiến thức về tập hợp được giảng dạy một cách tường minh Ngoài ra, kiến thức về tập hợp còn được sử dụng để trình bày các nội dung khác trong suốt chương trình

Sách giáo khoa lớp 10 đã trình bày các nội dung về tập hợp gồm các kiến thức sau:

- Để chỉ ra a không phải là một phần tử của tập hợp A, ta viết a  A (đọc là

a không thuộc A)

1.2.3.2 Cách xác định tập hợp

- Sách giáo khoa đưa ra hai cách xác định tập hợp là:

+ Liệt kê các phần tử của tập hợp;

+ Chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử của tập hợp

Ngoài hai cách này chúng ta cần chú ý thêm rằng, còn có những cách khác được dùng để cho tập hợp và tình huống nào thì nên sử dụng cách nào để cho tập hợp là khả thi và thích hợp

- Khi dạy học sinh dùng biểu đồ Ven để biểu diễn tập hợp giáo viên nên hướng dẫn học sinh vẽ một cách cẩn thận, tránh sự buông lỏng, tuỳ tiện, cẩu thả trong học tập của học sinh

1.2.3.5 Tập hợp con

* Định nghĩa: Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B

thì ta nói A là một tập hợp con của tập hợp B và viết AB (đọc là A chứa trong B) Thay cho AB, ta cũng viết B A (đọc là B chứa A hay B bao hàm A)

viết A = B Như vậy: A B  x((xA) (x B))

1.2.3.7 Giao của hai tập hợp

* Định nghĩa: Tập hợp C gồm các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B được

gọi là giao của A và B, kí hiệu A B Như vậy:

* Định nghĩa: Tập hợp C gồm các phần tử hoặc thuộc A hoặc thuộc B

được gọi là hợp của A và B, kí hiệu là A B Như vậy:

1.2.3.9 Hiệu và phần bù của hai tập hợp

* Định nghĩa: Tập hợp C gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B

được gọi là hiệu của A và B, kí hiệu A \ B Như vậy:

và các dạng tập hợp con (a; b), a;, ;b, [a; b], [a; b), (a; b], a;,

;b trên tập hợp số thực Ngoài các tập số loại này, ta còn có thể sử dụng những loại tập hợp con khác của các tập hợp số

Các kiến thức về lí thuyết tập hợp được trình bày ở trên đã được sử dụng như một hệ thống kí hiệu, hệ thống ngôn ngữ để trình bày các kiến thức toán trong chương trình Trung học phổ thông như tập xác định của hàm số, tập xác định của biểu thức, tập nghiệm của phương trình và hệ phương trình, định nghĩa hai phương trình tương đương, định nghĩa hai phương trình hệ quả, định nghĩa hai bất phương trình tương đương, …thông qua tập hợp nghiệm

Như vậy hệ thống kiến thức về tập hợp trong chương trình và sách giáo khoa môn Toán cấp Trung học phổ thông phong phú hơn và được trình bày một cách có hệ thống và được sử dụng nhiều hơn cấp Trung học cơ sở Các chủ đề kiến thức môn Toán như phương trình và hệ phương trình, hàm số và đồ thị, đại

số tổ hợp, hình học, xác suất và thống kê đều sử dụng kiến thức về tập hợp như một công cụ ngôn ngữ để diễn đạt các kiến thức toán

Chương 2: ÁNH XẠ VÀ KIẾN THỨC MÔN TOÁN PHỔ THÔNG 2.1 Kiến thức cơ sở về ánh xạ

Ánh xạ là một khái niệm có từ rất sớm trong lịch sử và là khái niệm không thể thiếu trong toán học ngày nay Sau đây là một số kiến thức về ánh xạ trong toán học nhằm làm cơ sở để nhìn nhận kiến thức về ánh xạ trong môn Toán ở trường phổ thông

2.1.1 Định nghĩa ánh xạ, các khái niệm liên quan và tính chất

2.1.1.1 Định nghĩa ánh xạ

Cho các tập hợp X, Y khác rỗng Một quy tắc cho mỗi phần tử x X tương ứng với một phần tử duy nhất y Y được gọi là một ánh xạ (đơn trị từ X đến Y) và được kí hiệu là:

f: X Y

x y = f(x) Khi đó ta gọi X là tập nguồn, Y là tập đích của ánh xạ f Phần tử y tương ứng với phần tử x qua ánh xạ f được gọi là ảnh của x

Ngoài định nghĩa ánh xạ đơn trị, trong toán học người ta còn định nghĩa ánh xạ đa trị hay ánh xạ giá trị tập Đó là quy tắc cho mỗi phần tử x thuộc tập hợp X tương ứng với một tập hợp con nào đó của tập hợp Y

+ Cho ánh xạ thông qua mô tả bằng lời quy luật tương ứng giữa các phần tử của X và Y

+ Cho ánh xạ thông qua biểu đồ đồ thị

+ Cho ánh xạ là hàm số có thể cho bởi đồ thị của nó

2.1.1.2 Đơn ánh, toàn ánh, song ánh

Giả sử f : XY là một ánh xạ

- Nếu với a,bX, từ a b f (a)f (b) (hoặc a,bX: f(a) = f(b)

a = b) thì ta nói f là một đơn ánh

- Nếu b Y, x X : f (x) b , (hoặc f(X) = Y) thì ta nói f là một toàn ánh

- Một ánh xạ vừa đơn ánh, vừa toàn ánh được gọi là một song ánh

- Nếu ta coi đẳng thức f(x) = b, với b  Y là một phương trình Khi đó: + f là một đơn ánh khi và chỉ khi với mỗi phần tử b  Y phương trình f(x) = b có không quá một nghiệm trong X

+ f là một toàn ánh khi và chỉ khi với mỗi phần tử b  Y phương trình f(x) = b luôn có nghiệm trong X

+ f là một song ánh khi và chỉ khi với mỗi phần tử b  Y phương trình f(x) = b luôn có nghiệm duy nhất trong X

Đối với mỗi song ánh f : XYluôn  một ánh xa ̣ từ YX sao cho mỗi phần tử y Y ứng với nghiệm duy nhất trong X của phương trình f (x) = y Ánh

xạ này đươ ̣c go ̣i là ánh xa ̣ ngược của ánh xa ̣ f và được kí hiê ̣u là 1

+ Với mỗi tập hợp A  X, ta gọi tập hợp {f(x) | x  A} là ảnh của tập hợp

A qua ánh xạ f và kí hiệu là f(A)

+ Khi cho trước một tập hợp B Y, tập hợp {x X | f(x) B} là tạo ảnh toàn phần của tập hợp B qua ánh xạ f và kí hiệu là f1(B) Khi B = {b}chỉ gồm duy nhất một phần tử thì ta dùng kí hiệu 1

* Chú ý: Trong (ii), (5i), (6i) bao hàm thức ngược lại không phải lúc nào

cũng xảy ra, nên không có dấu “=”

Chẳng hạn, với ánh xạ f :  cho bởi f(x) = 1, x và hai tập hợp:

A = [0; 1], B = [3; 4] Khi đó A  B , do đó f (A B)  , nhưng lại

có f(A) = f(B) = {1} Điều này chứng tỏ không có dấu “=” trong (ii) Các trường hợp khác ta cũng đưa ra các phản ví dụ tương tự để chứng minh

Cho các ánh xa ̣ f : XY và g : YZ Khi đó :

+ Nếu f và g là các đơn ánh thì g f cũng là đơn ánh;

+ Nếu f và g là các toàn ánh thì g f cũng là toàn ánh;

+ Nếu f và g là các song ánh thì g f cũng là song ánh;

+ Nếu g f là một đơn ánh thì f là một đơn ánh;

+ Nếu g f là một toàn ánh thì g là một toàn ánh ;

Đối với mỗi tập hợp X có một ánh xạ đặc biệt từ XX Ta gọi ánh xa ̣

x x

này là ánh xạ đồng nhất trên X và kí hiệu là id x

Như vâ ̣y, với x X  ta luôn có id (x)x x Vớ i mỗi ánh xa ̣ f : XY ta luôn có idY f f và f idX f

* Tính chất của ánh xạ ngược của một song ánh

Liên quan giữa f, 1

f vớ i các ánh xa ̣ đồng nhất trên các tâ ̣p hơ ̣p X , Y đươ ̣c

cho trong đẳng thức :

1 Y

f f id ; f1 f idXĐối với các song ánh f : XY và g : YZ ta có: 1 1 1

(g f ) f g 

2.1.2 Mô ̣t số loa ̣i ánh xa ̣ thường gă ̣p trong toán ho ̣c

2.1.2.1 Dãy phần tử, họ phần tử

* Khái niệm dãy số: Ta gọi mỗi ánh xa ̣ f từ tâ ̣p hợp số tự nhiên hay tâ ̣p

hơ ̣p số nguyên dương *

vào tập hợp số ( , , , , ) là dãy số

Giá trị của f tại n được kí hiệu là f thay cho kin ́ hiê ̣u f (n) và được gọi là số hạng thứ n của dãy số f

Tùy theo tập hợp đích của ánh xạ f là tâ ̣p hợp nào trong các tập hợp số trên

mà ta có dãy số tự nhiên, dãy số nguyên, dãy số hữu tỉ, dãy số thực, dãy số phức Chú ý phân biệt thuật ngữ dãy số tự nhiên với tập hợp số tự nhiên ; dãy số nguyên với tâ ̣p hợp số nguyên

Khái niệm dãy số định nghĩa như trên chỉ nói đến các dãy số gồm vô hạn số hạng và gọi là dãy số vô hạn Trong toán học , người ta còn nói đến các dãy số hữu ha ̣n, tức là dãy số chỉ có một số hữu ha ̣n số ha ̣ng Đó là ánh xa ̣ từ tâ ̣p hợp số {0, 1, 2, , m} hay {1, 2, , m} vào tập hợp số ( , , , , )

Ngoài việc cho một dãy số bằng một số cách khác nhau như đối với ánh xạ ,

ta có thể cho dãy số thông qua một hê ̣ thức truy h ồi, tức là cho biết một số ha ̣ng đầu của dãy số và một hê ̣ thức cho phép tìm được mỗi số ha ̣ng bất kì thông qua các số hạng trước nó

Ví dụ: Dãy số Phibonaxi được cho bởi x0 x11, xn 2 xn xn 1

* Đi ̣nh nghĩa dãy phần tử: Cho một tâ ̣p hợp X, ta gọi mỗi ánh xạ từ tập hợp

số tự nhiên ( hoă ̣c tâ ̣p hợp số nguyên dương *

) đến X là một dãy phần tử của

X Phần tử f(n) X là ảnh của số n qua dãy phần tử f và được lí hiê ̣u là f n

* Đi ̣nh nghĩa họ phần tử: Cho X và I là các tâ ̣p hợp tùy ý Ta gọi mỗi ánh

xạ f : IX là một họ phần tử của X được chỉ số hóa bởi tập hợp I I được go ̣i

là tập hợp chỉ số , ảnh của các phần tử của I là họ phần tử của X chỉ số hóa bởi

tâ ̣p hợp I và kí hiê ̣u là f ,ii I

Khi I là một tâ ̣p hợp hữu ha ̣n n phần tử hay tâ ̣p vô ha ̣n tương đương với tâ ̣p

hơ ̣p số tự nhiên ta có thể thay thế I bởi tâ ̣p hợp {1, 2, …, n} (cũng có n phần tử)

hay và ta có dãy số hữu hạn hay vô hạn

Nếu tâ ̣p hợp X là tâ ̣p hợp mà phần tử của nó là tâ ̣p hợp con của một tâ ̣p hợp

U nào đó thì họ phần tử của X chỉ số hóa bởi tập hợp I được gọi là họ tập hợp

chỉ số hóa bởi tập hợp I và kí hiệu là F{A ,ii I)}, vớ i Ai U, vớ i i I

2.1.2.2 Phép toán đại số

* Đi ̣nh nghĩa: Cho tâ ̣p hợp X  Ta gọi mỗi ánh xa ̣ X X  X là một

phép t oán đại số hai ngôi trên X Khi đó thay cho kí hiê ̣u (x, y), vớ i (x, y)  X X , ta thườ ng dùng kí hiê ̣u x y hay x.y gọi là tích của x và y

Các phép toán cộng và nhân trên tập hợp số tự nhiên là các phép toán đại số

hai ngôi

Các ánh xạ có tập nguồn không phải là X X mà là một tập con nào đó của

X X cũng là phép toán Khi đó có những phần tử (x, y) nào đó không có ảnh

qua ánh xa ̣  Trong trườ ng hơ ̣p đó ta nói  là một phép toán bộ phận trên tập

hơ ̣p X

Phép trừ các số tự nhiên , phép chia trên các tập hợp số là phép toán bộ

phâ ̣n

Ngoài ra ta còn xét đến khái niệm phép toán ngoài gồm hai loại:

- Loại 1: Những ánh xa ̣ từ X Y X (hoặc Y X X) Lúc này ta

thường kí hiê ̣u theo kiểu phép nhân và gọi các phép toán như vâ ̣y là phép nhân

phần tử của Y với phần t ử của X (về bên trái hay bên phải tương ứng ) Tâ ̣p hợp

Y trong trường hợp này được gọi là miền toán tử hay miền vô hướng

Phép nhân một số với một vectơ là phép toán thuộc loại 1

- Loại 2: Những ánh xa ̣ từ X X Y

Phép toán tích vô hướng của các vectơ là phép toán thuộc loại 2

* Mô ̣t số thuộc tính của phép toán và phần tử trong tập hợp có phép toán

Cho  là một phép toán trên tập hợp X Ta nói:

- Phép toán  có tính chất giao hoán nếu x y  y xvới x,y X  ;

- Phép toán  có tính chất kết hợp nếu x y     z x y z vớ i

x, y,z X

Các phép toán cộng và nhân trên các tập hợp số có tính chất giao hoán và

kết hơ ̣p Phép trừ và phép chia trên các tập hợp số không có tính chất giao hoán

Giả sử  là một phép toán trên tập hơ ̣p X và a là phần tử thuộc X Ta nói:

- Phần tử a giao hoán được với mo ̣i phần tử thuô ̣c X nếu a x  x a,

 

- Phần tử a giản ước được bên trái (hay bên phải ) nếu với các phần tử

b, cX, từ đẳng thức a b a c   (tương ứ ng b a c a   ) ta suy ra được

bc

Khi a vừ a là phần tử giản ước đươ ̣c bên trái , vừa là phần tử giản ước đươ ̣ c bên phải, thì ta nói a là một phần tử giản ước được Nếu mọi phần tử của X đều giản ước được thì ta nói luật giản ước có hiệu lực trên X đối với phép toán 

- Phần tử a đươ ̣c go ̣i là phần tử đơn vi ̣ trái (đơn vi ̣ phải ) nếu xảy ra đẳng thức a x x  (tương ứ ng x a x)  với x X 

Nếu a vừa là phần tử đơn vi ̣ trái , vừa là phần tử đơ n vi ̣ phải, thì a được gọi

là phần tử đơn vị Phần tử đơn vi ̣ còn được gọi là phần tử trung lâ ̣p hay phần tử trung hòa

- Phần tử a đươ ̣c go ̣i là phần tử lũy đẳng nếu a a a 

Chú ý: Đối với các tập hợp hữu ha ̣n X có n phần tử, thì số ánh xạ từ X vào

X sẽ là 2

n , tứ c là có 2

n phép toán một ngôi trên X ; số phép toán có thể xây dựng được trên X là n 2

A Phần tử của i