Các ánh xạ trong môn Toán phổ thông

8. Cấu trúc của khoá luận

2.2. Các ánh xạ trong môn Toán phổ thông

2.2.1. Các dãy số

Trong chương trình môn Toán phổ thông khái niệm dãy số được hình thành một cách không tường minh ngay từ khi học sinh được học về hệ thống số tự nhiên. Đến lớp 11, khái niệm dãy số cùng với một vài dãy số đặc biệt như cấp số cộng, cấp số nhân được trình bày một cách tường minh và là công cụ quan trọng để xây dựng kiến thức về giới hạn hàm số, hàm số liên tục,…

2.2.1.1. Dãy số tăng

+ Dãy số (x ) được gọi là dãy số tăng (tăng ngặt) nếu n xn xn 1 (xn xn 1 ),  n .

+ Dãy số (x ) được gọi là dãy số giảm (giảm ngặt) nếu n xn xn 1 (xn xn 1 ), n  .

+ Các dãy số tăng, giảm được gọi chung là dãy đơn điệu.

+ Các dãy số tăng ngặt, giảm ngặt được gọi chung là dãy đơn điệu ngặt. Mỗi dãy đơn điệu đều là một đơn ánh.

2.2.1.2. Dãy số bị chặn

+ Dãy số(xn) được gọi là bị chặn trên (bị chặn dưới) nếu tồn tại số A sao cho x < A (n x > A), nn   .

+ Dãy số được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới. Dãy số bị chặn còn được gọi là dãy số giới nội.

+ Ta có thể sử dụng các dấu bất đẳng thức ≤, ≥, <, > thay thế cho các dấu <, > trong định nghĩa dãy bị chặn ở trên.

tại số dương A sao cho xn A (có thể sử dụng bất đẳng thức xn A), n  .

* Chú ý: Các dãy hữu hạn luôn luôn bị chặn nên việc đưa ra định nghĩa trên đây chỉ thực sự có ý nghĩa đối với các dãy vô hạn .

2.2.1.3. Dãy số tuần hoàn

Dãy số (xn) được gọi là dãy tuần hoàn nếu tồn tại một số tự nhiên T sao cho xn T x n, n  . Số T nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên được gọi là chu kì tuần hoàn của dãy.

2.2.1.4. Cấp số cộng

Cấp số cộng là dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d. Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

Do đó trong cấp số cộng ta có: un+1 = un + d.

Đối với một cấp số cộng (un ) ta luôn có các công thức: un = un + (n-1)d; k 1 k 1 k u u u ; 2     1 n n 1 n(u u ) n(n 1)d S nu 2 2      . 2.2.1.5. Cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với một số không đổi q. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Do đó trong cấp số nhân ta có: un+1 = un.q

Đối với một cấp số cộng (un ) ta luôn có các công thức: un = u1.qn-1 , n > 1; 2 n n 1 n 1 u u .u  hay un  un 1.un 1 . Nếu q ≠ 1 ta có  n 1 n u 1 q S ; 1 q   

nhân (un) là: u1 S

1 q 

 .

2.2.2. Hàm số trong môn Toán phổ thông

Kiến thức hàm số là mảng kiến thức phong phú và phản ánh rõ nhất khái niệm ánh xạ trong môn Toán ở bậc phổ thông.

2.2.2.1.Quan điểm định nghĩa khái niệm hàm số

Trong các sách giáo khoa Toán 7 và Đại số 10 hiện nay, khái niệm hàm số được định nghĩa thông qua đại lượng biến thiên. Trong lịch sử toán từ xa xưa các nhà toán học cũng đã định nghĩa khái niệm hàm số theo cách này.

+ Năm 1718, J.Becnuli đã đưa ra định nghĩa: Hàm số của một biến lượng là một biểu thức giải tích gồm biến lượng đó và các đại lượng không đổi.

+ Năm 1755, Ơle đã định nghĩa: Khi một đại lượng phụ thuộc vào các đại lượng khác sao cho sự thay đổi của các đại lượng thứ hai kéo theo sự thay đổi của các đại lượng thứ nhất thì đại lượng thứ nhất được gọi là hàm số của các đại lượng thứ hai.

+ Năm 1837, Đirichlê đưa ra định nghĩa: y là hàm số của x nếu với mỗi giá trị của x thì tương ứng một giá trị hoàn toàn xác định của y, còn sự xác định tương ứng đó được thiết lập như thế nào thì điều này không quan trọng.

Trong các định nghĩa khái niệm hàm số dựa vào khái niệm đại lượng biến thiên ta thấy rằng, chính khái niệm đại lượng biến thiên cũng cần được định nghĩa rõ ràng. Tuy nhiên từ trước đến nay khái niệm này chỉ sử dụng theo cách hiểu trực giác. Thực chất định nghĩa hàm số thông qua khái niệm quy tắc tương ứng giữa các phần tử của các tập hợp số chúng ta cũng phải sử dụng khái niệm quy tắc tương ứng này một cách trực giác.

2.2.2.2. Cách cho hàm số

+ Cho hàm số thông qua một bảng chỉ rõ sự tương ứng giữa các giá trị của đối số với giá trị của hàm số.

+ Ngoài ra còn có những cách khác được sử dụng phổ biến như: Cho hàm số bằng một hay nhiều biểu thức giải tích, cho bằng cách mô tả bằng lời, cho hàm số dưới dạng tham số, cho hàm số dưới dạng ẩn, cho hàm số bởi đồ thị, …

2.2.2.3. Các thuộc tính của hàm số

Đối với các hàm số người ta thường xét các thuộc tính sau đây:

đơn điệu, hàm số đơn điệu ngặt.

- Hàm số bị chặn trên, hàm số bị chặn dưới, hàm số bị chặn. - Hàm số chẵn, hàm số lẻ.

- Hàm số tuần hoàn.

- Hàm số có giới hạn hữu hạn hay dần tới vô cực, âm vô cực khi đối số dần tới một giá trị hữu hạn hay dần tới dương vô cực, âm vô cực.

- Hàm số liên tục tại một điểm, hàm số liên tục trên một khoảng, hàm số liên tục bên phải hay bên trái tại một điểm, hàm số liên tục trên một nửa đoạn và trên một đoạn.

- Hàm số có đạo hàm tại một điểm, có đạo hàm trên một khoảng, có đạo hàm bên phải hay bên trái tại một điểm, hàm số có đạo hàm cấp 2, cấp 3,…tại một điểm, trên một khoảng. Đặc biệt, các hàm số thỏa mãn điều kiện liên tục trên [a; b] và khả vi trên (a; b) có nhiều tính chất được phát biểu trong định lí Rôn, định lí Lagrăng, định lí Phécma và ứng dụng vào nhiều lĩnh vực.

- Hàm số khả tích trên một đoạn.

2.2.2.4. Các loại hàm số đƣợc lựa chọn đƣa vào môn Toán phổ thông

Những hàm số được trình bày một cách tường minh trong môn Toán phổ thông :

- Hàm số y = C với C là một hằng số;

- Hàm số biểu diễn tương quan tỉ lệ thuận y = ax;

- Hàm số biểu diễn tương quan tỉ lệ nghịch y a x  ; - Hàm số bậc nhất y = ax + b với a ≠ 0; - Hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c với a ≠ 0; - Hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d với a ≠ 0; - Hàm số trùng phương y = ax4 + bx2 +c với a ≠ 0; - Hàm số phân thức dạng y ax b cx d    , c ≠ 0; - Hàm số phân thức dạng 2 ' ' ax bx c y a x b     với a ≠ 0, ' a ≠ 0;

- Hàm số mũ y = ax với 0 < a ≠ 1;

- Hàm số logarit y = logax với 0 < a ≠ 1.

2.2.2.5. Vấn đề khảo sát hàm số

Ở trường phổ thông, các hàm số được khảo sát theo hai phương pháp: Phương pháp sơ cấp và phương pháp sử dụng đạo hàm.

+ Phương pháp sơ cấp: Được dùng đến lớp 11, những định lí làm cơ sở đề khảo sát hàm số bằng phương pháp sơ cấp không được trình bày đầy đủ mà chủ yếu dựa vào các nhận xét trực quan trên đồ thị hoặc dựa vào những mối quan hệ giữa các biểu thức giải tích biểu thị hàm số với những hàm số đã biết.

+ Phương pháp sử dụng đạo hàm: Được dùng ở lớp 12, việc trình bày đã tương đối chính xác và chặt chẽ, có tính khái quát cao. Một số dạng hàm số đã có sự tổng hợp các kết quả nghiên cứu trên cơ sở phân tích các tính chất của các hàm số cho ở dạng tổng quát.

Đối với các hàm số lượng giác sinx, cosx, tanx, cotx đều là những hàm tuần hoàn, do đó không phải là đơn ánh nên không là song ánh. Tuy nhiên, khi chỉ xét trên một chu kì. Vì vậy, có thể xét đến các ánh xạ ngược của những hàm này

trên các chu kì đã chọn. Các hàm lượng giác ngược đó là: y = arcsinx; y = arccosx; y = arctanx; y = arccotanx. Trong chương trình môn Toán phổ

thông chưa đề cập đến khái niệm các hàm số lượng giác ngược. Chỉ khi giải phương trình lượng giác sách giáo khoa có đưa ra kí hiệu arcsina, arccosa, arctana, arccota, với a là một số cho trước.

Bản thân khái niệm hàm ngược và các trường hợp cụ thể của các hàm số ngược nhau trong chương trình môn Toán Trung học phổ thông đã đề cập, chẳng hạn hàm số: y = ax

(0 < a ≠ 1) và hàm số y = logax, 0 < a ≠ 1 là các hàm số ngược nhau; hàm số y = xn

và hàm số y = n x, với n là số nguyên dương lẻ là các hàm số ngược nhau.

Từ các hàm số mũ có thể định nghĩa một loại hàm số có mối liên hệ với nhau tương tự như mối liên hệ giữa các hàm số lượng giác và được gọi là các hàm số hypebol. Các hàm số lượng giác hypebol gồm:

- Hàm số sin-hypebol cho bởi

x x e e shx 2    ;

- Hàm số cos-hypebol cho bởi

x x e e chx 2    ;

- Hàm số tang-hypebol cho bởi x x x x e e thx e e      ; - Hàm số cotang-hypebol cho bởi

x x x x e e cthx e e      .

- Nhiều hệ thức liên hệ các hàm số này tương tự như các hệ thức lượng giác dễ dàng được thiết lập. Chẳng hạn, hệ thức sh2 x –ch2x = -1 nhờ việc tính toán : 2 2 x x x x 2 2 e e e e ch x – sh x 1 2 2                  .

2.2.2.6. Vấn đề phát triển tƣ duy hàm cho học sinh trong dạy học môn Toán

Tư duy hàm là một loại hình tư duy toán học có liên hệ mật thiết đến khái niệm ánh xạ và hàm số. Theo Nguyễn Bá Kim, tư duy hàm biểu thị ở các hoạt động đặc chưng sau:

+ Phát hiện và thiết lập tương ứng (đơn trị) giữa các tập hợp sự vật và hiện tượng;

+ Nghiên cứu tính chất của các tương ứng (đơn trị);

+ Lợi dụng tính chất của sự tương ứng vào giải quyết các nhiệm vụ học tập và thực tiễn.

Do đó, để phát triển tư duy hàm cho học sinh trong dạy học môn Toán chúng ta cần quan tâm tập luyện cho học sinh thực hiện các loại hoạt động nói trên. Thực tế có nhiều tuyến kiến thức môn Toán có thể khai thác để thực hiện việc phát triển tư duy hàm cho học sinh nên khi dạy học một kiến thức cần tận dụng mọi cơ hội để làm rõ các mối liên hệ giữa kiến thức đó với các kiến thức khác, với các tình huống vận dụng. Trong nhiều trường hợp nhờ quan hệ hàm ta có thể khai thác để giải quyết nhiệm vụ nhận thức một cách gián tiếp.

Ví dụ: Giải phương trình: 3x + 4x = 5x. (1) Giải

Vì 5x ≠ 0, nên chia cả hai vế của phương trình (1) cho 5 ta được: x

x x 3 4 1 5 5              . (2)

Ta thấy: Vế trái là tổng của hai hàm số nghịch biến nên nó là một hàm số nghịch biến. Vế phải là một hàm hằng. Do đó, đồ thị của hai hàm số cho bởi vế phải và vế trái nếu cắt nhau thì chỉ cắt tại một điểm duy nhất.

Do khi x = 2 ta có đẳng thức, nên x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình (2) và cũng là nghiệm duy nhất của phương trình (1).

Cách giải này chủ yếu là muốn thể hiện “sự lợi dụng tính chất hàm số để giải phương trình”. Tuy nhiên người ta hay sử dụng các lập luận có tính toán rõ ràng bằng cách xét các trường hợp x > 2, x < 2 và chỉ ra (2) không có nghiệm trong các trường hợp này. Do đó x = 2 là nghiệm.

Để phát triển tư duy hàm cho học sinh ta cần quan tâm đến các vấn đề sau: - Tập luyện cho học sinh xác định giá trị hàm số khi giá trị biến số thay đổi. chẳng hạn, khi biến số nhận giá trị đặc biệt, khi biến số nhận giá trị là một biểu thức, khi biến số lại là giá trị hàm số khác, …

- Tập luyện cho học sinh xác định giá trị của biến số khi cho biết giá trị hàm số. Vấn đề này liên quan đến việc tìm tạo ảnh toàn phần của một ánh xạ. Khi chỉ có một giá trị số cụ thể của hàm số cho trước, vấn đề này đưa về giải phương trình. Khi chỉ có một giá trị hàm số cho trước dưới dạng tham số, vấn đề này trở thành biện luận nghiệm của một phương trình.

- Tập luyện cho học sinh xác định quy luật tương ứng giữa các giá trị của đối số với giá trị hàm số khi cho biết một số điều kiện. Vấn đề này liên quan đến bài toán giải phương trình hàm hay bất phương trình hàm.

- Tập luyện cho học sinh khám phá tính chất của một số hàm số hay quy tắc tương ứng giữa các đối tượng của hai tập hợp cho trước.

- Tập luyện cho học sinh khai thác thông tin từ những biểu đồ, đồ thị, hay những quy luật tương ứng giữa các đối tượng của hai tập hợp cho trước.

- Tập luyện cho học sinh thực hiện huy động kiến thức để giải quyết những tình huống dựa trên sự phân tích các đặc điểm, các dữ kiện cho tình huống và xét mối liên hệ giữa những dữ kiện đó với những kiến thức đã biết để định hướng giải.

- Hướng dẫn học sinh tìm các dấu hiệu đặc trưng cho các hàm số đã học. Những đặc trưng của các loại hàm số này là những cơ sở được sử dụng giải một số loại phương trình hàm.

2.2.2.7. Một số dạng toán đơn giản về tìm hàm số thỏa mãn các điều kiện cho trƣớc

* Dạng 1: Tìm biểu thức hàm số f(x) (biểu thị qua x) biết f(u(x)) = g(x) (*),

trong đó u(x) và g(x) là các hàm số cho trước của x.

toán chung để giải. Sau đây là việc giải loại phương trình này đối với một số dạng đặc biệt:

+ Trường hợp 1: u(x) là hàm số có hàm ngược .

Đặt u(x) = t. Do u(x) có hàm ngược nên giải ra được x = v(t), với t thuộc tập giá trị M của u(x). Thế biểu thức x = v(t) vào đẳng thức (*) ta có:

f(t) = g(v(t)) với t  M. Đổi tên biến t thành x ta có f(x) = g(v(x)) với x  M. + Trường hợp 2: g(x) có thể trực tiếp biểu thị được qua u(x).

Nếu g(x) có thể biểu thị trực tiếp qua u(x), chẳng hạn g(x) = h(u(x)) thì : Ta đặt u(x) = t với t  M, ta có f(t) = h(t) với t  M.

Đổi tên biến t thành biến x ta được f(x) = h(x) với x  M.

*Chú ý: Trong các lời giải trên ta chỉ có được biểu thức của f(x) với x M, trong đó M là tập giá trị của u(x). Trường hợp bài toán yêu cầu tìm biểu thức của f(x) đối với cả các giá trị x  M ta cần dựa vào những mối liên hệ cho trong u(x) và g(x) để xác định hoặc ta có thể chọn tùy ý. Ví dụ 1: Tìm hàm số f(x) biết f(x - 1) = sinx + x2 +1. Giải Ta có: Tập xác định: D = . Đặt x – 1 = t (t  ) ta suy ra x = t + 1. Do đó: f(t) = sin(t + 1) + (t + 1)2 + 1 với t  hay f(x) = sin(x + 1) + (x + 1)2 + 1 với x  .

Ví dụ 2: Tìm hàm f xác định trên biết: 2 2 1 1 f x x 100 x x          với x 0. Giải Ta có x và 1

x luôn luôn cùng dấu và 1 x 2 x   . Đặt t x 1 x   t2, ta có: 2 2 2 1 1 x x 2 x x           .

Do đó 2 2 1 1 f x x 100 x x       