8. Cấu trúc của khoá luận
3.1.2. Một số tính chất
3.1.2.1. Thuộc tính phản xạ
Quan hệ S trên tập hợp X được gọi là có tính chất phản xạ nếu x X luôn có xSx.
Các quan hệ bằng nhau trên các tập hợp số; quan hệ đồng dạng trên tập hợp các hình hình học; quan hệ chia hết trên tập hợp số nguyên hay tập hợp số tự nhiên; … là những quan hệ có thuộc tính phản xạ.
Quan hệ song song, vuông góc trên tập hợp các đường thẳng trong một mặt phẳng ( hay không gian);… không có thuộc tính phản xạ.
3.1.2.2. Thuộc tính đối xứng
Quan hệ S trên tập hợp X được gọi là có tính chất đối xứng nếu x, y X , xSy thì ySx.
Quan hệ bằng nhau trên các tập hợp số; quan hệ đồng dạng trên các hình hình học; quan hệ đối xứng nhau qua một đường thẳng trong mặt phẳng (hay không gian);… là những quan hệ có thuộc tính đối xứng.
Quan hệ “>”; “<” trên các tập hợp số; quan hệ “cao hơn”; “thấp hơn” trên tập hợp những con người;…là những quan hệ không có tính đối xứng.
3.1.2.3. Thuộc tính bắc cầu
Quan hệ S trên tập hợp X được gọi là có thuộc tính bắc cầu nếu x, y,z X
, xSy và ySz thì xSz.
Quan hệ bằng nhau trên các tập hợp số; các quan hệ “<”, “>”, “”, “”;… trên các tập hợp số , , , là những quan hệ có thuộc tính bắc cầu.
Quan hệ song song , quan hệ vuông góc trên tập hợp các đường thẳng trong mặt phẳng (hay trong không gian) không có thuộc tính bắc cầu.
3.1.2.4. Thuộc tính phản đối xứng
Quan hệ S trên tập hợp X được gọi là có thuộc tính phản đối xứng nếu x, y X
, xSy và ySx thì x = y.
Các quan hệ “”, “” trên các tập hợp số , , , ; Quan hệ chia hết cho trên tập hợp số , ; … là những quan hệ có thuộc tính phản đối xứng.
3.1.2.5. Thuộc tính phản đối xứng nghiêm ngặt
Quan hệ S trên tập hợp X được gọi là có thuộc tính phản đối xứng nếu x, y X
, có xSy thì không có ySx.
Các quan hệ “<”, “>” trên các tập hợp số , , , là những quan hệ có thuộc tính phản đối xứng nghiêm ngặt.
* Chú ý:
Cho trước tập hợp X, gọi I = x, x | xX. - S có tính chất phản xạ I S.
- S có tính chất đối xứng S1S.
- S có tính chất phản đối xứng S S1I.
- S có tính chất phản đối xứng nghiêm ngặt S S1 . - S có tính chất bắc cầu S SS.
3.1.3. Quan hệ tƣơng đƣơng và sự chia lớp 3.1.3.1. Quan hệ tƣơng đƣơng
* Định nghĩa: Quan hệ hai ngôi S trên tập hợp X là một quan hệ tương đương nếu S có ba thuộc tính phản xạ, đối xứng và bắc cầu.
Các quan hệ bằng nhau theo nghĩa của lí thuyết tập hợp trên mọi tập hợp; quan hệ bằng nhau trên các tập hợp số; quan hệ bằng nhau trên tập hợp các tam giác; quan hệ đồng dạng trên tập hợp các hình hình học; … là những ví dụ về quan hệ tương đương.
Các quan hệ “<”; “>”; “”; “”; “ ”(Chia hết cho); “|” (chia hết); …không phải là quan hệ tương đương.
3.1.3.2. Sự chia lớp
* Định nghĩa: Giả sử X là một tập hợp cho trước và Ai i I là một họ những tập hợp con của X. Ta nói họ Ai i I là một sự chia lớp hay một phân hoạch trên tập hợp X nếu i
i I
A X
và Ai Aj , với i j.
Giả sử S là một quan hệ tương đương trên tập hợp X cho trước. Với mỗi phần tử x X ta gọi tập hợp tất cả các phần tử thuộc X tương đương với x là lớp tương đương của X và được kí hiệu là [x].
* Nhận xét:
- Với x X luôn có x [x] vì xSx. - Nếu x[y] thì y[x].
Thật vậy, từ x[y] ta có xSy. Vì S có tính chất đối xứng nên từ xSy ta có ySx nên y[x].
- Nếu x[y] thì [x][y].
Thật vậy, giả sử z[x] ta có zSx mà x[y] nên xSy. Vì S có tính chất bắc cầu nên ta có zSy.
- Nếu [x] và [y] có phần tử z chung thì [x] =[y].
Thật vậy, từ z[x][y] ta có z [x] và z [y]. Áp dụng các nhận xét ở trên ta suy ra [x] = [y] = [z].
- Nếu x [y] thì [x][y] .
3.1.3.3. Tập thƣơng
Giả sử trên tập hợp X đã có một quan hệ tương đương S, bằng cách chia lớp tập hợp X bởi các lớp tương đương theo quan hệ S ta có một tập hợp mới mà mỗi lớp tương đương đó là một phần tử của tập hợp mới. Tập hợp này được gọi là tập thương của X trên quan hệ S và kí hiệu là X/S.
Tức là: X/S = [x] | xX.
Như vậy, khi xây dựng tập hợp X/S ta đã đồng nhất tất cả các phần tử của X có quan hệ S với nhau làm một phần tử của tập hợp mới. Đây chính là phương pháp trừu tượng hóa đồng nhất thường gặp trong toán. Trong môn Toán ta cũng đã gặp trường hợp này trong các kiến thức sau: Hình thành khái niệm số tự nhiên bằng bản số; hình thành khái niệm phân số; Khái niệm số hữu tỉ; Khái niệm phân thức đại số; Khái niệm vectơ.
3.1.4. Bản số của tập hợp, tập hợp số tự nhiên 3.1.4.1. Định nghĩa bản số 3.1.4.1. Định nghĩa bản số
Bản số của tập hợp được định nghĩa thông qua khái niệm các tập hợp tương đương.
* Định nghĩa: Cho X, Y là các tập hợp. Ta nói X tương đương với Y nếu
tồn tại một song ánh từ X lên Y và kí hiệu là X Y. Từ định nghĩa ta thấy rằng :
+ Mỗi tập X luôn có ánh xạ id là song ánh từ X lên X nên XX X .
+ Với các tập hợp X, Y nếu X Ytức song ánh f : XY thì ánh xạ ngược 1
f : YXcũng là song ánh nên Y X.
+ Với các tập hợp X, Y, Z. Nếu có X Yvà Y Z , tức các song ánh f : XYvà g : YZ khi đó ánh xạ hợp thành g f : XZcũng là một song ánh. Điều này chứng tỏ X Z .
Như vậy quan hệ có tính chất phản xạ, đối xứng và bắc cầu. Nếu tất cả các tập hợp được xét đều là tập hợp con của một tập hợp U nào đó thì quan hệ là một quan hệ tương đương trên tập hợp P(U) gồm tất cả các tập hợp con của U.
Nhờ quan hệ , ta chia tập hợp thành các lớp. Đồng nhất các tập hợp X trong mỗi lớp như vậy ta có khái niệm bản số hay lực lượng của tập hợp X và kí hiệu là card(X), X là tập hợp bất kì thuộc lớp đó.
Ta có thể so sánh các bản số bằng cách sau đây :
+ Nếu một đơn ánh từ tập hợp X vào tập hợp Y thì ta có: card(X) card(Y)
+ Nếu card(X) card(Y) và card(Y) card(X) thì card(X) = card(Y). + Nếu AB thì card(A) card(B).
3.1.4.2. Tập hợp vô hạn, tập hợp hữu hạn
Một tập hợp X được gọi là tập hợp vô hạn nếu tồn tại một tập con thực sự '
X của X sao cho X' X . Tập hợp không vô hạn được gọi là tập hữu hạn.
* Một số tính chất của tập hữu hạn được lấy làm cơ sở để định nghĩa một số khái niệm về số tự nhiên.
- Nếu A là một tập hợp hữu hạn thì mọi tập hợp con của A cũng là một tập hợp hữu hạn.
- Nếu A và B là những tập hợp hữu hạn thì hợp, giao, hiệu, tích Đềcác của chúng cũng là một tập hợp hữu hạn.
- Nếu A là một tập hợp hữu hạn thì P(A) cũng là một tập hợp hữu hạn và card(A) < card(P(A)).
3.1.4.3. Số tự nhiên
Ở phần trên chúng ta đã làm quen với việc xây dựng tập hợp số tự nhiên bằng cách sử dụng bản số của tập hợp hữu hạn. Như vậy, khi nói n là tập hợp số
tự nhiên ta hiểu rằng tồn tại một tập hữu hạn A sao cho card(A) = n.
Tập hợp là một tập hợp hữu hạn. Bản số của kí hiệu là 0, tức card() = 0. Tập hợp {} cũng là một tập hợp hữu hạn và card({}) kí hiệu là 1. Bằng cách như vậy ta có card({, {}}) kí hiệu là 2,…
Tập hợp tất cả các số tự nhiên được kí hiệu là . Bản số của số tự nhiên được kí hiệu là . là một tập hợp vô hạn . Như vậy là bản số vô hạn và là bản số vô hạn bé nhất.
3.1.4.4. Các phép toán trên tập hợp các số tự nhiên
a) Phép cộng
Cho m, n là các số tự nhiên, khi đó các tập hợp hữu hạn A và B sao cho card(A) = m, card(B) = n (có thể chọn A và B sao cho A B ). Khi đó ABlà một tập hữu hạn nên card(A B ) là tổng của m với n và kí hiệu là m + n.
* Tính chất của phép cộng:
+ Tính chất giao hoán: n + m = m + n với m, n .
+ Tính chất giao kết hợp: m + ( n + p) = (m + n) + p với m, n, p . + Số 0 là phần tử trung hòa đối với phép cộng: m + 0 = m với m . Như vậy, tập hợp số tự nhiên với phép cộng làm thành một vị nhóm giao hoán. Do đó, phép cộng trên tập hợp số tự nhiên còn có các tính chất:
+ Nếu a + b = a + c thì b = c (gọi là luật giản ước).
+ Nếu a, b là hai số tự nhiên cho trước thì luôn c: a + c = b hoặc b + c = a
b) Phép nhân
Cho m, n là các số tự nhiên, khi đó tồn tại các tập hợp hữu hạn A và B sao cho card(A) = m, card(B) = n. Khi đó A B là một tập hữu hạn nên card( A B ) là tích của m với n và kí hiệu là m.n.
* Tính chất của phép nhân:
+ Tính chất giao hoán: n.m = m.n với m, n .
+ Tính chất giao kết hợp: m.( n.p) = (m.n).p với m, n, p . + Số 1 là phần tử đơn vị đối với phép nhân: m.1 = m với m .
Như vậy, tập hợp số tự nhiên với phép toán nhân làm thành một vị nhóm giao hoán (phần tử đơn vị là số 1). Phép nhân trên có tính chất giản ước được đối với các số khác 0.
3.1.5. Quan hệ thứ tự
* Định nghĩa: Cho X là một tập hợp. Một quan hệ S trên tập hợp X được
gọi là quan hệ thứ tự nếu S có các thuộc tính phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu. + S là một quan hệ thứ tự ngặt nếu S có thuộc tính phản đối xứng ngặt và thuộc tính bắc cầu.
- Quan hệ và quan hệ trên các tập hợp số , , , là những quan hệ thứ tự và chúng là những quan hệ ngược nhau.
- Quan hệ < và quan hệ > trên các tập hợp số , , , là những quan hệ thứ tự ngặt và chúng là những quan hệ ngược nhau.
Tổng quát, giả sử 1
S là quan hệ ngược của quan hệ S, khi đó nếu S là một quan hệ thứ tự (thứ tự ngặt) thì 1
S cũng là một quan hệ thứ tự (thứ tự ngặt). - cho A là một tập hợp và (A) là tập hợp gồm tất cả các tập hợp con của A. Khi đó quan hệ và là những quan hệ thứ tự trên (A). Hai quan hệ này cũng là những quan hệ ngược nhau.
* Định nghĩa: Giả sử (X, ) là một tập hợp được sắp thứ tự bởi quan hệ
. Ta nói quan hệ thứ tự trên X là một quan hệ thứ tự toàn phần (hay thứ tự tuyến tính) nếu với a, b phân biệt thuộc X luôn xảy ra a b hoặc b a.
- Quan hệ thứ tự trên tập hợp X không phải là quan hệ tuyến tính được gọi là quan hệ thứ tự bộ phận.
- Các quan hệ thứ tự thông thường trên các tập hợp số đều là quan hệ thứ tự tuyến tính; quan hệ và trên (A) là quan hệ bộ phận vì có những tập hợp con X và Y của A mà X không chứa Y và Y không chứa X.
* Định nghĩa: Giả sử (X, ) là một tập hợp được sắp thứ tự bởi quan hệ
. Ta nói quan hệ thứ tự trên X là một quan hệ thứ tự trù mật nếu với mọi phần tử x, y khác nhau thuộc X sao cho x y luôn z X sao cho x, y, z phân biệt và x y z.
- Nếu (X, ) là tập hợp được sắp thứ tự không trù mật được gọi là tập được sắp thứ tự rời rạc.
- Ta có , và ( , ) là rời rạc, , và ( , ) ; , và ( , ) là các tập hợp được sắp thứ tự trù mật.
* Định nghĩa: Giả sử (X, ) là một tập hợp được sắp thứ tự và A là một
mọi phần tử x A luôn có a x; phần tử b A được gọi là phần tử lớn nhất của tập hợp A nếu với mọi phần tử x A luôn có x b.
Rõ ràng, phần tử lớn nhất hay nhỏ nhất nếu có của một tập hợp A là duy nhất. - Tập hợp A bị chặn trên luôn có tập hợp các chặn trên của A khác rỗng. Phần tử nhỏ nhất trong tập hợp các chặn trên được gọi là chặn trên nhỏ nhất của A hay chặn trên đúng của A hoặc supremun của A và kí hiệu là sup(A).
- Tương tự, nếu tập hợp các chặn dưới của A tồn tại phần tử lớn nhất thì phần tử lớn nhất này được gọi là chặn dưới lớn nhất của A hay chặn dưới đúng của A hoặc Infimun của A và kí hiệu là Inf(A).
* Định nghĩa: Cho tập hợp được sắp thứ tự (X, ). Phần tử a A được
gọi là phần tử tối tiểu hay cực tiểu của X nếu với mọi phần tử x X sao cho x a luôn suy ra được a = x; phần tử b X được gọi là phần tử tối đại hay cực đại của tập hợp X nếu với mọi phần tử x X sao cho b x luôn suy ra b = x.
Một tập hợp được sắp thứ tự không nhất thiết tồn tại phần tử tối đại hay tối tiểu. Trường hợp tồn tại phần tử tối đại hay tối tiểu thì những phần tử này không nhất thiết là duy nhất.
* Định nghĩa: Tập hợp X với quan hệ thứ tự được gọi là tập hợp sắp thứ tự tốt nếu với mọi tập con khác rỗng của X luôn tồn tại phần tử nhỏ nhất.
- Quan hệ thứ tự thông thường trên tập hợp số tự nhiên là quan hệ thứ tự tốt.
3.2. Các quan hệ trong môn Toán phổ thông
3.2.1. Kiến thức về quan hệ tƣơng đƣơng trong môn Toán phổ thông 3.2.1.1. Các quan niệm về sự bằng nhau và dấu “=”
- Bằng nhau theo nghĩa tập hợp: Tập hợp A bằng tập hợp B và kí hiệu là A = B nếu mỗi phần tử của A cũng là phần tử của B và ngược lại.
- Bằng nhau theo nghĩa bao hàm (ánh xạ): Hai ánh xạ f : AB và g : AB được gọi là bằng nhau nếu với mỗi phần tử a A ta luôn có
f(a) = g(a). Trong trường hợp này đòi hỏi f và g phải có cùng tập nguồn (A), cùng tập đích (B) và mỗi giá trị của chúng tại mỗi phần tử thuộc tập nguồn luôn bằng nhau.
- Bằng nhau theo nghĩa hình học: Hai đoạn thẳng bằng nhau được định nghĩa thông qua số đo độ dài; hai tam giác bằng nhau được định nghĩa thông qua số đo các yếu tố (cạnh, góc) tương ứng và phụ thuộc vào thứ tự liệt kê các đỉnh;
vectơ bằng nhau được định nghĩa thông qua sự cùng hướng và cùng độ dài; ... - Dấu bằng “=” dùng trong các phương trình lại mang ý nghĩa tượng trưng. Chỉ đối với các nghiệm ta mới thực sự có dấu bằng của các vế.
3.2.1.2. Các quan hệ tƣơng đƣơng trong môn Toán phổ thông
Trong môn toán phổ thông các quan hệ sau đây là quan hệ tương đương: - Quan hệ bằng nhau trên các tập hợp bất kì: tập hợp số, tập hợp biểu thức, tập hợp tam giác, tập hợp các đoạn thẳng, tập hợp các góc, tập hợp các vectơ trong mặt phẳng, tập hợp các vectơ trong không gian....
- Quan hệ tương đương theo các nghĩa được nói đến trong các trường hợp cụ thể của kiến thức môn Toán: Hai hình phẳng tương đương (có cùng diện tích); hai phương trình tương đương, hai bất phương trình tương đương (có cùng